切換線性奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析翻譯(共11頁)

1、切換(qi hun)線性奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析摘要(zhiyo)：本文解決了切換線性連續(xù)奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題。首先，基于等效動力學分解形式,精致描述狀態(tài)切換奇異系統(tǒng)的跳躍,這表明整體狀態(tài)跳了跳由兩個連續(xù)的狀態(tài)。其次，帶有穩(wěn)定的子系統(tǒng)切換奇異系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定的充分(chngfn)條件以出現(xiàn)。它通過轉(zhuǎn)換減少階數(shù)的動力子系統(tǒng)和誘導狀態(tài)跳躍轉(zhuǎn)換法完全展示了系統(tǒng)穩(wěn)定的性質(zhì)。然后，得到有穩(wěn)定與不穩(wěn)定子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換奇異矩陣的一個充分穩(wěn)定性條件。最后，用數(shù)值實例來說明提出該方法的有效性。1.介紹：切換系統(tǒng)是由一個混合動力系統(tǒng)，有限數(shù)量的子系統(tǒng)和邏輯規(guī)則進行協(xié)調(diào)與切換。在過去的十幾年里，擁有一般子系統(tǒng)的切換系統(tǒng)的

2、穩(wěn)定性已經(jīng)有廣泛的研究；參見調(diào)查論文和近期書籍以及參考定理。同時，奇異系統(tǒng)模型是方便的且有動態(tài)和靜態(tài)約束的實系統(tǒng)的自然表示。已經(jīng)有大量的工作報道了奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和奇異系統(tǒng)的綜合。盡管我們擁有很多這方面的知識，然而在處理有奇異子系統(tǒng)的切換矩陣時還是有限的。普遍認為奇異系統(tǒng)由于不一致的初始條件存在有限的瞬時跳躍。在切換奇異系統(tǒng)，也不能保證狀態(tài)總是下一個啟動子系統(tǒng)下時任意切換開關(guān)瞬間是一致的。對有瞬時跳躍狀態(tài)的轉(zhuǎn)換奇異矩陣系統(tǒng)有必要允許有解決方案這是不可避免的，即使所有子系統(tǒng)是有規(guī)律的和無脈沖的。這是切換奇異系統(tǒng)和正常的交換系統(tǒng)之間的主要區(qū)別之一。應當指出的是，跳變的累積可能是破壞性的，即使每

3、次跳躍的強度小，特別是當轉(zhuǎn)換是非?？斓臅r候。結(jié)果，正常轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的穩(wěn)定分析技術(shù)不能直接的被用到轉(zhuǎn)換奇異矩陣。然而這個事實可以被忽略，可用一個特殊的方式簡單處理。更特別的基礎(chǔ)上，對每一個空間的一致性Lyapunov函數(shù)的分析，建立了切換奇異系統(tǒng)的Liberzon和Trenn（2009年）和Trenn（2009年）的穩(wěn)定性充分條件。然而卻沒有系統(tǒng)的和充分的方法被提出。因此，如果子系統(tǒng)的數(shù)量是非常大的變得難以驗證。在Raouf and Michalska (2010)論文中，轉(zhuǎn)換法反饋被設(shè)計以確保全局指數(shù)穩(wěn)定。石，張，袁，劉（2011）提出了一種混合式脈沖控制器壓縮狀態(tài)的跳躍切換奇異系統(tǒng)。在交換奇異系

4、統(tǒng)的一個基本而重要的問題是為Q1：如何形容狀態(tài)跳躍切換奇異系統(tǒng)？它已經(jīng)在Liberzon和Trenn被首次展出（2009年）該狀態(tài)的跳躍狀態(tài)可描述為投影機的一致性。然而，簡單地表征與一致性投影整體跳躍可能無法表征的特殊性質(zhì)狀態(tài)的跳躍在切換奇異系統(tǒng)，這將在備注3.1和3.2進行說明。因此，非?？释フ业礁嗟霓D(zhuǎn)換奇異系統(tǒng)中的狀態(tài)跳躍的限制。此外，開關(guān)瞬間產(chǎn)生的存在狀態(tài)跳躍在新類型的不穩(wěn)定機制切換奇異系統(tǒng)。例如，與正常切換系統(tǒng)，子系統(tǒng)的共同Lyapunov函數(shù)的存在是不足以保證切換廣義系統(tǒng)在任意切換的漸近穩(wěn)定。進一步的研究已在下面的問題被執(zhí)行了。Q2：如何跳躍的狀態(tài)影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性？此外，由于在

5、許多實際應用中存在不穩(wěn)定的子系統(tǒng)，它也是重要的是要考慮的問題Q3已成功解決了翟，胡，安田交換系統(tǒng)正常，和米歇爾（2001年），不幸的是，它沒有得到回答的切換奇異系統(tǒng)。因此，對于切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析問題還沒有得到充分的調(diào)查，這激勵著我們現(xiàn)在的研究。在本文中，考慮到了切換系統(tǒng)線性連續(xù)時間奇異子系統(tǒng)。假設(shè)所有子系統(tǒng)是常規(guī)的和無脈沖，則切換奇異系統(tǒng)具有經(jīng)典分段光滑解。通過應用交換法獨立轉(zhuǎn)換，在同等動力分解形式中獲得原始切換奇異系統(tǒng)?；谒@得的動力分解形式上，狀態(tài)跳躍的限定描述被提出。狀態(tài)的跳躍可以被解釋為兩個連續(xù)的狀態(tài)跳躍，一種是誘導的分段恒定開關(guān)法，另一種是由在動力學分解形式的代數(shù)約束的結(jié)果。

6、然后，充分條件的切換奇異系統(tǒng)的與（i）穩(wěn)定的子系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性以及與（ii）穩(wěn)定和不穩(wěn)定的子系統(tǒng)被呈現(xiàn)。 當所有子系統(tǒng)都穩(wěn)定，切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于交換降階動態(tài)子系統(tǒng)和切換律誘導狀態(tài)跳躍。在子系統(tǒng)不穩(wěn)定下，如果不穩(wěn)定的子系統(tǒng)的總激活時間是比較小的，并且平均停留時間是需要足夠大的情況下，則切換奇異系統(tǒng)是指數(shù)(zhsh)漸近穩(wěn)定，以在切換奇異系統(tǒng)的情況下其延伸的結(jié)果為交換系統(tǒng)正常的。預計這項工作的貢獻將進一步發(fā)展切換奇異系統(tǒng)，用于諸如二次鎮(zhèn)定和H擾動衰減問題。本文的其余部分安排如下。在第二節(jié)中，我們提出了系統(tǒng)的描述并給予一定的初步(chb)措施。 切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)，在第3節(jié)，狀態(tài)跳躍的限

7、定描述被制定。分別在4和5的部分，呈現(xiàn)了切換奇異系統(tǒng)穩(wěn)定子系統(tǒng)和穩(wěn)定和不穩(wěn)定子系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。在第6節(jié)，數(shù)值例子說明了該方法的有效性。第7節(jié)總結(jié)全文。系統(tǒng)(xtng)描述和預賽在本文中，我們考慮下面的線性切換連續(xù)時間奇異系統(tǒng)： （1）其中系統(tǒng)狀態(tài)和初值為，各自的，轉(zhuǎn)換規(guī)則是分段常數(shù)且為右連續(xù)函數(shù)，p是整體交換系統(tǒng)的模式的數(shù)量，對每個i 1, 2, . . . , p,和是常數(shù)矩陣，并且假設(shè)階數(shù)為 = rn.為簡單起見，我們用來表示的第i個子系統(tǒng)。假設(shè)轉(zhuǎn)換常數(shù)記為，且滿足 （2）定義2.1（Hespanha莫爾斯，1999年）。我們說，具有的平均停留時間，如果存在一個正數(shù)，使得的中間隔

8、開關(guān)的，記為滿足 （3）其中為震動約束。定義2：對每個i1, 2, . . . , p,奇異系統(tǒng)（i）奇異(qy)若行列式不恒等于(dngy)0；（ii）脈沖(michng)自由若行列式的多項式等于的秩。假設(shè)2.1.對每個i1, 2, . . . , p,，奇異系統(tǒng)常規(guī)的且無脈沖。由于秩() = r n,，存在非奇異矩陣和(i1, 2, . . . , p)使得滿足下列的分解形式： （4）記分解式（4）能通過的一個奇異值分解獲得且分解不唯一。此外，在假設(shè)2.1下是非奇異的且轉(zhuǎn)換的奇異系統(tǒng)的解釋分段光滑的，即對于轉(zhuǎn)換的奇異系統(tǒng)的干擾解沒有狄拉克脈沖。狀態(tài)轉(zhuǎn)換形式為： （5） 則在新的坐標系統(tǒng)下形

9、式為： （6）相似于奇異系統(tǒng)，我們稱（6）是轉(zhuǎn)換奇異系統(tǒng)的動態(tài)分解形式。3 轉(zhuǎn)換奇異系統(tǒng)的轉(zhuǎn)臺跳躍在本節(jié)中，切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)跳變的屬性將被討論。我們的目標是提出了一種基于動態(tài)分解表（6）狀態(tài)跳躍的精致描述。令為轉(zhuǎn)換常數(shù)的瞬時狀態(tài)，轉(zhuǎn)換后的激活奇異系統(tǒng)一致的初始條件，因此，當存在跳躍行為（不連續(xù)）它可以經(jīng)由一致性投影機的動作進行評估。將映射到一個一致狀態(tài)。 （7）根據(jù)（4）放映機能表示為： （8）備注3.1。我們提到，從到所述跟（7）一致，在描述整個狀態(tài)跳躍的原始全體切換奇異系統(tǒng)在瞬間切換。但是，它不能表征狀態(tài)的復合功能的跳躍切換奇異系統(tǒng)。此外，跳躍影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性這將是有趣的發(fā)現(xiàn)。一個詳細討

10、論將在下一節(jié)給出?，F(xiàn)在，我們(w men)給出基于動態(tài)分解表（6）在切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)跳躍的替代分析。記為瞬間(shn jin)切換，系統(tǒng)從到轉(zhuǎn)換?？紤](kol)到狀態(tài)轉(zhuǎn)換（5）的轉(zhuǎn)換法的獨立特征，有 （9）則結(jié)合（7）、（8）、（9），我們有下列引理。引理3.1.在假設(shè)2.1下考慮轉(zhuǎn)換奇異系統(tǒng)（1），則對每個瞬時轉(zhuǎn)換，系統(tǒng)（6）的解滿足 (10) (11)我們注意到，引理3.1推導呈現(xiàn)在Liberzon和Trenn（2009年）和Trenn（2009）狀態(tài)跳躍的備用說明。切換奇異系統(tǒng)（6）的整體狀態(tài)跳躍示于圖1，在這種狀態(tài)跳轉(zhuǎn)被分解成兩個階段，這兩個階段同時發(fā)生在瞬時狀態(tài)。在第一階段中，我們

11、假設(shè)是對應于（即，在切換后的跳躍奇異系統(tǒng)）的一致性空間內(nèi)。然后，沒有狀態(tài)跳對于中，即，這表明，可以與相關(guān)，有 （12）此外，在（12）中滿足（6）中的迭代限制（6）式的第二個方程），因此有 （13）對于（12）式的稱為初值瞬間跳躍。當?shù)刃恿W分解形式（6）而言，狀態(tài)跳由（10）表示的跳躍，一種是誘導分段常數(shù)切換律（亞貝哈拉諾皮薩諾，2011）的結(jié)果由兩個連續(xù)的狀態(tài)，而另一種是通過在代數(shù)約束（6）。與描述（7）相比，跳躍這個精致的描述是更有效，因為它可以同時顯示奇異系統(tǒng)的隨時間變化的轉(zhuǎn)換法和一致性要求。另外，然后可以區(qū)分哪個狀態(tài)的一部分跳轉(zhuǎn)確定切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性在下一節(jié)說明。切換奇異系統(tǒng)穩(wěn)定

12、子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析根據(jù)上一節(jié)的分析中，切換奇異系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性是等同于以下脈沖切換奇異系統(tǒng)： （14） （15） （16）定理4.1：考慮切換奇異系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1。假設(shè)存在一個正定矩陣P，矩陣和使得 （17）其中(qzhng)為下列(xili)形式 （18）定義(dngy) （19） （20）則（i）如果= 1，則切換奇異系統(tǒng)（1）是指數(shù)下任意漸近穩(wěn)定切換;（ii）如果1，則切換奇異系統(tǒng)（1）的指數(shù)漸近穩(wěn)定提供的平均停留時間滿足 （21）其中 證明：首先，在同一行中定理2.1的許林和（2006）證明，得到?？紤]下列l(wèi)yapunov函數(shù) （22） 它遵循由（4）和（18），該。對于有

13、（23）這表明(biomng) 此外(cwi)，從（11），（15）和（16）得出 （24）因此(ync) （25）由于,很明顯的1,當=1時，表明指數(shù)收斂到0，由（15）,所以也是指數(shù)收斂到0。這表明系統(tǒng)（6）在任意轉(zhuǎn)換下是證書漸近穩(wěn)定的。當1,很容易從（23），（25）得到下面估算只要滿足（3）的切換規(guī)則。類似上面的分析，我們得到了切換奇異系統(tǒng)的指數(shù)漸近穩(wěn)定性滿足約束（21）。這樣就完成了證明。備注4.1 它遵循由（24），該投影定義的子狀態(tài)在切換時刻狀態(tài)跳躍。另外，從（20）它可以很容易地推導出這意味著有在切換時刻為子系統(tǒng)無狀態(tài)跳躍。因此，國家的跳子狀態(tài)完全由切換律依賴狀態(tài)轉(zhuǎn)換（5）來確

14、定。備注4.2。如果對所有1i,jp存在，也就是說狀態(tài)轉(zhuǎn)換（5）獨立規(guī)則，再有就是在每個開關(guān)瞬間沒有跳躍狀態(tài)。另外，（19）和（20）暗示= 1。在這種情況下，我們可以從定理4.1（）斷定該條件（17）是足夠用于切換奇異系統(tǒng)（1）的下任意的穩(wěn)定性切換。另一方面，當1，（）定理4.1的指示的條件（17）是唯一的足夠的系統(tǒng)（1）根據(jù)切換律的穩(wěn)定性滿足的平均停留時間的限制（21）?？傊?，切換奇異系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性屬性取決于切換子系統(tǒng)和切換律誘導狀態(tài)跳躍。一般來說，對于給定的穩(wěn)定的子系統(tǒng)，這些跳躍較大的值需要更大的平均停留時間，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。備注4.3 請注意，我們的做法是基于等價動態(tài)分解形式，

15、這是從Liberzon和Trenn（2009年）和Liberzon，Trenn和維爾特（2011年）不同的。為了確保在任意切換下的切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性，李雅普諾夫函數(shù)應該存在和一致性投影機必須他們結(jié)合在一起（見定理9 LiberzonTrenn，2009）。而對于通勤情況下，共同二次Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造方法由Liberzon等人給出（2011年）。定理4.1的條件（17）是一組線性矩陣不等式，它可以由LMI控制工具箱與MATLAB的有效地解決。定理4.1是基于存在一個共同(gngtng)的李亞普諾夫函數(shù)的所有穩(wěn)定子系統(tǒng)的假設(shè)(jish)。更一般的結(jié)果可以如下獲得。定理4.2 考慮切換奇異

16、系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1。如果矩陣(j zhn)等式（17）是用于可行與正定矩陣的（= 1,2,.,p）的話定理4.1的結(jié)論有證明。證明是非常相似的定理4.1，因此，省略。備注4.4 當切換奇異系統(tǒng)降低到正常的交換系統(tǒng)，和可以被選擇為使得（i,j= 1,2,.,p）的。在這種情況下，定理4.2恢復的切換正常系統(tǒng)的公認的結(jié)果（Liberzon，2003年）另外，由于取的所有可能的切換模式的最大值，則系統(tǒng)可以是用于對平均停留時間小于由派生計算所述一個仍然穩(wěn)定;見例6.1。因此，如何獲得更小的的平均停留時間仍然是一個話題作進一步考慮。下一步，我們將討論當所有的子系統(tǒng)共享一個公共矩陣N使得在分解（4）

17、成立的情況下，即，在（5）的切換規(guī)則獨立于狀態(tài)轉(zhuǎn)換。換句話說，變?yōu)镹為所有。為此，我們需要滿足以下假設(shè)。假設(shè)4.1 存在非奇異矩陣N使得具有列滿 秩。推論4.1?？紤]切換奇異系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1和4.1。假定矩陣不等式（17）與（18）保持對于所有i1,2,.,p。然后切換奇異系統(tǒng)（1）指數(shù)是在任意切換下是漸近穩(wěn)定的。證明：下假設(shè)4.1，可以很容易地看到，存在可逆矩(i1,2,.,p)，使得然后，它由（20），該;因此這意味著不存在跳躍在切換時刻為子系統(tǒng)，結(jié)合表明切換子系統(tǒng)在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定。類似于定理4.1的證明，我們得到，該系統(tǒng)（1）在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定的。備注4.5 假

18、設(shè)4.1并不意味著整體的切換奇異系統(tǒng)無跳躍。推論4.1表明，當假設(shè)4.1和矩陣不等式（17）與（18）滿足，用于在任意切換下的切換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定性是有保證，通過它獨立誘導的代數(shù)約束的初始瞬時跳躍。備注4.6 在假設(shè)(jish)4.1下，如果有在所有開關(guān)瞬間存在子系統(tǒng)沒有(mi yu)初始瞬時跳，那么該系統(tǒng)的解（1）在任意切換下是連續(xù)的，這相當于交換奇異系統(tǒng)的穩(wěn)定(wndng)和不穩(wěn)定子系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析我們注意到，穩(wěn)定和不穩(wěn)定的系統(tǒng)之間切換的調(diào)查是有意義的，因為在實際應用中，由于物理限制人們必須合并不穩(wěn)定系統(tǒng)（翟等人，2001年）。在本節(jié)中，我們將考慮穩(wěn)定問題交換奇異系統(tǒng)穩(wěn)定和不穩(wěn)定子系統(tǒng)。 不

19、失一般性，假設(shè)是不穩(wěn)定的且保持子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在正的常數(shù)和負的常數(shù)使得是穩(wěn)定的。記和，對任意給的 和,考慮到轉(zhuǎn)換規(guī)則滿足 (26)其中的是在0，t）上的分別表示不穩(wěn)定子系統(tǒng)和穩(wěn)定子系統(tǒng)的總激活時間期間。類似于定理4.1的證明，我們有以下結(jié)果。 定理5.1 考慮切換奇異系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)2.1。假定交換法滿足（26）。則存在一個非負常數(shù)，使得切換奇異系統(tǒng)（1）是與衰減率 為任何是指數(shù)穩(wěn)定的。備注5.1 定理5.1表明，如果不穩(wěn)定子系統(tǒng)的總激活時間是比較小的同穩(wěn)定的子系統(tǒng)平均停留時間的足夠大時，則切換奇異系統(tǒng)然后指數(shù)穩(wěn)定性也能夠得到保證。所獲得的結(jié)果由切換奇異系統(tǒng)擴展了切換正常系統(tǒng)（翟等人，

20、2001年）。模擬實例考慮切換奇異系統(tǒng)（1）與下面的兩個子系統(tǒng)：這是很容易驗證為任何常數(shù)的漸近穩(wěn)定的。也漸近穩(wěn)定。注意，它是在相同的例子中Liberzon和Trenn（2009）當a =-1。我們將說明我們在選擇在不同的值時分析。讓 (27)得到(d do)因此(ync)，根據(jù)（20）我們(w men)得到 和，進一步的， 存在使得對于i=1,2滿足（17）式。當定理4.1中。切換奇異系統(tǒng)在任意切換下是指數(shù)漸近穩(wěn)定。對a=2的切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)響應的模擬示于圖2。當a2，我們得到1，然后由定理4.1的切換奇異系統(tǒng)是指數(shù)漸近穩(wěn)定提供的平均停留時間。然而，我們注意到，只有兩個實施例6.1中的模式，此外，意味著無跳躍發(fā)生在子系統(tǒng)當系統(tǒng)從模式1切換到模式2。因此，當時平均停留時間是緊的則為指數(shù)漸近穩(wěn)定。當a=2時切換奇異系統(tǒng)的狀態(tài)響應相應的開關(guān)信號示于圖3。例6.2?？紤]切換奇異系統(tǒng)（1）具有以下兩個子系統(tǒng)：與（27）中所定義的。從實施例6.1中，存在和，使得（17）保持為和，然后將它遵循從推論4.1的切換奇異系統(tǒng)是指數(shù)在任意切