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文檔簡介

1、正弦定理和余弦定理一、選擇題1.(2013北京高考文科5)在ABC中,a=3,b=5,sinA=,則sinB=( )A. B. C. D.1【解題指南】已知兩邊及一邊的對角利用正弦定理求解?!窘馕觥窟xB。由正弦定理得。2.(2013新課標(biāo)全國高考文科4)的內(nèi)角的對邊分別為,已知,則的面積為( )A. B. C. D.【解題指南】利用正弦定理和三角形的面積公式可得【解析】選B.因?yàn)?所以.由正弦定理得,解得。所以三角形的面積為.因?yàn)椋?,選B.3.(2013新課標(biāo)高考文科10)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,c=6,則( )A.10B.9C.8D.5【解題指南】由,利用倍角公式求出

2、的值,然后利用正弦定理或余弦定理求得的值.【解析】選D.因?yàn)?,所以,解得,方法?因?yàn)锳BC為銳角三角形,所以,.由正弦定理得,.,.又,所以,.由正弦定理得, ,解得.方法二:由余弦定理,則,解得4.(2013陜西高考文科9)【備注:(2013陜西高考理科7)與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若, 則ABC的形狀為 ( )A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定【解題指南】在含有邊角關(guān)系式的三角函數(shù)恒等變形中,利用正弦定理將邊的關(guān)系式化為角的正弦式或利用余弦定理將余弦式化為邊的關(guān)系式,這是判斷三角形形狀的兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向.【解析】選A.

3、因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.5.(2013安徽高考文科9)【備注:(2013安徽高考理科12)與之題干相同】設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,則3sinA=5sinB,則角C=()A. B. C. D. 【解題指南】 根據(jù)正弦定理、余弦定理進(jìn)行解三角形計(jì)算?!窘馕觥窟xB.由題設(shè)條件可得,由余弦定理得,所以。6. (2013山東高考文科7)的內(nèi)角的對邊分別是,若,則( )A. B. 2

4、C. D.1【解析】選B.由,則,由正弦定理知,即,所以cosA=,所以A=,所以,所以,c=2.7.(2013湖南高考理科3)在銳角中,角所對的邊長分別為.若( )A B C D【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式,注意條件“銳角三角形” . 【解析】選D.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.8. (2013天津高考理科6)在ABC中, 則 = ()A. B. C. D. 【解題指南】先由余弦定理求AC邊長,然后根據(jù)正弦定理求值.【解析】選C. 在ABC中,由余弦定理得,所以由正弦定理得即所以.9. (2013湖南高考文科5)在銳角ABC中,角

5、A,B所對的邊長分別為a,b. 若2asinB=b,則角A等于( )A. B. C. D.【解題指南】本題先利用正弦定理化簡條件等式,注意條件“銳角三角形” . 【解析】選A.由2asinB=b得2sinAsinB=sinB,得sinA=,所以銳角A=.二、填空題10.(2013浙江高考理科T16)在ABC中,C=90,M是BC的中點(diǎn).若,則sinBAC=.【解題指南】分別在RtABC和ABM中應(yīng)用勾股定理和正弦定理.【解析】設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,在ABM中由正弦定理得,因?yàn)?又,所以.又由得,兩邊平方化簡得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以.【答案】11

6、.(2013上海高考理科T4)已知ABC的內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)邊分別為a,b,c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,則角C的大小是(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).【解析】3a2+2ab+3b2-3c2=0c2=a2+b2+ QUOTE ab,故【答案】12.(2013上海高考文科T5)已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0,則角C的大小是 .【解析】【答案】 三、解答題13. (2013大綱版全國卷高考文科18)與(2013大綱版全國卷高考理科18)相同設(shè)的內(nèi)角,的對邊分別為,( = 1 * ROMAN I)求;( = 2 * ROMAN II)若,求

7、.【解題指南】( = 1 * ROMAN I)由條件確定求應(yīng)采用余弦定理.( = 2 * ROMAN II)應(yīng)用三角恒等變換求出及的值,列出方程組確定的值.【解析】( = 1 * ROMAN I)因?yàn)?所以.由余弦定理得,因此.( = 2 * ROMAN II)由( = 1 * ROMAN I)知,所以.故或,因此或14. (2013新課標(biāo)高考理科17)如圖,在中,為內(nèi)一點(diǎn),.()若,求;()若,求.【解析】由已知得,所以.在,由余弦定理得,故.()設(shè),由已知得,在中,由正弦定理得,化簡得,所以,即.15. (2013天津高考文科16)在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b,

8、c. 已知, a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 【解題指南】()根據(jù)正弦定理及, a = 3求出a,c的值,再由余弦定理求b的值;()根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及二倍角公式求出,再由兩角差的正弦公式求值.【解析】() 在ABC中,由正弦定理得,即,又由,可得,,又 a = 3,故c=1,由且可得()由,得,進(jìn)而得到所以16.(2013浙江高考文科T18)與(2013浙江高考理科T18)相同在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asinB=b.(1)求角A的大小.(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.【解題指南】(1)由正弦定理易求角A的大小;(2)

9、根據(jù)余弦定理,借助三角形的面積公式求解.【解析】(1)由2asinB= QUOTE b及正弦定理,得sinA= QUOTE ,因?yàn)锳是銳角,所以.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以,由三角形面積公式S= QUOTE bcsinA,得ABC的面積為 QUOTE .17.(2013江西高考理科16)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知 QUOTE * MERGEFORMAT .(1)求角B的大??;(2)若,求b的取值范圍.【解題指南】(1)借助三角形內(nèi)角和為,結(jié)合三角恒等變換將條件中的等式轉(zhuǎn)化為只含B的方程,求出B的三角

10、函數(shù)值,進(jìn)而可求出角B.(2)根據(jù)(1)求出的B與,由余弦定理可得b2關(guān)于a的函數(shù),注意到可知,進(jìn)而可求出b的范圍.【解析】(1)由已知得,即.因?yàn)?,所?又,所以,又,所以.(2)由余弦定理,有,因?yàn)椋?所以,又因?yàn)?,所以,?18. (2013江西高考文科17)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;(2)若C= QUOTE * MERGEFORMAT ,求 QUOTE * MERGEFORMAT 的值.【解題指南】(1)先利用二倍角公式把角2B化為角B,再進(jìn)行角化邊的處理;(2)借助第(1)

11、問的結(jié)果結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解.【解析】(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因?yàn)閟inB,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理可知a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列.(2) 由C=,c=2b-a及余弦定理得,即有,所以.19.(2013北京高考理科15)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.( = 1 * ROMAN I)求cosA的值,( = 2 * ROMAN II)求c的值【解題指南】(1)由條件可以看出,已知兩角關(guān)系求角,可以利用正弦定理解決問題;(2)由已知兩邊和角求第三邊,所以應(yīng)用余弦定理求解?!窘馕觥浚?)由正弦定理得,所以,即.(2)由余弦

12、定理得,所以,即,解得或(舍)。20.(2013新課標(biāo)全國高考理科T17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若b=2,求ABC面積的最大值.【解題指南】(1)將a=bcosC+csinB“邊化角”,化簡求得B.(2)利用角B、邊b將ABC面積表示出來,借助均值不等式求最大值.【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即cosBsinC=sinCsinB,因?yàn)閟inC0,所以tanB=1,解得B= QUOTE

13、(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos QUOTE ,即4=a2+c2- QUOTE ac,由不等式得a2+c22ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),取等號,所以4(2- QUOTE )ac,解得ac4+2 QUOTE ,所以ABC的面積為 QUOTE acsin QUOTE QUOTE (4+2 QUOTE )= QUOTE +1.所以ABC面積的最大值為 QUOTE +1.解三角形應(yīng)用舉例一、填空題1. (2013福建高考理科T13)如圖,在ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,ADAC, sinBAC= QUOTE * MERGEFORMAT ,AB=,AD=3,則BD的長為. 【解題指南】顯然

14、,sinBAC=cosBAD,用余弦定理.【解析】sinBAC= QUOTE * MERGEFORMAT =cosBAD,在BAD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAD=18+9-23=3,所以BD= QUOTE * MERGEFORMAT .【答案】 QUOTE * MERGEFORMAT 二、解答題2.(2013重慶高考理科20)在中,內(nèi)角、的對邊分別是、,且()求;()設(shè),求的值【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值,由和差公式及的值通過化簡可求出的值.【解析】()因?yàn)橛捎嘞叶ɡ碛泄?()由題意得因此因?yàn)?所以因?yàn)榧唇獾糜傻?解得或.3. (2013重慶高考文科18)在ABC

15、中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.()求;()設(shè)a= QUOTE ,S為ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時(shí)B的值.【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值,再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值,并指出此時(shí)的值.【解析】()由余弦定理得又因?yàn)?所以()由()得又有正弦定理及得因此,所以,當(dāng),即時(shí), 取最大值4. (2013山東高考理科17)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.【解題指南】(1)先由余弦定理可得到ac的關(guān)系式,再和已知

16、a+c=6聯(lián)立方程,可得a,c的值;(2)由知,需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值,可先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA,進(jìn)而求得cosA,從而本題得解.【解析】(1)由與余弦定理得,得又a+c=6,b=2,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,,由正弦定理得.因?yàn)閍=c,所以A為銳角.所以.因此.5.(2013福建高考文科21)如圖,在等腰直角中, ,點(diǎn)在線段上.( = 1 * ROMAN I)若,求的長;( = 2 * ROMAN II)若點(diǎn)在線段上,且,問:當(dāng)取何值時(shí),的面積最小?并求出面積的最小值.【解題指南】

17、由等腰知,此時(shí),可解;第( = 2 * ROMAN II)問,按“求什么設(shè)什么”列式求解,將面積表達(dá)式寫出,利用三角函數(shù)計(jì)算公式求解?!窘馕觥浚ǎ┰谥?,由余弦定理得,得,解得或()設(shè),在中,由正弦定理,得,所以,同理故因?yàn)椋援?dāng)時(shí),的最大值為,此時(shí)的面積取到最小值即時(shí),的面積的最小值為6.(2013江蘇高考數(shù)學(xué)科T18)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速

18、步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量, ,.(1)求索道AB的長.(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?【解題指南】(1)利用正弦定理確定出AB的長.(2)先設(shè)再建立時(shí)間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關(guān)系式,利用關(guān)系式求最值.(3)利用條件“使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘”建立不等式求解.【解析】(1)在ABC中,因?yàn)閏osA= QUOTE * MERGEFORMAT ,cosC= QUOTE * MERGEFORMAT ,所以sinA= QUOTE * MERGEFORMAT ,sinC= QUOTE * MERGEFORMAT .從而sinB=sin

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