圓柱、圓錐、圓臺(tái)（一）

1、圓柱、圓錐、圓臺(tái)（一）（高一數(shù)學(xué)立體幾何）（案例來(lái)源：劉萍，北京市海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)， 【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能1.理解圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念，以及它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；2.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)，并會(huì)解決與圓柱、圓錐、圓臺(tái)特殊截面有關(guān)的問(wèn)題；3.了解旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程；4.掌握?qǐng)A錐體的最大截面問(wèn)題。過(guò)程與方法1.觀察與比較、試驗(yàn)與猜想、分析與綜合、抽象與概括、發(fā)展與應(yīng)用；2.通過(guò)動(dòng)手操作和協(xié)作探討，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀1.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲；2.培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力?！緦W(xué)習(xí)者分析】認(rèn)知水平：已經(jīng)掌握了棱柱、棱錐

2、和棱臺(tái)的概念和性質(zhì)；信息素養(yǎng)：掌握了基本的計(jì)算機(jī)操作，用過(guò)ZZ軟件，并表現(xiàn)出很大的興趣?！窘虒W(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)】重點(diǎn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念和性質(zhì)。難點(diǎn)：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的截面問(wèn)題。【教學(xué)環(huán)境與媒體】教學(xué)環(huán)境：多媒體網(wǎng)絡(luò)機(jī)房；學(xué)生用機(jī)46臺(tái)，教師用機(jī)1臺(tái)。教學(xué)媒體：Z+Z立體幾何智能教育平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱Z+Z軟件）教師演示、學(xué)生探索的工具；首師大虛擬學(xué)習(xí)社區(qū)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)支撐平臺(tái)智能網(wǎng)絡(luò)教學(xué)支撐平臺(tái)（簡(jiǎn)稱首師大虛擬學(xué)習(xí)社區(qū)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)支撐平臺(tái)）教師布置學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)生查看、教師提供資源、在線交流討論和提交電子作業(yè)的工具；PowerPoint教師演示的工具?！窘虒W(xué)設(shè)計(jì)思路】本節(jié)課的主要思路是把問(wèn)題還給學(xué)生，利用信

3、息技術(shù)讓學(xué)生經(jīng)歷完整的實(shí)驗(yàn)?zāi)M、知識(shí)建構(gòu)過(guò)程。整節(jié)課以問(wèn)題為主線，通過(guò)教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題系列把“圓柱、圓錐、圓臺(tái)”的有關(guān)概念和性質(zhì)組織成了一個(gè)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、明確問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，讓學(xué)生在不斷解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行數(shù)學(xué)探究。教學(xué)過(guò)程流程圖如圖1所示：圖1 “圓柱、圓錐、圓臺(tái)”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路【教學(xué)過(guò)程】1、導(dǎo)入新課，創(chuàng)設(shè)情境課前教師要求學(xué)生總結(jié)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的性質(zhì)，并上傳到首師大虛擬學(xué)習(xí)社區(qū)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)支撐平臺(tái)。本節(jié)課一開(kāi)始教師挑選出了一份學(xué)生作業(yè)，并讓該學(xué)生到講臺(tái)上向大家演示。該生用PowerPoint演示了從一個(gè)立方體變化到棱臺(tái)，再變化到棱錐的過(guò)程，清晰地展示了這三者之間的關(guān)系，為類比學(xué)習(xí)圓柱、圓

4、錐、圓臺(tái)相關(guān)知識(shí)奠定了基礎(chǔ)。然后教師提出本節(jié)課要研究的內(nèi)容：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念和性質(zhì)。2、講解基本概念，學(xué)解老問(wèn)題教師先利用PowerPoint展示圓柱、圓錐、圓臺(tái)的圖形，再借助Z+Z軟件展示圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成過(guò)程（見(jiàn)圖2），并提出問(wèn)題：“圓柱、圓錐、圓臺(tái)是由什么平面圖形繞著哪條直線旋轉(zhuǎn)得到的？”學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)觀察、比較，通過(guò)描述圖像的直觀特征，自然得到圓柱、圓錐、圓臺(tái)的概念。圖2 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的形成過(guò)程3、系列問(wèn)題探索學(xué)解新問(wèn)題通過(guò)下面設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系和性質(zhì)，并通過(guò)對(duì)截面的研究掌握學(xué)習(xí)立體幾何的一個(gè)基本方法將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題。探索階段

5、的活動(dòng)序列為：?jiǎn)栴}1:圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間有何關(guān)系？學(xué)生利用鼠標(biāo)拖動(dòng)圓臺(tái)上底一動(dòng)點(diǎn)D，觀察三者之間的關(guān)系（在ZZ平臺(tái)上進(jìn)行）圖3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者關(guān)系的研究圖學(xué)生通過(guò)在Z+Z平臺(tái)上拖動(dòng)圓臺(tái)上底的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可以很清楚的看到圓柱、圓錐、和圓臺(tái)三者之間的關(guān)系：截圓錐可以得到圓臺(tái)；圓臺(tái)上底變小可以得到圓錐；圓臺(tái)上底變大可以得到圓柱。圖4 圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者關(guān)系的結(jié)論圖問(wèn)題2:平行于底面的截面有何性質(zhì)？軸截面(過(guò)軸的截面)有何性質(zhì)？教師向?qū)W生展示圓柱、圓錐、圓臺(tái)的截面圖形，然后由學(xué)生總結(jié)出它們的性質(zhì)。 圖5 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的截面圖形設(shè)計(jì)意圖：這些截面圖形都是平面圖形，學(xué)生均已熟練掌握，所以通過(guò)截

6、面來(lái)學(xué)習(xí)立體幾何可以加快學(xué)生的學(xué)習(xí)。學(xué)生經(jīng)過(guò)在Z+Z平臺(tái)上觀察、操作，得出如下結(jié)論：平行于底面的截面都是圓；過(guò)軸的截面（軸截面）分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。問(wèn)題3：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的母線、高和底面半徑有何關(guān)系？教師提示：只需研究其軸截面的一半。學(xué)生通過(guò)研究其軸截面的一半即可得到如下結(jié)論：圖6 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的母線、高和底面半徑的關(guān)系結(jié)論：體的問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為面的問(wèn)題來(lái)研究。4、課堂強(qiáng)化練習(xí)解決難題 通過(guò)首師大虛擬學(xué)習(xí)社區(qū)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)支撐平臺(tái)，學(xué)生在學(xué)生界面上可以看到下列練習(xí)：（1）把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比是1：4，母線長(zhǎng)是10cm，求原圓錐的母線長(zhǎng)。（學(xué)生完成在本

7、上）（2）判斷下列命題是否正確？平行于圓錐某一母線的截面是等腰三角形。平行于圓臺(tái)某一母線的截面是等腰梯形。過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形。 過(guò)圓臺(tái)上底面中心的截面是等腰梯形。 圖7 判斷題輔助圖形 設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力。教師放手讓學(xué)生自己去嘗試解決問(wèn)題，每個(gè)學(xué)生都以自己的經(jīng)驗(yàn)為背景建構(gòu)對(duì)事物的理解，可能只理解到事物的不同方面，甚至得到的是錯(cuò)誤結(jié)論，這時(shí)再讓學(xué)生通過(guò)學(xué)生機(jī)利用教師做的課件，觀察截面的變化，得出結(jié)論，這樣使學(xué)生對(duì)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的性質(zhì)有了更高層次的認(rèn)識(shí)。 5、自主發(fā)現(xiàn)問(wèn)題下面一組練習(xí)的目的是讓學(xué)生“自主探索”，讓學(xué)生沿著提出問(wèn)題的思路利用Z+Z主動(dòng)思考、探索，得出各問(wèn)題的

8、結(jié)論。練習(xí)1：已知一個(gè)平行四邊形，分別以鄰邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)這個(gè)平行四邊形，得到的幾何體是什么形狀？設(shè)計(jì)意圖：目的既是對(duì)旋轉(zhuǎn)體概念進(jìn)一步加深理解（體是由面繞軸旋轉(zhuǎn)得到的），又能拓寬學(xué)生的思維（不同的面可以旋轉(zhuǎn)出不同的旋轉(zhuǎn)體）。學(xué)生表現(xiàn)：學(xué)生在課堂上積極動(dòng)手參與，不斷嘗試，表現(xiàn)出了極高的熱情和強(qiáng)烈的求知欲。下面三幅圖是課堂上學(xué)生進(jìn)行的探索：圖8 部分學(xué)生的作業(yè)練習(xí)2：平行于圓錐底面的截面與底面的面積比等于什么？（教師提示：對(duì)比棱錐的性質(zhì)，可參考多面體的有關(guān)資料）練習(xí)3：圓臺(tái)的中截面面積與其兩個(gè)底面積的數(shù)量關(guān)系是什么？（教師提示：對(duì)比棱臺(tái)的性質(zhì)，可參考多面體的有關(guān)資料）練習(xí)4：過(guò)圓錐頂點(diǎn)及兩條

9、母線的所有截面中，哪個(gè)截面面積最大？（教師提示：打開(kāi)Z+Z中的“截面積大小”文件）設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生如何將立體幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問(wèn)題的能力。6、師生共同總結(jié)學(xué)生通過(guò)在ZZ平臺(tái)上不斷探索后，得出了圓柱、圓錐和圓臺(tái)的性質(zhì)，教師幫助學(xué)生一起總結(jié)得出結(jié)論：課堂小結(jié)項(xiàng)目圓柱圓錐圓臺(tái)定義以矩形的一邊為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體確定的條件底面半徑和母線底面半徑和母線(或高)兩底面半徑R、r和母線（或高）性質(zhì)軸截面的性質(zhì)全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形平行于底面的截面性質(zhì)等圓圓圓【專家點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的在于使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，發(fā)展學(xué)生的基本數(shù)學(xué)能力。本節(jié)課的總體思想是問(wèn)題解決式的教學(xué)思想，把教學(xué)過(guò)程當(dāng)作學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、深化過(guò)程，探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析、求解思路。這既是學(xué)生牢固掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的需要，也是使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到充分培養(yǎng)的需要。教師經(jīng)過(guò)精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為能刺激學(xué)生興趣的又符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的系列問(wèn)題：從學(xué)解老問(wèn)題開(kāi)始，喚起