剛體的平面運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)課后答案

1、剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，可視為剛體的平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。本章研究的主要內(nèi)容是如何描述剛體的平面運(yùn)動(dòng)，以及如何計(jì)算剛體上點(diǎn)的速度和加速度。一、剛體的平移（平動(dòng)）剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，如果其上任一直線始終保持與初始的方向平行，則稱該剛體作平移或平動(dòng)。平移剛體上各點(diǎn)的速度相同，加速度相同，運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀也相同。因此研究剛體的平移問題可簡(jiǎn)化成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來研究。二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上（或剛體的延展體上）有一直線保持不動(dòng)，且剛體繞此直線轉(zhuǎn)動(dòng)，則稱該剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程：9=3（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度：3=皆2）（3

2、）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角加速度：a=T=g（4）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)P的速度和加速度用矢量表示(7-1)(7-2)力口速度：=t+n=axr+dxv速度：v=a）xr其中：ag為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度矢量，/是由轉(zhuǎn)軸上任煮引1向P點(diǎn)的矢徑。三、剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離保持不變，則稱該剛體作平面運(yùn)動(dòng)。研究剛體的平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為研究一個(gè)平面圖形在其所在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。1、剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度在平面圖形上任取兩點(diǎn)A、B,過這兩點(diǎn)的連線某一基準(zhǔn)線的夾角為&（如圖7-2）。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)這個(gè)夾角將隨時(shí)間變化，剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度分別定義為:(7-3

3、)(74)2、剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程平面運(yùn)動(dòng)剛體有三個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)方程為：勺=久（0，）1=（），0=厶（。（7-5）其中：A點(diǎn)稱為基點(diǎn)（如圖7-3所示）。因此剛體的平面運(yùn)動(dòng)可視為剛體隨基點(diǎn)的平剛體的平面運(yùn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式，可視為剛體的平移與轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。本章研究的主要內(nèi)容是如何描述剛體的平面運(yùn)動(dòng)，以及如何計(jì)算剛體上點(diǎn)的速度和加速度。一、剛體的平移(平動(dòng))剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，如果其上任一直線始終保持與初始的方向平行，則稱該剛體作平移或平動(dòng)。平移剛體上各點(diǎn)的速度相同，加速度相同，運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀也相同。因此研究剛體的平移問題可簡(jiǎn)化成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題來研究。二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程

4、中，若其上(或剛體的延展體上)有一直線保持不動(dòng)，且剛體繞此直線轉(zhuǎn)動(dòng)，則稱該剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程：歸心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角加速度：a=cb=(p=f(t)(7-1)(7-2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上一點(diǎn)P的速度和加速度用矢量表示力口速度：+速度:其中：為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度矢量，廠是由轉(zhuǎn)軸上任煮引1向P點(diǎn)的矢徑。三、剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，若其上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離保持不變，則稱該剛體作平面運(yùn)動(dòng)。研究剛體的平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為研究一個(gè)平面圖形在其所在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。1、剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度在平面圖形上任取兩點(diǎn)A、B,過這兩點(diǎn)的連線某一基準(zhǔn)線的

5、夾角為0(如圖7-2)。當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)這個(gè)夾角將隨時(shí)間變化&,剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度分別定義為：(7-3)a=cb=d(74)2、剛體平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程平面運(yùn)動(dòng)剛體有三個(gè)自由度，其運(yùn)動(dòng)方程為：=%(/),)=()，0=人(。(7-5)其中：A點(diǎn)稱為基點(diǎn)(如圖7-3所示)。因此剛體的平面運(yùn)動(dòng)可視為剛體隨基點(diǎn)的平移和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，而剛體的平面平移(0三。，其中c為常量)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)其中55為常量）又是剛體平面運(yùn)動(dòng)的特殊情況。同一平面運(yùn)動(dòng)剛體，若選取得不同的基點(diǎn)，則基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程會(huì)有所不同，剛體繞不同基點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度只相差一個(gè)常量，因此剛體的角速度和角加速度與基點(diǎn)的選取無關(guān)，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)剛體角

6、速度、角加速度的定義（73）式和（7-4）式也可得到這一結(jié)論。3、平面圖形上各點(diǎn)的速度基點(diǎn)法公式：打=+%1（76）基點(diǎn)法公式建立了平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度與平面圖形角速度的關(guān)系。速度投影定理：平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線上的投影相等，BP：ya=yrh（7一7）該定理反映了剛體上任意兩點(diǎn)間距離保持不變的性質(zhì)。速度瞬心法：只要平面圖形的角速度不為零，就必定存在唯一的一點(diǎn)，其速度在該瞬時(shí)為零，該點(diǎn)稱為平面圖形的速度瞬心，用-表示。平面圖形上任一點(diǎn)M的速度可表示成兒”（7-8）其中：是從速度瞬心S引向M點(diǎn)的矢徑，Q為平面圖形的角速度矢量。4、平面圖形上各點(diǎn)的加速度基點(diǎn)法公式：aB=aA+A

7、+aBA（7-9）其中：心=基點(diǎn)法公式建立了平面圖形上任意兩點(diǎn)的加速度與平面圖形的角速度和角加速度間的關(guān)系。只要平面圖形的角速度和角加速度不同時(shí)為零，則其上必存在唯一的一點(diǎn)，其加速度在該瞬時(shí)為零，該點(diǎn)稱為平面圖形的加速度瞬心，用Q表示。3-3取套筒E為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理町得:VaCOS30=“e=族,3戒2V3col研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有：vA=vDcos30%為=斗3族再取套筒D為動(dòng)點(diǎn)，EC桿為動(dòng)系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理=眈+怙將上式在X軸上投影有：一=_%+怙，3-4AE構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動(dòng)，已知A點(diǎn)的速度vA=450cm/jAB的速度瞬心

8、位于C,應(yīng)用速度瞬心法有:v43coAk=-=-iad/s恥AC2%=%BC,設(shè)OB桿的角速度為，則有叫15亠co=rad/sOB4設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn)，該點(diǎn)的速度：=3aP齒輪I的角速度為：=6iad/s3-6AE桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有：將上式在AB連線上投影，可得因此,因?yàn)镋點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為零,因此只有切向加速度（方向如圖）。根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式aB=aA+aBABA將上式在AB連線上投影，可得-ciBcos60=aA+a二，aB=一2.5祝ra0=-coz（瞬時(shí)針）%QB2037齒輪n作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)有5=aA+aBA+aBAa=ai+aA+

9、aA將上式在X投影有：一GCOS0=5一硯由此求得:力=GCOS02幾再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有：osin0皿=勺心,由此求得cisin/3=2幾再研究齒輪II上的圓心，取A為基點(diǎn)OA1將上式在y軸上投影有asmpao2=aozA=r2aH=由此解得：_aoz_asin0aPz+r22(斤+q)再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有:由此解得：GCOS0勺2又因?yàn)?匕+廠2”巧心由此可得:acos0_d%=_V2(/;+/;)3-9卷筒作平面運(yùn)動(dòng)，C為速度瞬心,其上D點(diǎn)的速度為，卷筒的角速度為:0)=VDCvR-r角加速度為：卷筒o點(diǎn)的速度為：o點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為:va=co=R-raR-r=o

10、)R=vRR-rvR_ciRR-rR-r研究卷筒，取o為基點(diǎn)，求E點(diǎn)的加速度。QBao+aBO+aBQ將其分別在x,y軸上投影QBx=4。+QBOaBy=aBOaB=yjaBx+aBv=4a_(R_F)-+”4Kr)同理，取o為基點(diǎn)，求c點(diǎn)的加速度。c=o+uo+co將其分別在xy軸上投影Rv2(S)3-10圖示瞬時(shí)，AB桿瞬時(shí)平移，因此有：vB=vA=coOA=2nVsAB桿的角速度：60=0圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤的的角速度為：coB=4m/s圓盤上C點(diǎn)的速度為：vc=PC=2V2m/sAB桿上的A、E兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有將上式在X軸上投影可得：一；=因

11、此：Vab=a；=8m，s由于任意瞬時(shí)，圓盤的角速度均為：將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：5一一rr,由于。；=,所以圓盤的角加速度5=如=。圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，取E為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有:紜=5+%+S=5+Scic=83-13滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度aB=aA+r+QK由于ED桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此8=5將上式分別在Xf軸上投影有9%=%sin30。+a/)Kcos30=-coraD.y=-a氐-5cos30+%SHi30=一字廠3-21由于圓盤純滾動(dòng)，所以有=8根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有：mac=FcqsO-Fs0=F+尸sin0mg根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有mp2a=Fsr-FrQ求解上式可得：F

12、r(rcos0-rQ)m(r2+p2)Fn=mg-Fsin0F3cosO+rrQ)7r廠+0-若圓盤無滑動(dòng)，摩擦力應(yīng)滿足FsWn,由此可得:當(dāng)；mgFsm0時(shí)，F(xiàn)(p2cos&+s)(mg-Fsin0)(r2+p2)=fJmin吉加ab=FanfCOS0剛體AB作平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，角速度為零。3-25設(shè)板和圓盤中心O的加速度分別為圓盤的角加速度為a,圓盤上與板的接觸點(diǎn)為A,則A點(diǎn)的加速度為將上式在水平方向投影有aAx=ao+aAOaO+曲=6(a)取圓盤為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有m2ao=F2應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理有-mR2a=F、R2-再取板為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)

13、動(dòng)定理有叫=F_Fs_F?作用在板上的滑動(dòng)摩擦力為：由(a)(b)(c)(d)(e)聯(lián)立可解得：”_3F3/(“+s)g1_+rn23-29解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，只有AB桿的重力作功，因此應(yīng)用動(dòng)能定理，可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到一般位置時(shí)，其動(dòng)能為AB桿的動(dòng)能與圓盤A的動(dòng)能之和:TOC o 1-5 h z丁121z212172T工=-ivc+丿厶其中：.IVC=_尹，vA=coABlsin0=-Isni60.vA/sin00g=因此系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示成:+獸宀如(皿叭+巧1ukR2/sinO0TTi(ioX-2I2J=lw/+lmjsin2614-系統(tǒng)從=45位置運(yùn)動(dòng)到任意&角位

14、置，AB桿的重力所作的功為：W2=“gf(sin45-sin。)根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式tA=W2初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以人=,因此有-mO2+-mJ202sin20-m1g-(sin45_sin。)TOC o 1-5 h z642將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得:3r3Imj200sin20+mJ26zsin&cos&=-mx2cos0O2212將上式中消去0可得：-3-3I-mj20+-mJ20sin20+mJ202cos&sin。=-/w.cos3222根據(jù)初始條件0=0,0=45,可求得初始瞬時(shí)ab桿的角加速度：3邁gg(4/w1+9m2)1因?yàn)樗訟B桿的角加速度為順時(shí)針。初始瞬時(shí)AB桿的角速度為零，

15、此時(shí)AB桿的加速度瞬心在5點(diǎn),由此可求出AB桿上A點(diǎn)的加速度：訕5。245。=3-33設(shè)碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示A,/,/,C%1,因此于（）。若/（&）的最小值人于零，則AE桿就可以完成整圈轉(zhuǎn)動(dòng)。下面求/（&）的極值。/(&)=asin&+gcos&+3v2將上式求導(dǎo)令其為零有廣（&）fcos&gsin&=0求得極值點(diǎn)為:su2=,cos6*=j卜函數(shù)/（）取最人值當(dāng)sin。*=,cos0=.J，+g2函數(shù)/（）取最小值，若使最小值人于零，則有l(wèi)l02=-prr4+&/&J+曠+劉&由此求得：3v28心+yjcr+g2)思考題與習(xí)題（剛體的平面運(yùn)動(dòng)）7-1平面運(yùn)動(dòng)剛體如圖所示

16、，哪種運(yùn)動(dòng)情況是可能的?P：=-aB,co0aA=sH0(b)龍(e)011(f)0KIM0|/J|-=0題71圖7-2如圖所示圓盤在地面上純滾動(dòng)，圓盤中心的速度為(常量)，設(shè)P為圓盤左半側(cè)的任意一點(diǎn)(且不在鉛垂直線上)，若為該點(diǎn)速度的大小，貝山叫0A:宙11叫-o嘰0drB:drc：)xiyxy題72圖題73圖7-3半徑為廠的齒輪A通過OA桿連接在半徑為R的固定齒輪O上純滾動(dòng)，且R=nr(/?為正整數(shù))，若OA桿轉(zhuǎn)動(dòng)一周，求齒輪A轉(zhuǎn)過的角度。7-4機(jī)構(gòu)如圖所示，AB桿以勻角速度繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圖示瞬時(shí)，AB桿平行于CD桿，試確定BC桿和CD桿的角加速度轉(zhuǎn)向。7-5半徑為廠的圓盤A以勻角速度血在半徑為R的固定半圓盤上純滾動(dòng)，求圓盤中心A的加速度。7-6滑塊A以勻速叮沿水平滑道運(yùn)動(dòng)，AE桿的A端用較鏈與滑塊A連接，另一端放在半徑為R可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，桿與圓盤無相對(duì)滑動(dòng)。求圖示瞬時(shí)圓盤的題76圖題77圖7-7邊長(zhǎng)為血厶的正方形板在自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，圖示瞬時(shí)圓盤的角速度為血，角加速度為a,求該瞬時(shí)板上最高點(diǎn)的速度和加速度。78機(jī)構(gòu)如圖所示，長(zhǎng)為0.1m的曲柄QA以勻角速度coY=4iad/s繞Q軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同樣長(zhǎng)的曲柄以勻角速度冬=2說/s繞Q軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿BD可在套筒AC中滑動(dòng)。在圖示瞬時(shí)，曲柄3鉛垂，曲柄水平，AB與水平線的夾角為45。，且AB=0.4V2m,求