兩角和與差的三角函數(shù)與二倍角公式習(xí)題課課件

1、兩角和與差的三角函數(shù)與二倍角公式習(xí)題課8/8/20221王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第1頁，共70頁。8/8/20222王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第2頁，共70頁。8/8/20223王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第3頁，共70頁。8/8/20224王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第4頁，共70頁。 二倍角公式中的sin2,cos2能否用tan來表示？這三個公式常被稱為“萬能公式” 提示:能. 齊次型！8/8/20225王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第5頁，共70頁。1.cos33cos87+sin33cos177的值為( )(A) (B) (C) (D) 【解析】選B.cos33cos87

2、+sin33cos177=cos33sin3-sin33cos3=sin(3-33)=-sin30= .變結(jié)構(gòu)與湊結(jié)構(gòu)，逆用公式！8/8/20226王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第6頁，共70頁。2.已知tan(+)=3,tan(-)=5,則tan2=（ ）(A) (B) (C) (D)【解析】選D.tan2=tan(+)+(-)變角與湊角！8/8/20227王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第7頁，共70頁。3.如果cos2-cos2=a，則sin(+)sin(-)等于（ ）（A） （B） （C）-a （D）a【解析】選C.sin(+)sin(-)=(sincos+cossin)(sincos-

3、cossin)=sin2cos2-cos2sin2=(1-cos2)cos2-cos2(1-cos2)=cos2-cos2=-a.8/8/20228王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第8頁，共70頁。4.若 則2sin2-cos2=_.【解析】由 得，2+2tan=3-3tan,答案:齊次型！8/8/20229王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第9頁，共70頁。5.化簡： =_.【解析】答案:合一變形！8/8/202210王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第10頁，共70頁。1.兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解(1)正弦公式概括為“正余，余正符號同”“符號同”指的是前面是兩角和，則后面中間為“+”號；前面是

4、兩角差，則后面中間為“-”號.(2)余弦公式概括為“余余，正正符號異”.8/8/202211王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第11頁，共70頁。(3)二倍角公式實(shí)際就是由兩角和公式中令=可得.特別地，對于余弦:cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2，這三個公式各有用處，同等重要，特別是逆用即為“降冪公式”，在考題中常有體現(xiàn).2.弦切互化公式（萬能公式）對于弦切互化 有時也起到簡化解題過程的作用. 8/8/202212王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第12頁，共70頁。 三角函數(shù)式的化簡【例1】化簡下列各式：(1)【審題指導(dǎo)】對于含有根式的三角函數(shù)，化簡一般采用倍角公式轉(zhuǎn)化為完

5、全平方式后開根號，若含有常數(shù)可采用倍角公式將常數(shù)化掉.8/8/202213王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第13頁，共70頁。【自主解答】(1)原式因?yàn)?，所以所以所以原式=-cos.8/8/202214王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第14頁，共70頁。=-2cos4+2(cos4-sin4)=-2sin4.8/8/202215王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第15頁，共70頁?！疽?guī)律方法】三角函數(shù)的給角求值或化簡，所給角往往是非特殊角.解決的基本思路是：8/8/202216王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第16頁，共70頁?！咀兪接?xùn)練】化簡：【解析】原式8/8/202217王山喜-和差倍角三角函數(shù)

6、習(xí)題課第17頁，共70頁。 三角函數(shù)的求值【例2】(2011東城模擬)已知-2cos+sin=0，(, ).(1)求sin(+ );(2)求tan(+ ).【審題指導(dǎo)】由已知結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式可得sin,cos,tan,從而再利用兩角和的公式可得（1）（2）.8/8/202218王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第18頁，共70頁?！咀灾鹘獯稹?1)由-2cos+sin=0即sin=2cos.又sin2+cos2=1得 又(, ),(2)由（1）可得tan=2，8/8/202219王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第19頁，共70頁?！疽?guī)律方法】三角函數(shù)的求值是三角變換中常見題型，它分為非條件求值

7、（特殊的化簡）和條件求值.條件求值中又有給值求值和給值求角，此類問題的關(guān)鍵是把待求角用已知角表示：(1)已知角為兩個時，待求角一般表示為已知角的和與差.(2)已知角為一個時，待求角一般與已知角成“倍”的關(guān)系或“互余互補(bǔ)”關(guān)系.8/8/202220王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第20頁，共70頁。(3)對于角還可以進(jìn)行配湊，常見的配湊技巧有：= =(+)-=-(-)= (+)+(-)，對于給值求角，關(guān)鍵是求該角的某一個三角函數(shù)值，再根據(jù)范圍確定角.8/8/202221王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第21頁，共70頁?！净犹骄俊咳魧⒈纠械姆秶薷臑?0, ),則如何求cos( -2)和sin(

8、 -2)?【解析】由本例可得: 又(0, ),故8/8/202222王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第22頁，共70頁。8/8/202223王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第23頁，共70頁?！咀兪接?xùn)練】已知0 ，且cos(- )= 求cos(+)的值.【解析】0 0)的最小正周期為 (1)求的值；（2）若函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象向右平移 個單位長度得到,求y=g(x)的單調(diào)增區(qū)間.8/8/202233王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第33頁，共70頁。【審題指導(dǎo)】本例可將原函數(shù)平方展開,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式和兩角和與差的逆用化為一個角的一個三角函數(shù)，再利用周期可

9、求，利用圖象變換可求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.8/8/202234王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第34頁，共70頁?！疽?guī)范解答】(1)f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,依題意得 故(2)依題意得由解得故g(x)的單調(diào)增區(qū)間為8/8/202235王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第35頁，共70頁?！疽?guī)律方法】高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為y=Asin(x+ )的形式，再進(jìn)一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性

10、、對稱性等性質(zhì).8/8/202236王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第36頁，共70頁?！咀兪絺溥x】已知f(x)=sin2x(0)的最小正周期為.求函數(shù)f(x)在區(qū)間 上的值域.【解析】= - cos2x，其周期為.=1.f(x)=- cos2x+ .當(dāng)x0, 時，2x0, .cos2x-1,1.f(x)0,1.8/8/202237王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第37頁，共70頁。 兩角和與差及倍角公式解答題的答題技巧【典例】（12分）（2010北京高考）已知函數(shù)f(x)=2cos2x+sin2x.(1)求 的值；(2)求f(x)的最大值和最小值.【審題指導(dǎo)】利用倍角公式展開和同角三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)

11、化求解，也可利用倍角公式逆用轉(zhuǎn)化求解.8/8/202238王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第38頁，共70頁?！疽?guī)范解答】方法一: 4分(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1,xR.cosx-1,1,cos2x0,1，10分當(dāng)cosx=1時,f(x)max=2.當(dāng)cosx=0時，f(x)min=-1. 12分8/8/202239王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第39頁，共70頁。方法二:(1)由f(x)=2cos2x+sin2x得 4分(2)xR,cos2x-1,1. 9分 12分8/8/202240王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第40頁，共70頁?！臼Х志?/p>

12、】本題考查二倍角公式的正用、逆用及其性質(zhì)，屬容易題，掌握好公式是關(guān)鍵，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函數(shù)值記不清，二是運(yùn)算錯誤造成失分.解決此類問題的失分點(diǎn)主要是：1.不能對所給函數(shù)式準(zhǔn)確化簡造成失分.2.求最值或值域問題忽略相應(yīng)變量的取值范圍造成失分.8/8/202241王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第41頁，共70頁?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)=sin2x+ sinxsin(x+ )(0)的最小正周期為.(1)求的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間0， 上的取值范圍.8/8/202242王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第42頁，共70頁。【解析】8/8/202243王山喜-和差倍角三角函數(shù)

13、習(xí)題課第43頁，共70頁。8/8/202244王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第44頁，共70頁。1.(2011福州模擬)將函數(shù) 的圖象向左平移m個單位(m0)，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則m的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】選A.由 向左平移m個單位后得g(x)=2sin(x- +m),若g(x)是偶函數(shù),則m- =k+ (kZ),m=k+ (kZ),mmin= .針對訓(xùn)練！8/8/202245王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第45頁，共70頁。2.(2010陜西高考)對于函數(shù)f(x)=2sinxcosx，下列選項(xiàng)中正確的是( )(A)f(x)在 上是遞增的(B)f(x

14、)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱(C)f(x)的最小正周期為2(D)f(x)的最大值為2【解析】選B.f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增區(qū)間為 kZ且f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，最小正周期T=，f(x)max=1,故選B.針對訓(xùn)練！8/8/202246王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第46頁，共70頁。3.(2011銀川模擬)已知 且sin-cos1,則sin2=（ ）【解析】選A.sin= sin-cos1,cos0,在第二象限，針對訓(xùn)練！8/8/202247王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第47頁，共70頁。4.(2011杭州模擬)函數(shù)y=sinx+ cosx(xR)的值域?yàn)開.【解析

15、】由y=2sin(x+ )得值域?yàn)?2，2.答案:-2,2針對訓(xùn)練！8/8/202248王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第48頁，共70頁。5.(2011南通模擬)滿足 的銳角x=_.【解題提示】利用兩角和的余弦公式的逆用化為一個角的三角函數(shù)后解方程可得.【解析】由題意知即 故 又因?yàn)閤為銳角，故答案:針對訓(xùn)練！8/8/202249王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第49頁，共70頁。一、選擇題(每小題4分，共20分)1.(2011山師大附中模擬)若 則的值為( )【解析】選D.故8/8/202250王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第50頁，共70頁。2.(cos15-cos75)(sin75+sin

16、15)=( )(A) (B) (C) (D)1【解析】選C.原式=(cos15-sin15)(cos15+sin15)=cos215-sin215=cos30= .8/8/202251王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第51頁，共70頁。3.已知 則f()取得最大值時的值是( )(A) (B) (C) (D)8/8/202252王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第52頁，共70頁?！窘馕觥窟xB. 當(dāng) 即 時，函數(shù)f()取得最大值.8/8/202253王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第53頁，共70頁。4.已知函數(shù)y=f(x)sinx的一部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)可以是( )(A)2sinx (B)

17、2cosx (C)-2sinx (D)-2cosx【解析】選D.由圖象可知:f(x)sinx=sin(2x-)=-sin2x=-2sinxcosx,f(x)可以是-2cosx.8/8/202254王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第54頁，共70頁。5.(2011杭州模擬)已知 且x,y為銳角，則tan(x-y)=( )【解題提示】解答本題的關(guān)鍵是利用已知條件求出cos(x-y)的值，然后結(jié)合x,y的范圍及同角三角函數(shù)關(guān)系式求出相應(yīng)的值.8/8/202255王山喜-和差倍角三角函數(shù)習(xí)題課第55頁，共70頁?！窘馕觥窟xB.由兩邊平方得 由 兩邊平方得 +得 且x0,x為月份）的模型波動,已知3月份達(dá)最高價8千元，7月份價格最低為4千元.該商品每件的售價為g(x)(x為月份)且滿足