必修五0102.正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用

1、積微教育 2016 高一春季同步班第一講正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)梳理1正弦定理和余弦定理2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 時(shí)，解的情況3.三角形中常用的面積公式1ah(h 表示邊 a 上的高)；(1)S2111(2)S bcsin A acsin B absin C；2122(3)S r(abc)(r 為ABC 內(nèi)切圓半徑)2第 1 頁(yè)共 9 頁(yè)A 為銳角A 為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin Aab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解定理正弦定理余弦定理內(nèi)容a b c 2Rsin Asin Bsin Ca2b2c22bccos A， b2c2a22cacos B， c2a2b22

2、abcos C變形形式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；abcsin Asin Bsin C；abc asin Asin Bsin Csin Acos Ab2c2a2；2bccos Bc2a2b2；2cacos Ca2b2c22ab解決問(wèn)題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角題型一：正、余弦定理在求角求邊中的應(yīng)用1例 1、鈍角三角形 ABC 的面積是 ，AB1，BC 2，則 AC.2ABC1 BBCsin B11A2sin B1，sin B22：S222若 B45，則

3、由余弦定理得 AC1，ABC 為直角三角形，不符合題意，因此 B135，2由余弦定理得 AC2AB2BC22ABBCcos B1221 22 5，AC 5，符號(hào)題意 ac, 且cos B 3 ，知b2例 2、在 ABC 中，內(nèi)角 A 、B 、C 的對(duì)邊分別為a 、b 、c ，已4則tan B tan B 值為.tan Atan C弦定理得sin 2 B sin Asin C.：因b2 ac,tan B tan tan Atan C2 BB n Asin C1 4 .cos B31例 3、在ABC 中，C90，M 是 BC 的中點(diǎn)若 sinBAM ，則 sinBAC3.12 2：因?yàn)?sinBA

4、M ，所以 cosBAM.33BM AM ，如圖，在ABM 中，利用正弦定理，得sin BsinBAMsinBAM1BM1所以.AMsin B3sin B3cosBACCM在 RtACM 中，有sinCAMsin(BACBAM)由題意知 BMCM，AM1所以sin(BACBAM)3cosBAC化簡(jiǎn)，得 2 2sinBACcosBACcos2BAC1.所以 2 2tanBAC1tan2BAC1，解得 tanBAC 2.6再結(jié)合 sin2BACcos2BAC1，BAC 為銳角可解得 sinBAC .3第 2 頁(yè)共 9 頁(yè)題型二：利用正、余弦定理判斷三角形的形狀例 4、在ABC 中，a、b、c 分別

5、表示三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 的對(duì)邊，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷該三角形的形狀解：方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，弦定理，得 sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由 02A2，02B2，得 2A2B 或 2A2B，即ABC 是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一2a2cos Asin B2b2cos

6、 Bsin A，b2c2a2a2c2b2、余弦定理，即得 a b2b a2，2bc2aca2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab 或 c2a2b2，三角形為等腰三角形或直角三角形例 5、在ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊，且 2asin A(2bc)sinB(2cb)sin C. (1)求 A 的大??；(2)若 sin Bsin C1，試判斷ABC 的形狀解：(1)由已知，根據(jù)正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.1.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bccos A，cos A22又 0A，

7、A .3(2)由(1)知 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.311.又 sin Bsin C1，且 sin A ，sin Bsin C ，因此 sin Bsin C2420，又 B、C2 ，故 BC.所以ABC 是等腰的鈍角三角形第 3 頁(yè)共 9 頁(yè)題型三：與正、余弦定理有關(guān)的最值范圍問(wèn)題例 6、ABC 中， A 60 ，M 為 AC 的中點(diǎn)， BM為：依題意，設(shè)ABM ，其中0 120 .，則 AB AC 的最大值1 AC中， AB 2 BM在ABM，sin 120 sinsin 60BM sin 120 2BM s

8、in AB ， AC ，sin 60sin 603 sin 120 22 2 3 sin sin 60 8sin 4 sin 120 AB AC sin 60 10 sin 2 3 cos 4 7 5 sin 3 cos ，記 5 cos ， sin 3 272 72 72 77 sin ，當(dāng)sin 1 時(shí)取等號(hào)，則有 AB AC 4因此 AB AC 的最大值是4 7 .ACBC AB2例 7、已知ABC 中，AB 邊上的高與 AB 邊的長(zhǎng)相等，則的最BCACBCAC大值為c 211：由三角形的面積公式得 c ab sin c , sin c ，222abc 2abc a b2ab cos c

9、 2cos C sin C 2 cos C ，baab222由余弦定理ACBCAB2 2sin C 2 cos C 2 2 sin(C ),最大值是2 2 所以 4BCACBCACb例 8、在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)應(yīng)邊分別為 a，b，c，滿(mǎn)足acc1，則角 A 的范圍是ab0，：3bc：由1，得 b(ab)c(ac)(ac)(ab)，acab化簡(jiǎn)得 b2c2a2bc，即b2c2a2 ，即11(0A)，所以 0Acos A222bc3第 4 頁(yè)共 9 頁(yè)題型四：解三角形應(yīng)用題的方法例 9、在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45方向、距離 A 處( 31)海里的 B 處有一艘走私船；在 A 處

10、北偏西 75方向、距離 A 處 2 海里的 C 處的緝私船奉命以 103海里/小時(shí)的速度追截船同時(shí)，船正以 10 海里/小時(shí)的速度從 B 處向北偏東 30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上間？船？最少要花多少時(shí)解：設(shè)緝私船 t 小時(shí)后在 D 處追上船，則有 CD10 3t，BD10t.在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120.利用余弦定理BC 6.ACsinBAC 2 ，32弦定理，得 sinABCBC622ABC45，因此 BC 與正北方向垂直于是CBD120.BDsinCBD10tsin 1201在BCD 中，弦定理，得 sinBCD ，CD10 3t2CDBC10 3t6得BC

11、D30，又6，得 t .，即sin 120sin 3010船，最少要花 6小時(shí)103所以當(dāng)緝私船沿北偏東 60的方向能最快追上課后練習(xí)31、在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面積為 ，則 BC 的長(zhǎng)為22、在ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c.若(a2c2b2)tan B 3ac，則角 B 的值為3、在ABC 中，角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，已知 a1，A60，c 3，則ABC 的面積為3ba4、在銳角ABC 中，角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 6cos C，abtan Ctan C.則tan Atan B5、在ABC 中, M 是 BC

12、 的中點(diǎn),AM 3 BC 1 ,則 AB AC =.6、已知中，三個(gè)內(nèi)角 A， B，C 的對(duì)邊分別為 a,b,c，若的面積為 S，且等于_第 5 頁(yè)共 9 頁(yè)7、設(shè)ABC 的內(nèi)角 A，B，C 所對(duì)的邊分別為 a，b，c，且 ac6，b2，7cos B.9求 a，c 的值；求 sin(AB)的值8、在ABC 中，設(shè)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c 且 acos C1cb.2求角 A 的大??；若 a 15，b4，求邊 c 的大小9、已知島 A 南偏西 38方向，距島 A 3 海里的 B 處有一艘緝私艇島 A 處的一艘船正以 10 海里/時(shí)的速度向島北偏西 22方向行駛，問(wèn)緝私艇朝何方向以多

13、大速度行駛，恰好用 0.5 小時(shí)能截住該船？參考數(shù)據(jù)：sin 385 3，sin 22331414第 6 頁(yè)共 9 頁(yè)10、要測(cè)量對(duì)岸 A，B 兩點(diǎn)之間的距離，選取相距 3 km 的 C，D 兩點(diǎn)，并測(cè)得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求 A，B 之間的距離11、為了吸引游客，增加旅游業(yè)收入，徐州市旅游局準(zhǔn)備在湖邊增設(shè)兩個(gè)景點(diǎn) B 和 C，為此要計(jì)算兩景點(diǎn) B 與 C 的距離由于地形的限制，需要在岸上選取 A 和 D 兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得 ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求兩景點(diǎn) B 與 C 之間的距離(假設(shè) A，B，C，D 在同一平面內(nèi)，測(cè)量

14、法需保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)： 21.414，31.732，52.236)第 7 頁(yè)共 9 頁(yè)11331、：因?yàn)?SABACsin A2 AC ，所以 AC1，所以 BC2 2222AB2AC22ABACcos 603，所以 BC 3.a2c2b232、：由余弦定理，得cos B，結(jié)合已知等式得 cos Btan B ，22acsin B 3，B2. 或2：33ac13、，代入數(shù)據(jù)解得 sin C .弦定理sin Asin C2又 ac，所以 A C，所以 C30，B90，所以ABC 的面積為 13acsin B .26a2b2c2baba34、6cos C， 6，化簡(jiǎn)得 ca2b22，： abab

15、2ab2sin2Ctan Ctan Csin Bcos Asin Acos Btan Csin ABtan C則tan Atan Bcos Csin Asin Bsin Asin Bsin Asin Bc24.a2b2c2ab2ab5、：由余弦定理 AB2 AM 2 BM 2 2AM BM cosAMB 52 32 253cosAMB ,AC 2 AM 2 CM 2 2 AM CM cos AMC 32 52 2 5 3cos AMC,AMB AMC 1800 ,兩式子相加為 AC 2 AB2 2 AM 2 2CM 2 2 (32 52 ) 68 ,AB2 AC 2 BC 2AB2 AC 2

16、102 68 100 ,cos BAC 2 AB AC2 AB AC2 AB AC AB AC ABAC cos BAC AC 68 100 16AB2 AB AC6、：由得，即,所以，又，所以，即,所以,即,7、解：由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b2(ac)22ac(1cos B)，7又 b2，ac6，cos B ，所以 ac9，解得 a3，c3.94在ABC 中，sin B 1cos2B2，asin B2 2.弦定理得 sin A9b3第 8 頁(yè)共 9 頁(yè)1因?yàn)?ac，所以 A 為銳角所以 cos A 1sin2A .310 2因此 sin(AB)sin Acos Bcos

17、 Asin B27118、解：(1)弦定理和 acos C cb 得 sin Acos C sin Csin B221sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C， sin Ccos Asin C.21sin C0，cos A0A，A . ，23(2)由余弦定理，得 a2b2c22bccos A，1a 15b41516c224c ，即 c24c10.， 2c2 3.9、解：如圖，設(shè)緝私艇在 C 處截住船，D 為島 A方向上一點(diǎn)緝私艇的速度為每小時(shí) x 海里，則 BC0.5x，AC5 海里依題意，BAC1803822120，又 AB3，BC2AB2AC22ABACcos 120，由余弦定理1(0.5x)232522352 49，x14，BC0.5x7.35ACsinBAC532 又弦定理，得 sinABC.BC1475 3sin 38，ABC38，又BAD38，BCAD.14故緝私艇以每小時(shí) 14 海里的速度向正北行駛 ，恰好用 0.5 小時(shí)截住該船10、解：，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3 km.在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.3sin 756 2BC.sin 602在ABC 中，由