粉體力學(xué)教學(xué)課件：3 粉體靜力學(xué) (10) 粉體應(yīng)力精確分析方法

1、第三講 粉體靜力學(xué)2 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 第三講 粉體靜力學(xué)3.1 莫爾應(yīng)力圓3.2 粉體的摩擦性3.3 Molerus 粉體分類3.4 粉體的流動(dòng)性3.5 莫爾-庫侖定律3.6 壁面最大主應(yīng)力方向3.7 朗肯應(yīng)力狀態(tài)3.8 粉體壓力計(jì)算3.9 粉體應(yīng)力精確分析方法3 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 33.9 粉體應(yīng)力精確分析方法3.9.1 應(yīng)力平衡方程 3.9.1.1 直角坐標(biāo)系的應(yīng)力平衡方程 3.9.1.2 柱坐標(biāo)系的應(yīng)力平衡方程 3.9.1.3 球坐標(biāo)系的應(yīng)力平衡方程3.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)

2、解4 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 考慮圖3-28所示的二維微元體，直角坐標(biāo)系和正應(yīng)力系如圖所示。由x和y方向的力平衡得43.9.1.1 直角坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-92)(3-94)5 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 考慮圖3-28所示的二維微元體，直角坐標(biāo)系和正應(yīng)力系如圖所示。由x和y方向的力平衡得53.9.1.1 直角坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-95)(3-94)(3-93)6 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 6結(jié)合莫爾-庫侖定律的應(yīng)力關(guān)系式(3-18)式(3-20)3.9.1.1 直角坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-18)(

3、3-19)(3-20)(3-95)(3-94)7 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 7結(jié)合莫爾-庫侖定律的應(yīng)力關(guān)系式(3-18)式(3-20)粉體的應(yīng)力平衡方程不顯含粉體的初抗剪強(qiáng)度c，適用于Molerus類粉體。3.9.1.1 直角坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程8 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 8由力平衡可得軸對(duì)稱坐標(biāo)系中的應(yīng)力平衡方程為 3.9.1.2 柱坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-99)(3-98)9 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 93.9.1.2 柱坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-99)(3-98)(3-100)(3-104)10 粉體

4、力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 10軸對(duì)稱柱坐標(biāo)系中，sxx 必是主應(yīng)力且等于兩主應(yīng)力之一。朗肯被動(dòng)態(tài)時(shí) 朗肯主動(dòng)態(tài)時(shí)3.9.1.2 柱坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-106)(3-105)(3-99)(3-98)11 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 11式(3-100)(3-106)代入式(3-98)和式(3-99)得軸對(duì)稱柱坐標(biāo)系中的應(yīng)力平衡方程為：3.9.1.2 柱坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-107)(3-108)對(duì)Molerus粉體均適用 12 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 12由力平衡可得軸對(duì)稱球坐標(biāo)系中的應(yīng)力平衡方程為 3.

5、9.1.3 球坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-111)(3-112)13 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 3.9.1.3 球坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-113)(3-116)14 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 14 軸對(duì)稱球坐標(biāo)系的應(yīng)力平衡方程3.9.1.3 球坐標(biāo)系應(yīng)力平衡方程(3-117)(3-118)對(duì)Molerus粉體均適用 15 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 3.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解Janssen應(yīng)力分析 粉體在柱體內(nèi)的應(yīng)力存在漸近解。取/z=0(3-107)(3-108)(3-119)(3-120)16 粉體力

6、學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 (3-119)(3-120) 3.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解(3-121)+17 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 (3-119)173.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解+(3-120)(3-122)18 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 183.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解(3-122)(3-121)(3-123) (3-124)(3-125)(3-126)19 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 193.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解中軸線上的切應(yīng)力等于零，szz和srr在中軸線上

7、是主應(yīng)力。朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài)， szz是最大主應(yīng)力；朗肯被動(dòng)應(yīng)力態(tài)， srr是最大主應(yīng)力。根據(jù)y角的定義，即r軸逆時(shí)針到最大主應(yīng)力的夾角，所以角y有如下的初始條件20 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 203.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解P的初始條件是未知的，y角在壁面的值已知。從中軸線積分到右壁面時(shí)，對(duì)于朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài)，壁面對(duì)應(yīng)于圖3-9的A點(diǎn)；對(duì)于朗肯被動(dòng)應(yīng)力態(tài)，壁面對(duì)應(yīng)于圖3-9的B點(diǎn)。所以角y的壁面邊界條件為 對(duì)于朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài) 對(duì)于朗肯被動(dòng)應(yīng)力態(tài)(3-126)(3-125)21 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 213.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸

8、進(jìn)解有解22 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 223.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 由于方程式(3-125)和式(3-126)中的分子項(xiàng)在中軸線 =0上有奇異點(diǎn)，應(yīng)用lHopital原理可得 和23 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 233.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解則在中軸線上應(yīng)力平衡方程簡化為24 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 243.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 朗肯主動(dòng)態(tài)應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果列于表3-1，粉體的內(nèi)摩擦角和壁面摩擦角分別為30和20，則可得=43.16，=101.58。計(jì)算由四階龍格庫塔法完成，每一點(diǎn)

9、的Janssen常數(shù)是該點(diǎn)最大和最小主應(yīng)力的比值。表3-1的計(jì)算結(jié)果表明應(yīng)力及Janssen常數(shù)在截面上是不均勻的，切應(yīng)力與距離r成正比，應(yīng)力rr和zz隨距離r的增加而略有減少。 25 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 253.9.2 柱體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 Janssen近似應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果列于表3-2，其中Janssen常數(shù)K值分別用表3-1中的中心和壁面處的K值。可以看出，應(yīng)力rr的計(jì)算結(jié)果與所有的K值有關(guān)，且在壁面與精確解的計(jì)算結(jié)果相等；應(yīng)力zz的計(jì)算結(jié)果與所用的K有關(guān)，但與精確解的計(jì)算結(jié)果相差不大。 3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 Janssen的近似分析結(jié)果

10、表明，應(yīng)力在錐頂角附近存在漸近解且應(yīng)力與距錐頂角的距離成正比。由此，Jenike假設(shè)應(yīng)力分布為 稱為Jenike軸向應(yīng)力假設(shè)或Jenike軸向應(yīng)力理論27 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 273.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 把上兩式代入球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡方程式(3-117)和(3-118)得28 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 283.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解29 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 293.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解30 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 303.9.3 錐體應(yīng)力

11、分布的漸進(jìn)解31 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 31 式(3-139)乘以E與式(3-140)乘以B相減得 式(3-139)乘以D與式(3-140)乘以A相減得3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解32 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 32 由于對(duì)稱性，在中心線=0，切應(yīng)力為零，所以應(yīng)力rr和是主應(yīng)力。對(duì)于朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài)，rr是最大主應(yīng)力；對(duì)于朗肯被動(dòng)態(tài)，是最大主應(yīng)力。根據(jù)角的定義，即r軸逆時(shí)針到最大主應(yīng)力的夾角，所以角有如下的初始條件 對(duì)于朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài) 對(duì)于朗肯被動(dòng)應(yīng)力態(tài)3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解33 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研

12、究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 33 雖然無因次應(yīng)力參數(shù)q的初始條件是未知的，但角在壁面的值是已知的。當(dāng)從中軸線積分到左壁面時(shí)，對(duì)于朗肯主動(dòng)應(yīng)力態(tài)，壁面對(duì)應(yīng)于圖3-9的D點(diǎn)；對(duì)于朗肯被動(dòng)應(yīng)力態(tài)，壁面對(duì)應(yīng)于圖3-9的C點(diǎn)。由圖3-32可以得角的壁面邊界條件為3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 對(duì)于朗肯被動(dòng)態(tài) 對(duì)于朗肯主動(dòng)態(tài)34 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 34 這樣無因次應(yīng)力方程式(3-147)和式(3-148)加邊界條件式(3-149)式(3-152)是可以求解的。 由于方程式(3-147)和式(3-148)中sin2cot項(xiàng)和(+cos2)cot項(xiàng)在中心線=0是不確定的，由lHo

13、pital原理得 3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解 對(duì)朗肯主動(dòng)態(tài) 對(duì)朗肯被動(dòng)態(tài)3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解36 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 36 則在中心線上應(yīng)力平衡方程為 式中的系數(shù)為3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解37 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 37 朗肯被動(dòng)態(tài)應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果列于表3-3，粉體的內(nèi)摩擦角和壁面摩擦角分別為36，則可得=12.067，=99.034。椎體的半角為15，則可得m=8.353。計(jì)算由四階龍格庫塔法完成，表中每一點(diǎn)的Janssen常數(shù)是該點(diǎn)最大和最小主應(yīng)力的比值。表3-3的計(jì)算結(jié)果表明應(yīng)力及Janss

14、en常數(shù)在截面上是不均勻的，應(yīng)力rr和zz隨角的增加而略有增加，Janssen常數(shù)隨角的增加而略有減少。 3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解38 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 38 Janssen近似應(yīng)力分布的計(jì)算結(jié)果列于表3-4，其中Janssen常數(shù)K值為中心線K值?？梢钥闯觯瑧?yīng)力計(jì)算結(jié)果與精確解的計(jì)算結(jié)果相差較大。3.9.3 錐體應(yīng)力分布的漸進(jìn)解39 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 課堂小測(cè)驗(yàn) 二向應(yīng)力狀態(tài)有何特點(diǎn)？粉體層的最大主應(yīng)力面上，剪應(yīng)力等于多少？ 畫出莫爾圓簡圖，標(biāo)出最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的位置點(diǎn)。分別闡述Molerus 類粉體的特點(diǎn)，并以圖示Molerus類粉體，且對(duì)圖中分區(qū)進(jìn)行解釋。40 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 課堂小測(cè)驗(yàn)畫出莫爾圓簡圖，標(biāo)出最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的位置點(diǎn)分別闡述Molerus 類粉體的特點(diǎn)，并以圖示Molerus類粉體，且對(duì)圖中分區(qū)進(jìn)行解釋朗肯主動(dòng)態(tài)應(yīng)力和被動(dòng)態(tài)應(yīng)力，哪個(gè)大？粉體在柱體內(nèi)的應(yīng)力分布中，主動(dòng)態(tài)應(yīng)力哪項(xiàng)最大？被動(dòng)態(tài)應(yīng)力哪項(xiàng)應(yīng)力最大？41 粉體力學(xué) 大連理工大學(xué)流體與粉體工程研究設(shè)計(jì)所 劉鳳霞 3.2 莫爾