生活中的優(yōu)化問(wèn)題

1、第三講生活中的優(yōu)化問(wèn)題知識(shí)盤(pán)點(diǎn) 知識(shí)梳理 生活中常遇到求利潤(rùn)，用料，效率等一些實(shí)際問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為。利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：分析實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定。求函數(shù)yf ( x) 的，解方程，得出定義域內(nèi)的實(shí)根， 確定。比較函數(shù)在和的函數(shù)值的大小，獲得所求函數(shù)的最大（?。?值。還原到原實(shí)際問(wèn)題中作答。特別提醒利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于要建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（即函數(shù)關(guān)系），如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使得f ( x)0 的情形，此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大（?。┲担敲纯刹慌c區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，也可以知識(shí)這一點(diǎn)即為最大（?。┲迭c(diǎn)

2、。實(shí)際應(yīng)用中準(zhǔn)確地列出函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域是求解的關(guān)鍵。 基礎(chǔ)闖關(guān) 1將 8 分為兩個(gè)數(shù)之和，使兩數(shù)的立方和最小，則這兩個(gè)數(shù)可分為（）A 2 和 6B 4 和 4C 3 和 5D以上都不對(duì)2（ 2022 年山東臨沂）某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買(mǎi)了一批毫華大客車投入運(yùn)營(yíng)，據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車運(yùn)營(yíng)的總利潤(rùn)為y （萬(wàn)元）與運(yùn)營(yíng)年數(shù)x( xN) 滿足二次函數(shù)( x6) 211 ，則每輛客車運(yùn)營(yíng)多少年報(bào)廢，才能使其運(yùn)營(yíng)年平均利潤(rùn)最大？（）A 3B 5C7D 10設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V ，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為（）A 3 VB 3 2VC 3 4VD 23 V以長(zhǎng)為10 的線段 AB

3、為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為（）A 10B 15C 25D 50某工廠需要圍建一個(gè)面積為512m 2 的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以處用原有的墻壁，其它三面需要砌新的墻壁。當(dāng)砌墻壁所用的材料最省時(shí)，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為。某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150 件的訂購(gòu)合同，每?jī)r(jià)的售價(jià)為200 元，對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同，每超過(guò)1 件，則每件的售價(jià)比原來(lái)減少1 元.那么訂購(gòu)件的合同會(huì)使公司的收益最大. 典例精析 例 1某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k (k0) ，貸款的利率為%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當(dāng)存款利率定為多少時(shí)，銀行

4、可獲取最大收益？剖析 銀行收益 =貸款收益存款利息，故可設(shè)出存款利率，將銀行收益表示為利率的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.解設(shè)存款利息為x ，則應(yīng)用x(0,0.048)，依題意：存款量是kx2 ，銀行應(yīng)支付的利息是 kx3 ，貸款的收益是0.048kx2 ，所以銀行的收益是y0.048kx2kx3 。由于 y0.096kx3kx2 ， 令 y0 ，得 x0.032 或 x0（舍去），又當(dāng) 0 x0.032 時(shí)，y0 ；當(dāng) 0.032x0.096 時(shí)， y0 ，所以當(dāng) x0.032 時(shí)， y 取得最大值，即當(dāng)存款利率定為3.2% 時(shí)，銀行可獲得最大利潤(rùn)。警示 生活中的許多優(yōu)化問(wèn)題， 往往可以

5、歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值的問(wèn)題， 在利用導(dǎo)數(shù)解決這類優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，其一般步驟是： (1) 設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗浚⒋_定未知量的取值范圍( 即函數(shù)的定義域 )； (2) 依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)； (3)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 令導(dǎo)數(shù)為 0，得到導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)； (4) 通過(guò)單調(diào)性確定出函數(shù)的最值點(diǎn)及最值， 并解決實(shí)際問(wèn)題。變式訓(xùn)練 ：1（ 2022 年福建卷）統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量 y （升）關(guān)于行駛速度 x （千米 /小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：y1x33x8(0 x120). 已知甲、乙兩地相距100 千米。12800080（I）當(dāng)汽車以40 千米 /

6、小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？（II ）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？例 2某公司是一家專做產(chǎn)品 A的國(guó)內(nèi)外銷售的企業(yè)，每一批產(chǎn)品 A 上市銷售 40 天內(nèi)全部售完。該公司對(duì)第一批產(chǎn)品 A上市后的國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查， 調(diào)查結(jié)果如圖一、圖二、圖三所示，其中圖一中的折線表示的是國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖二中的拋物線表示國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系； 圖三中的折線表示的是每件產(chǎn)品 A 的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系（國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)相同） 。（）分別寫(xiě)出國(guó)外市場(chǎng)的日銷售量市時(shí)間 t 的關(guān)系式；f (t ) 、國(guó)內(nèi)市場(chǎng)的日銷售

7、量g(t) 與第一批產(chǎn)品A 的上（）第一批產(chǎn)品 A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過(guò) 6300 萬(wàn)元？剖析 本題給出的是隨著時(shí)間 t 的不同，對(duì)應(yīng)的日銷售量 y 的函數(shù)圖象也不相同的問(wèn)題， 因此需要建立的函數(shù)解析式應(yīng)為一個(gè)分段函數(shù)的形式， 應(yīng)針對(duì)自變量 x 的取值不同分別求出其最大值，然后再進(jìn)行比較。解解：（）f (t )2t(0t6t240(30t30)40)，g(t)3 t 2206t（ 0t40 ）；（）設(shè)每件產(chǎn)品A 的銷售利潤(rùn)為q( t ) ，則q(t )3t(0t20)，從而這家公司的日60(20t40)銷售利潤(rùn)Q(t) 的解析式為20Q(t)q(t ) f (t )g(t )

8、9t 2480t(20t30)9t 214400(30t40)9 t 324t 2(0t20)(II)當(dāng) 0t20 時(shí)，Q (t)t( 27t2048)020Q(t)在區(qū)間 0 , 20 上單調(diào)遞增，從而Q( t)Q (20)60006300 ；當(dāng) 20t30 時(shí)，由Q(t)630070t303t24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ；當(dāng) 30t40 時(shí)，Q( t)Q (30)6300 .綜上所述， 第一批產(chǎn)品A 上市后， 在第 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 天，這家公司的日銷售利潤(rùn)超過(guò) 6300 萬(wàn)元警示 對(duì)于分段函數(shù)的問(wèn)題，應(yīng)該對(duì)于自變量分段進(jìn)行

9、考慮，對(duì)于每一段考慮其最值的情況，然后再將這幾段的最值情況綜合起來(lái)進(jìn)行比較。變式訓(xùn)練某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用， 據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線。寫(xiě)出服藥后y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t) ；據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，治療疾病有效。求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？當(dāng) t=5 時(shí)，第二次服藥，問(wèn)t15,516時(shí)，藥效是否連續(xù)？例 3（ 2022 年江蘇卷）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m 的正六棱錐（如右圖O所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O 到底面中

10、心篷的體積最大？O1 的距離為多少時(shí)，帳剖析本題可設(shè)OO1 的長(zhǎng)度為變量x ，根據(jù)題意建立V 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求最值。解 設(shè) OO 1 為 x m ，則 1xO14 ,由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：32( x1) 282xx 2 ，（單位： m ）故底面正六邊形的面積為：63(482xx2 )2 = 33(82 x2x2 ) ，（單位：m2 ）帳篷的體積為：V（x） 33 3 (82x22x2 ) 1 ( x1)133 (16212xx3 ) （單位：m3 ）求導(dǎo)得 V（x）(1223 x ) 。令 V（x） 0 ，解得 x2 （不合題意，舍去） ， x2 ，當(dāng)1x2 時(shí)，V

11、（x） 0 ， V（ x）為增函數(shù)；當(dāng) 2x4 時(shí)，V（x） 0，V（x）為減函數(shù)。當(dāng) x時(shí)，V（x）最大。答：當(dāng) OO 1 為 2 m 時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為163m3 。警示 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系），如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f（x）=0，此時(shí)函數(shù)在這點(diǎn)有極大（小）值，那么不與端點(diǎn)比較，也可以知道這就是最大（?。┲?變式訓(xùn)練用總長(zhǎng) 14.8 m 的鋼條作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng) 0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大?并求出它的最大容積.例 4某地政府為科技興市,欲將如圖所示的一塊不規(guī)則的非農(nóng)業(yè)用C地建成一

12、個(gè)矩形的高科技工業(yè)區(qū). 已知ABBC , OA / BC ,且ABBC2AO4km,曲線段 OC 是以點(diǎn) O 為頂點(diǎn)且開(kāi)口向右O的拋物線的一段,如果要使矩形的相鄰兩邊分別落在AB, BC 上,且一個(gè)頂點(diǎn)落在曲線段OC 上,問(wèn)應(yīng)如何規(guī)劃才能使矩形工業(yè)園區(qū)的用地面積最大 ?并求出最大的用地面積(精確到此km2 .AB剖析 矩形工業(yè)園的用地面積與它落在拋物線段OC 上的具體位置有關(guān)， 因此應(yīng)設(shè)法將落在OC 上的點(diǎn)用一個(gè)變量來(lái)表示出來(lái)，然后用這一變量表示矩形工業(yè)園的用地面積，而要設(shè)出相應(yīng)的變量，則應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系。解以 O 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 所在的直線為y 軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示） ，依題意

13、可設(shè)拋物線為y22 px( py0) 且 C（4,2）.PC222 p 4,p1 ，故所設(shè)拋物線方程為2y 2x(0Nx4) .O設(shè) P(x,x )(0 x4)是曲線段OC上的任意一點(diǎn)，則在矩形xPQBN中， | PQ |2x ,| PN |4x ，所以工業(yè)區(qū)的面積為1AQBS| PQ | | PN |(2x )(4x)x 22 x4 x 28 ，31111Sx 2222 x2 ，令 S0 ，得3 x22x 20 ，111即 3x4 x240,(3 x22)(3 x 22)0,x4 。9故當(dāng) x40,) 時(shí)， S 90, S 是關(guān)于 x 的增函數(shù)；當(dāng)4xx,494時(shí)， S0, S 是關(guān)于的減函

14、數(shù)，832x時(shí)， S 取得最大值，此時(shí)| PQ |2x,| PN |4x939所以 S8322569.5,3927Smax9.5( km2 ).因此，把工業(yè)園規(guī)劃成長(zhǎng)為為329km, 寬為 8 km 的矩形， 工業(yè)園的面積最大，最大面積約為39.5km2.警示 本題的關(guān)鍵首先在于建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，得到曲線段的方程，然后才能建立面積的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。其還要注意， 在利用導(dǎo)數(shù)求解生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到下述情況：所給函數(shù)在給定的區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值點(diǎn)也是函數(shù)在該區(qū)間上的最 值點(diǎn)，據(jù)此可求得函數(shù)的最值，從而使優(yōu)化問(wèn)題得以解決。變式訓(xùn)練甲方是一農(nóng)場(chǎng)，乙方是一工廠.由于乙方生產(chǎn)須

15、占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補(bǔ)經(jīng)濟(jì)損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤(rùn)x（元）與年產(chǎn)量t（噸） 滿足函數(shù)關(guān)系x2000t . 若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方s 元（以下稱 s 為賠付價(jià)格） ，將乙方的年利潤(rùn)w（元）表示為年產(chǎn)量t （噸）的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤(rùn)的年產(chǎn)量；甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟(jì)損失金額y0 .002t 2 （元），在乙方按照獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應(yīng)向乙方要求的賠付價(jià)格s是多少？例 5甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km 的 B

16、處，乙廠到河岸的垂足D 與 A 相距 50 km ，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站 C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a 元和 5a 元，問(wèn)供水站C 建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？剖析本題難點(diǎn)是如何把實(shí)際問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式.技巧與方法主要有： 根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變化，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系.解 解法一：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C 在線段 AD 上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C 點(diǎn)距 D 點(diǎn) x km,則 BD=40,AC =50 x, BC=BD 2CD 2x2402又設(shè)總的水管費(fèi)

17、用為y 元，依題意有：y=30(5 a x)+5 a5axx 2402(0 x 50)y=3a+x 2402,令 y =解0,得 x=30在(0,50) 上， y 只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在 x=30(km) 處取得最小值，此時(shí)AC=50 x=20(km)供水站建在A、 D 之間距甲廠20 km 處，可使水管費(fèi)用最省.解法二：設(shè)BCD=,則 BC=40,CD = 40 cotsin, ( 0) ,AC25040cot設(shè)總的水管費(fèi)用為f(), 依題意，有f()=3a(50 40cot)+5 a40=150a+40asin53cos sin f()=40 a(53cos)sin(

18、5sin23cos) (sin)40a35cos sin2令 f()=0, 得 cos= 3,5根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cos=3 時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)sin=54 cot=,3 54AC =50 40cot=20(km), 即供水站建在A、D 之間距甲廠20 km 處，可使水管費(fèi)用最省.警示 解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù). 把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化，形式化，抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解（尤其要注意使用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化的問(wèn)題）。變式訓(xùn)練一火車鍋爐每小時(shí)消耗煤的費(fèi)用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)速

19、度為每小時(shí)20 千米時(shí)，每小時(shí)消耗的煤的費(fèi)用為40 元，至于其它費(fèi)用則每小時(shí)需要200 元，問(wèn)火車的速度多大才能使火車從甲城開(kāi)往乙城的總費(fèi)用最?。ㄒ阎疖嚨淖罡咚俣葹槊啃r(shí)100 千米）？例 6（ 2022 年山東濟(jì)寧一中）A 、B 兩隊(duì)進(jìn)行某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的比賽，以勝三次的一方為冠軍，設(shè)在每次比賽中A 勝的概率為p ， B 勝的概率為q( pq1, p0.q0) ，又 A 得冠軍的概率為 P，冠軍的概率為Q，決定冠軍隊(duì)的比賽次數(shù)為N.（ 1）求使 P p 為最大的p 值；（ 2）求使 N 的期望值為最大的p 值及期望值。剖析 可設(shè) P 看作是關(guān)于p 的函數(shù)， 得出 Pf ( p) 的函數(shù)關(guān)系， 再利

20、用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求最大值，這里需要注意p(0,1) .解（ 1）要決定冠軍隊(duì)，至少需要比賽三次，最多需要比賽5 次。如果比賽3 次 A 獲冠軍， A 需連勝三次，其獲冠軍的概率為p 3；如果比賽 4 次 A 獲冠軍，前三次有一次B 勝，其余三次 A 勝，A 獲冠軍的概率為C1qp33 p3 q.3如果比賽5 次A獲冠軍，前四次有兩次B 勝，其余三次A勝， A獲冠軍的概率為4C 2 q2 p36 p3q2 .故 Pp 33p 2q6 p3 q2 .于是Ppp33 p3 q6 p3q2pf ( p).將 q1p 代入整理得f ( p)6 p515 p410 p3p(0p1).令 f ( p)30p 2

21、(1p)2130 p(1p)1 p(1p)10.3030即P2p10,解得 P1 (114), p1 (114).1230230230當(dāng) 0pp1 時(shí)，f ( p)0;當(dāng)p1pp2時(shí), f( p)0;當(dāng)p2p1時(shí), f( p)0. 又lim f ( p)0,lim f ( p)0,故當(dāng) p= 1 (114)時(shí), f ( p)Pp最大.p 0p 1230（ 2）隨機(jī)變量N 的概率分布為N345Qp3q33p3q3q3 p6 p3 q26q3 p2則 E (N )3( p3q3 )4(3p3q3q3 p)(6 q3 p2 )6 p2 q23 pq31 2216( pq).pq 211 221334

22、8而pq(), 所以E (N )6 (), 24288這時(shí)， p1 .2警示 此題將導(dǎo)數(shù)與概率、期望與方差結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考查，像這種將知識(shí)點(diǎn)綜合起來(lái)考查的問(wèn)題，是今后高考命題的主要方向，需要重點(diǎn)掌握。變式訓(xùn)練在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x 單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x)，出售 x 單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x) ，將R(x)C( x) 稱為是利潤(rùn)函數(shù)，并記作P( x) .如果最低？C( x)106 x30.003x25x1000，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本C (x)如果潤(rùn)最大？C( x)50 x1000 ，產(chǎn)品的單價(jià)p1000.01x ，那么怎樣定價(jià)可使獲得的利1.(2006 湖北

23、黃岡 ) 設(shè)氣球以每秒 能力提升 100cm3的常速注入氣體，假設(shè)氣體壓力不變，那么當(dāng)氣球半徑為 10cm時(shí)，氣球半徑增加的速度為()1112cm / sB.cm / sC.cm / sD.cm/ s423內(nèi)接于半徑為5 的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)為（）A 5 和 15B 5 和 45C 4 和 7D 以上都不對(duì)22某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng) 1= x 2 和 L2 =2 x， 其中 x 為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15 輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為（）A 萬(wàn)元B 萬(wàn)元C萬(wàn)元D萬(wàn)元某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000 元，每生產(chǎn)1 件正品，

24、可獲利200 元，每生產(chǎn)1件 次 品 損 失100元 。 已 知 總 收 益 P 與 年 產(chǎn) 量 x （ 件 ） 的 函 數(shù) 關(guān) 系 是400 x1 x2 (0 x400)R( x)280000( x400)，則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年應(yīng)生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）A 100B 150C 200D 3005. （2006年江蘇啟東）用邊長(zhǎng)為 45cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四各截去一個(gè)面積相等的小正方形然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，若所做的鐵盒容積最大， 則在四角截去的小正方形的邊長(zhǎng)為()A.6B.8C.10D.12強(qiáng)度分別為a8,b1 的兩個(gè)光源A 、B 間的距離為d3 ，在連結(jié)兩光源的線

25、段AB 上，距光源 A 為點(diǎn)處照明強(qiáng)度最小 （照明強(qiáng)度與光強(qiáng)度成正比， 與光源距離的平方成反比）。在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r ，電動(dòng)勢(shì)為E.當(dāng)外電阻 R 為時(shí)，才能使電功率最大，最大值為。R某廠生產(chǎn)某種電子元件，如果生產(chǎn)出1 件正品， 可獲利 200 元，生產(chǎn)出 1 件次品則要損失100 元。已知該廠制造電子元件過(guò)程中次品率P 與生產(chǎn)量 x （件）的函數(shù)關(guān)系是P3x( xN) ，為了獲得最大利潤(rùn)， 該廠的日生產(chǎn)量應(yīng)定為件。4x3222某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x 件的總成本c(x)1200 x （萬(wàn)元），已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)75品件數(shù) x 成反比，生產(chǎn)100 件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50 萬(wàn)元，

26、則產(chǎn)量定為件時(shí)總利潤(rùn)最大。10（ 2022 年山東東營(yíng)）一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10 公里時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6 元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96 元，問(wèn)此輪船以何種速度航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最?。咳鐖D ,把邊長(zhǎng)為a 的正六邊形紙板剪去相同的六個(gè)角，做成一個(gè)底面為正六邊形的無(wú)蓋直六棱柱的盒子(不計(jì)接縫 ),要使所做成的盒子體積最大，問(wèn)如何裁剪？AC DBaO煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵千成環(huán)境污染， 已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比?，F(xiàn)有 A、 B 兩座煙囪相距 20km ， 其中 B 煙

27、囪噴出的煙塵量是 A 煙囪噴出煙塵量的 8 倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn) C， 使該點(diǎn)的煙塵濃度最低。一選擇題 仿真訓(xùn)練 1 f( x)與 g( x)是定義在 R 上的可導(dǎo)函數(shù)，則f ( x)g ( x) 是f (x)g ( x) 的（）A 充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件2（ 2022 年四川卷）曲線y4 xx3 在點(diǎn)1,3 處的切線方程是（）y7x4y7 x2yx4yx23曲線 y=x3+3x2+6x10 的切線中，斜率最小的切線方程是（）+y 10=0 y 11=0=1D. 不 存 在 4函數(shù) y=ax2+c 在區(qū)間 (0,+ 內(nèi))單調(diào)遞增，則a、c 應(yīng)滿

28、足（） 0 且 c=0 0 且 c 是任意數(shù) 0 且 c0D. a 0 且 c 是任意實(shí)數(shù)函數(shù) f(x)= x3ax2bx+a2 在 x=1 時(shí),有極值 10,則 a、 b 的值為a3,a4或b3b11a b4,a- 4或1b11a1D. 以上皆錯(cuò)b56（ 2022 年?yáng)|營(yíng)）設(shè)函數(shù)f(x) 在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x) 的圖象如圖1 所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為（）yyyyyOxOxOxOxOx圖 1ABCD7已知f(x)=2 x3 6x2+a(a 是常數(shù) )在 2， 2上有極大值是B. 11C. 293，那么在（D. 372， 2上）f(x)的最小值是A. 58拋物線y 22 x 與直線 yx4 所圍起的面積為（）16A 3B. 183C. 18x9設(shè)函數(shù)y0(1t )dt 有極值，則極值點(diǎn)為().A x1.B. x2C. (1,)21D. (2,1)10（ 2022 年海淀區(qū)）函數(shù)y= xsinx+cosx 在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（）A.（ , 3）B.（ ,2 ）C.（ 3,5）D.（ 2,3 ）222211（2022 年山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知f ( x)2 x 36 x 2m（m 為常數(shù)）在 2，2 上有最大值 3，那么此函數(shù)