信號與系統(tǒng)國培班第6章

1、6連續(xù)時間系統(tǒng)的變換域分析2018/6/816.1 系統(tǒng)響應的拉氏變換求解6.2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應6.3 零、極點分布與時域響應特性6.4 零、極點分布與系統(tǒng)頻率響應特性的關系6.5 典型系統(tǒng)的頻響特性6.6 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)6.7 系統(tǒng)模擬及信號流圖6.8 系統(tǒng)的穩(wěn)定性6連續(xù)時間系統(tǒng)的變換域分析學習目標：LTI穩(wěn)定連續(xù)時間系統(tǒng)對正弦信號的響應穩(wěn)態(tài)響應正弦函數(shù)激勵下LTI系統(tǒng)的響應；復指數(shù)信號激勵下系統(tǒng)的響應LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)拉氏變換求解線性常系數(shù)微分方程；拉氏變換分析電路元件的s域模型；系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)框圖系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性2018

2、/6/826連續(xù)時間系統(tǒng)的變換域分析LTI連續(xù)時間系統(tǒng)： xi(t) yi(t)LTI離散時間系統(tǒng)： xin yin根據(jù)線性特性(零狀態(tài)響應) ： y(t) ai yi (t)i x(t) ai xi (t)連續(xù)時間系統(tǒng):i 特別地： (t) h(t)（沖激響應）x(t) x( ) (t )d離散時間系統(tǒng):xn ai xi ni y(t) x( )h(t )d yn ai yi ni mmxm n mxn yn xmhn m2018/6/836連續(xù)時間系統(tǒng)的變換域分析k 在第5:jk tx (t) 周期信號：ak e1T 1 2X ( j )ejt d非周期信號： x(t) LTI連續(xù)時間系統(tǒng)

3、，設其沖激響應為h(t):ej th( )x(t )d y(t) x(t) h(t) )ej (t )j th( )e j d ejth(dey(t) ak 頻率響應H ( jkjk t(t) yx)e(t)1Tk1T 1 2= y (t) Y(j) = X(j)X ( j )H ( j )ejt dy(t) x(t)2018/6/84H(j)H ( j )6連續(xù)時間系統(tǒng)的變換域分析在第5變換推廣到拉氏變換:， 更一般地，將s= +jx (t) X(s),LTI連續(xù)時間系統(tǒng)，設其沖激響應為h(t):h( )x(t )d y (t) x(t) h(t) ests )es (t ) h( )es

4、d eststh(dex (t) y (t) Y(s) = X(s)系統(tǒng)函數(shù)在第3，具有線性時不變性質的物理系統(tǒng)抽象為用線性常系數(shù)微分方程所表示的數(shù)學模型，從而對這一類物理系統(tǒng)的分析轉化為對微分方程的求解和分析；當然求解結束后，還必須回頭面對實際的物理系統(tǒng)。本章從變換域的角度先完成對微分方程的求解；再路為例）直接進行變換域的分析。對實際物理系統(tǒng)（電2018/6/85H(s)H (s)6.1系統(tǒng)響應的拉氏變換求解6.1.1微分方程的拉氏變換求解 經(jīng)典法利用拉氏變換求解微分方程，主要利用拉氏變換的時域微分性關心的大多是因果系統(tǒng)和作用時間從0時刻開始的使用的一般只涉及單邊拉氏變換，其時域微分質，同時

5、信號，因而性質可表示為（一階與二階的微分）：sX(s)x(0)s2X(s)sx(0) x (0)dx(t)/dtd2x(t)/dt22018/6/866.1.1微分方程的拉氏變換求解例1:求解描述系統(tǒng)的微分方程為d2 y(t) dy(t)dx(t) 8y(t) 2 5x(t)6dt 2dtdt已知：x(t)=etu(t), 起始條件為：y(0)=1, y (0)=2。解：對微分方程兩邊取拉氏變換：Yzi(s)yzi(t)Yzs(s)yzs(t)H(s)系統(tǒng)函數(shù)2018/6/876.1.1微分方程的拉氏變換求解輸入信號提供的極點零狀態(tài)響應： 強迫響應系統(tǒng)函數(shù)提供的極點響應y(0)=1, y (0

6、)=2, x(0)=0零輸入響應：yzi(t) =3e2t 2e4t ,t 02018/6/886.1.1微分方程的拉氏變換求解強迫響應響應再看這個系統(tǒng)的沖激響應，即：x (t) = (t) X(s) = 1；y(0) = 0, y (0) = 0。2018/6/896.1.1微分方程的拉氏變換求解在零狀態(tài)條件下，當輸入信號分別為下列信號時，求例1中系統(tǒng)的響應。x1(t) = e2tu (t) ； (2)x2(t) = e2tu (t)； (3)(1)x3(t) = cos10tu (t)。2018/6/8106.1.1微分方程的拉氏變換求解2018/6/8116.1.1微分方程的拉氏變換求解

7、強迫響應：當t時，一直存在，穩(wěn)態(tài)響應自由響應狀態(tài)下，強迫響應發(fā)生變化H(s)|s=2。強迫響應：暫態(tài)響應響應0； 暫態(tài)響應當t時，2018/6/8126.1.1微分方程的拉氏變換求解問題：(a) 式(1)和(2)，在什么條件下可以直接應用求解系統(tǒng)的響應？怎么用？x(t) = etu(t)x1(t) = e2tu(t)(b) 強迫響應與響應和系統(tǒng)函數(shù)具聯(lián)系？x2(t) = e2tu(t)x3(t) = cos10tu (t) 在本章開篇：x(t) = ej t y(t) = H(j)ej tx(t) = est y(t) = H(s)est(2)而(1)其中，s = +jx (t) y (t)

8、Y(s) = X(s)H(s)x (t) y (t) Y(j) = X(j)H(j)2018/6/8136.1.1微分方程的拉氏變換求解例2：下圖所示電路，當時，開關S位于“1”端，電路的狀態(tài)已穩(wěn)定，t = 0時S從“1”端打到“2”端，分別求vL(t)與vR(t)。v1(t)E0tE解：vR(0) = EvL(0) = 0vR(0+) = E, vL(0+) = 2E(iL(0+) = iL(0)vL(t)+ vR(t) = v1(t)di(t)vL (t) LvR (t) Ri(t),dtL dvR (t) vdvL (t) R v (t) dv1 (t)(t) v (t)R1LRdtdt

9、Ldt2018/6/8146.1.1微分方程的拉氏變換求解L dvR (t) v(t) v (t) dvR (t) R v(t) R v (t)v (t)1R1R1RdtdtLLERt LvR (t) vRh (t) vRp (t) AeE,t 00tEvR(0+) = E利用拉氏變換（單邊拉氏變換）方法sV (s) v (0 ) RV(s) RV (s)RRR1LLv (0 )R / LVR (s) V1 (s) Rs (R / L)s (R / L)EEER / L E E ss (R / L)ss (R / L)s (R / L)s (R / L)零狀態(tài)響應零輸入響應2018/6/815

10、6.1.1微分方程的拉氏變換求解dvL (t) R v(t) dv1 (t)v1(t)求vL(t)LdtLdtE0tEvL(0) = 0v1(0) = E， v1(0+) = EV1(s) = E/s（單邊拉氏變換）vL(t)+ vR(t) = v1(t) vR(0+) = EvL(0+) = 2E零狀態(tài)響應零輸入響應2018/6/8166.1.1微分方程的拉氏變換求解v1(t)dv (t)RLdv (t)vL (t) Ldt1dtEdv (t)2E (t),0定義（0系統(tǒng)）0 定義（0 系統(tǒng)）0t 1dtE 0，對于 0 系統(tǒng)：對于 0+系統(tǒng)：其中：vL(0+) = 2E其中：vL(0) =

11、 0說明單邊拉氏變換從0的方便和好處。2018/6/8176.1.1微分方程的拉氏變換求解最后分別畫出vR(t)和 vL(t)的波形：vL(t)vR(t)2EE0tt0E2018/6/8186.1.1微分方程的拉氏變換求解例3:電路，起始狀態(tài)為0，t=0直流電源E，求電流 i (t)。時開關S閉合，接入解：（1）建立微分方程vL(t)+ vC(t) +vR(t) = x(t)x(t)di(t)dt 1Cti( )d Ri(t) x(t)Lx(t) = Eu(t)起始狀態(tài)為0，即 iL(0)=0，vC(0)=0。從而：vL(0)=Li L(0)=0，且iL(t) = i(t)。d2i(t)R d

12、i(t)11 dx(t)i(t) dt2LdtLCLdt（2）對微分方程求拉氏變換s2I (s) si(0 ) i(0 ) R sI (s) i(0 ) L1I (s) 1 sX (s) x(0 )LLC2018/6/8196.1.1微分方程的拉氏變換求解s2 I (s) R sI (s) L1I (s) 1 sX (s)LLCR=2，L=1H，C=0.5F而：x(t) = Eu(t) X(s) = E/ss / LEEI (s) X (s) 1R s s2 2s 2(s 1)2 1s2LCL（3）求拉氏逆變換Eti(t) = Eetsu(t)2018/6/8206.1.2s域的元件模型列寫微

13、分方程取拉氏變換的方法分析電路雖然具有許多優(yōu)點,但是,對于比較復雜的網(wǎng)絡,列寫微分方程這一步就顯得 十分繁瑣。但考慮元件的伏安特性，可以采用元件的s域模型。RIR(s)vR (t) RiR (t)RiR(t)I (s) V (s) / RRR+V (s)+vR(t)RV (s) RI (s)RRdiL (t)LiL(0)復阻抗sLLI (s)i (t)vL (t) L LLdt+v (t)V (s)LL(0 )V (s) (s) Li等效電壓源LLLsCdv (t)復導納iC (t) CCiC(t)CdtI (s)CCvC(0)+vC(t)+(0 )(s) sCV (s) CvICcC等效電流

14、源V (s)C2018/6/8216.1.2 s域的元件模型iC(t)CLiL(t)+vC(t)+v (t)Ldv (t)(t) L diL (t)iC (t) C CvdtLdtvC(0)/s1/sCLi (0)sLIL(s)Ic(s)L+V (s)V (s)Lc1I (s) 1 v (0 )V (s) sLI (s) Li (0 )V (s) LLLCCCsCs1 V(s) 1 i (0 )I (s) IC(s) = sCVC(s) CvC(0 )LLLsLssL1/sCIC(s)IL(s)CviL(0 )/sC+VC(s)VL(s)2018/6/8226.1.2s域的元件模型例6.1-5

15、電路中，當 t 0時，開關S位于“1”端，電路的狀態(tài)已經(jīng)穩(wěn)定。當 t = 0時開關S從“1”端倒向“2”端，求 iL(t)。（1）畫出s域模型解： iL(0)=E1/R1（2）假定流過sL的電流為IL0(s)1 E1 E2E1E2s RRsRsR1 I(s) 12 12 sL(R0 R2 ) L0111sL1R0R2sLR0 R22018/6/8236.1.2s域的元件模型 L(R0 R2 )令R0 R2E1 E2 E1 1 R1R2E21I(s) R s1 L0s(s 1)R1s 2 E1E1E2E21I (s) I(s) RLL0s 1RsRsR212 1（3）逆變換為 EtEEiL (t

16、) 1t 02 R22 e R1R22018/6/8246.1.2s域的元件模型例4:電路，已知：E12 V，E24 V，當t0時,開關S處于1的位置，而且已達到穩(wěn)定。當 t=0 時，開關S由1轉向2。求電流 i(t) 的零輸入響應與零狀態(tài)響應。SR1 12解：(1)首先求電流i(t)的零輸入響應i (t)zi+ 3R23RE1v (0 ) E 4 3V2-C2R R1 312畫出電路的零輸入響應的s域模型電阻R1與R2的并聯(lián)電阻R為:R 1Izi (s) 1 sCR2R1 R2 1 3 3 v (0)+R CsR1 R21 34-2018/6/825i(t )1+E 2-C 1F6.1.2s

17、域的元件模型電阻R(R1與R2的并聯(lián))與RC（1/sC）串聯(lián)，可求出流過電容的電流像函數(shù)，再進行分流，即RI(s)1zi 1 v (0 )1RC=1/sCR2CsI (s) sCR2ziR RR R+v (0 )12C Cs3 1 3-93 s (1 3) (1 3)3s 4s 4s43取拉氏逆變換，得到電流的零輸入響應。4 t 3izi (t) 3eu(t)2018/6/8266.1.2s域的元件模型(2)求電流i(t)的零狀態(tài)響應izs(t)，畫出零狀態(tài)響應的s域模型如圖記，電路中的復阻抗為：1R Izs (s)R 11/ C2sC1R R R / / R R R 12C111+R s 2

18、sCR C+E1s21X(s)RCsCR-X (s) 2則：I(s) X (s)zsR2(1 3s) 1 1 3 1s 4系統(tǒng)函數(shù)s(3s 4)2s23取拉氏逆變換，得到電流的零狀態(tài)響應。4 t 3123izs (t) (e 2)u(t)2018/6/8276.2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應1.系統(tǒng)函數(shù)的定義設系統(tǒng)的 n 階微分方程為：any(n)(t) + an1y(n1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y(t)= bmx(m)(t) + bm1x(m1)(t) + + b1x(1)(t) + b0 x(t)(6.2-1)若 y(k)(0) = 0,x(k)(0) = 0, 對式（6.2

19、-1）兩邊取拉氏變換得：系統(tǒng)函數(shù)Y (s) X (s)zsbsm1bs bsmY (s)bH (s) (6.2 3) mm110 zsX (s)sn1a sn aa s an1n10- “系統(tǒng)函數(shù)”或“網(wǎng)絡函數(shù)”2018/6/8286.2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應1.系統(tǒng)函數(shù)的定義H (s) Y (s)或： Y(s) = X(s)H(s)X (s)X(s)注意：1、H(s)獨立于輸入，僅由系統(tǒng)特性決定；2、系統(tǒng)函數(shù)是在零狀態(tài)條件下得到的；3、線性時不變系統(tǒng)的H(s)是s的有理函數(shù)。sm1bbs bsmY (s)bH (s) (6.2 3) mm110 zsX (s)sn1a sn aa s an1n

20、10利用輸入信號只是測試和獲取系統(tǒng)函數(shù)的一種。2018/6/8296.2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應Izs (s)R 1Ii (s)Ii (s)I j (s)Vj (s)系統(tǒng)系統(tǒng)V (s)V (s)ii+E1 1 sR2sC-H (s) Izs (s) Izs (s) 1 G(s)X (s)V (s)Z (s)-策動點導納函數(shù)再如右圖中的RC電路，其系統(tǒng)函數(shù)為1H (s) VC (s) sC 11R 1 s 1 X (s)RC-轉移電壓比函數(shù)sCRC2018/6/8306.2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應例6.2-2：求右圖電路的轉移導納函數(shù)R2LR1LR3R1I (s)I (s)Y1 (s) V (s)Y2

21、(s) V (s)和R212解：列寫回路方程V1 (s) (R1 R1L )I (s) I1 (s) R2 I (s)(s 1)I (s) I1 (s) 2I (s) V1 (s)即：(R R)I (s) V (s) R I (s) 0(s 2)I (s) 2I (s) V (s)32 L12212(s2 7s 8)I (s) (s 1)V (s) (s 2)V (s)消去中間變量I (s)得211I (s)V1 (s)I (s)V2 (s) s 2Y (s) 上式中，令V (s)=0，得11s2 7s 8 s 1Y (s) 同理，令V (s)=0，得22s2 7s 82018/6/8316.

22、2 系統(tǒng)函數(shù)與沖激響應2.系統(tǒng)函數(shù)H(s)與沖激響應h(t)的關系h(t)est dtH (s) 或者根據(jù)拉氏變換的時域卷積定理：yzs(t) = x(t)h(t)Y(s) = X(s)H(s)，也即： h(t)在第3章中，H(s) （系統(tǒng)函數(shù)和沖激響應是一對拉氏變換關系）已經(jīng)知道，根據(jù)LTI系統(tǒng)的沖激響應h(t)可以判斷： | h(t)| dt （1）穩(wěn)定系統(tǒng)沖激響應絕對可積，即H(s)|s=j 存在，也即系統(tǒng)函數(shù)的收斂域要包含虛軸。沖激響應是因果信號，即 h(t)= h(t)u(t)，或者（2）因果系統(tǒng)h(t) = 0，t m 時，mnssH(s)在無窮遠處有一個 (n-m) 階零點。sm

23、nlim H (s) lim b ，所以/ a如果 n1；對H2(s)， 其收斂域為： 2；從而兩個系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)。2018/6/835j321j326.3.2零、極點分布與時域響應特性1.一階極點m(s z j ) j 1(s pi )nKinni 1i 1i 1 h(t) H (s) HK e pt H (s) i0inis pii 1（1）極點位于s平面坐標原點，如H (s) 1 h(t) u(t)s恒定（不是絕對可積） 臨界穩(wěn)定收斂（絕對可積） 穩(wěn)定1（2）若極點位于s平面實軸上，如1 h(t) eatu(t)H (s) 1s a1a t | h(t) | dt edt ,aa 0發(fā)

24、散（不收斂） 不穩(wěn)定02018/6/8366.3.2零、極點分布與時域響應特性（3）虛軸上的共軛極點給出等幅振蕩，如 h(t) sin tu(t)H (s) 2s2等幅振蕩（不是絕對可積） 臨界穩(wěn)定 | h(t) | dt 0 | sin t | dt （4）左半s平面內(nèi)共軛極點對，如(s a)2 2 h(t) eat sin tu(t)H (s) (a 0)衰減振蕩，絕對可積 穩(wěn)定sin tu(t)|dt| h(t) | dt at| e0dt 1 / aa| e002018/6/8376.3.2零、極點分布與時域響應特性（5）右半s平面內(nèi)共軛極點對，如 h(t) eat sin tu(t)

25、H (s) (a 0)(s a)2 2增幅振蕩，發(fā)散（不收斂），且沖激響應不是絕對可積的 不穩(wěn)定2. 二階極點（1）s平面坐標原點的二階極點，如1H (s) h(t) tu(t)s2發(fā)散（不收斂），且沖激響應不是絕對可積的 不穩(wěn)定2018/6/8386.3.2零、極點分布與時域響應特性（2）負實軸上的二階極點1H (s) (s a)2 h(t) tea tu(t)(a 0) 穩(wěn)定一次振蕩后的收斂（絕對可積） a t | h(t) | dt tedt 1/ a20（3）虛軸上的二階共軛極點，如2 sH (s) (s2 2 )2 h(t) t sin t u(t)幅度線性增長的振蕩（不收斂，非絕對

26、可積） 不穩(wěn)定2018/6/8396.3.2零、極點分布與時域響應特性結論：H(s)極點位置對系統(tǒng)的特性的影響左半s平面h(t)衰減（指數(shù)衰度）右半s平面h(t)增長（指數(shù)增長速度）一階極點h(t) 等幅振蕩或階躍極點：虛軸上二階極點h(t) 呈增長形式h(t)衰減h(t)增長 穩(wěn)定系統(tǒng)（極點在左半s平面）不穩(wěn)定系統(tǒng)（極點在右半s平面）一階：階躍或等幅振蕩（臨界穩(wěn)定 穩(wěn)定）二階以上：不穩(wěn)定系統(tǒng)如果在虛軸上2018/6/8406.3.2零、極點分布與時域響應特性H(s)零點的位置對系統(tǒng)的特性有何影響呢？考慮如下兩個系統(tǒng)：s 3H (s) h (t) 1H (s) e3tcos 2t u(t)1(

27、s 3)2 22s 111s 32H (s) 2(s 3)2 22(s 3)2 22(s 3)2 22h (t) 1H (s) e3t cos t sin 2tu(t) 2e3tcos(2t 45)u(t)22結論：H(s)的零點只影響h(t)的幅度和相位，而不影響形狀,即不影響收斂性或絕對可積性，也就是不影響系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性。2018/6/8416.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應設LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)和輸入信號的拉氏變換X(s)分別如下式所示，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的拉氏變換為Y(s)為：Y(s) = X(s) H(s)nvi1y(t) K ep t e pktKmui(s

28、 z j )j 1(s z )ik響應k 1lH (s) HX (s) X, l 1(s pk )強迫響應00nv(s pi )i1本式成立的條件：H(s)的極點和X(s)的零點、極點都不相同；同樣，X(s)的極點和H(s)的零點、極點也都不相同。k 1mu(s z j )j 1(s zl )l 1Y (s) H (s) X (s) H X00nv(s pi )i 1Kk(s pk )k 1問題：如果H(s)的極點和X(s)的零點相同，響應會如何？ H(s)的極點和X(s)的極點相同，響應會如何？Kin i 1v k 1s pis pk2018/6/8426.3.2零、極點分布與時域響應特性，

29、R=11解：H (s) +y(t)RCY (s)1sCR RCR 1 s 1X (s)5sRC=1/sCC=1Fx(t)sCY(s)X(s)X (s) 4s21s 45sY (s) X (s)H (s) (s 1)(s2 4)s 1 4s2y(t) et cos 2t 2sin 2tet(t 0)響應強迫響應穩(wěn)態(tài)響應也就是說：如果只關心穩(wěn)態(tài)響應，可以不用計算拉氏逆變換。暫態(tài)響應2018/6/8436.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應：激勵信號接入以后一段時間內(nèi)，全響應中暫時出現(xiàn)的分量，隨著時間 t 的增大，它將逐漸穩(wěn)態(tài)響應：全響應減去暫態(tài)響應就是穩(wěn)態(tài)響應。左半s平面響應屬于暫態(tài)

30、響應H(s)的極點： 虛軸右半s平面左半s平面強迫響應屬于暫態(tài)響應響應屬于穩(wěn)態(tài)響應X(s)的極點： 虛軸右半s平面強迫響應屬于穩(wěn)態(tài)響應即：x(t) = ej t y(t) = H(j)ej t大家可以試著回答前文的兩個問題：(1)(a) 式(1)和(2)，在什么條件下可以直接應用求解系統(tǒng)的響應？怎么用？和 x(t) = est y(t) = H(s)est其中，s = +j(2)(b) 強迫響應與響應和系統(tǒng)函數(shù)具聯(lián)系？2018/6/8446.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應例6.3-2：電路，輸入信號x(t)=2su(t)，求輸出電流i(t)，i(t)中的RL=s并響應與強迫響應、暫態(tài)

31、響應與穩(wěn)態(tài)響應各分量。RC=5/s解：(1) 求系統(tǒng)函數(shù)H(s)I (s)1H (s) RL R RCX (s)1X(s)I(s)ss 2 5/ ss 2s 5s2(2) 求激勵信號x(t)的拉氏變換X(s)(s 1)2 4s22X (s) s21(s j)(s j)2(s p3)(s p4 )(s p1)(s p2 )其中：p3,4= 1 j2其中：p1,2= j2018/6/8456.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應I(s) 的零、極點分布。jp3 (3)響應電流的拉氏變換為p1I (s) i(t) H (s) X (s)2sp2(s p1 )(s p2 )(s p3 )(s p4

32、 ) 2sp4(s2 1)(s2 2s 5)(4) 將I(s) 做部分分式展開2s 12s 52s 12(s 1) 3I (s) 5(s2 1)5(s2 2s 5)5(s2 1)5(s 1)2 22 2018/6/8466.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應2s 12s 52s 12(s 1) 3I (s) 5(s2 1)5(s2 2s 5)5(s2 1)5(s 1)2 22 （5）求各響應分量極點 p1，p2 位于 s 平面虛軸上，是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應分量（強迫響應），以iss(t)表示；極點 p3，p4 位于左半s平面上（穩(wěn)定系統(tǒng)），是系統(tǒng)的暫態(tài)響應分響應），以itr(t)表示。量（i

33、(t) 1 sin t 2 cos t 5 sin(t arctan 2),t 0ss555i (t) sin 2t 2 et cos 2t ,3 ett 0 10tr51H (s)|ejarctan 2s j152018/6/8476.3.3響應與強迫響應、暫態(tài)響應與穩(wěn)態(tài)響應1無阻尼振蕩頻率： 5 (rad / sec)0LC1 ( R )2 2 (rad/sec)阻尼振蕩頻率： dLC2L一般情況下，RLC回路的諧振頻率 未調得與激勵頻率一致時，在暫態(tài)過，回路電流包含兩個頻率成分：取決于回路參量確定的阻尼振蕩頻率 d取決于激勵信號的頻率01兩個頻率較靠近的振蕩在回路中產(chǎn)生差拍，致使電流幅度

34、在建立過先隨時間增長，然后圍繞其穩(wěn)定值起伏振蕩。2018/6/8486.4零、極點分布與頻率響應特性的關系6.4.1 頻率響應特性的定義LTI系統(tǒng)在正弦信號激勵下，穩(wěn)態(tài)響應隨信號頻率變化而變化的特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應特性（frequency response）簡稱頻響特性。設穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)沖激響應為h(t)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)，x(t) ej0t在零狀態(tài)條件下，激勵信號x(t)為 )x(t )d h( )ej0 (t )dy(t) x(t) h(t) h( ej0 th( )e j0 d ej0 t H ( j )| ej0 t H (s)| 0s j01若 x(t) sin t jj t

35、 ete000j21j j y(t) et H (s)| t H (s)| e00s j0s j0j22018/6/8496.4.1 頻率響應特性的定義考慮到有理實系統(tǒng)，即h(t)是實函數(shù)，H(s)是實系數(shù)有理分式，則H ( j ) H *( j )j所以：H ( j) |H ( j )|eH ( j )*0000 y(t) | H ( j0 ) | sin(0t 0 )當然，若假設輸入是單邊的正弦信號，即0 x(t) sin t u(t) X (s) 0s2200 KnABK1Y (s) H (s) . s js js ps ps220001n式中，p1，p2，pn是H(s)的n個極點（這里

36、假設極點互不相 等），那么對于穩(wěn)定系統(tǒng)要求這n個極點都在s平面的左半平面。2018/6/8506.4.1 頻率響應特性的定義e j0HA (s j )Y (s)| 02j s j00ej0HB (s j )Y (s)| 02j s j00H ( j ) Hej0 ,H (j ) He j0其中：As j00000e j0ej0Bs j0HH j0t 0 ej0t2j 0 e2j H0 sin(0t 0 )u(t)則： y(t) H sin( t ) K e p1t . K e pnt , t 00001nt ,e pit 0穩(wěn)定系統(tǒng)，R0，穩(wěn)態(tài)響應： yss (t) H0 sin(0t 0 )

37、-與激勵信號同頻率的正弦信號2018/6/8516.4.1 頻率響應特性的定義1H (s) , x(t) sin t例：已知，求穩(wěn)態(tài)響應 y(t)。s 1ss11解：因為 H (s)e j45 0.707e j45j 1s j2yss (t) 0.707 sin(t 45 )暫態(tài)響應需要另外求解所以1例2：已知 H (s) ，求穩(wěn)態(tài)響應y(t)。, x (t) sin 5tss11s 1解：11 j78.69 j78.69 0.196eH (s)ej5 1s j526yss1 (t) 0.196 sin(5t 78.69 )所以當 變化時,H (s) H ( j ) H ( j ) ej( )

38、ej0 H ( j ) HH (s)00s js j0頻率響應特性（簡稱頻響特性）2018/6/8526.4.2 頻響特性的矢量作圖法考慮有理實系數(shù)系統(tǒng)函數(shù)：m(s z j )j 1sm1b bs smb)H (s) mm11 H A(s)sn10a sn a a s an(s pi )i 1n1n10m( j z j )j 1H ( j ) H0n( j pi )jMiii 1N jjj p M ejipiii-極點矢量zjejj z Njjj0jzj和j pi矢量-零點矢量2018/6/8536.4.2 頻響特性的矢量作圖法例如：H (s) s 1j 1j (4)s 1H ( j ) s

39、(4)s 4x1(t) sin t j1 j1jj5極點：j (4) j+4 17ej14.0361零點：j 1 j1 2ej13512ej(135 14.036 ) 0.343ej120.964H (j1)=j117041x (t) sin 5t j j522極點：j (4) j5+4 41ej51.3426 ej(101.31 51.34 )2 0.796ej49.97H (j5)=零點：j26ej101.31411 j5 1 22018/6/8546.4.2 頻響特性的矢量作圖法m( j z j )j 1ejj z NjjjH ( j ) H0j p M ejin( j pi )i 1i

40、i在本章開篇：x(t) = ej t y(t) = H(j)ej tN ej1 N ej2 .Nej m(1)H ( j ) H12m0M ej1 Mej2ejn式(1)中，H(j)是LTI系統(tǒng)的頻率.M12n響應，是沖激響應的變換，N N Nej(1 2 m )(1 2 n ) H12m因而要求系統(tǒng)是一個穩(wěn)定系統(tǒng)，而這里從系統(tǒng)函數(shù)的角度，也說明了這一條件。0M M M12nN1 N2 .NmH ( j ) H0M M.M在實用中，關心的是一12n個系統(tǒng)適合處理哪一頻段的信號。( ) (1 2 . m ) (1 2 . n )2018/6/8556.5典型系統(tǒng)的頻響特性1.一階系統(tǒng)的頻響特性例

41、6.5-1：研究下圖所示的RC濾波網(wǎng)絡的頻響特性H ( j ) V2 ( j )解：H (s) R R sV1 ( j )R RR 1 s 1 csCRCRc =1/sCH ( j ) j+1Cj v1vRCR2V-2(s)V1(s)NejMejN-H ( j ) ej( )MN( ) H ( j )M2018/6/8566.5典型系統(tǒng)的頻響特性1jj jjj 01RCjN90ojRCN90oMM90o 1 1 M 1 RCRCRC零點矢量：j 0 = j0+ 0 = j0+0極點矢量：111j j0=0RCRCRC2018/6/857MNN M 01RC0090o090 1RC2RC451R

42、C901245 9090106.5典型系統(tǒng)的頻響特性js H ( j ) | H ( j ) | ej( )H (s) 沖激響應：h(t) = (t)et/(RC)/(RC)u(t)階躍響應：s(t) = et/(RC)/(RC)u(t)s 1 j 1 RC20log10|H(j)|（dB）0RC()190o 1 23145o00.36910 1 RC(rad/sec)(rad/sec)0 1 RC(sec)（高通濾波網(wǎng)絡）1一般將|H(j)| 中最大值的 2 倍所對應的頻率 c 稱為截止頻率。1 本例中：-3dB截止頻率cRC2018/6/858|H(j)|6.5典型系統(tǒng)的頻響特性例6.5-

43、2：研究下圖所示RC濾波網(wǎng)絡的頻響特性1jj jRC 1 Rjj j0+jRCV ( j )+H ( j ) M 2V1 ( j )Mv2Cv10Rc =1/sCY(s) 1 RCX(s) 1 RC-解：11Y (s)V (s)Rc sC RCH (s) 2V1 (s)11R RcX (s)R s sC1RC11e jRC2018/6/859M 1 RCM 01RC010 1 RC 2RC45 1 2 45 900 906.5典型系統(tǒng)的頻響特性11H (s) RC H ( j ) RC | H ( j) | ej()11j s RCRC()|H(j)|110245o沖激響應： h(t) = e

44、t/(RC)/(RC)u(t)階躍響應： s(t) = 1et/(RC)/(RC)u(t)0190oRC（低通濾波網(wǎng)絡）請自己畫出波形。1其3dB截止頻率：類似地，可自行分析由一個電感和一個cRC電阻組成的一階電路的頻響特性。2018/6/860 1 RCM 1 RCM 0 1 RC010 1 RC 2RC45 1 2 45 900 906.5典型系統(tǒng)的頻響特性2.二階系統(tǒng)的頻響特性例6.5-3：研究下圖所示二階RC系統(tǒng)的頻響特性 H ( j ) V2 ( j )V1 ( j )=1/sC2Rc2+V3(s)R1C+C- v32R1kvvv2321Rc1=1/sC1-kV3(s)Y(s)X(s

45、)-R12C2（由同一類型儲能元件）1解：H ( s ) Y (s) Y (s) V3 (s) k1R2Rc1kR2sC111X (s)(s)X (s)sCsC2018/6/8611R1Cs R1C1kss 1R C26.5典型系統(tǒng)的頻響特性j1R1C1ksH (s) 11s s M1R CRC N1M22112H ( j ) k j121( j 1)( j 1)0R1C1 111 122R1C1ej1 (1 2 )R2C2kN1R1C1M1M 2R1C1 R2C211 R1C1R2C22018/6/8626.5典型系統(tǒng)的頻響特性kN1H ( j )jej1 (1 2 )H ( j ) 1）

46、很小時，N1M1k A21M02111211220( )900112） 很大時，j2211211 N1 ,M 2ej(1 )M 2N450M1121 450 90010 1 122112018/6/863R1C1M1M 2M1, 01RC111H ( j ) kN1 ej(1 2 )M 26.5典型系統(tǒng)的頻響特性3） 位于中間頻率范圍內(nèi)，即：H ( j )11 kkR2C2R1C1jk2H ( j ) 11R1C1( j )( j )R1C1R2C20()90045011 k2211 450 900 2018/6/8646.5典型系統(tǒng)的頻響特性js H1( j )H1 (s) 11H ( s

47、) j s R2C2H1 ( j )R2C2j112M1NM120H2 ( j )二階系統(tǒng)，得到一帶通濾波器通濾波器的級聯(lián)）2 1 R2C2110 1 1CR112211211R1C1R1C1 1 H2 ( j )H2 (s) 1 j RC s RC 0 1 R1C111112018/6/865（一階低通與一階高kss 1R2C26.5 典型系統(tǒng)的頻響特性1H ( j )二階系統(tǒng)，具有重極點時，系統(tǒng)的頻響特性。ksRC H (s) 1111s s k2R2C2R1C1kN1H ( j ) ej1 (1 2 )R1C1M1M 2如果：R1C1 =R2C20()900450 1j22二階系統(tǒng)，也可

48、以得到低通或高通濾波器（兩個一階低通或一階高通濾波器的級聯(lián)）M1 M 21 2N11（2） 4500 900 1R1C12018/6/8666.5典型系統(tǒng)的頻響特性例6.5-4分析下述二階諧振電路的頻響特性。對偶電路圖（b)：圖（a)：電壓源 電流源V (s)H (s) Z (s) 2I (s)H (s) G(s)電阻 R電感 L電容C串聯(lián)電阻 G電容 C電感 L并聯(lián) 2I (s)1V (s)111sC1 1 Ls1GC1G sC s s21R1R sL s s2sLLCsCLLC2018/6/8676.5典型系統(tǒng)的頻響特性GH (s) 1 Cs 1 Cs 則衰減因子設2C1 G s 1 s

49、2s22s20CLC諧振頻率0LC1Cs(s p1)(s p2 )p 2 21,20當 0時，p1,2 jd202d-有阻尼的諧振頻率| p| 2 + 2 1,2d0（1）諧振電路H(s)的零極點圖2018/6/8686.5 典型系統(tǒng)的頻響特性（2）頻響特性H ( j ) Z ( j )M11 1N11G j C j L1j1 M22C( j p1)( j p2 )1 N1 ej1 (1 2 )CM1M 2諧振電路的零極點分布圖H ( j ) ej( )2018/6/8696.5典型系統(tǒng)的頻響特性2018/6/870M1M 2N11 211N1 C211 (1 2 ) 0000 0129000

50、 000 901200) 0M1M 2 20 0 90121 1G2C0 0 9012 0 12900 906.5典型系統(tǒng)的頻響特性幅頻特性：諧振帶通濾波器，諧振頻率0 rad/sec,諧振點增益：1/G。RLC二階阻尼諧振電路的幅頻與相頻特性曲線2018/6/871M1M 2N11 211N1 C211 (1 2 ) 0000 0129000 000 901200) 0M1M 2 20 0 90121 1G2C0 0 9012 0 12900 906.5典型系統(tǒng)的頻響特性諧振電路的主要參數(shù)：1一、諧振頻率：- 無阻尼（）諧振頻率0LC 22- 有阻尼諧振頻率d0二、通頻帶： B H L三、品

51、質因數(shù)： Q 0CG Q 0G 22C Q G如果： G=0， 頻響又如何呢？2018/6/8726.5典型系統(tǒng)的頻響特性例6.5-5：畫出下列系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性曲線。 2(s j )(s j )s211( )H (s) 1 11s(s2 )Cs(s j )(s j )122C12122j解： ( j j )( j j ) 1 jH ( j ) 11C1j ( j j2 )( j j2 )N N2j11 12 ej(1 2 )(1 2 3 )C1M1M 2 M 3 0,H ( j )0 , ( ) , 9010 ,H ( j ) , ( ) 90 0,112j1j2 ,H ( j ) ,

52、 , ( ) 90222018/6/8736.5典型系統(tǒng)的頻響特性 0,H ( j )0 , ( ) ,90j1 ,H ( j ) , ( ) 90 0,1 2 ,122H ( j ) , ,( ) 9021H ( j )0121( )29021 902018/6/8746.5典型系統(tǒng)的頻響特性極點靠近j軸幅頻特性出現(xiàn)峰點，相頻特性迅速減小。極點在j軸上幅頻特性趨于一般結 論： ，相頻特性出現(xiàn)180o 跳變。零點靠近j軸幅頻特性出現(xiàn)谷點，相頻特性迅速上升。零點在j軸上幅頻特性趨于0，相頻特性出現(xiàn) 180o 跳變。零、極點離j軸遠點影響很小。零、極2018/6/8756.6 全通系統(tǒng)和最小相位系

53、統(tǒng) jN1 N2 N3H ( j ) KM1M 2 M 3ej(1 2 3 )(1 2 3 )H ( j ) K1. 全通系統(tǒng)H(s)的極點位于左半s平面零、極點對于j軸互為鏡像。H(s)的零點位于右半s平面2018/6/8766.6 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)jH ( j )11K 3 180 03 , , ( ) 180 21212 02( ) 360 j 90270( )11180 90 9033 306 90 90222018/6/8776.6 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)用途：用來對系統(tǒng)進行相位校正例：下圖所示的網(wǎng)絡，寫出網(wǎng)絡傳輸函數(shù)H(s)=V2(s)/V1(s),1判別它是否為全通網(wǎng)絡。H

54、 (s) V2 (s) sC RR111V1 (s)R R sCsCCC2s 1 R RCs 1 jRCj 1 H ( j ) RCj 1 H ( j ) 1RC2018/6/8786.6 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)2.最小相位函數(shù)零點僅位于左半s平面或 j 軸上的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相位函數(shù)。對應的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)（minimum-phase system）。反 之，如果系統(tǒng)函數(shù)有一個或多個零點在右半s平面，則稱該系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。2018/6/8796.6 全通系統(tǒng)和最小相位系統(tǒng)可以證明：非最小相位函數(shù)可以表示為最小相位函數(shù)與全通函數(shù)的乘積。2018/6/8806.7 系統(tǒng)模擬及信號流圖6

55、.7.1系統(tǒng)的框圖（1）三種基本運算單元的方框圖例：一階LTI時不變系統(tǒng),時域微分方程：dy(t)/dt + 2y(t) = x(t)拉氏變換域系統(tǒng)函數(shù)： H(s) = 1/(s+2)ax(t)X(s)y(t) = ax(t)Y(s) = aX(s)x1(t)y(t)= x1(t)+x2(t)或aX (s)Y(s)= X1(s)+X2(s)1y(t) = ax(t)x2(t)X2(s)x(t)（b)數(shù)乘器（a)加法器y(0 )sX(s)Y (s) 1 X (s) 1 y(0 )tx(t)x( )dy(t) ss(c) 積分器（時域表示）積分器（s域表示）2018/6/8816.7.2信號流圖零

56、狀態(tài)條件下，即 y(0) = 0，積分器可以及簡化表示為下面的框圖（s域）：s1X(s)Y(s)Y (s) 1 X (s)X(s)s（2） 信號流圖的獲得系統(tǒng)的信號流圖，就是用點（稱為節(jié)點）和有方向的線段（稱為支路）來表示系統(tǒng)。如系統(tǒng)函數(shù)為H(s)的LTI系統(tǒng)就可用下述框圖或流圖表示。H(s)X(s)X(s)Y(s)表示系統(tǒng)的輸出-輸入關系為：Y(s) =H(s)X(s)系統(tǒng)框圖和信號流圖在表示系統(tǒng)結構時，是完全等價的，二者取一即可；但明顯地，信號流圖比系統(tǒng)框圖看上去一些。2018/6/8826.7.2信號流圖例：將下圖所示系統(tǒng)的方框圖轉化成信號流圖。b1)(b2s1s1s1)(a1b s2b

57、 s3H (s) a2a121 a s1 a s2a s31233b1解：)(1s1a1s1s1b21)(a2由兩個及兩個以上的箭頭指向的節(jié)點可兼做加法器。a32018/6/8836.7.2信號流圖信號流圖的性質信號只能沿支路箭頭方向傳輸，支路的輸出是該支路輸入與支路增益的乘積。)()(YsXsH(s)如：2.當節(jié)點有幾個輸入時，節(jié)點將所有輸入支路的信號相加，并將其和傳送給與該節(jié)點相連的輸出節(jié)點。x1xH14xxHxHx54141242343HH45424xx244HH 4634xxx36442018/6/8846.7.2信號流圖3.具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點，通過增加一個具有輸增益的支路，

58、可以將它變成輸出節(jié)點。傳dx1ab2xx1x3c34.同一個系統(tǒng)，信號流圖并不唯一。dy(t) ay(t) b dx(t) b x(t)010dtdtb1b1)()()()(b011s1b01s1a01a02018/6/8856.7.2信號流圖5.流圖轉置以后，其轉移函數(shù)保持不變。H (s) b1s b0轉移函數(shù)都是s a0X1(s) = X(s) a0X2(s)X2(s) = (1/s) X1(s)Y(s) = b1X1(s) +b0X2(s)對上圖(a)：對上圖(b)：大家自行分析列寫方程2018/6/8866.7.2 信號流圖： （3） 信號流圖的公式公式： H 1 G(5.7 1)KK

59、K 1 LaH (s) b1s b0L Lf Ls aa,f0 Laa- 所有不同環(huán)路的增益之和；對圖(b)，一個環(huán)路，其增益是：a0/s。- 所有兩兩互不接觸環(huán)路的增益乘積之和；圖(b)中沒有。Lf所有三個都互不接觸環(huán)路的增益乘積之和；圖(b)中沒有。圖(b)中：= 1+ a0/scb,ed,fK由源點到阱點之間的第K條前向通路的標號；圖(b)中有兩條前向同路。GKK- 由源點到阱點之間的第K條前向通路的增益；圖(b)中： G1= b0/s ，G2= b1- 第K條前向通路特征行列式的余因子，表示將第圖(b)中： 1= 1，K條前向通路去掉以后，所剩流圖的特征行列式。2= 12018/6/8

60、876.7.2信號流圖例6.7-1：求下圖所示流圖的系統(tǒng)函數(shù)。H 4x2x3x1x4H1H3H 2H5XYG1G2G3求 Laa解：環(huán)路：L G Hx1111環(huán)路：L2 環(huán)路：L3 環(huán)路：L x2x3G HG HG G2G3 H 44 )x1 Laa (G1H1G1G2G2 H HG332018/6/8886.7.2信號流圖H 4求cbxxx1x4H1H 2H3H523,XYG3G1只有一對兩兩互不接觸的環(huán)路： x1G2x3與L1G3 H HL1G3 H1H3 ,即,沒有三個及三個以上都不接觸的 環(huán)路，所以， 1LaaG1H1,G2 H H2018/6/8896.7.2信號流圖再求其它參數(shù)。H