高一第一學期知識點梳理

1、第一章 集合與命題一、集合1、集合的概念及表示法集合元素的三條特性：確定性，無序性，互異性?！纠弧?、已知集合，求實數(shù)的取值范圍。2、已知集合，且，求集合。元素與集合的從屬關系，常見數(shù)集的表示。注意空集“”集合的常用表示方法：列舉法，描述法，圖示法，區(qū)間表示（限數(shù)集）。注意描述法的表達格式以及代表元的表征模式。集合的分類：點集、數(shù)集2、集合的關系子集、真子集、集合相等的概念及其判別，集合與集合的（真）包含關系。注意空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集?！纠?、若，則、與的關系分別是什么？2、已知集合，集合，且，求實數(shù)的值所形成的集合。3、已知集合，其中，若，求的值。4、已知

2、集合，集合。若，求實數(shù)的取值范圍。（真）子集個數(shù)問題：n元集合的子集個數(shù)為，真子集及非空子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為M是m元集合，N是n元集合，（mn）則滿足下列條件的集合X個數(shù)為：(1)：；(2)： (3)：；(4)： 3、集合的運算非連續(xù)數(shù)集題型： 【例三】1、已知集合，求.注意點集求交：聯(lián)立求交點2、已知全集，則=_， =_. 利用文氏圖求解3、已知，且，則x=_。不僅要檢驗是否滿足互異性，還要驗證已知條件4、設，若，試用列舉法表示.由，得出兩個方程有且僅有一個公共根連續(xù)數(shù)集的題型：利用數(shù)軸利用等價關系將集合運算問題轉(zhuǎn)化為集合包含關系的討論：；.【例四】1、已知集合，求2、已知集合，集合

3、，集合，求，。3、已知，若，試求、的值4、設, ,若，求的值5、已知關于的不等式組的解集為，則實數(shù)的取值范圍為_.6、設，若，求實數(shù)k的取值范圍.7、設，若，求實數(shù)k的取值范圍.二、四種命題形式1、命題與推出關系命題真假的判斷，推出關系的傳遞性2、四種命題形式與等價命題四種命題形式，否命題與命題的否定形式的區(qū)別，等價命題，逆否命題的等價性常用邏輯判斷詞的否定形式：原式否定式原式否定式是不是=任意存在全/都沒有一個不不全/都至少一個不全/都不沒有一個是至多0個至少一個不包含于= 或不真包含于至多n個至少n+1個一定不可能 【例五】1、已知命題p的逆命題為“若實數(shù)a、b滿足a=1且b=2，則a+b

4、4”.試寫出命題p的否命題，并判斷命題p的真假.2、判斷命題“若，則或”的真假.3、設命題p：不等式的解集為，命題q：不等式的解集為，若p和q中只有一個為真命題，試求a的值的取值范圍三、充分必要條件1、充分必要條件充分、必要條件的判定：（注意語序）本質(zhì)上轉(zhuǎn)化為對于推出關系的判定2、充要條件充要條件的充分、必要性證明3、子集與推出關系命題間的推出關系，充分必要條件，轉(zhuǎn)化為集合間包含關系；【例六】1、若，則成立的一個充要條件是 ( ) (A)； (B)； (C)； (D).2、命題“”是命題“”的_條件.3、已知是的充分條件而不是必要條件，是的必要條件，是的充分條件， 是的必要條件。現(xiàn)有下列命題：

5、是的充要條件； 是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是充分條件； 的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件； 則正確命題序號是 4、已知“且”，則與此命題等價的是（ ）“”； “”；“”； “”5、若均為非負實數(shù)，不等式與的解集分別為、，則“”是“”的( )條件.(A)充分非必要； (B)必要非充分； (C)充要； (D)既非充分又非必要.6、設，若是的充分非必要條件，則實數(shù)的取值范圍是 .7、“不等式成立”的充分條件是“或”，則實數(shù)、的取值范圍分別是 .第二章 不等式1、不等式的基本性質(zhì)1）傳遞性質(zhì)：，；2）加法性質(zhì)：； 3）乘法性質(zhì)：；4）倒數(shù)性質(zhì)：；5）同向加法：；6

6、）同向乘法：；7）乘方性質(zhì)：；8）開方性質(zhì)：.減法與除法都應先轉(zhuǎn)化為加法和乘法，再進行進一步運算，同時應關注到性質(zhì)試使用的前提?！纠弧?、若，則下列命題中正確的是（ ）若，則 若，則若且，則 若且，則2、已知三個不等式：、，以其中的兩個不等式作為條件，另一個作為結(jié)論，則能得到的真命題的個數(shù)是 .3、若，求的取值范圍.4、若，求不等式的解集.作差比較法的基本步驟：1作差 2. 變形 3. 定號 4. 結(jié)論注意：必須指出等號成立條件.【例二】1、已知， ，則下列不等式中恒成立的是（ ） 2、已知，比較與的大小3、若，設，試比較、的大小2、不等式的解法一元二次不等式：二次項系數(shù)化正，整理成標準形式

7、，避免錯誤.可以化為一元二次不等式：通法換元法對于不等式，其中，等等解不等式組：本質(zhì)數(shù)集的取交運算高次不等式：數(shù)軸標根法，奇穿偶回，注意軸上端點取值分式不等式：移項通分，分式化整式，轉(zhuǎn)化為一元二次或高次不等式求解，注意分母不為零含絕對值不等式：基本方法根據(jù)絕對值的意義求解：；.含兩個或兩個以上絕對值：分段討論去絕對值，最后的結(jié)論要取并無理不等式：兩邊乘方，注意偶次方根式的非負性，以及被開方式的非負性含字母不等式的求解注意點：最高次項系數(shù)是否為零；二次不等式兩根大小的比較；原始問題的隱含意義；討論要不重不漏，最終結(jié)論不取并集【例三】1、解關于的不等式：，其中2、解關于的不等式：，其中.3、解關于

8、的不等式：，其中.4、已知關于的方程的解為非正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 .韋達定理，解集逆用利用方程與不等式的聯(lián)系解題：不等式解集的端點，即為對應方程的根，或無意義點。結(jié)論：若一元二次方程的兩根分別為和，則一元二次方程的兩根分別為和；一元二次方程的兩根分別為和；一元二次方程的兩根分別為和.需要結(jié)合解集的特征（兩根之間或兩根之外，端點的正負）得出二次項系數(shù)與常數(shù)項的正負【例四】1、已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集是 .2、若不等式的解集為，則= 。3、已知不等式（1）若不等式的解是x-3或x-2，求k的值；（2） 若不等式的解是，求k的值4、已知關于的不等式的解集為其中，則關于的不等

9、式的解集是 .5、已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集是 .恒成立問題結(jié)論：“恒成立，即解集為R”“恒不成立，即解集為”則；“恒成立，即解集為R”“恒不成立，即解集為”則；“恒成立，即解集為R”“恒不成立，即解集為”則；“恒成立，即解集為R”“恒不成立，即解集為”則；注意：一定要注意討論二次項系數(shù)為零是的情況【例五】1、已知關于x的不等式的解集是，則實數(shù)a的取值范圍是_.2、不等式對任意均成立，求實數(shù)a的取值范圍.3、若對于任意實數(shù)x,，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。4、已知對于任意實數(shù)，不等式恒成立，則的值為_.3、基本不等式及其應用基本不等式一：對于任意實數(shù)和，有，當且僅當時等號成立。基本不等式二：對于任意正數(shù)，有，當且僅當時等號成立。注：（1）：算術平均數(shù)，：幾何平均數(shù)；（2）推廣：對于任意正數(shù)，有，當且僅當時等號成立；（3）不等式可以變?yōu)椋唬?）均值不等式鏈：對于任意正數(shù)，有，當且僅當時等號成立.利用基本不等式求函數(shù)最值：一正二定三相等【例六】1、若，則當時， 取得最_值，其值為_.2、若，則當時，取得最_值，其值為_.3、若，則當時