現(xiàn)代設計方法-3.0章(優(yōu)化設計概念與基礎)

1、現(xiàn)代設計方法教材：現(xiàn)代設計方法 梅順齊 何雪明 主編 2009年 華中科技大學出版社主講：楊 軍2012年9月 第3章 優(yōu)化設計教學目的： 優(yōu)化設計概念；3.1 優(yōu)化設計概述 數(shù)學基礎回顧；3.2 優(yōu)化設計數(shù)學分析基礎第3章 優(yōu)化設計3.1.1引例例題1：邊長為L的矩形做成一個無蓋之箱，使之容積最大。解：設四角剪裁邊長x的矩形，則體積為3.1 優(yōu)化設計概述目標函數(shù)約束條件求解結果第3章 優(yōu)化設計例題2：人字架的優(yōu)化設計如圖所示的人字架由兩個鋼管構成，已知其頂點所受外力2F3105N；跨度2B152cm；鋼管壁厚0.25cm，鋼管材料的彈性模量E2.1105MPa，材料密度7.8103kg/m3

2、，許用壓應力y=420MPa。求鋼管在壓應力在不超過許用壓應力y和失穩(wěn)臨界應力e的條件下，人字架的高h和鋼管平均直徑D，使鋼管總質量m為最小。解：根據(jù)上述條件，可以把優(yōu)化問題歸結為：求XD hT，使結構質量m(X)min但應滿足強度條件：(X)y和穩(wěn)定約束條件(X)e。第3章 優(yōu)化設計例題3：展開式二級減速器的優(yōu)化設計問題 減速器的設計中，通常給定傳遞的功率P、總傳動比I和輸出的轉速n?，F(xiàn)要求在滿足強度的條件下，使其體積最小，以達到結構緊湊，質量最輕的目的。示例總結：總結上述例題，其工程優(yōu)化設計問題都要經(jīng)過下列過程：應用專業(yè)知識對具體問題進行分析；確定數(shù)量關系極原始參數(shù)，建立目標函數(shù)；根據(jù)設計

3、要求確定約束條件；數(shù)值求解。需要考慮的參數(shù)：各級傳動比、齒數(shù)、模數(shù)、齒寬系數(shù)、結構尺寸等等。基本方法：建立各參數(shù)表示的質量函數(shù)f(X)，尋求X的取值使f(X)最小；同時，保證各參數(shù)的取值滿足基本設計要求，如齒數(shù)取整數(shù)、模數(shù)取規(guī)定的離散值等。第3章 優(yōu)化設計3.1.2 優(yōu)化問題數(shù)學模型 優(yōu)化問題的數(shù)學模型，實際上式設計問題的數(shù)學抽象。在明確設計變量、約束條件、目標函數(shù)之后，優(yōu)化設計問題就可以表示成一般數(shù)學形式。求設計變量 使目標函數(shù)且滿足約束條件：若將約束條件所確定的設計點的集合表示為R，則可將優(yōu)化問題的數(shù)學模型簡練的表示為：第3章 優(yōu)化設計3.1.3 數(shù)學模型三要素的說明1、目標函數(shù)使設計按預

4、定的要求得以優(yōu)化的變量關系函數(shù)稱為目標函數(shù)。其可以評價設計的好壞，所以又叫做評價函數(shù)。某各具體優(yōu)化問題中目標函數(shù)的個數(shù)可能只有一個，也可能是多個，多個目標函數(shù)間的關系也不盡相同。目標函數(shù)的建立是優(yōu)化問題的重要前提，往往與專業(yè)知識緊密聯(lián)系。若目標函數(shù)是n維的，則在n+1維空間中描述。第3章 優(yōu)化設計2、設計變量與設計空間在優(yōu)化過程中不斷變化，修改，調整的參數(shù)稱為設計變量。具體問題中的參數(shù)很多，包括常量、獨立變量與因變量三類，其中只有獨立變量才被選為設計變量。變量間往往存在數(shù)量關系，故而獨立變量的確定并不唯一，即設計變量的選取并不唯一，但應根據(jù)優(yōu)化要求選擇能表達優(yōu)化對象的變量。設計變量有連續(xù)型和離

5、散型的分別，數(shù)值分析的方法適宜于連續(xù)型變量，離散優(yōu)化問題通常是連續(xù)后的離散化處理。n個設計變量Xx1 x2 xnT構成一個n維歐氏空間Rn，稱為設計空間，空間中的每一點都代表一個設計方案。3.1.3 數(shù)學模型三要素的說明1、目標函數(shù)第3章 優(yōu)化設計2、設計變量與設計空間3.1.3 數(shù)學模型三要素的說明1、目標函數(shù)3、約束條件與可行域約束是對設計點在設計空間中的活動范圍所加的限制，其按形式可分為等式約束與不等式約束，按性質分為邊界約束與性能約束。不等式約束將歐氏空間Rn分成兩部分，限制設計點在其中一部分；等式約束限制了設計點在一個超曲面上。針對性能要求提出的限制條件即為性能約束，往往由專業(yè)知識理

6、論提出；僅僅對設計變量的取值范圍進行限制的約束即為邊界約束，往往由對象的實用范圍提出。所有約束條件的交集構成設計點的活動范圍，這個范圍稱為可行域，在可行域內的設計點才是一個可行設計方案。2、設計變量與設計空間3.1.3 數(shù)學模型三要素的說明1、目標函數(shù)3、約束條件與可行域二維問題的極值點與可行域的關系有多種情況，如現(xiàn)圖所示第3章 優(yōu)化設計3.1.4 優(yōu)化問題的幾何解釋與基本解法 n維優(yōu)化問題的目標函數(shù)在n+1維空間描述，而其約束關系在n維內限定。例如： 一元函數(shù)f(x) 可以二維平面上的曲線來描述，其約束條件g(x) 0將數(shù)軸分為可行和非可行的兩段，而h(x)=0則限制了變量在數(shù)軸上的取值點；

7、例題1的目標函數(shù)：例題1的約束條件：第3章 優(yōu)化設計 再如：二元函數(shù)f(x，y)用三維空間中的三維曲面來描述，其約束條件g(x,y) 0將作為設計空間的平面分割成可行和不可行的兩個區(qū)域,而h(x,y)=0限制設計變量在平面上某條曲線上。3.1.4 優(yōu)化問題的幾何解釋與基本解法總結：n元函數(shù)f(X) (X=x1 x2 xnT)是n+1維超曲面，其約束條件g(X) 0將n維空間分割成可行域和不可行域兩個部分,而h(X)=0限制設計變量在n維超曲面上。第3章 優(yōu)化設計3.1.4 優(yōu)化問題的幾何解釋與基本解法優(yōu)化問題的基本解法：解析法與數(shù)值解法 解析法：用數(shù)學解析求解的方法適用于一、二維問題，對于高維

8、問題難以解決。 數(shù)值解法：利用節(jié)本數(shù)值計算原理進行試驗（探索）性計算，從而得到滿足一定精度結果的方法不但適用于復雜函數(shù)求解，甚至無法用數(shù)學模型描述的問題也能較好的解決。解析法之圖解示例：求Xx1 x2T使目標函數(shù) min f(X)=x12+x22-4x1+4s.t gi(X)=-x1+x2-2 0 gi(X)= x12-x2+1 0 gi(X)=-x1 0第3章 優(yōu)化設計數(shù)值方法的基本思想 從某個設計點Xk開始，著眼于產生新的迭代點Xk+1，使目標函數(shù)值下降。改方法的關鍵就在于新點的產生，目的在于使函數(shù)值下降。應用的下降迭代公式一般有： 3.1.4 優(yōu)化問題的幾何解釋與基本解法使：從而有：其中

9、，Ck為對角矩陣，k是一個數(shù)值，稱為步長，dk為從Xk點開始試探求取Xk+1的方向，稱為搜索方向，X*表示函數(shù)極值點。 和 第3章 優(yōu)化設計數(shù)值方法的迭代準則 數(shù)值迭代是逐步逼近最優(yōu)點（極值點）而獲得近似解，所以要考慮優(yōu)化問題的收斂性及迭代過程的終止條件。 3.1.4 優(yōu)化問題的幾何解釋與基本解法1）點距準則或2）值差準則3）梯度準則或第3章 優(yōu)化設計3.1.5 常見的數(shù)值方法 數(shù)值優(yōu)化方法的數(shù)學理論強，計算結果的可信度高，精確度好，是常用的方法。其迭代算法的核心是確定步長與搜索方向，由此產生了許多種具體算法，根據(jù)其算法特征，可以作如下類優(yōu)化方法線性方法單純形法非線性方法單變量一維搜索方法黃金

10、分割法二次插值法多變量無約束問題導數(shù)法梯度法牛頓法變尺度法模式法共扼梯度法坐標輪換法鮑威爾法約束問題直接法復合型法可行方向法間接法懲罰函數(shù)法增廣乘子法線性規(guī)劃法第3章 優(yōu)化設計3.2 優(yōu)化設計的數(shù)學基礎3.2.1 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度二元函數(shù)f(x,y)在點M0=(x0,y0)處的偏導數(shù) 分別表示在點延坐標軸X-Y的變化率，并定義為：f(x,y)在點M0(x0,y0)處延某一方向d0的變化率稱為方向導數(shù)，定義為第3章 優(yōu)化設計3.2.1 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度偏導數(shù)和方向導數(shù)的關系：式中第3章 優(yōu)化設計類似的，三元函數(shù)f(x,y,z)在M0(x0,y0,z0)延方向d0的方向導數(shù)可寫為3

11、.2.1 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度式中多元函數(shù)f(X)=f(x1,x2,xn)在M0(x1,x2,xn) 延方向d0的方向導數(shù)可寫為式中第3章 優(yōu)化設計3.2.1 多元函數(shù)的方向導數(shù)與梯度多元函數(shù)多元函數(shù)f(X)=f(x1,x2,xn)在M0(x1,x2,xn)的梯度為梯度的性質 梯度是一個向量，大小是它的模，在梯度方向上函數(shù)值上升最快； 某點的梯度方向是過改點等值線或等值面的法向； 梯度反映的函數(shù)變化規(guī)律是函數(shù)的局部性態(tài)，不是全局性態(tài)。第3章 優(yōu)化設計3.2.2 多元函數(shù)的泰勒展開式一元函數(shù)f(x)在x0點展開：二元函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)處展開式中第3章 優(yōu)化設計3.2.2 多元

12、函數(shù)的泰勒展開式將二元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，在X(k) 點泰勒展開（取前三項）式中函數(shù)f(X)在點X(k)的梯度函數(shù)f(X)在點X(k)的二階導數(shù)矩陣或Hessian矩陣，也可記作G(Xk) 。顯然，該矩陣為對稱矩陣。第3章 優(yōu)化設計3.2.2 多元函數(shù)的泰勒展開式泰勒展開式的應用：對于多元函數(shù)f(X)的泰勒展開式中，若只取前兩項，即式中只含有X的一次項，故稱為f(X)的線性簡化函數(shù)，在幾何意義上線性簡化函數(shù)表示原函數(shù)在展開點的切平面。多元函數(shù)取泰勒展開式的前三項，即此式中只含有二次項，故稱為f(X)的二次函數(shù)形式，在優(yōu)化問題中，對于二次函數(shù)可以寫成如下形式第3章 優(yōu)化設計3.2.2 多元函數(shù)的

13、泰勒展開式其中海賽矩陣的正定與否式判斷極值的條件之一，故推廣作如下定義：對于任意非0向量X，若，則矩陣G為正定矩陣；，則矩陣G為半定矩陣；，則矩陣G為負定矩陣；，則矩陣G為半負定矩陣；，則矩陣G為不定矩陣；當海賽矩陣G為正定矩陣時，則稱f(X)為正定二次函數(shù)，且具有如下性質：1）正定二次函數(shù)的等值線或等值面是一簇同心圓或橢圓，其中心點既是極小值點；2）非正定二次函數(shù)再極小點附近的等值線或等值面近似于橢圓或橢球。判斷凸規(guī)劃的條件。第3章 優(yōu)化設計3.2.3 優(yōu)化問題的極值條件所謂極值條件就是使目標函數(shù)取極小值時所應滿足的條件。1. 一元函數(shù)極值條件：，則 為極小值點；，則為極大值點；，則還需判定

14、更高階導數(shù)的符號，開始不為0的導數(shù)階數(shù)為偶數(shù)，則 為極值點，是奇數(shù)，則 為拐點；2. 二元函數(shù)極值條件： 二元函數(shù)在某點取得極小值的條件是：該點的梯度為0，且該點的二階導數(shù)矩陣（海賽矩陣）正定。且注：一般來說，在實際計算中，二階導數(shù)陣（海賽陣）不易求出，正定條件的判斷更為困難，通常在所取點符合實際物理意義條件下只判斷梯度為0作為準則。(負定對應極大值)第3章 優(yōu)化設計3. 等式約束優(yōu)化問題的極值條件3.2.3 優(yōu)化問題的極值條件等式約束優(yōu)化問題即為：求設計變量 使目標函數(shù)且滿足約束條件：此類問題通常有兩種方法：消元法（降維法）和拉格朗日乘子法（升維法）。消元法以二元函數(shù)為引例進行說明求解 使函

15、數(shù) ，滿足條件解：由 ，可得 ，代入目標函數(shù)有從而等式約束的優(yōu)化問題轉化為無約束問題，求解x2后邊可得原問題得解。注意：二維問題最多只能有一個等式約束第3章 優(yōu)化設計3.2.3 優(yōu)化問題的極值條件 對于n維問題有類似的方法將等式約束問題轉化為無約束問題，通過對無約束問題的求解得到原問題的最優(yōu)解。約束條件 構成一個方程組，式中由線性代數(shù)知識可知，方程組有多解的條件是 ，為便于說明，我們設 ，對系數(shù)矩陣進行初等行變換可化為如下形式第3章 優(yōu)化設計從而可以得到將 代入到原目標函數(shù)可得從而轉化為無約束優(yōu)化問題： 求 ，使得由其最優(yōu)解 得到原問題的最優(yōu)解第3章 優(yōu)化設計拉格朗日乘子法3. 等式約束優(yōu)化問

16、題的極值條件3.2.3 優(yōu)化問題的極值條件該方法的基本思想同樣可以用二維問題簡單說明求解 使函數(shù) ，滿足條件解：引入拉格朗日乘子 構造拉格朗日函數(shù)由 解得駐點，由 正定判斷極值點。從而等式約束的優(yōu)化問題轉化為無約束問題第3章 優(yōu)化設計對于n維問題，求 使得 ，約束條件解：引入m個拉格朗日乘子構造拉格朗日函數(shù)或簡記為式中，由 解得極值點（其實是駐點）。拉格朗日乘子法第3章 優(yōu)化設計拉格朗日乘子法根據(jù)拉格朗日乘子法可知改寫為該式的幾何意義為： 約束條件下目標函數(shù)極值點處的負梯度方向是各個約束函數(shù)在該點梯度的線性組合。第3章 優(yōu)化設計4. 不等式約束優(yōu)化問題的極值條件3.2.3 優(yōu)化問題的極值條件庫

17、恩塔克條件（K-T條件）對于元函數(shù)不等式約束優(yōu)化問題利用拉格朗日法引入m個松弛變量使不等式約束變成等式約束從而組成相應的拉格朗日函數(shù)第3章 優(yōu)化設計從而組成相應的拉格朗日函數(shù)式中， ，并有非負要求，即根據(jù)無約束極值條件，在極值點處有上三組方程中，第三組方程對所有可行域內的點都成立，可以從方程組中劃掉；對第二組方程進行討論：第3章 優(yōu)化設計討論：若 ，則在第一組方程中沒有 項，即 未起到約束作用；如果 ，則約束 對極值點起限制作用，從而 和 至少必有一個取零值，所以第二組方程可以改寫為：于是得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件：第3章 優(yōu)化設計這就是著名的庫恩塔克條件。若引入起作用約束的下標集合庫恩塔克條件又可以寫為將上式偏微分形式寫成梯度形式有或該式表明庫恩塔克(K-T)條件的幾何意義：在約束極值點處，目標函數(shù)的負梯度方向是各個約束在該點梯度的非負線性組合。第3章 優(yōu)化設計補充問題：關于二次型在線性代數(shù)中將二次齊次函數(shù)稱為二次型，其可以表達成：或寫成矩陣形式：其中：并定義，若對于任意不為0的X，都有f(X)0，則稱矩陣A正定。第3章 優(yōu)化設計矩陣A是否正定性的判定準則有：補充問題：關于凸規(guī)劃1）由定義判定；2）A的所有特征值全大于0；3）A的各階主子式均大于0；4）若偶