自動控制原理：第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法

1、 第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法 3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算 3-2 一階系統(tǒng)的時域分析3-3 二階系統(tǒng)的時域分析3-4 高階系統(tǒng)的時域分析3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標一、典型輸入信號 控制系統(tǒng)的響應(yīng)決定于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，還有系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及輸入信號的形式。在實際應(yīng)用中，系統(tǒng)的輸入信號往往并非都是確定的，為了便于分析和設(shè)計，常采用一些典型輸入信號，通過評價系統(tǒng)在這些典型輸入信號作用下的靜態(tài)誤差來衡量和比較系統(tǒng)的靜態(tài)性能。采用典型的輸入信號，可以使問題的數(shù)學(xué)處理系統(tǒng)化，另外，它還可以由此去推知更復(fù)雜輸入下的系統(tǒng)響應(yīng)。時域表達式

2、復(fù)域表達式名 稱正 弦 函 數(shù)單 位 脈 沖 函 數(shù)單 位 斜 坡 函 數(shù)( 等 速 度 函 數(shù))單 位 階 躍 函 數(shù)單 位 拋 物 線 函 數(shù)(等 加 速 度 函 數(shù))圖 形二、動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程 動態(tài)過程：又稱過渡過程、瞬態(tài)過程或暫態(tài)響應(yīng)是指 系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)到最終 狀態(tài)的響應(yīng)過程。一般表現(xiàn)為衰減(穩(wěn)定系統(tǒng))、發(fā)散(不 穩(wěn)定系統(tǒng)) 或等幅振蕩(臨界穩(wěn)定系統(tǒng))等形式。 穩(wěn)態(tài)過程：又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，是指系統(tǒng)在典型輸入信號的 作用下，當時間 時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。三、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能 動態(tài)性能：通常在階躍函數(shù)作用下，測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認為階躍輸入對系統(tǒng)來

3、說是最嚴峻的工作狀態(tài)。 描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間的變化狀況的指標稱為動態(tài)性能指標。通常包括： 延遲時間 ：指響應(yīng)曲線第一次到達穩(wěn)態(tài)值一半所需的時間。 上升時間 ：指響應(yīng)第一次 上升到終值所需的時間。對 于無振蕩的系統(tǒng)是指響應(yīng)從 終值的10%上升到終值的 90%所需要的時間。它是系 統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。上 升時間越短，響應(yīng)速度越快。穩(wěn)態(tài)誤差誤差帶 峰值時間 ：響應(yīng)超過其 終值到達第一個峰值所需 的時間。 調(diào)節(jié)時間 ：指響應(yīng)到達 并保持在誤差帶(終值的 或 )內(nèi)所需的 最短時間。 超調(diào)量 ：指響應(yīng)的最大值與終值的差與終值之比的 百分數(shù)，即：也稱為最大超調(diào)量或百分比超調(diào)量。穩(wěn)

4、態(tài)誤差誤差帶 性能指標說明 若系統(tǒng)沒有延遲環(huán)節(jié)，則延遲時間、上升時間及峰值時間 的變化規(guī)律相同。 延遲環(huán)節(jié)會影響延遲時間，但不會影響上升時間。 延遲時間、上升時間可反映系統(tǒng)的快速性（給了外加激勵， 系統(tǒng)反映變化的快慢程度）和延遲。 延遲時間、上升時間短的系統(tǒng)，動態(tài)過程不見得短，因為 系統(tǒng)阻尼的問題，可能需要很長時間才能結(jié)束動態(tài)過程。 描述動態(tài)過程結(jié)束的快慢，用調(diào)節(jié)時間。調(diào)節(jié)時間是 一個綜合指標。 超調(diào)量是一個反映系統(tǒng)阻尼特性的指標。 穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)性能一般用穩(wěn)態(tài)誤差來表示，它是指系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)時的輸出與期望輸出之間的差。 綜合性能指標(誤差準則) 前述暫態(tài)響應(yīng)性能指標是相互關(guān)聯(lián)的，當其中一個指標為

5、最優(yōu)時，有可能使得另一個指標的性能降低，為了達到整個系統(tǒng)綜合性能指標的最優(yōu)化，需要采取一些能體現(xiàn)綜合性能的指標。 誤差平方積分(ISE，Integral of Square Error) 時間乘誤差平方積分(ITSE，Integral of Timed Square Error) 誤差絕對值積分(IAE，Integral of Absoluted Error) 時間乘誤差絕對值積分 (ITAE，Integral of Timed Absoluted Error) ( 是輸入輸出之間存在的誤差) 3-2 一階系統(tǒng)的時域分析 一階系統(tǒng)：以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，可用來描述很多實際系統(tǒng)，

6、如電樞控制的電機，單容水槽。一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為：其中： 為時間常數(shù)， 是系統(tǒng)增益， 是交接頻率。 對于線性系統(tǒng)， 不會影響系統(tǒng)響應(yīng)的形狀，也不影響分析過程和結(jié)論，下面都取 。根據(jù)線性微分方程理論： 線性常微分方程的通解 = (給定初值條件下)齊次方程的通解 + (零初值條件下)非齊次方程的特解上式中，前者只取決于初值條件，后者只取決于輸入函數(shù)。我們把線性定常系統(tǒng)的響應(yīng)亦由兩部分組成，即: 系統(tǒng)的響應(yīng) =暫態(tài)響應(yīng) + 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)復(fù)習：線性常微分方程的解線性定常系統(tǒng)的描述：例：非零初始條件取拉氏變換得：即：拉氏反變換得：用拉普拉斯變換工具可以使求解更加簡單 傳遞函數(shù)只反

7、映了零狀態(tài)解，不能全面反映系統(tǒng)的輸 出，但對大多數(shù)工程系統(tǒng)卻是很合適的，因為大多數(shù) 工程系統(tǒng)滿足零初始條件。 零輸入解并不增加零狀態(tài)解的模態(tài)，只影響各模態(tài)的 系數(shù)。零狀態(tài)響應(yīng)(強制分量)零輸入響應(yīng)(自由分量)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)的一部分暫態(tài)響應(yīng)的一部分 小結(jié)二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入：輸出：時域響應(yīng)：初始斜率為:1/T單位階躍響應(yīng)曲線 右圖表明，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為非周期響應(yīng)，它有以下特點： 一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的， 無振蕩，無超調(diào)，穩(wěn)態(tài)誤 差等于零。 可用時間常數(shù) 去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值，因此，可 用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù) 或測定所測系 統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)。一般取調(diào)整時間

8、， 時間常數(shù) 反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度， 越小，響應(yīng) 速度越快。 響應(yīng)曲線的斜率初始值為 ，并隨時間的推移而減小。 延遲時間： 無超調(diào)量和峰值時間。 動態(tài)性能指標 上升時間： 調(diào)節(jié)時間：三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入：輸出：時域響應(yīng)：初始斜率為：單位脈沖響應(yīng)曲線 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如右圖所示，特點如下： 無振蕩，無超調(diào)，穩(wěn)態(tài) 誤差等于零； 初始斜率為 ； 可以用時間常數(shù)去度量系統(tǒng)的輸出量的數(shù)值。 動態(tài)性能指標 延遲時間： 無超調(diào)量和峰值時間。 上升時間： 調(diào)節(jié)時間：四、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)知識回顧1：進行拉普拉斯反變換的部分分式展開法 只具有單極點的有理函數(shù)的反變換 的不定式洛比特法

9、則 具有多重極點的有理函數(shù)的反變換 具有共軛復(fù)根的有理函數(shù)的反變換 歐拉(Euler)公式:思考：為何 必為共軛復(fù)數(shù)？知識回顧2：進行拉普拉斯反變換的留數(shù)法 留數(shù)定義： 拉氏反變換：單位斜坡輸入：1.待定系數(shù)法時域響應(yīng)：2.留數(shù)法如果 為 的 級極點，那么：單位斜坡響應(yīng)曲線 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)是一條由零開始逐漸變?yōu)榈人僮兓那€。穩(wěn)態(tài)輸出與輸入同斜率，但滯后一個時間常數(shù) ，即存在跟蹤誤差，其數(shù)值與時間 相等。穩(wěn)態(tài)誤差 ，初始斜率等于0，穩(wěn)態(tài)輸出斜率等于1 。跟蹤誤差：五、一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)單位加速度輸入：輸出：時域響應(yīng)：跟蹤誤差： 隨時間的推移而增長，直至無窮。因此，一階系統(tǒng)不能跟蹤

10、加速度函數(shù)。 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng)與時間常數(shù) 密切相關(guān)。只要時間常數(shù) 小，單位階躍響應(yīng)調(diào)節(jié)時間小，單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值滯后時間也小。但一階系統(tǒng)不能跟蹤加速度函數(shù)。輸 入 信 號輸 出 信 號 線性定常系統(tǒng)的重要特性 一個輸入信號導(dǎo)數(shù)的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個輸入信號積分的時域響應(yīng)等于該輸入信號時域響應(yīng)的積分。 基于上述性質(zhì)，對線性定常系統(tǒng)只需討論一種典型信號的響應(yīng)，就可推知另一種信號的響應(yīng)。 解題關(guān)鍵化閉環(huán)傳遞函數(shù)為標準形式。解：例3-1：一階系統(tǒng)的性能指標 某一階系統(tǒng)如圖, , 求調(diào)節(jié)時間 ； 若要求 ,求反饋系數(shù) 。與標準形式對比得：要求 ，即 ，由3-3 二階系統(tǒng)的時域分析

11、二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可表示為:其中： 是時間常數(shù)， 是阻尼比（相對阻尼系數(shù)）， 是自然頻率（無阻尼振蕩頻率）。標準形式(單位負反饋)的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：二階系統(tǒng)的特征方程：特征根(二階系統(tǒng)閉環(huán)極點)為： 完全取決于 兩個參數(shù)。 阻尼振蕩頻率 衰減系數(shù)二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入：輸出：特征方程的根決定了系統(tǒng)響應(yīng)的形式。閉環(huán)極點分布單位階躍響應(yīng)曲線此時，特征根為一對純虛根：系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為：對上式求拉氏反變換，可得： 無阻尼系統(tǒng)響應(yīng)為無阻尼等幅振蕩，其振蕩頻率為 。 欠阻尼(Underdamped case

12、)此時，系統(tǒng)的兩個極點均為負實部的一對共軛復(fù)數(shù)極點： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為 ：利用下面兩個公式：對上式求拉氏反變換，可得： 由上式可見，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)部分等于1，表明不存在穩(wěn)態(tài)誤差；暫態(tài)分量為振幅隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，其振蕩頻率為： 顯然，阻尼振蕩頻率 (特征根虛部)由阻尼比 和自然頻率 決定；振幅衰減由 (特征根實部)決定。 稱為阻尼角。 動態(tài)性能指標根據(jù)延遲時間的定義有：通過曲線擬合，可近似表示為： 延遲時間令： 則有：根據(jù)上升時間的定義，取 ：式中： 可見，如欲減小 ，則當 一定時，需增大 ，反之，當 一定時，需減小 。 上

13、升時間 峰值時間令 可得：根據(jù)峰值時間的定義，取 ：可見， 與閉環(huán)極點虛部的數(shù)值成反比。 (最大)超調(diào)量 可見， 完全由 決定，而與 無關(guān)。 越小， 越大。 根據(jù)定義： 工程上通常用包絡(luò)線代替實際曲線來估算。如圖，有： 調(diào)節(jié)時間近似調(diào)節(jié)時間 調(diào)節(jié)時間 當 時，取 代入 得：例3-2：如圖，要求系統(tǒng)具有性能指標：試確定系統(tǒng)參數(shù) 和 ，并計算單位階躍響應(yīng)的特征量 和 。解：由圖可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：式中： 由 得：由 得： 臨界阻尼(Critically damped case)此時，系統(tǒng)的兩個極點為二重極點： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為：所以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為： 式中： 單位階躍響應(yīng)曲

14、線(臨界阻尼) 在臨界阻尼時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)隨時間而單調(diào)增長，最后在 時趨于穩(wěn)態(tài)值，最大超調(diào)量是零。通常，臨界阻尼情況下的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)稱為臨界阻尼響應(yīng)。 過阻尼(Overdamped case)此時，系統(tǒng)的兩個極點均為負的實極點： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為： 式中： 稱為過阻尼二階系統(tǒng)的時間常數(shù)，且有 。 在過阻尼條件下，系統(tǒng)不產(chǎn)生振蕩，所以無超調(diào)量和峰值時間指標。由于直接由響應(yīng)式計算各指標很麻煩，一般都采用曲線擬合法或制成圖表查找。 動態(tài)性能指標 調(diào)節(jié)時間： 當 時， 當 時， 上升時間： 延遲時間：解：由圖求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(標準形式)：角度隨動系統(tǒng)例3-3：如圖，

15、已知 ，要求系統(tǒng)無超調(diào)且調(diào)節(jié)時間 ，試確定參數(shù) 并計算單位階躍響應(yīng)的特征量 和 。要求系統(tǒng)無超調(diào)，則 ，取 幾種情況的單位階躍響應(yīng) 負阻尼此時，系統(tǒng)的兩個極點均為正實部的一對共軛復(fù)數(shù)極點： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為 ：A.發(fā)散正弦振蕩，不穩(wěn)定。B.此時，系統(tǒng)的兩個極點均為正的實極點： 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的象函數(shù)為： 式中：單調(diào)發(fā)散，不穩(wěn)定。 結(jié)論 二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性； 時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 時，階躍響應(yīng)出現(xiàn)等幅振蕩； 時，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快； 時，無振蕩、無超調(diào)、過渡過程長。 一定時， 越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速， 系統(tǒng) 能夠更快到達穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)

16、的快速性越好； 工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄 儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇 在 之間，以保證系統(tǒng)的快速性，同時又不至 于產(chǎn)生過大的振蕩， 為最佳阻尼比，此時， 最小， 也不大。例3-4：求開環(huán)傳遞函數(shù) 設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 解：由圖可知，由 可得 ： 由 得：三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位階躍輸入：輸出：當 時，有： 誤差為： 比例-微分控制(PD控制) 右圖給出了一個單位反饋系統(tǒng)的階躍響應(yīng)、誤差響應(yīng)及誤差導(dǎo)數(shù)曲線。 由圖中可看出：誤差為零時，誤差變化最大；誤差最大時，誤差變化為零。這種現(xiàn)象導(dǎo)致了系統(tǒng)的超

17、調(diào)。 結(jié)論：應(yīng)該將誤差變化用于控制。四、二階系統(tǒng)性能的改善比例-微分控制的傳遞函數(shù): 上升時間： 峰值時間： 超調(diào)量： 調(diào)節(jié)時間： 測速反饋控制 對于單位反饋系統(tǒng)， ，輸出的變化也反映了誤差的變化，特別是在定值控制的時候， ，因此用輸出量的微分進行反饋與用誤差的微分進行控制，有相似的效果。這就是測速反饋控制。測速反饋控制的傳遞函數(shù):由傳遞函數(shù)可知，測速反饋控制： 在不改變系統(tǒng)的自然頻率的條件下，增加了系統(tǒng)的阻尼。 改變了系統(tǒng)的開環(huán)增益，會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。系統(tǒng)無零點，其階躍響應(yīng)與單位反饋系統(tǒng)相同。 比例-微分控制與測速反饋控制的比較 不改變系統(tǒng)的自然振蕩頻率。 增加了系統(tǒng)的阻尼。 測速反饋改

18、變了系統(tǒng)的開環(huán)增益，會影響穩(wěn)態(tài)(速度) 誤差。而比例-微分控制保持系統(tǒng)的開環(huán)增益不變。 比例-微分控制，存在微分環(huán)節(jié)，對干擾信號有放大 作用，受干擾影響增大。而測速反饋控制，直接測量 輸出的速度，無微分作用，不受干擾的影響。五、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 通過對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 求導(dǎo)，即可得到系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 。當 時：當 時：當 時：當 時：3-4 高階系統(tǒng)的時域分析一、三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)三階系統(tǒng)常見的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 在控制工程中，幾乎所有的控制系統(tǒng)都是高階的，工程上常采用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對高階系統(tǒng)進行近似分析。在單位階躍輸入 下，設(shè) ，可求得系統(tǒng)的響應(yīng)為：一階因子引起的非周期指數(shù)衰減

19、二階因子引起的阻尼振蕩式中： 在二階欠阻尼系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，增加一個實極點，成為三階系統(tǒng)，將使系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)變慢，超調(diào)量減小，上升時間增大，峰值時間增大。當 時，系統(tǒng)的響應(yīng)即為二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線。當 ，即 時：實數(shù)極點 距離虛軸遠，共軛復(fù)數(shù)極點 距離虛軸近系統(tǒng)特性主要取決于 系統(tǒng)呈二階系統(tǒng)特性當 ，即 時：實數(shù)極點 距離虛軸近，共軛復(fù)數(shù)極點 距離虛軸遠系統(tǒng)特性主要取決于 系統(tǒng)呈一階系統(tǒng)特性二、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般可以寫成為： 在實際控制系統(tǒng)中，所有的閉環(huán)零點、極點一般互不相同，且極點中只有實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點。因此： 式中： 在 處的留數(shù) 是與 在閉環(huán)復(fù)數(shù)極點 處的留數(shù)有關(guān)

20、的常系數(shù)。在零初始條件下有： 結(jié)論 閉環(huán)系統(tǒng)的時域響應(yīng)，不僅與極點有關(guān)，還與零點有關(guān)， 因為零點影響各模態(tài)的系數(shù)。 高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的合成， 其各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 及 決定，閉 環(huán)極點負實部的絕對值越大(極點在 平面左半部距離虛 軸越遠)，相應(yīng)模態(tài)衰減得越快，反之越慢。 若閉環(huán)極點都具有負的實部，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。三、閉環(huán)主導(dǎo)極點 如果在所有的閉環(huán)極點中，距離虛軸最近的極點周圍沒有閉環(huán)零點，而其它閉環(huán)極點又均遠離虛軸，那么距離虛軸最近的閉環(huán)極點所對應(yīng)的響應(yīng)分量，隨時間的推移衰減緩慢，在時間響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點就稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(常為共軛復(fù)數(shù)極點)

21、。 工程上，當非主導(dǎo)極點實部的模比主導(dǎo)極點實部的模大三倍以上時，可以用主導(dǎo)極點求近似的階躍響應(yīng)。(設(shè) )四、高階系統(tǒng)的動態(tài)性能估算設(shè) ，則： 峰值時間由 可得：即： 結(jié)論 閉環(huán)零點的作用是減少峰值時間，響應(yīng)加快，越靠近 虛軸，作用越明顯； 非主導(dǎo)極點的作用與零點相反； 閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果負實部的零極點數(shù)值上相近， 則 可將該零點和極點一起相消，稱之為偶極子。此時閉環(huán) 零、極點作用相互抵消而消弱。 超調(diào)量當 時， 結(jié)論 若 ，即閉環(huán)零點離虛軸較近時， 所以零點會減小系統(tǒng)的阻尼( 響應(yīng)變快)； 若 ，即閉環(huán)非主導(dǎo)極點靠近虛軸， 所以非主導(dǎo)極點將增大系統(tǒng)的阻尼( 響應(yīng)變慢)。 調(diào)節(jié)時間采用包絡(luò)線法

22、求調(diào)節(jié)時間 結(jié)論 閉環(huán)非主導(dǎo)極點靠近虛軸 閉環(huán)零點靠近虛軸3-5 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定的基本概念 平衡狀態(tài)穩(wěn)定性：如果處于某一平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)， 在干擾作用下，偏離了原來的平衡狀態(tài)，而當干擾作用取 消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng) 是穩(wěn)定的。否則，稱這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定平衡點不穩(wěn)定平衡點平衡點：描述系統(tǒng)的微分方程，在輸入為零時，滿足各階導(dǎo) 數(shù)項為零的點，即： 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)， 是系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無關(guān)。 控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實都是指自由振蕩下的穩(wěn)定 性，也就是說，是討論輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差不 為零

23、時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是收斂的還是發(fā)散的。注意兩點 李亞普諾夫穩(wěn)定定義：如果一個關(guān)于 的微分方程組在初 始條件 下有解 ，且對于任意給定正數(shù) ， 總存在一個正數(shù) ， 當初始條件 變?yōu)?時，只要 ，其相應(yīng)解 在 的任意時刻都滿足 ，則 是穩(wěn)定的。若不存在 則不穩(wěn)定。 李亞普諾夫定義，不要求系統(tǒng)最終恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，而只要回到該平衡狀態(tài)的某一允許的區(qū)域內(nèi)。 大范圍穩(wěn)定：不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取 消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)。大范圍穩(wěn)定 對于線性系統(tǒng)，如果在小范圍內(nèi)是穩(wěn)定的，則它一定也是在大范圍內(nèi)穩(wěn)定的。而對于非線性系統(tǒng)，在小范圍內(nèi)穩(wěn)定，在大范圍內(nèi)就不一定是穩(wěn)定的。 漸

24、進穩(wěn)定：如果平衡狀態(tài) 是穩(wěn)定的，而且當 時， ，這種平衡狀態(tài)就進一步稱為漸進 穩(wěn)定的。 臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài) 間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系 統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。注意：在經(jīng)典控制理論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。 分析時依賴的模型通常是簡化或線性化； 實際系統(tǒng)參數(shù)的時變特性； 系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量。原因：穩(wěn)定不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定二、線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)取拉氏變換得：對零輸入響應(yīng)做拉氏反變換得：式中： 是特征方程 的根。 若 ，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若 則系統(tǒng) 衰減是振蕩的；若 則系統(tǒng)衰減是不振蕩的。 中只要有一個是 的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定

25、的。 零輸入，零狀態(tài)的穩(wěn)定條件是一樣的。 中有一個 ，其余 ，系統(tǒng)不能恢復(fù)到原平 衡狀態(tài)，李亞普諾夫定義是穩(wěn)定的，但經(jīng)典控制理論中視 為不穩(wěn)定的。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)的特征根都具有負實部。 或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半 平面。三、勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)(代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)) 對于高階系統(tǒng)，我們一般難以求得其全部閉環(huán)極點，因而不能直接利用穩(wěn)定性的充要條件來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。于是人們就探索能否不求出極點，利用間接方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性呢？ 為避開對特征方程的直接求解，1877年，由E.J.Routh提出了勞斯穩(wěn)定性判據(jù)，1895年，A.Hurwitz 提出了赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)。

26、1. 勞斯判據(jù) 把系統(tǒng)的特征方程寫成標準形式： 列出勞斯表：其中：系數(shù) 的計算一直進行到其余的 值全部等于零為止。 勞斯列表每一列最后一個非零元素都相等。 勞斯列表最后兩行都只有一個元素。 每個偶數(shù)行的最后元素都是常數(shù)項。 計算勞斯列表時，為了簡化其后的數(shù)值計算，可用一 正數(shù)去除或乘某一整行，這時，并不改變穩(wěn)定性結(jié)論。幾點說明 判斷。根據(jù)勞斯判據(jù)，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件是： 特征方程的各項系數(shù)全部為正值(必要條件)，并且勞斯表 中第一列所有項均嚴格為正。若勞斯表第一列中出現(xiàn)小于 或等于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各系數(shù)符號的 改變次數(shù)，代表特征方程的正實部根的數(shù)目。例3-5：已知系統(tǒng)

27、的閉環(huán)特征方程為： ，試用勞斯判據(jù) 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：(同行各元素乘以2)(同行各元素乘以9)結(jié)論：第一列各數(shù)值的符號改變兩次 ， 因此，系統(tǒng)有兩個正實部的極點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況特殊情況1：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各 元素不為零或不全為零。系統(tǒng)均不穩(wěn)定方法一：用一個有限小的數(shù)值 來代替 (常用)例3-6：解：結(jié)論：第一列各數(shù)值的符號改變兩 次，根據(jù)勞斯判據(jù)，該系統(tǒng) 有兩個極點具有正實部，系 統(tǒng)不穩(wěn)定。方法二：用 ( 為任意正數(shù))乘以原特征方程， 再對新的特征方程進行判定。例3-7：解：結(jié)論：由新勞斯表可知，第一列 符號改變兩次，有兩個正 實部的極點，系統(tǒng)不穩(wěn)

28、定。特殊情況2：勞斯表中出現(xiàn)全零行：表明特征方程中存在一些 大小相等但符號相反的實極點和(或)一些共軛虛 數(shù)極點。該怎么辦？解決辦法：用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程： ，式中 均為偶次。由該方程對 求 導(dǎo)，用所得的導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元素， 便可按照勞斯判據(jù)的要求繼續(xù)運算下去，直至得 到完整的勞斯表。輔助方程的次數(shù)表示數(shù)值相等 但符號相反的根的數(shù)目，所有這些根均可由輔助 方程求得。 解：(輔助方程 的系數(shù)) 勞斯表中出現(xiàn)了全零行(奇次冪)構(gòu)造如下輔助方程：對輔助方程求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)方程：例3-8：勞斯表中第一列各項符號沒有改變，因此可以確定在 平面右半部沒有極點解方程 可得：它們是系統(tǒng)的

29、共軛虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2. 赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨判據(jù)主要用來分析六階以下系統(tǒng)的穩(wěn)定性。用該方程的系數(shù)寫出如下行列式：行列式中，對角線上各元素為特征方程中自第二項開始的各項系數(shù)，每行以對角線上各元素為準，寫對角線左方各元素時，系數(shù) 的腳標遞增，寫對角線右方各元素時，系數(shù) 的腳標遞減，當寫到在特征方程度中不存在系數(shù)時，則以零來代替。 赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)描述如下：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件在 的情況下是：上述行列式的各階順序主子式均大于零。即：特征方程的各項系數(shù)為正。：特征方程的各項系數(shù)為正，且 。3. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用例3-9：已知系統(tǒng)的特征方程： ，試判斷該系統(tǒng)有幾個特征根位于與虛軸平行的直線

30、的右側(cè)。解：令 ，代入特征方程，整理得以 為變量的 系統(tǒng)特征方程： 結(jié)論：第一列各數(shù)值的符號改變兩 次，該系統(tǒng)有兩個極點具有 正實部，即原系統(tǒng)有兩個特 征根位于與虛軸平行的直線 的右側(cè)。例3-10：設(shè)比例 積分(PI)控制系統(tǒng)如上圖所示。其中 為與積分器時間常數(shù)有關(guān)的待定參數(shù)。已知 試用勞斯判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 取值范圍。若要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于 垂線之左，問 值范圍又應(yīng)取多大？解：由圖可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：根據(jù)勞斯判據(jù)，令：解得：臨界值為：令 代入 得：根據(jù)勞斯判據(jù)，令：解得：3-6 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算一、誤差與(原理性)穩(wěn)態(tài)誤差1. 在系統(tǒng)輸入端定義誤差2. 在系統(tǒng)輸出端

31、定義誤差 按輸入端定義的誤差可以測量，有一定物理意義；按輸出端定義的誤差在系統(tǒng)性能提法中經(jīng)常用到，但實際中有時無法測量，因而一般只有數(shù)學(xué)意義。對于單位反饋系統(tǒng)，兩個定義是一樣的。3. 誤差傳遞函數(shù)誤差分解：瞬態(tài)分量 + 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差： 當 除原點外，在 右半平面及虛軸解析，即當 的全部極點除坐標原點外，都位于 平面的左半部時，根據(jù)拉氏變換的終值定理有： 例3-11：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，輸 入信號分別為 及 ，試求 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為：1、輸入信號為 時瞬態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)誤差：符合終值定理應(yīng)用條件，所以也可以直接用終值定理求解：2、輸入信號為 時

32、瞬態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)分量：顯然，不符合終值定理應(yīng)用條件，若直接用終值定理求解得：本題說明： 使用終值定理要注意條件； 穩(wěn)態(tài)誤差與輸入有關(guān)。二、系統(tǒng)類型設(shè)控制環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：控制環(huán)節(jié)增益被控對象的傳遞函數(shù)為：被控對象增益反饋環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：反饋環(huán)節(jié)增益系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 當 時，系統(tǒng)分別稱為 型，型，型，型，系統(tǒng)。三、給定穩(wěn)態(tài)誤差終值的計算 當只需求出 時穩(wěn)態(tài)誤差的終值時，可利用拉氏變換終值定理，但要注意終值定理的條件。終值定理：條件： 的全部極點除原點外，都在 平面的左半部。式中： 稱為階躍誤差系數(shù)或位置誤差系數(shù)顯然有： 為保證系統(tǒng)系統(tǒng)在階躍輸入作用下，沒有誤差，系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)應(yīng)為無窮大，相應(yīng)的系統(tǒng)至少要是型系統(tǒng)。型系統(tǒng)可稱為一階無差度系統(tǒng)。1. 階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)位置誤差系數(shù)顯然有： 為保證系統(tǒng)的速度誤差為零，相應(yīng)的系統(tǒng)至少要是型系統(tǒng)。 型系統(tǒng)可稱為二階無差度系統(tǒng)。2. 斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)速度誤差系數(shù)式中： 稱為斜坡誤差系數(shù)或速度誤差系數(shù)顯然有： 為保證系統(tǒng)的加速度誤差為零，相應(yīng)的系統(tǒng)至少要是型系統(tǒng)。3. 拋物線輸入下的穩(wěn)態(tài)誤