數(shù)學必修一講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第一講 集合集合的有關概念 = 1 * GB2 某些指定的對象集在一起就成為一個集合，這些研究對象叫做元素。 = 2 * GB2 集合中元素的特性：注意：這三條性質(zhì)對于研究集合有著很重要的意義， 經(jīng)常會滲透到集合的各種題目中，同學們應當重視。 = 3 * GB2 元素與集合的關系： = 1 * GB3 如果是集合的元素，就說屬于，記作： = 2 * GB3 如果不是集合的元素，就說不屬于，記作：（注意：屬于或不屬于（）一定是用在表示元素與集合間的關系上） = 4 * G

2、B2 集合的分類：集合的種類通常分為：有限集（集合含有有限個元素）、無限集（集合含有無限個元素）、空集（不含任何元素的集合，用記號表示） = 5 * GB2 集合的表示： = 1 * GB3 集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來的表示方法。例：描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合一般元素的符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。例：（如果元素的取值范圍是全體實數(shù)，范圍可省略不寫）。圖示法（即維恩圖法）：用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個集合。 = 2 * GB3 特定集合的表示：自然數(shù)集（非負整數(shù)集）記作；正整數(shù)集記作；整數(shù)

3、集記作；有理數(shù)集記作；實數(shù)集記作。（這些特定集合外面不用加）高考要求：理解集合的概念，了解屬于關系的意義，掌握相關的術語符號，會表示一些簡單集合。例題講解：夯實基礎一、判斷下列語句是否正確1）大于5的自然數(shù)集可以構成一個集合。 正確2）由1，2，3，2，1構成一個集合，這個集合共有5個元素。錯誤3）所有的偶數(shù)構成的集合是無限集。 正確4）集合則集合和集合是兩個不同的集合。 錯誤二、用符號或填空。1） 2） 3）4）若，則5）若，則三、用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?）一次函數(shù)與的交點組成的集合。 區(qū)別是什么？2）絕對值等于3的全體實數(shù)構成的集合。3）大于0的偶數(shù)。能力提升1）集合，用列舉法表示集合。

4、2）集合中只有一個元素，求的值。3）用描述法可將集合表示成_。知識要點二：集合與集合之間的關系 = 1 * GB2 子集 = 1 * GB3 一般地，如果集合中的任何元素都是集合中的元素，那么集合叫做集合的子集記作（包含于）或(包含)即：對任意，則。顯然，對于任一集合，規(guī)定。 = 2 * GB2 真子集：如果集合，但存在元素,我們稱集合是集合的真子集，記作。集合是任意非空集合的真子集。 = 2 * GB2 集合的相等集合如果，同時，則稱。 = 3 * GB2 嚴格區(qū)分，正確使用“”等符號。前兩個是用在元素與集合的關系上，后三個是用在集合與集合的關系上，一定注意區(qū)分。集合關系與其特征性質(zhì)之間的關

5、系一般地，設，如果，則，于是具有性質(zhì)具有性質(zhì)，即。反之，如果，則一定是的子集。集合的運算 = 1 * GB2 交集一般地，對于兩個給定的集合，由屬于又屬于的所有元素構成的集合，叫做的交集，記作，讀作“交”；如果則。 = 2 * GB2 并集一般地，對于兩個給定的集合，由，兩個集合的所有元素構成的集合，叫做的并集，記作，讀作“并”；如果；如果則。 = 3 * GB2 補集全集：如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，通常用來表示。補集：如果給定集合是全集的一個子集，由中不屬于的所有元素構成的集合，叫做在中的補集，記作，讀作“在中的補集”。高考要求：理解子集、補集、交

6、集、并集的概念。了解全集的意義，了解包含、相等關系得意義，掌握相關的術語、符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合。例題講解：夯實基礎一、用適當?shù)姆柼羁?） 2） 3） 4）5） 6） 7）二、已知集合，那么的非空真子集有_個。三、求下列四個集合間的關系，并用維恩圖表示。四、已知，求。能力提升若集合滿足，則的個數(shù)有幾個？如右圖是全集，是的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ） 已知集合，試求實數(shù)。已知集合，且，求實數(shù)的取值范圍。注意：的條件之一就是，這是十分容易遺漏的，另外對的正確理解應是二次方程的根組成的集合。那么應該有三種情況：兩個不等實根、兩個相等實根、無實根。而無實根就是使得為空集的

7、情況。第二講 函數(shù)及其性質(zhì)知識要點一：函數(shù)及其相關概念 = 1 * GB2 映射：設是兩個非空集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的任何一個元素，在集合中都有唯一的元素與它對應，這樣的對應關系叫做從集合到集合的映射。記作：。 = 2 * GB2 象與原象：給定一個集合到集合的映射，且，如果對應那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。 = 3 * GB2 一一映射：設是兩個非空集合，是集合到集合的映射，并且對于集合中的任意一個元素，在集合中都有且只有一個原象，把這個映射叫做從集合到集合的一一映射。 = 4 * GB2 函數(shù)：設集合是一個非空數(shù)集，對中的任意數(shù)，按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)

8、與它對應，則這種對應關系叫做集合上的一個函數(shù)，記作：這里叫自變量，自變量的取值范圍叫做這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值構成的集合，叫做這個函數(shù)的值域。這里可以看出一旦一個函數(shù)的定義域與對應法則確定，則函數(shù)的值域也被確定，所以決定一個函數(shù)的兩個條件是：定義域和對應法則。 = 5 * GB2 函數(shù)的表示方法：解析法、圖像法、列表法。 = 6 * GB2 區(qū)間：定 義名 稱符 號閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間閉區(qū)間是包括端點，開區(qū)間不包括端點。實數(shù)集可以表示為，“”讀作“無窮大”，例如：“”可以表示為，“”可以表示為。高考要求：了解映射的概念，理解函數(shù)的有關概念，掌握對應法則圖像等性質(zhì)，能夠熟練求

9、解函數(shù)的定義域、值域。例題講解：夯實基礎一、判斷下列關系哪些是映射。1）平方；2）平方；3）求倒數(shù)；4）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；5）其中；二、已知求。三、求下列函數(shù)的定義域。1） 2） 3）四、求函數(shù)解析式：1）已知求。 2）已知，求。3）已知是二次函數(shù)，且滿足求。4）若函數(shù)滿足方程為常數(shù)，且，求。注意：求函數(shù)的解析式大致有如下幾種方法： = 1 * GB3 拼湊法； = 2 * GB3 換元法； = 3 * GB3 待定系數(shù)法；解析法。注意因題型而選擇方法。小結：求函數(shù)的定義域，就是求使得該函數(shù)表達式有意義自變量的范圍，大致有如下幾種方法： = 1 * GB3 一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域

10、是全體實數(shù)； = 2 * GB3 函數(shù)表達式形式是分式的，分母不為0； = 3 * GB3 函數(shù)表達式形式是根式的，如果開偶次方根，被開方式要大于等于零；如果開奇次方根，被開方式可以取全體實數(shù)； = 4 * GB3 零指數(shù)冪與分數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零； = 5 * GB3 在有實際意義的解析式中，一定要由實際問題決定其定義域； = 6 * GB3 多個限制條件取交集。五、求下列函數(shù)的值域1） 2） 3） 4）注意：函數(shù)的值域一定是在其定義域下控制的值域，隨著所給函數(shù)定義域的不同，相同表達式的函數(shù)的值域也互不相同。在今后我們將會學習更多的新的函數(shù)和相關性質(zhì)，也會對其定義域和值域在進一步探討。知識

11、要點二：函數(shù)性質(zhì) = 1 * GB2 函數(shù)的單調(diào)性： = 1 * GB3 定義：一般地，設的定義域為：如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；區(qū)間稱為單調(diào)遞增區(qū)間。如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；區(qū)間稱為單調(diào)遞減區(qū)間。 = 2 * GB3 復合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減 = 2 * GB2 函數(shù)的奇偶性 = 1 * GB3 設函數(shù)的定義域為，如果對內(nèi)的任意一個，都有，且，則這個函數(shù)叫奇函數(shù)。（如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，當函數(shù)的定義域中有0時，我們可以得出）設函數(shù)的定義域為，如果對內(nèi)的任意一個，都

12、有，若，則這個函數(shù)叫偶函數(shù)。從定義我們可以看出，討論一個函數(shù)的奇、偶性應先對函數(shù)的定義域進行判斷，看其定義域是否關于原點對稱。也就是說當在其定義域內(nèi)時，也應在其定義域內(nèi)有意義。 = 2 * GB3 圖像特征如果一個函數(shù)是奇函數(shù)這個函數(shù)的圖象關于坐標原點對稱。如果一個函數(shù)是偶函數(shù)這個函數(shù)的圖象關于軸對稱。 = 3 * GB3 復合函數(shù)的奇偶性：同偶異奇。高考要求：掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法。命題趨向：這一部分歷來是考試重點，在函數(shù)的對應法則、定義域、值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，奇、偶性考查較多，而且對這部分知識的考查有深度有力度，在客觀題中主要考查一、

13、兩個性質(zhì)，解答題中的綜合運用往往是學生解題能力的體現(xiàn)，在這里也容易拉開學生的檔次。例題講解： 夯實基礎一、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性。1） 2）當3）在（）二、判斷下列函數(shù)的奇、偶性。1） 奇函數(shù)2） 3）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).4） 5）結論：函數(shù)就奇、偶性來劃分可以分成奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。三、已知是奇函數(shù)，當時，求當時，得解析式。解：設，則當時，是奇函數(shù)，為所求時的解析式。能力提升一、已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，求實數(shù)的取值。解：首先考慮定義域，知，由奇函數(shù)的定義建立等式求解計算起來就比較麻煩，我們還知道已知函數(shù)是奇函數(shù)，當函數(shù)的定義域中有0時，我們可以得出，易得。二、

14、已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，試求的表達式。解：令的取得 是偶函數(shù)，是奇函數(shù)， 兩式相加得 兩式相減得三、設的定義域是，對于任意都有時，討論 = 1 * GB3 的奇、偶性并加以證明； = 2 * GB3 在上的單調(diào)性并加以證明。 = 3 * GB3 求在上的最值。解：在定義域任取，且那么令第三講 基本初等函數(shù)知識要點：一次函數(shù)與二次函數(shù)知識點的回顧一 次 函 數(shù)定義域值 域相 關 概 念性 質(zhì)叫做直線的斜率叫做直線在軸上的截距1），是增函數(shù)，是減函數(shù)。2）當，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)是奇函數(shù)；當，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（表一）二 次 函 數(shù)定義域值 域性 質(zhì)，圖像開口向上，對稱軸方程，頂

15、點單調(diào)性：在對稱軸左側(cè)遞減右側(cè)遞增。，圖像開口向下，對稱軸方程，頂點單調(diào)性：在對稱軸左側(cè)遞增右側(cè)遞減。（表二）指數(shù)與指數(shù)函數(shù) = 1 * GB2 的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 當為奇數(shù)時，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負數(shù)的次方根是負數(shù)表示為；當為偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)可以表示為。 負數(shù)沒有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)。 = 2 * GB2 次方根的性質(zhì)： = 1 * GB3 當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時， = 2 * GB3 = 3 * GB2 分指數(shù)的意義：；注意：0的正分數(shù)指數(shù)冪等與0，負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

16、 = 3 * GB2 有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 4 * GB2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) = 1 * GB3 一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域為。 = 2 * GB3 通過描點我們得到指數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結如下： 圖 象定義域值 域性 質(zhì)1）過定點（0，1），即2）在上是減函數(shù)2）在上是增函數(shù)3）當；3）當；一點建議：學好函數(shù)一定要對函數(shù)的各個性質(zhì)非常了解，死記硬背是不能達到掌握的要求的，那么在這里給同學們一點建議，準確掌握函數(shù)的基本圖象，從圖象中挖掘函數(shù)的相關性質(zhì)。對數(shù)與對數(shù)函數(shù) =

17、1 * GB2 一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作：其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。根據(jù)對數(shù)的定義我們可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系：這時我們可以看出負數(shù)和零沒有指數(shù)，且。 = 2 * GB2 對數(shù)的運算性質(zhì)：如果 = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 3 * GB3 = 3 * GB2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) = 1 * GB3 一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域。 = 2 * GB3 通過描點我們得到對數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結如下： 圖 象定義域值 域性 質(zhì)1）過定點（1，0），即2）在上是減函數(shù)2）在上是增函數(shù)3）當；3）當；指數(shù)函數(shù)與對數(shù)

18、函數(shù)是高中階段的兩個很重要的函數(shù)，在高考中歷來都有題目出現(xiàn)對這兩個的函數(shù)性質(zhì)要做到掌握精準，運用熟練。高考要求: 1）理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和運算性質(zhì)。 2）理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象。 3）能夠利用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題。例題講解夯實基礎一、選擇題1）集合則等于（ B ） 2）若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（ C ） 二、計算1） 2）三、比較大小1）已知則 2），則3）已知則 4）5） 6）參考答案：,，.四、設，比較的大小。解： 是增函數(shù) ，。五、計算中的。解： 六、求的值域。解：設， 而 。能力提升1求的單調(diào)區(qū)間。解：先求定義域，由于底數(shù)沒有明確范圍，要以底數(shù)分