超導(dǎo)電子學(xué)作業(yè)mg

1、超導(dǎo)電子學(xué)試題2( )60.07MG03029621)可以使用任何工具書、參考文獻，但要獨立完成，不得互相教師?；蛘埥谈吣昙壍膶W(xué)生和2)請在12時之前交來。逾期不交的以處理。一、（共 20 分）設(shè)超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度、電場強度、磁場強度和磁場深度分別為 J ，E ，H 和 。已知描述其中電動力學(xué)性質(zhì)的方程式是方程組和下列兩個倫敦方程： JE2t J H2設(shè) 超 導(dǎo) 體 為 無 限 大 ， 在 考 慮 其 中 沿z軸的TM模exp j(kz t)(Hx Hz Ey 0) ，并設(shè)場分量與電磁場可以表示為：Ex exp(Kx) exp(Kx)y方向無關(guān)。證明超導(dǎo)體內(nèi)的E j A exp(Kx) exp

2、(Kx)zk kBexp(Kx) exp(Kx)Hy式中：和 是任意常數(shù)，而1 2K 2 k 2 2 A K1B 1 2 2證明：由方程組 D H 0BtE Et H J 和倫敦方程 JE2tH J21 E ( )E 0222得12 H ( 2 )H 02考慮到電磁波沿軸方向，且場分量與 y 方向無關(guān)所以，波函數(shù)應(yīng)滿足 h(Kx)e jkz又由于超導(dǎo)體無限大滿足邊界條件的解應(yīng)為h(Kx) A1 exp(Kx)A2 exp( Kx)1其中 K 2 k 2 2 02令 Ex exp( Kx) exp(Kx)其中 ， 為任意常數(shù)由于超導(dǎo)體內(nèi)電荷，由定理Ey ExEzE 0 xyz即 K exp(Kx

3、) exp(Kx) jkEz 0j exp(K ) exp(Kx)Ez kB由感應(yīng)定理 E t 得Ex Ez jHzxyk 2 K 2k1 exp(Kx) exp(Kx)1 解得 HEyxk 22 綜上所述，超導(dǎo)體內(nèi)的電磁場為Ex exp( Kx) exp(Kx)jEz exp(K ) exp(Kx)kk exp( K ) exp(Kx)H y 式中， 為任意常數(shù)1 2K 2 k 2 2 A K1B 1 2 2二、(共 40 分)解釋下列名詞，并回答相應(yīng)：1)2)3)超導(dǎo)電子對(5 分)；超導(dǎo)弱連接(5 分)； 超導(dǎo)弱連接有哪幾種類型？(10 分)遜效應(yīng)(5 分)；描述遜效應(yīng)有哪幾個基本方程？

4、(15 分)解：1)在 BCS理論中超導(dǎo)電子對以“D 薄對”為名，在空間中面附近層內(nèi)的電子由于兩電子間的凈吸引作用吸收和聲子能量，發(fā)生“凝聚”，即形成態(tài)，兩兩結(jié)反向。電子對，稱為對。這兩個電子動量等值反向，自旋2)超導(dǎo)弱連接是指當(dāng)兩塊超導(dǎo)體處在某種靠得很近的狀態(tài)下時，超導(dǎo)體之間存在某種弱耦合，它們的位相既不完全相同，又不彼此獨立，而是維持一定的關(guān)系。之所以會弱耦合是因為對有可能通過隧道效應(yīng)從超導(dǎo)體 1轉(zhuǎn)移到超導(dǎo)體 2，也可以從超導(dǎo)體 2轉(zhuǎn)移到 1，轉(zhuǎn)移只有很小的幾率，這樣就形成了弱耦合。超導(dǎo)弱連接基本上分成兩類：由交叉膜組成的結(jié)，統(tǒng)稱 Josephson結(jié)，特點是結(jié)有較大的電容和電阻，并需考慮

5、電感，可以把它等效為一個理想的 Josephson結(jié)與電阻、電容并聯(lián)，與電感串聯(lián)。超導(dǎo)微橋和點接觸，特點是電容很小，可以忽略，尺寸很小，即L J ，因而各種在平面結(jié)上變化的物理量都可以略去不計。但由于它們是窄結(jié)，故其上流過的電流密度很大，以致出現(xiàn)其他新的物理效應(yīng)。遜效應(yīng)分為 d.Josephson.c效應(yīng)和 .c.Josephsona效應(yīng)。隧道結(jié)的一個能夠通過直流超流電流的現(xiàn)象稱為 d.c.Josephson效應(yīng)；a.c.Josephson效應(yīng)是位壘兩側(cè)的位相隨時間變化的效應(yīng)。描述 i)遜效應(yīng)的基本方程有：遜方程其中， 1 、 2 分別是超導(dǎo)體 1、2的對密度， v1 、v2 分別是超導(dǎo)體 1

6、、2中對的共同位相，與位置無關(guān)，所有對有同樣的能量 ，K是表征兩所有塊超導(dǎo)體之間耦合程度的量，取決于轉(zhuǎn)移幾率的大小。i)假設(shè)超導(dǎo)體 1和 2是同種材料，則為：，描述隧道結(jié)行為的公式其中，是超導(dǎo)體 2和 1之間的位相差，jc 是臨界電流密度，是通過勢壘層面積的超電流，它的方向為勢壘層的法線方向，是超導(dǎo)體 1和 之2 間存在的電勢差。磁場中的位相差 依賴于坐標(biāo)的微分方程i) 2ed Hxy 2ed Hxy其中，Hx 和 Hy 是磁場的切向分量，僅存在于寬度為 d的區(qū)域，磁場存在的寬度d t 2 (t為存在磁場的區(qū)域厚度，iv)有關(guān) 的偏微分方程 為超導(dǎo)體的深度)。式中，c是勢壘層面積的有效電容，g

7、是電導(dǎo)，一般說來是V 的函數(shù)，但是在大多數(shù)情形下，電導(dǎo)可簡化為與電勢差 V無關(guān)的某個給定常數(shù)， jc 是臨界電流密度。 j 稱為遜深度，若超導(dǎo)結(jié)的尺寸遠小于 j ，超電流密度在超導(dǎo)結(jié)中是均勻分布的；反之，若超導(dǎo)結(jié)的尺寸遠大于 j ，超電流僅在結(jié)的邊緣，當(dāng)離開超導(dǎo)結(jié)邊界的距離達到 j 逐漸深入結(jié)的時，超電流將急驟減少而趨向于零。三.（20分）已知約遜結(jié)可以用圖示的等效電路模型(RCSJ)表示，而饋至結(jié)內(nèi)的直流電流是 Idc ，結(jié)兩端的電壓是 V。IdcJV IcsinRC1（) 5分）寫出結(jié)的耦合能、由外電源輸入的能量、電容器的儲能和系統(tǒng)的總能量；U ( ) (cos2)（5分）用勢能) 表示描

8、述該系統(tǒng)的運動方程；cIdcIcU 。在 x 3) （10分）討論勢能的極點，以及與相鄰極點所對應(yīng)的勢能差小於 1但十分接近於 1 時，寫出U 與 x 之間的關(guān)係式。解：1 Jsoephson結(jié)的耦合能：v 0 d ,其中h ； I I sin0C2 dt2etEVIdt Et (1 cos) 0 ICCc耦合耦合222dt000外電源輸入的能量：tEVItdt 0 I輸入dcdc2dc2dc2dt000電容儲能：E 1 CV 2 1 C（ 0 ）2（d )2dt電容222系統(tǒng)總能量： E 0 I (1 cos) 1 C( 0 )2 ( d )2E E總耦合電容2c22dt2 電阻消耗的能量：

9、t V 21dd 1t00Edt () dt d2220 )(0 )電阻R2dtR2dtR0由能量守恒得：E輸入 E耦合 E電容 E電阻1 ( 0 )2 d dd )2 dt0 2 0 ）2（2dc2c2R2dt1 C（0 I (1 cos)2R22dc2c2dtdt0兩邊對 求導(dǎo)： 0 (I I cos I )C( dtd2R22dcccdt2和力學(xué)系統(tǒng)的運動方程做比較： x, C ( 0 (I I cos I ) U ( x)dccc2R22d 2 xdxdm U (x)dt 2dtdxX為位移，m為質(zhì)量， 為阻尼系數(shù)，U (x) 為勢能。因此，可以定義U () 0 (I I cos I

10、) 為系統(tǒng)的勢能，變換零勢點并歸dccc2一化后，：U () (cos Idc )Ic系統(tǒng)的運動方程為：C d 1 2d d I cos 00dcI2 dt 2RI2dtd Iccc3 令 x Idc ，IcU () (cos x)U () 曲線如下圖：令U () sin x 0 ，當(dāng)0 x 1時， sin1 x 2k , sin1 x 2k | k Z這些點即為勢能U () 的極點。相鄰極點所對應(yīng)的勢能差U ：U U ( sin1 x) U (sin1當(dāng)0 x 1時， U (x) x 曲線如下圖所示：)令 sin1 x ，則 x sin ，因0 x 1，故0 ，2U 2 1) 2 cos (

11、 2當(dāng) x Idc 1 時， ， U ( ) 在 點展開得： 2 I2c3U (保留到 3階無窮小，得：3U (則3U ()3又cos1 x 1limx12(1 x)則3(1 x) 24 2U ()3 3U (x) x 曲線以及由近似關(guān)系式所得的曲線如下圖：可見，由近似關(guān)系式所得的曲線和準(zhǔn)確解相差不大，尤其當(dāng) x Idc 1 時，近Ic3(1 x) 2 更接近于準(zhǔn)確解?？紤]到勢能4 2。其中，近似關(guān)系式U (x) 于3U () 經(jīng)過了歸一化，3IU ( dc 1Ic實際上，在0 x 1范圍內(nèi)，用上式近似，誤差均可接受。四、（20 分）假設(shè)有許多超導(dǎo)層和絕緣層交替重迭，一種多層結(jié)構(gòu)。其中第i 層

12、超導(dǎo)體的厚度是ti ，倫敦深度是i ，第 i-1 層超導(dǎo)體的相應(yīng)量是ti1 和i1 ，而其間的勢壘層厚度是di,i1 (見圖)。在這一勢壘層中的磁感應(yīng)強度是 Bi,i1 ，兩側(cè)u超導(dǎo)體中的表面電流分別是 J 和 J。已知各超導(dǎo)層的厚度都小于相對應(yīng)的倫敦ii1深度。如果第 i 層和 i-1 層超導(dǎo)體的波函數(shù)的相位差是i,i1 ，試證明 i,i1 d B S BSBi,i1ii1,ii1i1,i 22exi ,i1ti) coth( ti 1 ) d coth(d 其中i ,i1ii1i ,i1i1iiS itsinh()iiti1i1Bi1,iztiiJ ixydBi,i1i,i1J uti1i

13、1i1Bi 1,i 2ti2i 22 B 1 2B 和 B 與 J 的關(guān)系)。(提示：沿圖路積分；利用 z2證明：設(shè)第 i 層超導(dǎo)層的矢量勢為 Ai ，第 i 層超導(dǎo)層的波函數(shù)的位相為i ，則由Ginzburg-Landau 方程可以得到第 i 層超導(dǎo)層電流密度和波函數(shù)位相的關(guān)系：(1)在這里設(shè)定為低磁場情況，超導(dǎo)層的性質(zhì)僅由其波函數(shù)位相決定，因此磁通量子的正常芯僅能以Josephson 渦旋形式存在于絕緣層中，不考慮其情況。第 i 層和 i-1 層超導(dǎo)層之間的規(guī)范不變位相差可以表示為：進入超導(dǎo)層2e Q 2 i,i 1 (x) i1 A d l(2)Q1這里設(shè)定超導(dǎo)層沿著 z 軸方向位相保持

14、不變。因為沿 z 軸方向的電流密度與 Josephson 電流密度在同一個數(shù)量級，而沿 x 軸方向的電流密度與超導(dǎo)層本身的電流密度相當(dāng)。在通常情況下，前者要比后者小得多，因此超導(dǎo)層沿 z 軸方向位相變化可以忽略不計。2 P2 P1 Q1 ，則穿過區(qū)域Q1Q2P2P1 的磁將圖中所示的回路標(biāo)為通可以表示為：Q2P2P1Q1 BdS A dl Adz Adx Adz A dx(3)i,i1zxzxP2P12由式(2)可推出：(4a)(4b)由式(1)可推出： i dxA dx 2 2 J PP20 ii2e x 2 P2P22= 20 iP2 J(Q) 20 iiiQ2(5a)i1 P1 A dx

15、 P J12dx0 i1i12e x P11P1= 20 i1P1 J(Q) 20 i1i1i 1Q1(5b)將式(4)、(5)帶入式(3)得：BdS PQ1 J(P) (Q) 2J dx 22dxi ,i1i ,i1i,i10 i1i10 ii2eQP21由上式：i,i1 (Q)Q2e 22e 2 2e0 i 0 i 1udBJJi1i,i1 i,i1i(6)u其中， J 和 J分別代表第i層超導(dǎo)層下邊緣和第 i-1層超導(dǎo)層上邊緣的電流密度。i1i又因為勢壘層中y 方向的磁感應(yīng)強度滿足方程：該方程有解：假定超導(dǎo)層和勢壘層邊界磁場連續(xù)，上述方程滿足邊界條件：和由邊界條件而得到系數(shù)B1、B2 分

16、別為：和根據(jù)Maxwell方程：，可以得到：B11Jx Bz=ti-1u x zi 1200z=ti-1 2 1t2B e-t2x Bei-1i1i-1i112 0 i1因此，J u 1Bi 1,i2 Bi,i1 cosh(ti-1 i1 )(7a)i 1 sinh( t)0 i1i-1i1同理， 1Bi,i1 cosh(ti i ) Bi1,i J (7b)i sinh( t )0 iii將式(7)代入式(6)：i,i1 d B S BSBi,i1ii1,ii1 i1,i22exi ,i1ti 1i coth( ) coth()tid d 其中，i ,i 1i 1i ,i1i 1iisinh

17、( tiS i)i五、(20 分)簡要QUID 和 RF-SQUID 的基本原理(每一部份的字數(shù)不得超過 400 字，但要把最關(guān)鍵的部份說清楚)。解：即超導(dǎo)量子器件。即直流超導(dǎo)量子器件，簡稱直流器件。其等效電路如圖3.2.6所示。兩個弱連接超導(dǎo)體用超導(dǎo)線并聯(lián)起來，再通上適當(dāng)?shù)闹绷麟娏?。其中的弱連接超導(dǎo)體可以是點接觸結(jié)、超導(dǎo)微橋或隧道結(jié)。QUID 就是一種磁通檢測器。對于一給定的QUID，Ic 是外加磁場穿過器件環(huán)孔的磁通量e 的周期性函數(shù)，周期恰為磁通量子0 。Ic 的最大值 I出現(xiàn)在 n 處，最小值 I出現(xiàn)在 (n 1 ) 處， n 0,1, 2.。c maxe0c mine02Ic Ic

18、max Ic min 表示磁場對臨界電流的調(diào)制程度，稱電流調(diào)制深度，通常是微安量級的。磁場對臨界電流的調(diào)制作用，表現(xiàn)為外磁場和QUID 的輸出電壓的關(guān)系。給器件輸入一恒定的偏置電流 Ib IbIc max 后，器件兩端電壓 V 也是磁通量e 的周期性函數(shù)。當(dāng)e 變化時， Ic 隨之變化，伏安曲線的V0 部分也跟著變化。電壓最大值和最小值分別出現(xiàn)在 (n 1 ) 和 n 處。e0e02V Vmax Vmin 表示磁場對電壓的調(diào)制程度，叫做電壓調(diào)制深度。當(dāng) Ib Ic max 時，V 最大；當(dāng) Ib 很大或很小時， V 為零。輸出電壓 V 對于外磁通量e 的變化率 V是一個重要參數(shù)，叫做器件的傳輸函數(shù)，可由伏安特性曲線上求得。 e IbRF-SQUID 即射頻超導(dǎo)量子器件。其部分是由一個遜結(jié)和超結(jié)應(yīng)該導(dǎo)體連成的閉合環(huán)路，其等效電路如圖 3.3.2 所示。超導(dǎo)環(huán)內(nèi)的關(guān)系式 I I sin 。磁通量子化條件為 2 。總磁通為滿足直流c0。令 2LIc ，外加磁通，T00極值發(fā)生在 de 0 處，即 或 1時。此時 RF-SQUID 工作在滯后模式下。1dT在e T 曲線上，當(dāng)外加磁通e 從零開始增加至e ec 時，環(huán)內(nèi)總磁通有突變