2022年新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練39立體幾何中的向量方法含解析新人教版

1、PAGE PAGE 12考點(diǎn)規(guī)范練39立體幾何中的向量方法一、基礎(chǔ)鞏固1.直線l的方向向量s=(-1,1,1),平面的法向量為n=(2,x2+x,-x).若直線l平面,則x的值為()A.-2B.-2C.2D.22.已知平面的一個(gè)法向量為n=(1,-3,0),則y軸與平面所成的角的大小為()A.6B.3C.4D.563.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,若AB=2,AF=1,點(diǎn)M在EF上,且AM平面BDE,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(1,1,1)B.23,23,1C.22,22,1D.24,24,14.如圖,在長(zhǎng)方

2、體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ACD1的距離為()A.12B.22C.13D.165.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,則()A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面6.如圖,在三棱錐S-ABC中,SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=2,M,N分別是AB和SC的中點(diǎn),則異面直線SM與BN所成的角的余弦值為,直線SM與平面SAC所成角的大小為.7.在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中,ABC=

3、90,ADBC,SA平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,則平面SCD與平面SAB夾角的余弦值是.8.(2020全國(guó),理19)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.9.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分別為AC,AA1,AB的中點(diǎn).(1)求證:B1C1平面DEF;(2)求EF與AC1所成角的大小;(3)求點(diǎn)B1到平面DEF的距離.二、綜合應(yīng)用10.如圖

4、,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為,則sin 的取值范圍是()A.33,1B.63,1C.63,223D.223,111.如圖,等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為33,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值等于.12.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB.(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理

5、由.13.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA底面ABC,BAC=90,點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=4,AB=2.(1)求證:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知點(diǎn)H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為721,求線段AH的長(zhǎng).三、探究創(chuàng)新14.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別為線段B1D1,BC1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.DB1平面ACD1B.平面A1C1B平面ACD1C.點(diǎn)F到平面ACD1的距離為定值33D.直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為定值13考點(diǎn)規(guī)

6、范練39立體幾何中的向量方法1.D當(dāng)線面平行時(shí),直線的方向向量垂直于平面的法向量,故-12+1(x2+x)+1(-x)=0,解得x=2.2.B可知y軸的方向向量為m=(0,1,0),設(shè)y軸與平面所成的角為,則sin=|cos|.cos=mn|m|n|=-321=-32,sin=32,=3.3.C設(shè)M(x,x,1).由已知得A(2,2,0),B(0,2,0),D(2,0,0),E(0,0,1),則AM=(x-2,x-2,1),BD=(2,-2,0),BE=(0,-2,1).設(shè)平面BDE的法向量為n=(a,b,c),則nBD,nBE,即2a-2b=0,-2b+c=0.令b=1,則可取n=(1,1,

7、2).又AM平面BDE,所以nAM=0,即2(x-2)+2=0,得x=22.所以M22,22,1.4.C如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),從而D1E=(1,1,-1),AC=(-1,2,0),AD1=(-1,0,1).設(shè)平面ACD1的法向量為n=(a,b,c).則nAC=0,nAD1=0,即-a+2b=0,-a+c=0,得a=2b,a=c.令a=2,則可取n=(2,1,2).所以點(diǎn)E到平面ACD1的距離為h=|D1En|n|=2+1-23=13.5.B以D為坐標(biāo)原

8、點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=(13,13,-13),BD1=(-1,-1,1),EF=-13BD1,A1DEF=ACEF=0,從而EFBD1,EFA1D,EFAC.故選B.6.1054因?yàn)锳SB=BSC=CSA=2,所以以S為坐標(biāo)原點(diǎn),SA,SB,SC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,圖略.設(shè)

9、SA=SB=SC=2,則M(1,1,0),B(0,2,0),N(0,0,1),A(2,0,0),C(0,0,2).因?yàn)镾M=(1,1,0),BN=(0,-2,1),所以cos=-225=-105,所以異面直線SM與BN所成的角的余弦值為105.平面SAC一個(gè)法向量為SB=(0,2,0),則由cos=222=22,得=4,所以直線SM與平面SAC所成角的大小為4.7.63如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則有D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=12,0,0是平面SAB的一個(gè)法向量.設(shè)平面SCD的法向量n=(x,y,z),因?yàn)镾D=12,0,-1,DC=12,1,0,所以nS

10、D=0,nDC=0,即x2-z=0,x2+y=0.令x=2,則y=-1,z=1,所以可取n=(2,-1,1).設(shè)平面SCD與平面SAB的夾角為,則cos=|ADn|AD|n|=122+0(-1)+0112222+(-1)2+12=63.8.解設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,如圖,以C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1D1的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系C1xyz.(1)證明:連接C1F,則點(diǎn)C1(0,0,0),A(a,b,c),E(a,0,23c),F(0,b,13c),EA=(0,b,13c),C1F=)0,b,13c),得EA=C1F,因此EAC1F,即A,E,F,C1四點(diǎn)共面.所以點(diǎn)C1在平面A

11、EF內(nèi).(2)由已知得點(diǎn)A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A1(2,1,0),AE=(0,-1,-1),AF=(-2,0,-2),A1E=(0,-1,2),A1F=(-2,0,1).設(shè)n1=(x,y,z)為平面AEF的法向量,則n1AE=0,n1AF=0,即-y-z=0,-2x-2z=0,可取n1=(-1,-1,1).設(shè)n2為平面A1EF的法向量,則n2A1E=0,n2A1F=0,同理可取n2=12,2,1.因?yàn)閏os=n1n2|n1|n2|=-77,所以二面角A-EF-A1的正弦值為427.9.(1)證明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1BC.D,F分別是AC,A

12、B的中點(diǎn),FDBC,B1C1FD.又B1C1平面DEF,DF平面DEF,B1C1平面DEF.(2)解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).EF=(-1,1,-1),AC1=(-2,0,2).EFAC1=2+0-2=0,EFAC1,EF與AC1所成的角為90.(3)解設(shè)向量n=(x,y,z)是平面DEF的法向量,DE=(1,0,1),DF=(0,1,0).由nDE,nDF,即nDE=0,nDF=0,可得x+z=0,y=0.取x=1,則

13、z=-1,可取n=(1,0,-1).設(shè)點(diǎn)B1到平面DEF的距離為d,DB1=(-1,2,2),d=|DB1n|n|=|-1+0-2|2=322,點(diǎn)B1到平面DEF的距離為322.10.B以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)DC=DA=DD1=1,則D(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),O12,12,0,并設(shè)點(diǎn)P(0,1,t),且0t1.則OP=-12,12,t,A1D=(-1,0,-1),A1B=(0,1,-1).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x0,y0,z0),則有nA1D=0,nA1B=0,即-x0-z0=

14、0,y0-z0=0,取x0=1,則y0=-1,z0=-1,可取n=(1,-1,-1).sin=|cos|=|-1-t|3t2+12(0t1),sin2=t2+2t+13t2+12,0t1.令f(t)=t2+2t+13t2+12,0t1,則f(t)=2t2+t-1-3t2+122=-(2t-1)(t+1)3t2+122,可知當(dāng)t0,12時(shí),f(t)0;當(dāng)t12,1時(shí),f(t)0.又f(0)=23,f12=1,f(1)=89,f(t)max=f12=1,f(t)min=f(0)=23.sin的最大值為1,最小值為63.sin的取值范圍為63,1.11.16過點(diǎn)C作CO平面ABDE,垂足為O,取AB

15、的中點(diǎn)F,連接CF,OF,則CFO為二面角C-AB-D的平面角,設(shè)AB=1,則CF=32,OF=CFcosCFO=12,OC=22,則O為正方形ABDE的中心,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則E0,-22,0,M(24,0,24),A(22,0,0),N(0,24,24),EM=24,22,24,AN=-22,24,24,cos=EMAN|EM|AN|=16.12.(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,PAAB=A,所以PD平面PAB.(2)解存在.取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO

16、.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD與平面ABCD垂直,且交線為AD,所以PO平面ABCD.因?yàn)锳O,CO平面ABCD,所以POCO,POOA.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.故PO,CO,OA兩兩垂直.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).AP=(0,-1,1),DC=(2,1,0),DP=(0,1,1).設(shè)平面PCD的法向量n=(x,y,z),則DCn=0,DPn=0,即2x+y=0,y+z=0,令x=1,得y=-2,z=2.所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,

17、-2,2).設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1,使得AM=AP,因此點(diǎn)M(0,1-,),BM=(-1,-,).因?yàn)锽M平面PCD,所以要使BM平面PCD,當(dāng)且僅當(dāng)BMn=0,所以(-1,-,)(1,-2,2)=0,即-1+4=0,解得=14.所以在棱PA上存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD,此時(shí)AMAP=14.13.解如圖,以A為原點(diǎn),分別以AB,AC,AP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意可得點(diǎn)A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).(1)證明:DE=(0,2,0),DB=(2

18、,0,-2),設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則nDE=0,nDB=0,即2y=0,2x-2z=0.設(shè)z=1,則可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,-1),可得MNn=0.因?yàn)镸N平面BDE,所以MN平面BDE.(2)易知n1=(1,0,0)為平面CEM的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x,y,z)為平面EMN的法向量,則n2EM=0,n2MN=0.因?yàn)镋M=(0,-2,-1),MN=(1,2,-1),所以-2y-z=0,x+2y-z=0.設(shè)y=1,可得n2=(-4,1,-2).因此有cos=n1n2|n1|n2|=-421,于是sin=10521.所以二面角C-EM-N的正弦值為10521.(3)依題意,設(shè)AH=h(0h4),則H(0,0,h),進(jìn)而可得NH=(-1,-2,h),BE=(-2,2,2).由已知,得|cos|=|NHBE|NH|BE|=|2h-2|h2+512=721,整理得10h2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以線段AH的長(zhǎng)為85或12