數(shù)學(xué)建模實(shí)習(xí)結(jié)課報告

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)本科結(jié)課報告（設(shè)計(jì)）題目： 自來水輸送問題 A problems of water transport 姓 名： 學(xué)號： 院（系）：數(shù)學(xué)與物理學(xué)院 專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師： 職稱： 教授 2013 年 06月摘 要本文通過五天上機(jī)學(xué)習(xí)，對自來水輸送問題進(jìn)行了詳細(xì)分析和解答。關(guān)鍵詞：自來水輸送；運(yùn)輸問題；影子價格分析。AbstractIn this paper, through five days practice on the machine, we have a

2、 detailed analysis answers of water transport.Key words: Water transport; Transportation problem; Shadow price analysis目 錄一、引言1二、自來水輸送問題1三、運(yùn)輸問題建?？偨Y(jié)11四、課程認(rèn)識和理解12五、結(jié)語12附錄附錄一：LINGO介紹13附錄二：自來水運(yùn)輸問題LINGO程序13參考文獻(xiàn)15自來水輸送問題姓名（中國地質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院*班）一、引言“在經(jīng)濟(jì)建設(shè)中，經(jīng)常會遇到大宗物資調(diào)運(yùn)問題，如煤、鋼鐵、木材、糧食、自來水等物資，在全國有若干生產(chǎn)或是處理基地，而我們所需要解

3、決的問題是根據(jù)已有的交通或管道運(yùn)輸?shù)染W(wǎng)絡(luò)，應(yīng)如何制定運(yùn)輸和調(diào)用方案，將所需物資運(yùn)輸傳送到各個消費(fèi)需求地點(diǎn)，而使總運(yùn)費(fèi)最小?！保ㄞD(zhuǎn)自清華大學(xué)出版社運(yùn)籌學(xué)（第三版）從上面敘述我們可以知道，運(yùn)輸問題是應(yīng)用很廣泛的運(yùn)籌學(xué)問題之一， 由于其問題的重要性、特殊性以及在現(xiàn)實(shí)生活中的普遍性等使其作為一個單獨(dú)的問題分類在運(yùn)籌學(xué)中發(fā)揮著無可替代的作用。本文在簡單闡述運(yùn)輸問題相關(guān)方法的同時將通過一個具體的實(shí)例自來水輸送問題進(jìn)行建模求解，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析和說明。二、自來水輸送問題【問題描述】 某市有甲，乙，丙，丁四個居民區(qū)，自來水由，三個水庫供應(yīng)。四個區(qū)每天必須的基本生活用水分別為30，70，10，10千噸，

4、但三個水庫每天最多只能分別供應(yīng)50，60，50千噸自來水。由于地理位置的差別，自來水公司從各個水庫向各區(qū)送水所付出的引水管理費(fèi)不同（如下表，其中水庫與丁區(qū)間無輸水管道），其他管理費(fèi)均為450元/千噸。各區(qū)用戶每千噸收費(fèi)900元。此外，各區(qū)用戶都向公司申請了額外用水量，分別為每天50，70，20，40千噸。引水管理費(fèi)（元/千噸）甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190230200/問：（1）問公司應(yīng)如何分配供水量，才能獲利最多？（2）若水庫供水量都提高一倍，公司利潤可增加到多少？【問題分析】 分配供水量就是安排從三個水庫向四個區(qū)送水的方案，目標(biāo)是獲利最多，而從題目給出

5、的數(shù)據(jù)看，三個水庫的供水量為50+60+50=160千噸，不超過四個區(qū)的基本生活用水30+70+10+10=120千噸與額外申請的用水量50+70+20+40=180千噸的總和120+180=300千噸，處于供應(yīng)小于需求的狀態(tài)，因而總能全部賣出從而獲利，于是自來水公司每天的總收入為900(50+60+50)=元，不涉及送水方案，而自來水公司每天的管理費(fèi)為450(50+60+50)=72000也不涉及送水方案，依上可知如要使利潤最大只需要引水管理最小即可，另外還要考慮供水量與各區(qū)的需求問題?！灸Ｐ图僭O(shè)】 在建立模型之前，我們需要先做如下假設(shè)：1.自來水在輸送過程中無損耗，即自來水公司輸出總和等于

6、消費(fèi)用戶獲得總和；2.所輸送的水質(zhì)均達(dá)到國家相關(guān)要求，即不存在水質(zhì)不合格而重新輸送的問題；3.所需管理費(fèi)包含各種管理、維護(hù)等支出，不會出現(xiàn)額外支出情況；4.忽略其他一切可能出現(xiàn)的意外情況，僅僅將上述問題做一個理想模型去處理。對于本題來說，上述假設(shè)都是合情合理的，都是為了解題方便而作出的合理假設(shè)?！灸Ｐ徒ⅰ?已知有個生產(chǎn)地點(diǎn)，可供應(yīng)某種物資，其供應(yīng)量（或者說產(chǎn)量）分別為，。有個銷地，其需求量分別為，。從到運(yùn)輸單位物資的單價為，用表示從到的運(yùn)量，那么在產(chǎn)銷平衡的條件下，要求得總運(yùn)費(fèi)最小的調(diào)運(yùn)方案的線性規(guī)劃方程如下：這就是運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型。它包含個變量，個約束方程，且從上述模型中我們可以看到，作

7、為一類特殊的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型具有如下特征：1.方程組中所有變量的系數(shù)皆為1和0；2.任何一個變量在前個方程中以系數(shù)1出現(xiàn)一次，在后個方程也以系數(shù)1出現(xiàn)一次。對于本題產(chǎn)小于銷的情況，為了能夠利用上述模型，我們需要在產(chǎn)銷平衡表中增加一個假想的產(chǎn)地，該地產(chǎn)量為，在單位運(yùn)價表上令從該假想產(chǎn)地到各銷地的運(yùn)價，同樣可以轉(zhuǎn)化為一個產(chǎn)銷平衡問題。具體建模實(shí)現(xiàn)過程如下：1.引入決策變量。用表示水庫向區(qū)的日供水量，其中，。由于C水庫與丁區(qū)之間沒有輸水管道，故。2.寫出約束條件。約束條件有兩類，一類是水庫的供應(yīng)量限制，另一類是各區(qū)的需求量限制。由于供水量能全部賣出，故有如下供水量限制：水庫供給四個區(qū)的總供水

8、量應(yīng)等于水庫的日供應(yīng)量50千噸即有；同理，我們有水庫供給四個區(qū)的總供水量應(yīng)等于水庫的日供應(yīng)量60千噸即有，水庫供給四個區(qū)的總供水量應(yīng)等于水庫的日供應(yīng)量50千噸即有。需求量限制可表示為甲區(qū)，乙區(qū)，丙區(qū)，丁區(qū)，而所有決策變量的非負(fù)限制為。3.確定目標(biāo)函數(shù)：經(jīng)前面分析可知，要想使公司獲利最大，則只需要使得引水管理費(fèi)用最小即可，所以，我們有 綜上所述，可得該問題的數(shù)學(xué)模型如下所示： 由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件對于決策變量而言都是線性的，屬于線性規(guī)劃，所以，可以用單純形法對其進(jìn)行求解，也可利用軟件LINGO對其進(jìn)行求解。又由于本題中約束方程組的系數(shù)矩陣具有特殊的結(jié)構(gòu)，是一個典型的運(yùn)輸問題的數(shù)學(xué)模型，所以，也

9、可以用解運(yùn)輸問題的方法表上作業(yè)法進(jìn)行求解。 本文將利用表上作業(yè)法和軟件LINGO兩種方法對其進(jìn)行求解！【模型求解】 方法一：表上作業(yè)法（手算方法）由題意有各個居民區(qū)日需求量及從各水庫到居民區(qū)供應(yīng)單位水量的引水管理費(fèi)如表1：表1居民區(qū)水庫甲乙丙丁供應(yīng)量（千噸）ABC160140190130130230220190200170150/506050最低需求（千噸）最高需求（千噸）30807014010301050這是一個“產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題”，總供應(yīng)量為160千噸，四個地區(qū)的最低需求為120千噸，最高需求為300千噸。為了達(dá)到平衡，在產(chǎn)銷平衡表中增加一個假想的水庫D，其日供應(yīng)量為180千噸。由于各

10、個地區(qū)的需求量包含兩部分，如居民區(qū)甲，其中30千噸是最低需求，故不能由假想的水庫D供給，令相應(yīng)的引水管理費(fèi)為M（任意大正數(shù)），而另一部分50千噸滿足或不滿足均可以，因此可以由假想的水庫D供給，令相應(yīng)的引水管理費(fèi)為0.對凡是需求分兩種情況的居民區(qū)，實(shí)際上可按照兩個地區(qū)看待。這樣，可以寫出這個問題的產(chǎn)銷平衡表和單位運(yùn)價表，如下表2。表2 居民區(qū)水庫甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供應(yīng)量（千噸）ABCD160140190M1601401900130130230M1301302300220190200M2201902000170150MM170150M0506050140需求量（千噸）305070701020

11、1040根據(jù)表上作業(yè)法伏格爾法，得初始可行表表3。表3居民區(qū)水庫甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供應(yīng)量（千噸）ABCD30505020403010201040506050140需求量（千噸）3050707010201040利用閉回路法計(jì)算每一個空格的檢驗(yàn)數(shù)如下：A：=20，=30，=0，=120，=90，=20，=40；B：=10，=0，=90，=60，=20；C：=-50，=-40，=-30，=M，=M；D：=M，=M，=M，=M。經(jīng)分析可知，中存在負(fù)值，也就意味著此時的解不是原問題的最優(yōu)解，利用閉回路法進(jìn)行調(diào)整得下表表4。表4居民區(qū)水庫甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”供應(yīng)量（千噸）ABCD30104020

12、50304010201040506050140需求量（千噸）3050707010201040利用閉回路法再次計(jì)算每一個空格的檢驗(yàn)數(shù)如下：A：=30，=30，=80，=90，=20，=40；B：=10，=10，=0，=50，=60，=20；C：=40，=40，=10，=M，=M；D：=M，=M，=M，=M。其中所有的，則有表4中的解即為本題的最優(yōu)解。即此時送水方案為：A水庫向乙區(qū)供水50千噸，B水庫向乙、丁區(qū)分別供水50，10千噸，C水庫向甲、丙分別供水40，10千噸，引水管理費(fèi)為元，此時最大利潤為-72000-24100=47900元。如果A、B、C三個水庫每天的最大供水量提高一倍，則三個水庫

13、的總共供水能力為320千噸，此時供應(yīng)大于需求，水庫的水不能全部賣完，我們需要計(jì)算水庫供入各區(qū)每千噸水900元的利潤然后再減去其他管理費(fèi)450元再減去圖表中各區(qū)的引水管理費(fèi)。所以，A、B、C三個水庫每天的最大供水量提高一倍后所獲利潤的目標(biāo)函數(shù)為 由于水庫的水不能全部賣出，所以約束的條件為即A、B、C三個水庫每天的最大供水量提高一倍后所建立的數(shù)學(xué)模型如下： 同第一問類似，寫出這個問題的產(chǎn)銷平衡表和單位運(yùn)價表，如下表5。表5居民區(qū)水庫甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”戊供應(yīng)量（千噸）ABC160140190160140190130130230130130230220190200220190200170150M

14、170150M000100120100需求量（千噸）305070701020104020根據(jù)表上作業(yè)法伏格爾法，得初始可行表表6。表6居民區(qū)水庫甲甲”乙乙”丙丙”丁丁”戊供應(yīng)量（千噸）ABC3050703040101010104020100120100需求量（千噸）305070701020104020利用閉回路法計(jì)算每一個空格的檢驗(yàn)數(shù)如下：A：=-20，=-20，=30，=30，=20，=20，=0；B：=-40，=-40，=0，=0；C：=90，=90，=M，=M，=-10。 經(jīng)分析可知，中存在負(fù)值，也就意味著此時的解不是原問題的最優(yōu)解，利用閉回路法進(jìn)行調(diào)整得下表表7。表7居民區(qū)水庫甲甲”乙

15、乙”丙丙”丁丁”戊供應(yīng)量（千噸）ABC30507030401020104020100120100需求量（千噸）305070701020104020利用閉回路法計(jì)算每一個空格的檢驗(yàn)數(shù)如下：A：=30，=30，=20，=80，=90，=20，=40；B：=10，=10，=0，=50，=60，=20；C：=40，=40，=10，=M，=M。其中所有的，則有表7中的解即為本題的最優(yōu)解。即送水方案：A水庫向乙區(qū)供水100千噸，B水庫向甲、乙、丁分別供水30，40，50千噸，C水庫向甲、丙區(qū)分別供水50,30千噸，此時對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為，即總利潤為89600元。方法二：LINDO求解方法（計(jì)算機(jī)軟件求解方

16、法）方法二將用軟件LINGO進(jìn)行求解，關(guān)于LINGO的介紹和解題程序?qū)⒃诒疚淖詈蟾戒浿薪o出，此處只給出求解分析結(jié)果。對于問題（1），用LINGO求解結(jié)果如下：從程序運(yùn)行結(jié)果可以看出，A水庫向乙區(qū)供水50千噸，B水庫向乙、丁區(qū)分別供水50，10千噸，C水庫向甲、丙分別供水40，10千噸，引水管理費(fèi)為元，此時最大利潤-72000-24100=47900元，與手算結(jié)果一致！特別的，從上述程序運(yùn)行結(jié)果中可以看出，A、B、C水庫的供水量每增加一個單位，飲水管理費(fèi)將分別減少130、130、190元，從而獲得的利潤將分別增加130、130、190元，因此，決策者可以根據(jù)求解結(jié)果進(jìn)行作出適當(dāng)調(diào)整從而使獲利更大

17、。對于問題（2），用LINGO求解結(jié)果如下：從程序運(yùn)行結(jié)果可以看出，A水庫向乙區(qū)供水100千噸，B水庫向甲、乙、丁分別供水30，40，50千噸，C水庫向甲、丙區(qū)分別供水50,30千噸，此時對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為，即總利潤為89600元。與手算結(jié)果一致！同上分析，特別的，我們可以有， A、B、C水庫的供水量每增加一個單位，獲得的利潤將分別增加50、50、0元，尤其是對于C水庫，我們有其增加供水量將不會帶來更多的利益，因此，決策者在做決策時應(yīng)尤為注意！【方法評價】 對于表上作業(yè)法具體方法，我們可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)：1.找出初始基可行解。即在產(chǎn)銷平衡表上給出個數(shù)字格。2.求各非基變量的檢驗(yàn)數(shù)，即在表上計(jì)算空

18、格的檢驗(yàn)數(shù)，判別是否達(dá)到最優(yōu)解。如果已是最優(yōu)解，則停止計(jì)算，轉(zhuǎn)入下一步。3.確定換入變量和換出變量，找出新的基可行解，在表上用閉回路法進(jìn)行調(diào)整。4.重復(fù)2,3直到最優(yōu)解為止。從上述歸納的幾點(diǎn)可以看出，表上作業(yè)法雖能有效的解決運(yùn)輸問題，但是其求解過程復(fù)雜繁瑣且容易出錯，在計(jì)算機(jī)飛速發(fā)展的今天不適合高效快速解決問題，這也正是沈遠(yuǎn)彤教授上課時所說：“我注重的是建模求解的思維方法，對于如何求解就交給計(jì)算機(jī)！”因此，相比于用計(jì)算機(jī)軟件LINGO求解，其計(jì)算速度、效率以及結(jié)果分析等可見一斑。比如，上面求解中，表上作業(yè)法不能體現(xiàn)影子價格，而LINGO求解結(jié)果中卻將影子價格同時計(jì)算出來，這對于決策者來說能夠利

19、用結(jié)果進(jìn)行決策分析是十分重要的。所以，用LINGO求解線性規(guī)劃問題更有利，更方便，但是，表上作業(yè)法分析和解決問題的思路和方式以及理論研究上的價值仍值得我們好好去學(xué)習(xí)和研究。三、運(yùn)輸問題建?？偨Y(jié)運(yùn)輸問題作為一類特殊的運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題，其在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛。而在運(yùn)輸問題的建模求解方法中，最常用的就是表上作業(yè)法，但是由于計(jì)算機(jī)科學(xué)的飛速發(fā)展，用手工的方法去求解實(shí)際問題已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足人們的需求，而Matlab和LINGO等計(jì)算機(jī)軟件的開發(fā)和應(yīng)用為求解這一類特殊問題注入了新鮮的活力，強(qiáng)有力的提高了解決實(shí)際問題的效率。至于表上作業(yè)法，其在線性規(guī)劃理論學(xué)習(xí)中尤為重要，比如表上作業(yè)法在求解過程中添

20、加虛擬消費(fèi)點(diǎn)、虛擬供應(yīng)點(diǎn)的思維方式，為求解這一類問題提供了一個強(qiáng)有力的普遍性方法，因此，在運(yùn)籌學(xué)中，表上作業(yè)法仍占有一席之地。對于上述建模方法，就是一個理清思維依次引入決策變量、寫出約束條件、確定目標(biāo)函數(shù)、求解的典型線性規(guī)劃問題，易遷移，易轉(zhuǎn)化，并且理論上說，本題所建模型應(yīng)該是比較準(zhǔn)確的，但事實(shí)上，由于輸送過程中損耗等實(shí)際問題的影響，導(dǎo)致模型求解結(jié)果與實(shí)際結(jié)果存在一定的誤差，然而，好在這些因素的影響都比較小，在實(shí)際操作中都可以忽略不計(jì)，即我們完全可以接受上述模型求解的結(jié)果。再加上上述模型推廣性較好，整體而言，上述模型比較好。四、課程認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)建模就是當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實(shí)際問題

21、時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子（也就是數(shù)學(xué)模型），然后用通過計(jì)算得到的模型結(jié)果來解釋實(shí)際問題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)全過程。數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡化。它常常是以某種意義上接近實(shí)際事物的抽象形式存在的，但它和真實(shí)的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個實(shí)際現(xiàn)象可以有很多種方式，比如錄音，錄像，比喻，傳言等等。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為。有時候我們需要做一些實(shí)驗(yàn)，但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來了的數(shù)

22、學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。五、結(jié)語通過五天的上機(jī)學(xué)習(xí)，作者對數(shù)學(xué)建模的理論分析和計(jì)算方法等基礎(chǔ)知識有了一定的掌握和應(yīng)用，并能獨(dú)立完成一些問題的分析和求解。對于本次自選題目，作者選的運(yùn)輸問題作為線性規(guī)劃問題的一個重要的分支雖然很簡單，但是，在求解過程中卻收獲很多，比如思維嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻憻挼?。在此，作者特別感謝授課老師沈遠(yuǎn)彤老師對作者學(xué)習(xí)以及報告編寫雖然本文曾進(jìn)行多次修改，在此次編寫過程中又參考了大量相關(guān)著作，其中對本文影響較大的參考資料均列在文章最后的參考文獻(xiàn)中，但限于作者水平，不足之處和疏漏之處在所難免，懇切希望閱讀此文的讀者和老師們批評指正。 附錄附錄一：LINGO介紹LINGO是Linear Interactive and General Optimizer的縮寫，即“交互式的線性和通用優(yōu)化求解器”，由美國LINDO系統(tǒng)公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等，功能十分強(qiáng)大，是求解優(yōu)化模型的最佳選擇。其特色在于內(nèi)置建模語言，提供十幾個內(nèi)部函數(shù)，可以允許決策變量是整數(shù)（即整數(shù)規(guī)劃，包括 0-1 整數(shù)規(guī)劃），方