《幾何證明選講》知識點歸納與練習(內含答案)

1、一、相似三角形的判定及有關性質平行線等分線段定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推理1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。推理2：經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。平分線分線段成比例定理平分線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。相似三角形的判定及性質相似三角形的判定：定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似三角形對應邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。由于從定義出發(fā)判斷兩個三

2、角形是否相似，需考慮6個元素，即三組對應角是否分別相等，三組對應邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們曾經給出過如下幾個判定兩個三角形相似的簡單方法：（1）兩角對應相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應成比例，兩三角形相似。預備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與三角形相似。判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相

3、等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。定理：（1）如果兩個直角三角形有一個銳角對應相等，那么它們相似；（2）如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成比例，那么它們相似。定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。相似三角形的性質：（1）相似三角形對應

4、高的比、對應中線的比和對應平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形周長的比等于相似比；（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。二、直線和圓的位置關系圓周定理圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓周角的一半。圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角

5、所對的弦是直徑。圓內接四邊形的性質與判定定理定理1：圓的內接四邊形的對角互補。定理2：圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。圓內接四邊形判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓。推論：如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。圓的切線的性質及判定定理切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點。推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心。切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。弦切角的性質弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。與圓有關的比例線段相交弦定理：圓內的

6、兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。割線定理：從園外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。數(shù)學選修4-1幾何證明選講綜合復習題第1題圖一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.第1題圖1.如圖4所示,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,垂足為D,則DAC =( )A.

7、B. C. D.【解析】由弦切角定理得,又,故,故選B.2.在中,、分別是斜邊上的高和中線,是該圖中共有個三角形與相似,則( )A.0 B.1 C.2D【解析】2個:和,故選C.3.一個圓的兩弦相交,一條弦被分為12和18兩段,另一弦被分為,則另一弦的長為( )A. B.C. D.ABCDE第4題圖【解析】設另一弦被分的兩段長分別為,由相交弦定理得,解得,故所求弦長為.故選B.ABCDE第4題圖4.如圖,在和中,若與的周長之差為,則的周長為( )A. B. C.D.25【解析】利用相似三角形的相似比等于周長比可得答案D.5.的割線交于兩點,割線經過圓心,已知,則的半徑為( )A.4 B. C.

8、 D.8第6題圖【解析】設半徑為,由割線定理有,解得.故選D.第6題圖6.如圖,是半圓的直徑,點在半圓上,于點,且,設,則( )A. B. C. D.【解析】設半徑為,則,由得,從而,故,選A.7.在中,分別為上的點,且,的面積是,梯形的面積為,則的值為( ) A. B. C. D.【解析】,利用面積比等于相似比的平方可得答案B.8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作( )個. A.2 B.3 C.4 D【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內切的1個,一外切一內切的2個,故選D.第9題圖9.如圖甲,四邊形是等腰梯形,.由4個這樣的第9題圖等腰梯形可以拼出圖

9、乙所示的平行四邊形,則四邊形中度數(shù)為 ( )A. B. C. D.第10題圖【解析】,從而,選A.第10題圖10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把一個高強度鋼珠壓向該種材料的表面,在材料表面留下一個凹坑,現(xiàn)測得凹坑直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為( )A.1mm B.2 mm C.3mm D.4 mm【解析】依題意得,從而,故,選A.第11題圖11.如圖,設為內的兩點,且,則的面積與的面積之比為( )第11題圖 A. B. C. D. 【解析】如圖,設,則.由平行四邊形法則知,所以,第12題圖同理可得故,選B.第12題圖12.如圖,用與底面成角的平面截圓柱得一

10、橢圓截線,則該橢圓的離心率為 ( )A B C D非上述結論【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,考慮橢圓所在平面與底面成角,則離心率.故選A.二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.13.一平面截球面產生的截面形狀是_;它截圓柱面所產生的截面形狀是_【解析】圓;圓或橢圓.第14 題圖 OCDBA14.如圖,在ABC中,ABAC,C72第14 題圖 OCDBA與BC相切于點B,與AC交于點D,連結BD,若BC,則AC 【解析】由已知得,第15題圖解得.第15題圖15.如圖,為的直徑,弦、交于點,若,則= 【解析】連結,則,又,

11、135R18030135R18030第16題圖所以.16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中R的值是【解析】由圖可得,解得.三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題圖第17題圖 如圖:是的兩條切線,是切點,是上兩點,如果,試求的度數(shù).【解析】連結,根據(jù)弦切角定理,可得 .ACPACPDOEF B第18題圖 如圖,的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為O上一點,交于點,且,求的長度.【解析】連結,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關系ACPDOEF ACPDOEF B,從而,故,由割線定理知,故.ABCABCED第19題圖已知:如右圖,在等腰梯形ABCD中

12、,ADBC,ABDC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E求證：(1)ABCDCB (2)DEDCAEBD【解析】證明：(1) 四邊形ABCD是等腰梯形，ACDBABDC，BCCB，ABCBCD(2)ABCBCD，ACBDBC，ABCDCBADBC，DACACB，EADABCEDAC，EDADAC EDADBC，EADDCBADECBD DE:BDAE:CD， DEDCAEBD.20.(本小題滿分12分)解答用圖第20題圖如圖,ABC中,AB=AC,AD是中線,P為AD上一點,CFAB，BP延長線交AC、CF于E、F,求證: PB=PEPF解答用圖第20題圖【解析】連結,易證 ,從而

13、又為與的公共角,從而, 第21題圖ODGC第21題圖ODGCAEFBP21.(本小題滿分12分)如圖,是以為直徑的上一點,于點,過點作的切線,與的延長線相交于點是的中點,連結并延長與相交于點,延長與的延長線相交于點.(1)求證:；(2)求證:是的切線；(3)若,且的半徑長為,求和的長度.ODGCAEFBP【解析】(1)ODGCAEFBP又，易證，是的中點，(2)證明：連結是的直徑，在中，由（1），知是斜邊的中點，又，是的切線，是的切線(3)解：過點作于點，由(1)，知，由已知，有，即是等腰三角形，即，四邊形是矩形，易證，即的半徑長為，解得，在中，由勾股定理，得解得（負值舍去）或取的中點，連結，

14、則易證，故，由，易知，由，解得又在中，由勾股定理，得，（舍去負值）22.(本小題滿分14分)如圖1,點將線段分成兩部分,如果,那么稱點為線段的黃金分割點.某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義:直線將一個面積為的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為,如果,那么稱直線為該圖形的黃金分割線.(1)研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點(如圖2),則直線是的黃金分割線你認為對嗎?為什么?(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？(3)研究小組在進一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點任作一條直線交于點,再過點作直線,交于點,連接(如圖3),則直線也是的黃金分割線請你說明理由第22題圖(4)如圖4，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線.請你畫一條的黃金分割線,使它不經過各邊黃金分割點.第22題圖【解析】(1)直線是的黃金分割線.理由如下:設的邊上的高為 ,所以，又因為點為邊的黃金分割點，所以有因此 所以，直線是的黃金分割線. (2)因為三角形的中線將三角形