2023屆新高考數(shù)學壓軸題 專題突破 講義（Word版含答案）

1、2023屆新高考數(shù)學壓軸題專題突破近來準備第一次月考，做了不少模擬題，看了一些復習書，也發(fā)現(xiàn)了自身存在的一些值得提升之處。再加上前些天看見中學數(shù)學星空公眾號中有學生投稿導數(shù)題，命題的質(zhì)量雖高，卻感覺和新高考差距過大，便嘗試第一次高質(zhì)量的（歷時3天）按新高考及最新模擬題的風格命制了一道導數(shù)壓軸題。我們將以這道題為例，逐個擊破導數(shù)壓軸題的各個考點（零點與雙變量、泰勒展開，主要是不等式證明）。試題如下：已知函數(shù)fx=ex1mxx (m0)在x(0, +)時有極小值求m的取值范圍；設直線y=xm+1與fx的圖像有兩個交點，橫坐標記為x1, x2 (x1x2)，當m2m4+5m3+9m2+6m注：e=2

2、.71828是自然對數(shù)的底數(shù)，ln20.693請大家先不要往后看，自己認真想一想，還是挺有味道的。第一次命制這種風格（之前高考卷出來后，依葫蘆畫瓢仿著出了一道三角函數(shù)為背景的，現(xiàn)在看看太low了）的導數(shù)壓軸題，也是第一次寫數(shù)學小專題來投稿，如有不足敬請諒解，也歡迎批評指正或提出寶貴建議；如有好的想法或者解題思路，可以下方留言；也歡迎留下聯(lián)系方式，后續(xù)可以深度交流。乍看這題，許多同學可能感到束手無策其實，個人認為這題的區(qū)分度還是比較高的，第(2)問的大體思路還是比較明確的。先說第(1)問，求導得fx=exx1+1mx2mx2，若fx在x(0, +)時有極小值，則此時exx1+1mx2=0有解。有

3、人可能堅信參變分離一時爽，可是這題你就會發(fā)現(xiàn)參變分離后的函數(shù)求導略微有些復雜，于是我們還不如直接研究gx=exx1+1mx2。求導得gx=(ex2m)x，設ln2m=k，gmin=k=klnkk+1kln2k2，k=ln2k20，1=0，所以k1，即m12。這就結(jié)束了嗎？那恭喜你掉坑了，盡管這道題你帶回檢驗時不會找到極大值點，但是m=12時極小值點為0，不合題意，故m12。再說第(2)問之前，我們先來看一些常用的不等式。下面正式進入第(2)問。數(shù)感好的同學，把欲證的表達式移項后因式分解，會發(fā)現(xiàn)原命題等價于證明x2m33+m22+m ，且x11m+1。這也側(cè)面體現(xiàn)了這道題的善良，你只需要分別搞定

4、兩個零點，不用去想那些化為單變量、切線放縮之類的。這里另提一句，有同學直接放縮x1m+1(m33+m22+m)，這也是可行的，但是這樣x2那邊并不好看，如果此時再將右側(cè)放到m24，便會出錯，所以我并不推薦這么做。但是，本題不需要用到那些方法，不代表以后考試也不需要，這里給出兩道題目，簡單介紹一下化為單變量與切線放縮的具體操作，大家也可借此熱熱身。先看這道2018年理科1卷的壓軸題（難度較低，適合入門找信心）。再看這道2022年淄博三模的壓軸題（難度略高，適合拔高提能力）?；氐奖绢}，按照正確的（較理想的）解法，首先要用到零點存在定理。這部分新高考有著較高的要求，尤其要注意找具體的數(shù)值代入來比大小

5、，而不能僅僅用圖像或極限來說明。零點存在定理：假設函數(shù)fx在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，且函數(shù)值fa與fb異號，則在開區(qū)間(a, b)上必定存在至少一個c，使得fc=0。記x=x+1m，由于fx下凸，回到之前的思路，要證明x2m33+m22+m ，且x1fm33+m22+m，1m+1f1m+1。柿子先挑軟的捏，稍加分析可知顯然比要好證得多。那就先證明：把兩邊分別帶進去，得到不等式(m+1)(e1m+11)m1m+11m(m+1)+1，移項通分化簡得 e1m+1f1m+1。對于這一個不等式，其實就是在考察你是否能熟練地完成中考要求的分式化簡，最后一步顯得極為簡單。那么現(xiàn)在就差證明m33+m22+mfm

6、33+m22+m了，如果方法選取不當，或是放縮不夠精準，要想順利證明還是有些困難的。真正熟悉泰勒展開的同學，一定知道lnx+1=xx22+x33x44+ 把式中x換成m，在兩邊同乘1，就得到ln11mm33+m22+m，這時就轉(zhuǎn)化為證明x2ln11m，即只需證ln11mfln11m。設t=ln11m(ln2, 2)，這步換元能使后面的書寫簡單許多。原不等式寫作ettt0。到這里有的同學可能又犯難了，這么復雜的式子，總不至于直接求導吧。的確，一般看到et的形式，通常會想到放縮ett+1，那就等價于證明2t2+1et0，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)原式恒大于兩個端點值。代入t=2發(fā)現(xiàn)大于零沒問題，可是代

7、入t=ln2卻發(fā)現(xiàn)剛好略小于零，這可有點尷尬。不妨在這個區(qū)間里隨便取個值，比如t=1，代入發(fā)現(xiàn)大于零也沒問題，故當t(1, 2)時，由上述推理易知原不等式成立。至此，只需證明當t(ln2, 1)時，2t2+t+1ett2+tet0。既然剛才的放縮略微過頭了一點，我們把精度提高，多保留一項，考慮放縮ett22+t+1，那么原不等式等價于證明2t2+1+t36et0。事到如今，似乎也只能暴力求導了（除非能找到et小于某個很好看的式子）。先求一階導4t+t22et，再求二階導t+4et，二階導恒大于零，t=ln2時一階導大于零，所以2t2+1+t36et單調(diào)遞增，當t(ln2, 1)時恒大于零綜上，

8、6x2x12m4+5m3+9m2+6m得證最后，簡單總結(jié)一下，對于證明不等式的問題，往往有以下兩種思路。(1) 直接構造函數(shù)證明不等式：證明不等式最常見的方法是利于函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，即把不等式的證明問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，直接構造然后再利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式.這種策略只能適用于函數(shù)形式不太復雜的情況，而且有時要結(jié)合隱零點的策略。(2) 放縮證明不等式：對于一個函數(shù)型不等式的問題，更常見的情況是進行放縮后繼續(xù)證明，我們放縮的目的是為了進行化簡，將過于復雜的一些項給放掉。在放縮過程中，切線放縮和泰勒展開是我們放縮證明不等式的兩大法寶。注：最后一頁是完整版答案解析和評分標準。答案詳解：(

9、1) 求導得fx=exx1+1mx2mx2，若fx在x(0, +)時有極小值，則此時gx=exx1+1mx2=0有解gx=(ex2m)x，設ln2m=k，gmin=k=klnkk+1kln2k2，k=ln2k20，1=0，所以k1，即m12但是m=12時極小值點為0，不合題意，故m12(2) 要證明6x2x12m4+5m3+9m2+6m，移項再因式分解后整理可得，等價于證明：x2ln11mm33+m22+m (泰勒展開)且x11m+1記x=x+1m，由于fx下凸，所以只需證，當mfln11m，1m+1f1m+1先證明：等價于證明(m+1)(e1m+11)m1m+11m(m+1)+1，只需證e1m+1f1m+1再證明：設t=ln11m(ln2, 2)，等價于證明ettt0當t(1, 2)時，考慮放縮ett+1，等價于證明2t2+1et0，分析單調(diào)性再賦值，發(fā)現(xiàn)該式顯然成立；當t(ln2, 1)時，考慮放縮ett22+t+1，等價于證明2t2+1+t36et0，先求一階導4t+t22et，再求二階導t+4et，二階導恒大于零，t=ln2時一階導大于零，所以2t2+1+t36et單調(diào)遞增，當t(ln2, 1)時恒大于零綜上，6x2x