考研數(shù)學(xué)21997年全國入學(xué)統(tǒng)一考試

1、1997 年入學(xué)理工數(shù)學(xué)二試題詳解及評析一、填空題x 0 在 x 0 處連續(xù)，則 a .cos （1）已知 f x a, x 0 12 .【答】 e由題設(shè)lim f x f 0, 即【詳解】x0ln cos xtan x x 12a lim cos ex01 x, 則 y |（2）設(shè) y ln .1 xx03【答】 .2【詳解】由題意得y 1 ln 1 x 1 ln 1 x2 2y 212 1 xx,1 x21 x21y 2 1 x1 x2 22于是 3y|2x0dx（3） .x 4 xx 2x【答】2 arcsin C 或arcsin2C2【詳解】方法一：- 1 - dx dx arcsin

2、 x 2 C 222方法二： dx dx 2 dx2 arcsinx C24 x 2x（5）已知向量組1 1, 2, 1,1,2 2, 0, t, 0,3 0, 4, 5, 2 得秩為 2，則t .【答】 3.【詳解】方法一：1t512041 由于秩 r 1,2 ,3 2, 則矩陣 20 的任一個(gè)三階子陣的行列式的值為02零，即1120204 0,t5解得t 3.方法二：1t51t 2512041 12440 20 020202秩 r 1,2 ,3 2 t 2 5即 t 3.二、選擇題（1）設(shè) x 0 時(shí)， etan x ex 與 xn 是同階無窮小，則 n 為（A）1.（B）2.（C）3.（

3、D）4【 】- 2 -【答】 應(yīng)選（C）.【詳解】方法一：由于 x 0 時(shí)，x3 2!3!o x ，4則tan x2tan x3 o x4 etan x 1 tan x 2!3!x3 o x3 etan x ex tan3!x3 o x3 ,tan又etan x ex 1 x3 o x3 所以3從而etan x ex 與 x3 為同階非等價(jià)無窮小.應(yīng)取 n 3,故選（C）.方法二：x 1etantan x x xnlim lim secxn n 1 xn2nxn1x0 x02lim tan xn n 1 x0 xn2(2)設(shè)在區(qū)間a, b 上 f x 0, fx 0, fx 0 ，令 S bf

4、 xdx,1af bb a, S 1 f a f b b a ，則S 2 23（A） S1 S2 S3(B) S2 S1 S3(C) S3 S1 S2(D) S2 S3 S1【 】【答】 應(yīng)選（B）.- 3 -【詳解】f x 0, f x 0, f x 0 知，曲線 y f x 在a, b 上單調(diào)減少且是凹曲線弧，由f x f b,于是有 f b f a b af x f a x a, a x b.從而bf xdx f bb a S2 ,S 1a f b f ab b S f x dx f a x a dx1b aaa 1 f a f b b a S .2 即 S2 S1 S3 ,故應(yīng)選（B）

5、.3f xxf x 3x f x2 1 ex ,（ 3 ） 已 知 函 數(shù) y 對 一 切 x 滿 足若f x 0 x 0 ，則00f x0 是 f x 的極大值；f x0 是 f x 的極小值；（A）（B）（C） x0 , f x0 是曲線 y f x 的拐點(diǎn)；f x 的極值， x0 , f x0 也不是曲線 y f x0 不是f x 的拐點(diǎn).（D）【】- 4 -【答】 應(yīng)選（B）f x 0 x 0 知， xf x 的駐點(diǎn)，將 x x【詳解】由是代入微分方程0000 xf x 3x f x2 1 ex ,1ex0f x 得0 x ex00 0 為何值，都有 f x 0可見無論 x00所以f

6、x 的極小值點(diǎn).x x0 是x2 (3)設(shè) F x sin tesin tdt, 則 F xx（A） 為正常數(shù).（B）為負(fù)常數(shù).（C）恒為零.（D）不為常數(shù).【】【答】 應(yīng)選（A）.t 是以2 為周期的，因此sin【詳解】由于x2 2F x sin tsin tdt esin tdtsin tex02 ed cos tsin t02 0 cos t edt 0.2sin t0故應(yīng)選（A）.x2 , x 0 x, x 0 （5）設(shè) g x則 g f x 為2 x2 , x 02 x2 , x 0（A）（B）2 x, x 02 x, x 02 x2 , x 02 x2 , x 0（C）（D）2 x

7、, x 02 x, x 0【】【答】 應(yīng)選（D）.- 5 -根據(jù) g x 得定義知，復(fù)合函數(shù)【詳解】f x, f x 02 g f x f x 2, f x 0而 x 0 時(shí)，f x x2 0;x 0時(shí)，f x x 0.故2 x2 , x 0 g f x 2 x, x 0 x 1三、求極限 lim.xx2 sin x【詳解】方法一：4t 2 t 1 t 1原式 lim t4 1 1 1 1t 2tt 1 limt 1 1 sin tt 2方法二：先進(jìn)行有理化，再計(jì)算.3x2 x 2x2 x 1 x 1原式 limx3 1 2x2x 1 lim1 sin x 4 1 1 1 1 xx x2- 6

8、 -x arctan tdy (2)設(shè) y y x 由所確定，求. 5dx2 y ty e2t【詳解】方法一：dx 1，dt1 t 22 dy y2 2ty dy et 0,由dtdtdyy2 et得dt2 1 ty y2 et 1 t 2 2 1 ty dydx因而方法二：由 x arctan t ，得t tan x ，將其代入題目中第二式有2 y y2 tan x etan x 5兩邊對 x 求導(dǎo)得2 dy 2 y tan x y2 sec2 x etan x sec2 x 0,dx解得 y2 etan x 1 tan2 x11 y tan xdydx（3）計(jì)算 e2x tan x 12

9、dx【詳解】方法一：原式 1 e2x tan x 12 e2x tan x 1sec2 xdx212 e2x sec2 xdx e2x tan2 xdx e2x sec2 xdx22 1 e2x 2 tan x 1 e2xdx2 1 e2x 2 tan x 1 1 e2x C2 e2x tan x C2- 7 -方法二：x sec2 x 2 tan x由于 tan而sec2 xdx d tan x從而原式 e2x sec2 xdx 2 e2x tan xdx e2x tan xdx e2x tan x C（4）求微分方程3x2 2xy yxy dy 0 的通解.此方程為方程，令 y ux, 則

10、dy x du u, dxdx【詳解】代入原方程有3u2 u 12u 1dux dx此為可分離變量方程，解得u2 u 1 Cx3y2 xy x2 Cx1即（5）已知 y xex ee2x ex 是某二階線性非,微分方程123的三個(gè)解，求此微分方程.【詳解】由題設(shè)，并根據(jù)二階線性非微分方程解的結(jié)構(gòu)知，y y ex 是方程的解；13xx而y2 e xe 仍為非方程的特解，進(jìn)而得 y xex e2x 為方程得解1- 8 -即有e2x 與ex 是相應(yīng)方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，且 xex 是非方程的一個(gè)特解.y xx故12是所求方程的通解.由y 2 x C e x ,221y4e x C ex.12消去C

11、1, C2 所得的方程為y y 2 y ex 2xex.111（6）已知 A 011 , 且 A2 AB E ,其中 E 是三階矩陣，求矩陣 B.001 0 ，在 A2 AB E 兩邊A1 ，得A【詳解】因A B A1 ,B A A1即11 10211101又由A 01 ,得A1 01 ,0101從而111 1021110200B 01 01 001011 0000 x3 1四、 取何值時(shí)，方程組x 2 無解，有唯一解或有無窮多解？并在有無窮3x 13- 9 -多解時(shí)寫出方程組得通解.【詳解】方法一：原方程組的系數(shù)行列式2111 5 2 4 15 45544故當(dāng) 1且 時(shí)，方程組有唯一解.5當(dāng)

12、 1 時(shí)，原方程組為x3 1,x 2,3x 1,3對其增廣矩陣施行初等行變換：113331121 011102 0 MMM1M2 1M2 01111M因此，當(dāng) 1 時(shí)，原方程組有無窮多解，其通解為x1 1 1 kx2x k33 T 1, 1, 0T k 0,1,1T （ k 為任意實(shí)數(shù)）或4當(dāng) 時(shí)，原方程組的同解方程組為5x3 5,x 10, 103x 1,3對其增廣矩陣施行初等行變換：4 555554 5055 010M5105M 4M10 4M10 4M1 0M94可見當(dāng) 時(shí)，原方程組無解.5- 10 -方法二：對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換：1 5 111 1510 21 21 21

13、MMM MM2 2M3 23 1044于是，當(dāng) 時(shí)，原方程組無解.54當(dāng) 1且 時(shí)，方程組有唯一解.5當(dāng) 1 時(shí)，原方程組有無窮多解，其通解為x1 1 1 kx2x k33 T 1, 1, 0T k 0,1,1T （ k 為任意實(shí)數(shù)）或五、設(shè)曲線 L 的極坐標(biāo)方程為 r r ，M r, 為 L 上任一點(diǎn)，M 0 2, 0 為 L 上一定點(diǎn)，若極徑OM 0 , OM 與曲線 L 所圍成的曲邊扇形面積值等于 L 上 M 0 , M 兩點(diǎn)間弧長值的一半，求曲線 L 的方程.【詳解】由題設(shè)，有1212 r 2 r2 d ,2r d00兩邊對 求導(dǎo)，得r 2 r 2 r2，即 r r r 2 1dr d

14、從而r r2 1dr1r arcsin C,r 2 1r因?yàn)閍rcsin 1 C 所以r由條件 r 0 2 ，知- 11 -C 6故所求曲線 L 的方程為r sin m 1, 6 r csc 6 m ,即即直線方程為x m3y 2.在閉區(qū) 間 0,1 上連續(xù) ，在開區(qū) 間f x0,1六、 設(shè)函 數(shù)內(nèi)大于 零，并滿 足xf x f x 3a x2 （ a 為常數(shù)），又曲線 y f x 與 x 1, y 0 所圍的圖形 S 的面積2值圍 2，求函數(shù) y f x ，并問 a 為何值時(shí)，圖形 S 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.【詳解】由題設(shè)值，當(dāng) x 0 時(shí)，xf x f x3a2x2d

15、f x 3a ,即dx x2f x 在點(diǎn) x 0 處的連續(xù)性，得根據(jù)此并由f x 3 ax2 Cx, x 0,12又由已知條件得321C11|2 ax Cx dx ax x232 2 020 1 a 1 C22C 4 a,即f x 3 ax2 4 a x .因此2- 12 -旋轉(zhuǎn)體得體積為2311 V a fx dx ax 4 a xdx220 20=16 11a a 2 3033由V a a 1 01 153 得 a 5 .又因V a 1150故 a 5 時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最小. f x x1f x 連續(xù)，且lim f xt dt, 求 x 的連續(xù)性. 2, 設(shè) x 七、已知函數(shù)x00【詳解】f

16、 0 0, 0 0 x由題設(shè)，知f u du令 u xt,得即xf u du x 0 x 00,從而xf x f u dux由導(dǎo)數(shù)定義有xf u du f x A lim 0 lim0 x22x2x0 x0由于- 13 -xxf u dulim lim0 x2xx0 A A A 022從而知 x 在 x 0 處連續(xù). 八、就 k 的不同取值情況，確定方程 x sin x k 在開區(qū)間 0,內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明22你的結(jié)論.【詳解】設(shè) fx, f x 在 0, 2 上連續(xù).則 x 1cos x 0,由 f2 2 得 f x 在 0,內(nèi)的唯一的駐點(diǎn) x ar cos02由于當(dāng) x 0, x 時(shí)， f x 0 ，0 x 0 .當(dāng) x x