留數(shù)和留數(shù)定理

1、關(guān)于留數(shù)與留數(shù)定理第一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月一、孤立奇點(diǎn)及其類型定義1 設(shè) 在 不解析，而在 的去心鄰域 內(nèi)解析，則稱 為 的孤立奇點(diǎn) 第二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例如， 是 的孤立奇點(diǎn) 是 的奇點(diǎn)，而非孤立奇點(diǎn)，因?yàn)?都是它的奇點(diǎn)當(dāng)n無限增大時(shí)，在 不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有 的奇點(diǎn)存在第三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)，那么 的某去心鄰域內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù) ，其中正冪次項(xiàng)部分 是在以 為中心圓域內(nèi)解析函數(shù)(稱為解析部分)，所以 點(diǎn)的奇異性完全體現(xiàn)在負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)部分(稱為主要部分)下面就洛朗級(jí)數(shù)負(fù)冪次項(xiàng)部分的情況對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)行

2、分類 第四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義2 設(shè) 為 的孤立奇點(diǎn)，且在 的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開式有如下三種情況：（1）若沒有負(fù)冪次項(xiàng)，則稱 為 的可去奇點(diǎn)；（2）若關(guān)于 的最高次冪項(xiàng)為 ，即 則稱 為 的m級(jí)極點(diǎn)；（3）若有無窮個(gè) 的負(fù)冪次項(xiàng)，則稱 為 的本性奇點(diǎn)第五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例已知 ，展式中沒有負(fù)冪次項(xiàng)，故 為 的可去奇點(diǎn)例已知 ，展式中 的最高次冪項(xiàng)為 ，故 為 的二級(jí)極點(diǎn) 第六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例已知 ，展式中有無窮多負(fù)冪次項(xiàng)，故 為 的本性奇點(diǎn)關(guān)于孤立奇點(diǎn)類型的判別，我們有如下結(jié)論：第七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于

3、2022年6月定理1 設(shè) 在 內(nèi)解析，則(1) 為 的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限 ，其中 為一復(fù)常數(shù)；(2) 為 的極點(diǎn)的充要條件是 ；(3) 為 的本性奇點(diǎn)的充要條件是 不存在且不為無窮證明： 略。第八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 現(xiàn)在研究極點(diǎn)的特征設(shè) 在 內(nèi)解析，且 是 的 級(jí)極點(diǎn)，則在 內(nèi)， 有洛朗展式其中 于是在 內(nèi)， (13.6)其中 在 內(nèi)是解析的函數(shù)，且 反之，如果 在 內(nèi)可表示成(13.6)，而 在 內(nèi)解析且 ，那么不難推出 是 的m級(jí)極點(diǎn)，第九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論： 是 的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是其中 在 解析且 于是有：第十張，PPT共

4、三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例判斷函數(shù) 孤立奇點(diǎn)的類型 解： 和 為 的孤立奇點(diǎn)因?yàn)槠渲?在 解析且 ，故 是 的三級(jí)極點(diǎn)類似地， 分別是 的一級(jí)極點(diǎn)第十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定義3 設(shè) ，其中 在 解析且 ，則稱 是 的m級(jí)零點(diǎn)例如 ，則 和 分別是 的一級(jí)與三級(jí)零點(diǎn)由定義3可得結(jié)論：設(shè) 在 解析，則 為 的m級(jí)零點(diǎn)的充要條件是 (13.7)第十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月事實(shí)上，若 為 的m級(jí)零點(diǎn)，則 可寫為 ，設(shè) 在 的泰勒展開式為 ，其中 ，從而 在 的泰勒展開式為 由此可見，當(dāng) 時(shí)， ， 這就證明了上述結(jié)論的必要性，充分性請(qǐng)讀者自己證明第十三張

5、，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例問 為 的幾級(jí)零點(diǎn)？ 解： 因?yàn)?， ， ，故 是 的三級(jí)零點(diǎn)零點(diǎn)與極點(diǎn)有如下關(guān)系：第十四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月定理2 若 是 的m級(jí)零點(diǎn)，則 是 的m級(jí)極點(diǎn)，反之也成立 證明： 若 是 的m級(jí)零點(diǎn)，則有 ，其中 在 解析且 由此，當(dāng) 時(shí)， 其中 在 解析且 ，所以 是 的m級(jí)極點(diǎn) 第十五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 反之，如果 是 的m級(jí)極點(diǎn)，則有這里 在 解析且 ，于是有 ，其中 也在 解析且 ，由定義3可知 是 的m級(jí)零點(diǎn) 定理2為判斷函數(shù)的極點(diǎn)及其類型提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法 第十六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于

6、2022年6月例函數(shù) 有哪些奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它們?yōu)閹准?jí)極點(diǎn) 解： 凡是使 的點(diǎn)都是 的奇點(diǎn)，這些奇點(diǎn)是 ，且均為孤立奇點(diǎn)。又由于 ，所以 都是 的一級(jí)零點(diǎn)，也就是 的一級(jí)極點(diǎn)第十七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月二、留數(shù)與留數(shù)定理定義4 設(shè) 是 的孤立奇點(diǎn)， 在 去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)一次冪項(xiàng) 的系數(shù) 稱為 在 的留數(shù)，記作 ，即 (13.8)第十八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 設(shè) , 是 的孤立奇點(diǎn)，曲線C是函數(shù)解析域 內(nèi)圍繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，等式兩邊逐項(xiàng)積分得 于是有 (13.9)關(guān)于留數(shù)，我們有下面的重要定理： 第十九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于20

7、22年6月定理3 (留數(shù)定理)設(shè)曲線C是一條正向簡(jiǎn)單閉曲線， 在C內(nèi)有有限個(gè)孤立奇點(diǎn) ，除此以外， 在C內(nèi)及C上解析，則 (13.10)證： 如圖13.3，在曲線C內(nèi)用互不包含且互不相交的正向簡(jiǎn)單閉曲線 將各孤立奇點(diǎn) 圍繞起來， 圖13-3第二十張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月由復(fù)合閉路定理 ,進(jìn)而 故 利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C的積分，就可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)第二十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例求 ，C為正向圓周 解： 在C內(nèi)被積函數(shù)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn) 和 ,下面分別求 . 在 內(nèi) 故第二十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 在 內(nèi) 故由留

8、數(shù)定理得原式 第二十三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，如果先知道奇點(diǎn)為何種類型，一般來說會(huì)更方便，因?yàn)椋?）若 為 的可去奇點(diǎn)，則（2）若 為 的本性奇點(diǎn)，則將 在解析域 內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù)，其中負(fù)一次冪項(xiàng)系數(shù) 即為所求留數(shù)；（3）若 為 的極點(diǎn)，則可用下列計(jì)算規(guī)則求留數(shù)第二十四張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)則若 為 的一級(jí)極點(diǎn)，則 證： 由于 為 的一級(jí)極點(diǎn)，故有 ，上式兩邊同乘以 ，得 兩端取極限，得 第二十五張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)則若 為 的m級(jí)極點(diǎn)，則證： 由于 為 的m級(jí)極點(diǎn)，所以 上式兩邊同乘以 ，得 兩邊對(duì)z求

9、m-1階導(dǎo)數(shù)，得令 ，兩端取極限得結(jié)論成立第二十六張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月規(guī)則設(shè) ， 及 在 都解析，若 則 是 的一級(jí)極點(diǎn)，且 證： 因 為 的一級(jí)極點(diǎn)，由規(guī)則，已知 在 解析，且 ，于是第二十七張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 例8 求 ，C為正向圓周 解： 在C內(nèi)有一個(gè)一級(jí)極點(diǎn) 和一個(gè)二級(jí)極點(diǎn) 由規(guī)則， 由規(guī)則， 由留數(shù)定理， 原式第二十八張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例計(jì)算積分 ，C為正向圓周 解： 在C內(nèi)有四個(gè)一級(jí)極點(diǎn) 由規(guī)則， 同理可求 ， ，由留數(shù)定理，原式 第二十九張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例10 計(jì)算積分 ，C為正向圓周

10、 解： 在C內(nèi)有兩個(gè)孤立奇點(diǎn) 和 因?yàn)?，所以 是 的可去奇點(diǎn)，從而 另外由規(guī)則， 由留數(shù)定理，原式第三十張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例11 計(jì)算定積分 ，其中 解： 令 ，則 ， ，代入原式得 .記 ，令 得 , .第三十一張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月其中 在圓 內(nèi)，且為 的一級(jí)極點(diǎn)由規(guī)則得 ，根據(jù)留數(shù)定理，得 第三十二張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月習(xí)題13-41、下列函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？如果是極點(diǎn)，指出它們是幾級(jí)極點(diǎn)(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ；(6) .2、設(shè)函數(shù) 與 分別以 為m級(jí)與n級(jí)極 點(diǎn)(或零點(diǎn)), 那么下列函數(shù)在 各有什么性質(zhì)? (1) ；(2) ；(3) .第三十三張，PPT共三十六頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月3、函數(shù) 在 處有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)；這個(gè)函數(shù)又有下列洛朗展開式： 所以“ 又是 的本性奇點(diǎn)”；又上式不含 項(xiàng)，因此 這些說法對(duì)嗎？4、求下列函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)：(1) ； (2)