休哈特控制圖的種類與使用方法

1、統(tǒng)計(jì)過程控制（SPC）與休哈特控制圖（二）第五章休哈特控制圖一、特控制圖的種類及其用途國標(biāo)GB4091常規(guī)控制圖是針對(duì)休哈特控制圖的。根據(jù)該國標(biāo)，常規(guī)休哈特控制圖如表常規(guī)的休哈特控制圖。表中計(jì)件值控制圖與計(jì)點(diǎn)值控制圖又統(tǒng)稱計(jì)數(shù)值控制圖。這些控制圖各有各的用途,應(yīng)根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的情況和數(shù)據(jù)性質(zhì)分別加以選擇。常規(guī)的休哈特控制圖表中的二項(xiàng)分布和泊松分布是離散數(shù)據(jù)場(chǎng)合的兩種典型分布，它們超出3。界限的第I類錯(cuò)誤的概率。當(dāng)然未必恰巧等于正態(tài)分布3。界限的第I類錯(cuò)誤的概率a=0.0027,但無論如何總是個(gè)相當(dāng)小的概率。因此,可以應(yīng)用與正態(tài)分布情況類似的論證,從而建立p、pn、c、u等控制圖。常規(guī)的休哈

2、特控制圖數(shù)據(jù)分布控制圖簡記計(jì)量值正態(tài)分布均值-極差控制圖x一R控制圖均值-標(biāo)準(zhǔn)差控制圖x一R控制圖中位數(shù)-極差控制圖Xmed一R控制圖單值-移動(dòng)極差控制圖xRs控制圖計(jì)件值二項(xiàng)分布不合格品率控制圖P控制圖不合格品數(shù)控制圖Pn控制圖計(jì)點(diǎn)值泊松分布單位缺陷數(shù)控制圖U控制圖缺陷數(shù)控制圖C控制圖現(xiàn)在簡單說明各個(gè)控制圖的用途:x一R控制圖。對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù)而言這是最常用最基本的控制圖。它用于控制對(duì)象為長度、重量、強(qiáng)度、純度、時(shí)間和生產(chǎn)量等計(jì)量值的場(chǎng)合。x控制圖主要用于觀察分布的均值的變化,R控制圖用于觀察分布的分散情況或變異度的變化，而x一R圖則將二者聯(lián)合運(yùn)用，用于觀察分布的變化。x一s控制圖與x一R圖相

3、似，只是用標(biāo)準(zhǔn)差圖（s圖）代替極差圖（R圖）而已。極差計(jì)算簡便，故R圖得到廣泛應(yīng)用,但當(dāng)樣本大小n10或口，這時(shí)應(yīng)用極差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。的效率減低，需要應(yīng)用s圖來代替R圖。XMEDR控制圖與x一R圖也很相似，只是用中位數(shù)圖（XMED圖）代替均值圖（x圖）。所謂中位數(shù)即指在一組按大小順序排列的數(shù)列中居中的數(shù)。例如,在以下數(shù)列中2、3、7、13、18,中位數(shù)為7。又如,在以下數(shù)列中2、3、7、9、13、18,共有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。這時(shí)中位79數(shù)規(guī)定為中間兩個(gè)數(shù)的均值。在本例即2=8。由于中位數(shù)的計(jì)算比均值簡單，所以多用于現(xiàn)場(chǎng)需要把測(cè)定數(shù)據(jù)直接記入控制圖進(jìn)行控制的場(chǎng)合,這時(shí)為了簡便,當(dāng)然規(guī)定為奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)。

4、x一Rs控制圖。多用于下列場(chǎng)合:對(duì)每一個(gè)產(chǎn)品都進(jìn)行檢驗(yàn)，采用自動(dòng)化檢查和測(cè)量的場(chǎng)合;取樣費(fèi)時(shí)、昂貴的場(chǎng)合;以及如化工等過程，樣品均勻，多抽樣也無太大意義的場(chǎng)合。由于它不像前三種控制圖那樣能取得較多的信息，所以它判斷過程變化的靈敏度?要差一些。P控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品率或合格品率等計(jì)數(shù)值質(zhì)量指標(biāo)的場(chǎng)合。這里需要注意的是，在根據(jù)多種檢查項(xiàng)目總合起來確定不合格品率的情況，當(dāng)控制圖顯示異常后難以找出異常的原因。因此，使用p圖時(shí)應(yīng)選擇重要的檢查項(xiàng)目作為判斷不合格品的依據(jù)。常見的不良率有不合格品率、廢品率、交貨延遲率、缺勤率，郵電、鐵道部門的各種差錯(cuò)率等等。Pn控制圖。用于控制對(duì)象為不合格品數(shù)的場(chǎng)

5、合。設(shè)n為樣本大小-戶為不合格品率，則t為不合格品個(gè)數(shù)。所以取pn作為不合格品數(shù)控制圖的簡記記號(hào)。由于計(jì)算不合格品率需進(jìn)行除法，比較麻煩，所以在樣本大小相同的情況下，用此圖比校方便。c控制圖。用于控制一部機(jī)器，一個(gè)部件，一定的長度，一定的面積或任何一定的單位中所出現(xiàn)的缺陷數(shù)目。如布匹上的疵點(diǎn)數(shù)，鑄件上的砂眼數(shù)，機(jī)器設(shè)備的缺陷數(shù)或故障次數(shù)，傳票的誤記數(shù)，每頁印刷錯(cuò)誤數(shù)，辦公室的差錯(cuò)次數(shù)等等。&u控制圖。當(dāng)上述一定的單位，也即樣品的大小保持不變時(shí)可以應(yīng)用c控制圖，而當(dāng)樣品的大小變化時(shí)則應(yīng)換算為平均每單位的缺陷數(shù)后再使用u控制圖。例如，在制造厚度為2mm的鋼板的生產(chǎn)過程中，一批樣品是2平方米的，下一

6、批樣品是3平方米的。這時(shí)就都應(yīng)換算為平均每平方米的缺陷數(shù)，然后再對(duì)它進(jìn)行控制。二、應(yīng)用控制圖需要考慮的一些問題應(yīng)用控制圖需要考慮以下一些問題:控制圖用于何處?原則上講，對(duì)于任何過程，凡需要對(duì)質(zhì)量進(jìn)行控制管理的場(chǎng)合都可以應(yīng)用控制圖。但這里還要求:對(duì)于所確定的控制對(duì)象一質(zhì)量指標(biāo)應(yīng)能夠定量，這樣才能應(yīng)用計(jì)量值控制圖。如果只有定性的描述而不能夠定量，那就只能應(yīng)用計(jì)數(shù)值控制圖。所控制的過程必須具有重復(fù)性，即具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律。對(duì)于只有一次性或少數(shù)幾次的過程顯然難于應(yīng)用控制圖進(jìn)行控制。如何選擇控制對(duì)象?在使用控制圖時(shí)應(yīng)選擇能代表過程的主要質(zhì)量指標(biāo)作為控制對(duì)象。一個(gè)過程往往具有各種各樣的特性，需要選擇能夠真正代表

7、過程情況的指標(biāo)。例如，假定某產(chǎn)品在強(qiáng)度方面有問題，就應(yīng)該選擇強(qiáng)度作為控制對(duì)象。在電動(dòng)機(jī)裝配車間，如果對(duì)于電動(dòng)機(jī)軸的尺寸要求很高,這就需要把機(jī)軸直徑作為我們的控制對(duì)象。在電路板沉銅缸就要選擇甲醛、Na0H、Cu2的濃度以及沉銅速率作為多指標(biāo)統(tǒng)一進(jìn)行控制。怎樣選擇控制圖?選擇控制圖主要考慮下列幾點(diǎn):首先根據(jù)所控制質(zhì)量指標(biāo)的數(shù)據(jù)性質(zhì)來進(jìn)行品，如數(shù)據(jù)為連續(xù)值的應(yīng)選擇x一R、x一s、XMEDRs或xRs圖;數(shù)據(jù)為計(jì)件值的應(yīng)選擇p或pn圖,數(shù)據(jù)為計(jì)點(diǎn)值的應(yīng)選擇c或u圖。其次，要確定過程中的異常因素是全部加以控制（全控）還是部分加以控制（選控），若為全控應(yīng)采用休哈特圖等;若為選控，應(yīng)采用選控圖,參見第七章（

8、一）;若為單指標(biāo)可選擇一元控制圖,若為多指標(biāo)則須選擇多指標(biāo)控制圖,參見第七章（二）。最后,還需要考慮其他要求,如檢出力大小,抽取樣品、取得數(shù)據(jù)的難易和是否經(jīng)濟(jì)等等。例如要求檢出力大可采用成組數(shù)據(jù)的控制圖，如x一R圖。如何分析控制圖?如果在控制圖中點(diǎn)子未出界,同時(shí)點(diǎn)子的排列也是隨機(jī)的,則認(rèn)為生產(chǎn)過程處于穩(wěn)定狀態(tài)或控制狀態(tài)。，如果控制圖點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)，就認(rèn)為生產(chǎn)過程失控。對(duì)于應(yīng)用控制圖的方法還不夠熟悉的工作人員來說，即使在控制圖點(diǎn)子出界的場(chǎng)合，也首先應(yīng)該從下列幾方面進(jìn)行檢查:樣品的取法是否隨機(jī)，數(shù)字的讀取是否正確，計(jì)算有無錯(cuò)誤，描點(diǎn)有無差錯(cuò)，然后再來調(diào)查生產(chǎn)過程方面的原因，經(jīng)驗(yàn)證明這點(diǎn)

9、十分重要。對(duì)于點(diǎn)子出界或違反其他準(zhǔn)則的處理。若點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)，應(yīng)執(zhí)行第二章（五）的20個(gè)字，立即追查原因并采取措施防止它再次出現(xiàn)。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，正是執(zhí)行了第二章（五）的20個(gè)字，才能取得貫徹預(yù)防原則的作用。因此，若不執(zhí)行這20個(gè)字，就不如不搞控制圖。對(duì)于過程而言，控制圖起著告警鈴的作用，控制圖點(diǎn)子出界就好比告警鈴響，告訴現(xiàn)在是應(yīng)該進(jìn)行查找原因、采取措施、防止再犯的時(shí)刻了。雖然有些控制圖，如x一R控制圖等，積累長期經(jīng)驗(yàn)后，根據(jù)x圖與R圖的點(diǎn)子出界情況，有時(shí)可以大致判斷出是屬于哪方面的異常因素造成的，但一般來說，控制圖只起告警鈴的作用，而不能告訴這種告警究竟是由什么異常因素造成的。要找

10、出造成異常的原因，除去根據(jù)生產(chǎn)和管理方面的技術(shù)與經(jīng)驗(yàn)來解決外，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，應(yīng)用兩種質(zhì)量診斷理論和兩種質(zhì)量多元診斷理論來診斷的方法是十分重要的。有關(guān)內(nèi)容參見第七章?？刂茍D的重新制定?？刂茍D是根據(jù)穩(wěn)定狀態(tài)下的條件（人員、設(shè)備、原材料、工藝方法、環(huán)境，即4M1E）來制定的。如果上述條件變化,如操作人員更換或通過學(xué)習(xí)操作水平顯著提高,設(shè)備更新，采用新型原材料或其他原材料，改變工藝參數(shù)或采用新工藝，環(huán)境改變等，這時(shí)，控制圖也必須重新加以制定。由于控制圖是科學(xué)管理生產(chǎn)過程的重要依據(jù)，所以經(jīng)過相當(dāng)時(shí)間的使用后應(yīng)重新抽取數(shù)據(jù)，進(jìn)行計(jì)算，加以檢驗(yàn)?？刂茍D的保管問題?？刂茍D的計(jì)算以及日常的記錄都應(yīng)作為技術(shù)資料加

11、以妥善保管。對(duì)于點(diǎn)子出界或界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)以及當(dāng)時(shí)處理的情況都應(yīng)予以記錄,因?yàn)檫@些都是以后出現(xiàn)異常時(shí)查找原因的重要參考資料。有了長期保存的記錄,便能對(duì)該過程的質(zhì)量水平有清楚的了解,這對(duì)于今后在產(chǎn)品設(shè)計(jì)和制定規(guī)格方面是十分有用的。三、x-R(均值-極差)控制圖對(duì)于計(jì)量值數(shù)據(jù)，x一R(均值一極差)控制圖是最常用、最重要的控制圖，因?yàn)樗哂邢铝袃?yōu)點(diǎn):適用范圍廣。對(duì)于x圖而言，計(jì)量值數(shù)據(jù)x服從正態(tài)分布是經(jīng)常出現(xiàn)的。若x非正態(tài)分布,則當(dāng)樣本大小nW4或5時(shí)，根據(jù)中心極限定理，知道x近似正態(tài)分布。對(duì)于R圖而言,通過在電子計(jì)算機(jī)上的統(tǒng)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)證實(shí)，只要總體分布不是太不對(duì)稱的，R的分布沒有大的變化。這就從理

12、論上說明了x一R圖適用的范圍廣泛。靈敏度高。x圖的統(tǒng)計(jì)量為均值x，反映在x上的偶然波動(dòng)是隨機(jī)的，通過均值的平均作用，這種偶然波動(dòng)得到一定程度的抵消;而反映在x上的異常波動(dòng)往往是在同一個(gè)方向的,它不會(huì)通過均值的平均作用抵消。因此，正圖檢出異常的能力高。至于R圖的靈敏度則不如x圖高。O2現(xiàn)在說明一下x一R圖的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，假定質(zhì)量特性服從正態(tài)分布N(u,)，且卩，。均已知。若xl,x2,.,xn是大小為n的樣本，則樣本均值為x1+x2+.+xnx=n由于x服從正態(tài)分布N(卩,2/n),并且樣本均值落入下列兩個(gè)界限z一H_a/2x_卩_za/2(5.3_1a)oU+Za/2O=y+Za/2亦(5.3_1

13、b)間的概率為l_a。因此若卩與g已知，則式(5.3_la)與式(5.3Tb)可分別作為樣本均值的控制圖的上下控制界限。如前述,通常取Za/2=3,即采用3?？刂平缦?。當(dāng)然，即使x的分布是非正態(tài)的，但由于中心極限定理，上述結(jié)果也近似成立。在實(shí)際工作中，卩與。通常未知，這時(shí)就必須應(yīng)用從穩(wěn)態(tài)過程所取的預(yù)備樣本的數(shù)據(jù)對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)。預(yù)備樣本通常至少取25個(gè)(根據(jù)判穩(wěn)準(zhǔn)則(2)，最好至少取35個(gè)預(yù)備樣本)。設(shè)取m個(gè)樣本，每個(gè)樣本包含n個(gè)觀測(cè)值。樣本大小n主要取決于合理分組的結(jié)構(gòu)，抽樣與檢查的費(fèi)用，參數(shù)估計(jì)的效率等因素,n通常取為4,5或6。令所取的m個(gè)樣本的均值分別為xpx,.2.,x,則過程的卩的最

14、佳估計(jì)量為總均值x,即m(5.3-2)u=x=(x+x+.+x)/m12m于是x可作為x圖的中心線。為了建立控制界限，需要估計(jì)過程的標(biāo)準(zhǔn)差?？梢愿鶕?jù)m個(gè)樣本的極差或標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行估計(jì)。應(yīng)用極差進(jìn)行估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是極差計(jì)算簡單，所以至今R圖的應(yīng)用較s圖為廣?，F(xiàn)在討論極差法。設(shè)xl,x2,.,xn為一大小為n的樣本，則此樣本的極差R為最大觀測(cè)值Xmax與最小觀測(cè)值Xmin之差，即R=Xmaxxmin(5.33)若樣本取自正態(tài)總體，可以證明樣本極差R與總體標(biāo)準(zhǔn)差o有下列關(guān)系:令W=R/g,可以證明E(W)=d2,為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù),于是,o的估計(jì)量為。=E(R)/d2。令m個(gè)樣本的極差為Rl,R2

15、,.,Rm,則樣本平均極差為R1+R2+.+RmR=m(5.3-4)故。的估計(jì)量為=E(R)/d2(5.3-5)若樣本大小n較小，則用極差法估計(jì)總體方差與用樣本方差去估計(jì)總體方差的效果是一樣的。但當(dāng)n較大，如n10或12,則由于極差沒有考慮樣本在Xmax與xmin之間的觀測(cè)值的信息，故極差法的效率迅速降低。但在實(shí)際工作電x一R圖一般取n=4,5或6,所以極差法是令人滿意的。若取卩的估計(jì)量為x,o的估計(jì)量為E(R)/d2,則x圖的控制線為=“L_=UCL=y+3、：nx+3d2nR=x+2CL=卩心xI(5.3-6)oj=i=LCL=g-，nx3d2nR=x2R式中(5.3-7)A2=3d2Jn

16、為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)，參見附錄V計(jì)量值控制圖系數(shù)表。由上述，已知樣本極差R與過程標(biāo)準(zhǔn)差o有關(guān),因此可以通過R來控制過程的變異度，這就是R圖。R圖的中心線即R=R。為了確定R圖的控制界限，需要對(duì)進(jìn)行估計(jì)。若質(zhì)量特性服從正態(tài)分布，令W=R/g,可以證明ow=d3(d3為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù))，于是從R=Wg知知Gr=0wG=d3o。由于g未知，故從式。=E(R)/d2得gr的估計(jì)量為(5.3-8)(5.3-9)(5.3-10)=d3R/d2根據(jù)上述，得到R圖的控制線如下TOC o 1-5 h zUopo-UCL=R+3r心R+3r=R+3d3R/d2PPR衣CL=rR=Rpop0_-丿L

17、CL=r-3rr-3r=R-3d3R/d2UCL=Q4R令D3=1-3d3/d2,D4=l+3d3/d2，則代入上式后，得R圖的控制線為CL=RLCL=式中，系數(shù)D3、D4參見計(jì)量值控制圖系數(shù)表?，F(xiàn)在我們通過例子說明建立x一R圖的步驟，其他控制圖的建立步驟也與此類似。例5.3-1廠方要求對(duì)汽車引擎活塞環(huán)的制造過程建立x一R控制圖進(jìn)行控制?，F(xiàn)取得25個(gè)樣本，每個(gè)樣本包含5個(gè)活塞環(huán)的直徑的觀測(cè)值，如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。解我們按下列步驟進(jìn)行。步驟1:取預(yù)備數(shù)據(jù)。已取得預(yù)備數(shù)據(jù)如活塞環(huán)直徑的數(shù)據(jù)表所示。步驟2:計(jì)算樣本均值x。例如，對(duì)于第一個(gè)樣本,我們有74.030+74.002+74.019+7

18、3.992+74.008x1=5=74.010其余類推。步驟3:計(jì)算樣本極差Ro例如，對(duì)于第一個(gè)樣本，Xmax=74.030,Xmin=73.992，于是有R1=74.030-73.992=0.058其余類推?；钊h(huán)直徑的數(shù)據(jù)樣本序號(hào)觀測(cè)值x1Ri174.03074.00274.01973.99274.00874.0100.038273.99573.99274.00174.00174.01174.0010.019373.98874.02474.02174.00574.00274.0080.036474.00273.99673.99374.01574.00974.0030.022573.9927

19、4.00774.01573.98974.01574.0030.026674.00973.99473.99773.98574.01473.9960.024773.99574.00673.99473.00073.00574.0000.012873.98574.00373.99374.01573.98873.9970.030974.00873.99574.00974.00574.00474.0040.0141073.99874.00073.99074.00773.99573.9980.0171173.99473.99873.99473.99573.99073.9940.0081274.00474.0

20、0074.00774.00073.99674.0010.0111373.98374.00273.99873.99974.00774.0060.0291474.00673.96773.99474.00073.98473.9900.0391574.01274.01474.99873.99974.00774.0060.0161674.00073.98474.00573.99873.99673.9970.0211773.99474.01273.98674.00574.00774.0010.0261874.00674.01074.01874.00374.00074.0070.0181973.98474.

21、00274.00374.00573.99773.9980.0212074.00074.01074.01374.02074.00374.0070.0182173.99874.01074.01374.02074.00374.0090.0202274.00473.99973.99074.00674.00974.0020.0192374.01073.98973.99074.00974.01474.0020.0252474.01574.00873.99374.00074.01074.0050.0222573.98273.98473.99574.01774.01373.9980.035小計(jì)1850.024

22、0.581平均74.0010.023=R藝Xi5R步驟4:計(jì)算樣本總均值x與平均樣本極差一。由于/=1=1850.024,i=i=0.581,故丄藝X-1850.024x=25=25i=1=74.001r丄5Rn二25.=1=25=0.023步驟5:計(jì)算R圖與x圖的控制線。計(jì)算x一R圖應(yīng)該從R圖開始，因?yàn)閤圖的控制界限中包含R，所以若過程的變異度失控，則計(jì)算出來的這些控制界限就沒有多大意義。對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得D3=0,D4=2.115,又從步驟4知R=0.023,于是代入式(5.3-10)后，得到R圖的控制線為D石UCL=4R=2.115(0.023)=0.049CL=R=0.0

23、23D云LCL=3R=0(0.023)=0如x一R控制圖所示。事實(shí)上丄CL=D3R=(1一3d2/d3)R,當(dāng)n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114為負(fù)值，但R不可能為負(fù),故此時(shí)LCL不存在。這里丄CL=0不過作為R的自然下界而已。當(dāng)把25個(gè)預(yù)備樣本的極差描點(diǎn)在R圖中后,根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則(1)知過程的變異度處于控制狀態(tài)。于是可以建立x圖。7?期賞Cr,74.00i1；CL:,:U/I232h樣本厚號(hào)74.)1074,000-PtT.則對(duì)于樣本大小n=5,從附錄V查得A2=0.577,又從步驟4知x=74.001,R=0.023,于是o代入式T=UCL=y+3

24、卞nx+CL=卩心xoT=LCL祁-3n沁x-后，得到x圖的控制線為AUCL=x+2R=74.001+0.577(0.023)=74.014CL=x=74.001ALCL=x-2R=74.0010.577(0.023)=73.988如圖(x-R控制圖)所示。當(dāng)把預(yù)備樣本的均值描點(diǎn)在x圖中后，根據(jù)判斷穩(wěn)態(tài)的準(zhǔn)則知過程的均值處于穩(wěn)態(tài)。由于x圖和R圖都處于統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài),且從該廠知過程也處于技術(shù)穩(wěn)態(tài),于是上述x-R圖可加以延長，作為控制用控制圖供日常管理之用。耒甸中匚-R風(fēng)的日岸曾理封據(jù)神Q用號(hào)觀團(tuán)爸174,31274皿肆C3Qh嘶74遢MOK0|)4+27?,.39574一Old73.907401574

25、.DC1H.C02飢踏373.jy?733疋.融74財(cái)73唄穩(wěn)議41-M14-.QIC74.CC313.1詔.恥n.oio5顯M74.QCC74.CG1739爛gO.Oli573,14.0CB74TJ5馬弭74.CU7罠鍛丁応妣74.00274.01SS73.955740D574.C06o皿7Q0l74.0M陽.暢12.613卿73,598iiputg7.015卻00074.01S冥(MD?*.C1I197.030弛0354.000744127；.C13(I.03C1174.00173.9無75.955.010T4(2474.C04o.o127O1574.0Z?刃皿74.30574nn74,0

26、17o.ois川4孔740D74.0174.015482574.020.02JU他0一740H74.il3u74.-25：4.02674.0230.02J157.01074妙74.074-.C(TI.0-074.U150切步驟6:延長上述x一R圖的控制界限作控制用控制圖。為了進(jìn)行日常管理該廠又取了15個(gè)樣本，參見x一R圖的日常管理數(shù)據(jù)表。在計(jì)算出各個(gè)樣本的x與R后在x一R圖描點(diǎn)，如x一R圖用于日常管理圖所示。從圖中可見,x圖在第11個(gè)樣本后的幾個(gè)點(diǎn)子均出界，說明存在異常因素。事實(shí)上，從x圖上第9、第10個(gè)點(diǎn)子后的點(diǎn)子逐漸上升的趨勢(shì)已可看出這是由于過程均值逐漸增大的結(jié)果。CL=74.0mULC=

27、74.01474.03074.02D74.010壬74,00073.99073.980-UCL=0,049CL=0,n23現(xiàn)在對(duì)x一R圖進(jìn)行一些討論:1.如何聯(lián)合應(yīng)用x一R圖查找異常。如表（xR圖的判斷）所示，表中情況一、二、四o2的判斷是成立的，至于情況三，現(xiàn)在說明如下:對(duì)于正態(tài)分布總體N（卩，），只有卩變化而G不變，則在x圖將由于描點(diǎn)出界的概率增大而告警;但若只有G變化，而卩不變，這時(shí)不僅R圖將由于描點(diǎn)出界的概率增大而告警，且x圖中描點(diǎn)出界的概率也增大，從而也會(huì)告警。所以在情況三,R圖告警可以判斷G變化，而x圖同時(shí)告警則不能判斷卩一定發(fā)生變化，因?yàn)橛锌赡苁怯捎贕變化引起的，卩是否發(fā)生變化應(yīng)

28、視具體情況而定。x一R圖的判斷情況x圖R圖判斷-一一告警未告警卩變化-二二未告警告警。變化三告警告警。變化，至于卩變化是否發(fā)生應(yīng)視具體情況而定四未告警未告警正常樣卒序號(hào)m3.5.3-3容灘圖2容差圖。在x圖上的描點(diǎn)是樣本的平均值x而非樣本的各個(gè)測(cè)量值x,有時(shí)將樣本中的逐個(gè)x反映在規(guī)格界限的容差圖中是有用的,如圖（容插圖）所示。圖中的豎線表示該樣本中各個(gè)x值的范圍，規(guī)格界限為74.0000.03。從圖（容插圖）可見圖（x一R圖用于日常管理圖）連續(xù)4個(gè)點(diǎn)子出界并非是由于樣本的個(gè)別異常觀測(cè)值造成的,而是由于過程均值的偏移而造成的。我們求得從第9組到第15組樣本的總均值為74.015,若過程均值從原來

29、的穩(wěn)定值74.001偏移到此值,則將產(chǎn)生6.43%的不合格品。控制界限、規(guī)格界限與自然容差界限間的關(guān)系。x一R圖的控制界限與規(guī)格界限毫無關(guān)系完全是兩碼事。規(guī)格界限是由技術(shù)經(jīng)濟(jì)要求所決定的,而控制界限則是由過程的以標(biāo)準(zhǔn)差。度量的自然變異度，亦即過程的自然容差界限所決定的兩者不可混為一談，如圖（控制界限、規(guī)格界限于自然容差界限）所示。應(yīng)用x一R的一些注意事項(xiàng)：（1）合理分組原則。在收集數(shù)據(jù)進(jìn)行分組時(shí)要遵循休哈特的合理分組原則:1）組內(nèi)差異僅由偶然波動(dòng)（偶然因素）造成;2）組間差異主要由異常波動(dòng)（異常因素）造成。下面作些說明。首先，若過程穩(wěn)定，則在過程中只存在偶然波動(dòng)（偶然因素），它由3。方式中的。

30、所反映。如果確定。值不僅有偶然波動(dòng)而且還有異常波動(dòng)，則。值增大，也即上下控制界限的間隔加大。在極端情況下,若異常波動(dòng)全部進(jìn)入。值的計(jì)算，則上下控制界限的間隔將大到使任何點(diǎn)都不會(huì)出界。從而控制圖就失去了控制的作用。因此,一個(gè)樣本組內(nèi)各個(gè)樣品特性值的差異要求盡可能由偶然波動(dòng)造成。這就要求同一個(gè)樣本組的各個(gè)樣品的取樣應(yīng)在短時(shí)間內(nèi)完成。其次，各個(gè)樣本組的統(tǒng)計(jì)量平均值也是有差異的。由于偶然波動(dòng)始終存在，它必然會(huì)對(duì)此差異有影響，但這種影響是微小的。若過程異常，要求統(tǒng)計(jì)量平均值之間的差異主要由異常波動(dòng)（異常因素）造成，這樣便于由控制圖檢出異常。這就要求在容易產(chǎn)生異常的場(chǎng)合增加抽樣頻率，反之，亦然。（2）經(jīng)濟(jì)

31、性。抽樣的費(fèi)用不得高于所獲得的效益。（3）樣本大小n和抽樣頻率。若用x控制圖去檢出過程的較大偏移，例如2。或更大的偏移,則可用較小的樣本（如n=4,5或6）即可將其檢出，若檢出較小的過程偏移,則需用較大的樣本，甚至需要n=15至25。當(dāng)然，較小的樣本在抽樣時(shí)正好碰到過程偏移的可能性也小。因此，可以采用添加警戒限和其他判定界內(nèi)點(diǎn)非隨機(jī)排列的原則，來提高控制圖檢出過程小偏移的能力，而不采用大樣本的作法。對(duì)于R圖，若采用小樣本則對(duì)于檢出過程標(biāo)準(zhǔn)差的偏移是不很靈敏的，但大樣本（n10），用極差法估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的效率將迅速降低。因此，對(duì)于n10的樣本，應(yīng)該采用s圖而不用R圖。在確定正圖和R圖的樣本大小時(shí)，x

32、圖和R圖的操作特性曲線是有用的。至于抽樣頻率,1實(shí)踐表明多傾向于采用小樣本、短間隔而不是大樣本、長間隔。（4）x圖和R圖檢出過程質(zhì)量偏移的能力可由其操作特性曲線（簡稱OC曲線）來描述。1）x圖的檢定能力和0C曲線。假定過程標(biāo)準(zhǔn)差。為常數(shù)，若過程均值由穩(wěn)定狀態(tài)值卩。偏K移到另一值卩1，其中卩i=g0+O,則在偏移后第一個(gè)抽取的樣本未檢出此偏移的概率（即第II類錯(cuò)誤的概率）或B風(fēng)險(xiǎn)為5。3-11）B=PLCLWxWUCL|u=u1=uO+K。TOC o 1-5 h zO2-由于xN,/n）,而x圖的上下控制界限分別為UCL=g0-于是,可將式（5.3一11）寫成UCL-（卩UCL=g0+K）ucl

33、-（卩+K）4ooBSo/n-o/.0$55fl.IC.J51u.nwc(U陽1血5D.GHCiO.OSZQ.屬1$0.01?20.BI6Q.：煩&B0.99730.95450.86640.79680.68280.54680.4514另外，還可以討論均值卩及標(biāo)準(zhǔn)差。同時(shí)變化時(shí)x圖的第II類錯(cuò)誤概率卩值，這里只給出的計(jì)算公式及當(dāng)n=4時(shí)的卩值(見表卩及g同時(shí)變化時(shí)x圖的卩值(n=4)3-K,；n“V-oF(5.3-15)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)可畫出如卩及。同時(shí)變化時(shí)x圖的0C曲線所示的一系列0C曲線。由圖中可見，當(dāng)g增大，即K1值變大時(shí)，曲線的傾斜率變得平緩;而K1值較小時(shí)x圖的卩值隨K值增大而激減，亦

34、即x圖檢出過程均值偏移的概率激增，即x圖的靈敏度增加。3.S.3-7療-變彳七日寸尺圖的OC曲線1ooG.900.800,700.40G.3009200-100.60L.R0,66圖3.S.3-6川及疔何吋變讓時(shí)齊圖的OC曲線J只一1=210或12時(shí),一般應(yīng)采用s圖來代替R圖。x一R圖的檢定能力。分析了x圖和R圖的檢定能力，現(xiàn)在來分析x圖和R圖同時(shí)使用時(shí)的總檢定能力。在樣本大小n較小時(shí)，x一R圖未能檢出過程偏移的概率等于它們個(gè)別未能檢出過程偏移的概率的乘積。設(shè)BX為x圖未能檢出偏移的概率，卩R為R圖未能檢出偏移的概率卩R為x一R圖未能檢出偏移的概率，則有BT=pXBR圖的值(-2=4)X315

35、60-0.2350J.04(i5。皿0.50.X674J。叭iO.Q2(i(1.(40.-835o,館daortD.0J951丄U/5O3DM000抽5D.CISt2.00.20210J1330,G579003Qs(t.UlO2J0.1皿1O.ff/830.0-580CM0-01523.L0.|30嘶o.oy40121+0-01323.50.01500/28t0.D344O.C170D-01124.CD.004L0.016424.；D.W150.C072fl.W5也如：)”即i5.0D10C1o.cas:0.W3IJ.CTtSXOOi85.5moo(|0.U12U.OE6fl,(KM7J.OW

36、16.0LC-IMI(IO.CD040.血00.0031JOM5例如，當(dāng)n=4時(shí),可以算得x一R圖的命值如表所示。對(duì)于不同的n可能算出不同的卩T值。由表x一R圖的B值(n=4)中數(shù)據(jù)可見同時(shí)應(yīng)用x圖和R圖的檢定能力比單獨(dú)使用x圖或R圖的檢定能力大。四、x-s(均值-標(biāo)準(zhǔn)差)控制圖若樣本大小n較大，例如n10或12,這時(shí)用極差法估計(jì)過程標(biāo)準(zhǔn)差的效率較低。最好在xR中用s圖代替R圖。CL=S5.4-6）若6為一概率分布的未知方差，則樣本方差2=ni工（xx）2ii=1為2的無偏估計(jì)量，但樣本標(biāo)準(zhǔn)差s并非是O的無偏估計(jì)量。若樣本取自正態(tài)總體,可以證明s=川1C4，這里C4為一與樣本大小n有關(guān)的常數(shù)。

37、現(xiàn)在，我們考慮。已知的情況，由于E(s)=C4。，故s圖中的中心線為C4。，于是s圖的控制線為cJ1C2UCL=4+3g4cCL=4LCL=C4-3少1C4定義則代如上式后，得到已知的圖的控制線為BUCL=6rCL=4BLCL=5式中，系數(shù)B5、B6可自附錄V表A一5查得。5.4-1）（5.4-2）（5.4-3）（5.4-4）若。未知，則必須根據(jù)以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。從E(s)=C46有=s/C4,這里iy.Sis=mi=1(5.4-5)于是得到。未知情況的s圖的控制線為SI,IScj1C2、UCL=s+344定義s1ScJl-C2UCL=s-3445.4-7)1I5.4-8)Bc：1-C24=

38、1+344由此得到。未知情況的s圖的控制線為UCL=B4SCL=sLCL=B3S式中，系數(shù)B3、B4可從附錄V查得。在應(yīng)用x-s圖時(shí),相應(yīng)的正圖的控制界限也需要應(yīng)用s/C4來估計(jì)于是這時(shí)x圖的控制線為3sUCL=x+(4913000.W91斗笳3().032158100,103iti827a085.IQ3177530.040tk1061857!0.0180.116199J(50.IWLCL=萬3P(1P)/ni例某半導(dǎo)體器件廠2月份某種產(chǎn)品的數(shù)據(jù)如表3.5.7-1中的第(2)、(3)欄所示。作p控制圖對(duì)其進(jìn)行控制。解我們按下列步驟進(jìn)行:步驟1:預(yù)備數(shù)據(jù)的取得。已給定數(shù)據(jù)如上表所示。步驟2:計(jì)算

39、樣本不合格品率。表3.5.71中第(2)、(3)欄數(shù)據(jù),算得第一個(gè)樣本的不合格品率為p1=2/85=0.024其余類推。步驟3:計(jì)算p。從表3.5.71末行可得步驟4:計(jì)算p圖的控制線。將p=0.0389代入式(3.5.78)得到p圖的控制線為UCL=0.0389+30.0389(1-0.0389)/niCL=0.0389LCL=7-3j0.0389(10.0389)/ni由于本例各個(gè)樣本的樣本大小n不相等，所以必須對(duì)各個(gè)樣本分別求出其控制界限。如對(duì)于第一個(gè)樣本，在式(3.5.79)中代入nl=85后，得到UCL=0.0389+0.58A85=0.102CL=0.0389LCL=0.03890

40、.58/850.024這里丄CL取負(fù)值，由于p不可能為負(fù)，故令LCL=0作為p1的自然下界。其余各個(gè)樣本以此類推，參見圖3.5.7一1。為了判斷過程是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，將各個(gè)樣本的不合格品率描點(diǎn)在圖3.5.7一1中。由于第27個(gè)樣本的點(diǎn)子出界，所以過程失控，需要執(zhí)行第二章(五)的20個(gè)字，找出異常因素并采取措施保證它不再出現(xiàn)。然后重復(fù)步驟14,直到過程穩(wěn)定為止，這時(shí)p圖可作為控制用控制圖供日常管理使用?，F(xiàn)在，對(duì)p圖進(jìn)行一些討論：本大小n的確定。若過程不合格品率P很小,則必須選擇樣本大小n充分大才能使得樣本中至少包含1個(gè)不合格品的概率很大。否則，若P很小而n又不大,p圖的控制界限將使得樣本中只要出

41、現(xiàn)1個(gè)不合格品就會(huì)點(diǎn)子出界從而顯示過程失控。如設(shè)P=0.01，n=8,則上控制界為UCL=P+3丫P(I-P)/n=0.01；(0-01)(0-09)/8=0.1155CL=3,8?X1O()1234i7BjlCi1214Ifi182?24262311持15I/iii21X罰佟11-n-9*7-圖3.5.713.5.7-1的護(hù)圖如果現(xiàn)在樣本中有一個(gè)不合格品，則樣本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p圖中的描點(diǎn)出界。事實(shí)上，由于P0,總會(huì)出現(xiàn)一些不合格品,所以只憑出現(xiàn)一個(gè)不合格品就判斷過程失控是不合理的。為了避免這種情況，可以選擇充分大的n使得樣本中至少包含1個(gè)不合格品的概率不小于某個(gè)數(shù)值

42、r。通常，取nP在1到5的范圍內(nèi)，即取1/Pno即要求1-PnPK2設(shè)P=0.01,K=3,若要求LCL為正，則1-0.01n0.0132p圖上點(diǎn)子超出下控制界限。在戶圖上點(diǎn)子超出LCL，表明過程不合格品率異常低,這是好現(xiàn)象,應(yīng)認(rèn)真總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。但這時(shí)必須注意是否有下列可能:(1)由于質(zhì)量檢驗(yàn)人員缺乏經(jīng)驗(yàn)而漏檢;(2)檢驗(yàn)儀表有問題;(3)數(shù)據(jù)不真實(shí)。各組樣本的樣本大小不等時(shí)的p圖。這時(shí)控制界限成凹凸?fàn)?，如圖3.5.7一1所示，作圖很不方便。令元為各組樣本大小的平均值，若n的變化在元土元/2范圍內(nèi)，則可用下列近似方法計(jì)算p圖的控制線：UCL=p3p(1-p)/nCL=pLCL=p+3P(1-P)/

43、n1于.ni式中，n=m匸1。注意，應(yīng)用此法，當(dāng)點(diǎn)子十分接近控制界限時(shí)仍需要按式(357一8)重新計(jì)算精確的控制界限,以判斷點(diǎn)子是否出界。本教材第六章提出的通用控制圖解決了這一問題。應(yīng)用PT(通用不合格品率)控制圖代替戶圖，作圖既方便，同時(shí)判斷又精確。當(dāng)樣本大小n不等時(shí)，控制界限成凹凸?fàn)?。這時(shí)應(yīng)用3.4.4節(jié)判斷異常的準(zhǔn)則中的界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)的各種模式進(jìn)行判斷要特別小心，因?yàn)檫@時(shí)樣本不合格品率的描點(diǎn)距離中心線的相對(duì)位置與樣本大小n有關(guān)。設(shè)過程的P=0.20,現(xiàn)有連續(xù)兩個(gè)樣本，一個(gè)樣本的pi=0.24,ni=250,另一樣本的如pi+1=0.28,ni+1=50。表面上看來,pi=0.24的描點(diǎn)

44、距離中心線要比pi+1=0.28的描點(diǎn)更近。實(shí)際上，如果以標(biāo)準(zhǔn)差為單位進(jìn)行度量則第i個(gè)樣本距離中心線的標(biāo)準(zhǔn)化的距離為pi-P0.24-0.20di，Hl-P”n八心20(0.80)/250二58而第i+1個(gè)樣本距離中心線的標(biāo)準(zhǔn)化的距離為p(i+1)-P0.28-0.20di=Jp(i-p)/Z=J0.20(0.80)750二41即實(shí)際上第i+1個(gè)描點(diǎn)比第i個(gè)描點(diǎn)距離中心線更近。在通用圖上，所有點(diǎn)子都是經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)變換的，所以在圖上識(shí)別各種界內(nèi)點(diǎn)排列非隨機(jī)的模式要比P圖方便、精確。八、pn(不合格晶數(shù))控制圖若過程處于穩(wěn)定狀態(tài)，過程的不合格品率為P,則在包含n個(gè)樣品的一個(gè)隨機(jī)樣本中出現(xiàn)的不合格品數(shù)D

45、服從二項(xiàng)分布。從2.3.5節(jié)知，隨機(jī)變量D的均值為nP,而方差為nP(lP)。于是根據(jù)式(3.3.21),若考慮3?？刂平缦?則已知n、P情況的pn圖的控制線為UCL=nP+3nP(1P)CL=nPLCL=nP-3叮np(1P)若過程的不合格品率P未知，需用P進(jìn)行估計(jì)，則將P代入式(3.5.81)后得如圖的控制線為UCL=np-3:nP(1-P)CL=pLCL=np+3nP(1-P)可見，在UCL、CL、LCL中都包含參數(shù)n。若各樣本的n不等，則UCL、CL、LCL三者都呈凹凸?fàn)?作圖極其不便。因此，一般pn圖只用于各樣本的n相等的情況，若n不等,則需用pnT(通用不合格品數(shù))圖(參見3.6節(jié))。無論n相等或n不等，pnT圖均可應(yīng)用，十分方便。九、c(缺陷數(shù))控制圖一定檢查單位的產(chǎn)品的缺陷數(shù)通常服從泊松分布，即ex入tp(x)=x!(x=0,1,2,.,)式中，x為缺陷數(shù)，平均缺陷數(shù)入(九0)為泊松分布的參數(shù)。泊松分布的均值與方差都等于參數(shù)九若考慮3o控制界限，則已知過程平均缺陷數(shù)入的情況的c圖的控制線為UCL=X+3i入CL氓LCL氓-3汪若參數(shù)入未知，則須根據(jù)以往的數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。設(shè)檢驗(yàn)了m個(gè)檢查單位的產(chǎn)品,其缺陷數(shù)分別為c,i=l,2.,m,于是樣本的平均缺陷數(shù)為，1cC=m