自動(dòng)控制理論-52-頻域：伯德圖3

1、系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1右圖是塔科馬峽谷的首座大橋，開(kāi)通于1940年7月1日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。例 塔科馬峽谷大橋24 個(gè)月之后，一陣風(fēng)吹過(guò)，引起橋的晃動(dòng)，而且越來(lái)越大，直到. 同理，不要在橋上齊步走！3例 麥克風(fēng)和揚(yáng)聲器麥克風(fēng)揚(yáng)聲器拾音器語(yǔ)音信號(hào)回音信號(hào)功放信號(hào)增大功率減小距離尖叫4(a) K=5， 110 1.5 15 2 20 1 1 KkR(s)Y(s)B(s)G(s)=K/（1-K*k）拾音器正反饋例 麥克風(fēng)和揚(yáng)聲器5 表示系統(tǒng)頻率特性的圖形有三種：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖極坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)幅相圖對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 6一、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖 1. 對(duì)數(shù)幅頻特性圖： 橫坐標(biāo)：用頻率的對(duì)數(shù)lg分度。 縱坐標(biāo)：L()=

2、20lg|G(j)| （dB）， 采用線性分度； 橫坐標(biāo)：用頻率的對(duì)數(shù)lg分度。 縱坐標(biāo)：頻率特性的相角，以度為單位，采用線性 分度；711010023對(duì)數(shù)相頻特性（）（弧度或度）對(duì)數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)8伯德圖表示頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：把頻率特性的乘除運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運(yùn)算；在對(duì)系統(tǒng)作近似分析時(shí)，一般只需要畫(huà)出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡(jiǎn)化了圖形的繪制；用實(shí)驗(yàn)方法，將測(cè)得系統(tǒng)頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)畫(huà)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上。根據(jù)所作出的曲線，估計(jì)被測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。9二 典型因子的伯德圖 如果開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)以時(shí)間常數(shù)形式表示，則與之相對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)頻率特性 一般由下列五種典型因子組成。比例因子一階因子微分和積分因

3、子二階因子滯后因子10 1 比例因子 比例因子的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條幅值為20lgK分貝，且平行于橫軸的直線，相頻特性是一條和橫軸重合的直線，相角為00。K1時(shí)，20lgK0dB；K1時(shí)，20lgK0dB。 112 積分因子當(dāng)=1時(shí)當(dāng)=10時(shí)當(dāng)=100時(shí)每增加10倍，L()則衰減20dB，記為：20dB/十倍頻程，或-20dB/dec。 說(shuō)明積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻曲線是一條經(jīng)過(guò)橫軸上=1這一點(diǎn)，且斜率為-20的直線。12 相頻與無(wú)關(guān)，值為-90且平行于橫軸的直線。13 3 微分因子 微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的倒數(shù)，它們的曲線斜率和相位移也正好相差一個(gè)負(fù)號(hào)。14 4 一階因子中慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性為

4、 慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性 在 時(shí)（低頻段）： 近似地認(rèn)為，慣性環(huán)節(jié)在低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性是與橫軸相重合的直線。 15 在 時(shí)（高頻段）： 幅頻特性： 表示一條經(jīng)過(guò) 橫軸處，斜率為-20dB/dec的直線方程。 綜上所述：慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可以用在 處相交于0分貝的兩條漸近直線來(lái)近似表示： 當(dāng) 時(shí)，是一條0分貝的直線； 當(dāng) 時(shí)，是一條斜率為-20dB/dec的直線。 16 兩條漸近線相交處的頻率 稱(chēng)為轉(zhuǎn)折頻率或交接頻率。 17慣性環(huán)節(jié)的相頻特性 當(dāng)=0時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 趨于無(wú)窮時(shí)， 趨于-90。 采用漸近線在幅頻曲線上產(chǎn)生的誤差是可以計(jì)算的。幅值的最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)折頻率 處，近似等于3dB

5、。 185 一階比例微分因子 一階比例微分因子的頻率特性（1+jT）與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，此其對(duì)數(shù)幅頻曲線和相頻曲線僅差一負(fù)號(hào)。即19 一階微分環(huán)節(jié)高頻漸近線的斜率是+20dB/dec，其相位變化范圍由0（=0）經(jīng)+45至90（=）206 二階因子(二階振蕩環(huán)節(jié))對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性低頻段，即Tn1時(shí) 當(dāng)增加10倍 即高頻漸近線是一條斜率為-40dB/dec的直線。當(dāng) 時(shí)說(shuō)明 為二階系統(tǒng)(振蕩環(huán)節(jié))的轉(zhuǎn)折頻率。 22。-40dB/dec23 可見(jiàn)：當(dāng)頻率接近 時(shí)，將產(chǎn)生諧振峰值。阻尼比的大小決定了諧振峰值的幅值。 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性在轉(zhuǎn)折頻率 附近產(chǎn)生諧振峰值 可通過(guò)下列計(jì)

6、算得到：24振蕩環(huán)節(jié)的幅頻 特性為其中 ：當(dāng)出現(xiàn)揩振峰值時(shí)， 有最大值，即 有最小值。得到 諧振頻率式中， 25 將 代入 ，不難求得 。 因此，在=r處 具有最小值， 有最大值。 諧振峰值 諧振頻率r及諧振峰值Mr都與有關(guān)。越小, r越接近n, Mr將越大。當(dāng)0.707時(shí)，r為虛數(shù)，說(shuō)明不存在諧振峰值，幅頻特性單調(diào)衰減。當(dāng)=0.707時(shí)，r=0，Mr=1。時(shí)，r0，Mr1。 0時(shí)，r n，Mr。26振蕩環(huán)節(jié)相頻特性 相角 是和的函數(shù)。在= 0，當(dāng) 時(shí)，不管值的大小， ；當(dāng)=時(shí)， 。相頻曲線對(duì)-90的彎曲點(diǎn)是斜對(duì)稱(chēng)的。27 7 滯后因子 幅頻特性 相頻特性 (弧度轉(zhuǎn)角度)28三、繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的

7、伯德圖設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為則對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性分別為29 繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖 基本步驟： 把系統(tǒng)的頻率特性改寫(xiě)成各典型因子的乘積形式，畫(huà)出每個(gè)因子的對(duì)數(shù)幅頻和相頻曲線，然后進(jìn)行同頻率疊加，即得到該系統(tǒng)的伯德圖。 30例1：31工程上繪制伯德圖的方法: 寫(xiě)出開(kāi)環(huán)頻率特性的表達(dá)式，把其所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由小到大一次標(biāo)注在頻率軸上；繪制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的漸近線。漸近線由若干條分段直線所組成，其低頻段的斜率為-20vdB/dec，其中v為積分環(huán)節(jié)數(shù)。在w=1處，L（w）=20lgK 。以低頻段作為分段直線的起始段，從它開(kāi)始，沿著頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率。如

8、遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當(dāng) 時(shí)，分段直線斜率的變化量為-20dB/dec；如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當(dāng) 時(shí)，分段直線斜率的變化量為+20dB/dec。32分段直線最后一段是開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為-20（ n-m）dB/dec，其中n為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)數(shù)，m為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)。作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對(duì)相應(yīng)的分段直線進(jìn)行修正，就可得到實(shí)際的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。作相頻特性曲線。根據(jù)開(kāi)環(huán)相頻特性的表達(dá)式，在低頻、中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個(gè)頻率進(jìn)行計(jì)算，然后連接成曲線。33 試?yán)L制某開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖（幅頻特性用分段直線 表示）。該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特

9、性為1）在 =1處，其高度為20lg10=20dB。2）當(dāng) =2時(shí)，由于慣性環(huán)節(jié)，使分段直線的斜率變?yōu)?40dB/dec。同理，由于一階比例微分環(huán)節(jié)，當(dāng) =10時(shí)，使分段直線的斜率變?yōu)?20dB/dec。34例：解：35-20-60-80-600.1101242040Ldb0w-900j()-1800-27000036已知一反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為37其中三個(gè)轉(zhuǎn)折頻率（或稱(chēng)交接頻率）分別為 38 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻及相頻特性39例 某系統(tǒng)傳遞函數(shù)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如下圖 ，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù): 40 四、最小相位系統(tǒng) 1. 定義： 在系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中，沒(méi)有位于S右半平面的 零點(diǎn)和極點(diǎn)

10、，且沒(méi)有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，反之為非最小相位系統(tǒng)。 2. 最小相位系統(tǒng)特征： a在nm且幅頻特性相同的情況下，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小。 這里n和m分別表示傳遞函數(shù)分母和分子多項(xiàng)式的階次。41例如 兩個(gè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分別為（T1T20）它們的對(duì)數(shù)幅頻和相頻特性為 42顯然,兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性一樣，但相頻特性不同。由圖可見(jiàn)， 的變化范圍要比 大得多。 最小相位系統(tǒng) 非最小相位系統(tǒng)43 b、當(dāng)時(shí)，其相角等于-90（n-m），對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為20(nm)dB/dec。有時(shí)用這一特性來(lái)判別該系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 c、對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一

11、個(gè)最小相位系統(tǒng)，我們?nèi)糁懒似浞l特性，它的相頻特性也就唯一地確定了。也就是說(shuō)：只要知道其幅頻特性，就能寫(xiě)出此最小相位系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，而無(wú)需再畫(huà)出相頻特性。 441. 0型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條xdB的水平線則其對(duì)數(shù)幅頻特性的表達(dá)式為五 系統(tǒng)的類(lèi)型與對(duì)數(shù)幅頻特性曲線低頻漸近線斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系0型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 451）低頻漸近線的斜率為20dB/dec；2）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在w=1處的縱坐標(biāo)為 ；3）開(kāi)環(huán)增益K在數(shù)值上也等于低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）與0dB線相交點(diǎn)的頻率值。2. 型系統(tǒng) 型系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn)：則其對(duì)數(shù)幅頻特性的表達(dá)式為型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為 461）低頻漸近線的斜率為40dB/dec；2）低頻漸近線（或其延長(zhǎng)線）在w=1處的縱坐標(biāo)為 ；3