2021-2022學(xué)年高二物理競賽流體運動的幾何描述課件

1、流體運動的幾何描述 流體運動的幾何描述 跡線 流線定義拉格朗日法歐拉法微分方程（t為自變量， x, y, z 為t 的函數(shù) ）質(zhì)點的運動軌跡切線與速度方向一致的假想曲線B2.3 流體運動的幾何描述(x, y, z 為自變量，t為參數(shù)）例不定常流場的跡線與流線(4-1) 求： （1）質(zhì)點A的跡線方程；解：此流場屬無周期性的不定常流場。由上兩式分別積分可得已知：設(shè)速度場為 u = t+1 ,v = 1，t = 0時刻流體質(zhì)點A位于原點。(1)由歐拉跡線方程式，本例跡線方程組為（2）t = 0時刻過原點的流線方程；（3）t = 1時刻質(zhì)點A的運動方向。t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。

2、質(zhì)點A跡線方程為消去參數(shù)t 可得上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以（-1/2，-1）為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，積分可得(a)(b)例B2.3.2A不定常流場的跡線與流線(4-2)在t = 0時刻，流線通過原點x = y = 0，可得C = 0，相應(yīng)的流線方程為可得C = -1/4 。（c）x = y這是過原點的，一、三象限角平分線，與質(zhì)點A的跡線在原點相切（見圖）。(3)為確定t = 1時刻質(zhì)點A的運動方向，需求此時刻過質(zhì)點A所在位置的流線方程。由跡線的參數(shù)式方程(a)可確定，t=1時刻質(zhì)點A位于x=3/2，y=1位置，代入流線方程(b)例B2.3.2A不定常流場的

3、跡線與流線(4-3)討論：以上可見，不定常流動中跡線與流線不重合；不同時刻通過某固定點的流線可以不同（見b式），通過某流體質(zhì)點所在位置的流線也可以不同（見c和d式）。t = 1時刻過流體質(zhì)點A所在位置的流線方程為x = 2 y1/2 (d)上式是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于（3/2，1）點的斜直線，運動方向為沿該直線朝x, y值增大方向。例B2.3.2A不定常流場的跡線與流線(4-4)B2.3.34 脈線與流體線 流體線又稱 染色線、煙線或條紋線脈線定義 相繼通過某空間點的質(zhì)點連線 時間線某時刻標(biāo)記的一串相連的質(zhì)點連線B2.3.34 脈線與流體線例B2.3.3不定常流場的跡線與脈線(3-1)解

4、：此流場是周期性變化的不定常流動。設(shè)t = 0時刻起，每隔1s從坐 標(biāo)原點出發(fā)的質(zhì)點依次編號為a, b, c, d, e, f，每過6s重復(fù)循 環(huán)一次。將每個質(zhì)點每隔1s的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu) 成每個質(zhì)點的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時刻的脈線。 已知：設(shè)速度場為 （0t3s） t6s重復(fù)循環(huán)。（3st6s） 求： 試畫出 （1）0-6s內(nèi)每隔1s從坐標(biāo)原點出發(fā)的跡線； （2）7-12s內(nèi)每隔1s的時刻從坐標(biāo)原點發(fā)出的脈線。t (s)0123456789101112a(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(

5、6,6)b(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)c (0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)d(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)e (0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)f (0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)例B2.3.3不定常流場的跡線與脈線(3-2) 圖(a)為質(zhì)點a, b, c

6、, d, e, f 的跡線(0-6s)，圖(b)為每隔1s時刻(7-12s)從坐標(biāo)原點發(fā)出的脈線（以后重復(fù)循環(huán)）。從圖中可看到跡線是每個質(zhì)點的軌跡，隨時間增長不斷延伸；脈線是從某點依次出發(fā)的不同質(zhì)點在某一瞬時連成的線。在不定常流場中，從某點發(fā)出的脈線的形狀在不同時刻可以不同。本例中在7-12s內(nèi)的每一瞬時的脈線均不相同，但在下一個6秒內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)，依次循環(huán)。例B2.3.3不定常流場的跡線與脈線(3-3)B2.3.5 流管，流束與總流流管： 流線圍成的管子流束： 流管內(nèi)的流體緩變流流束：流線平行或接近平行微元流束：有限截面無限小的流束總流：微元流束的總和在有效截面上取平均值，按一維流動處理B2.3

7、.5 流管，流束與總流B2.4 流體質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù) 流體質(zhì)點（隨體）導(dǎo)數(shù)是質(zhì)點物理量在運動中隨時間的變化率。右圖中質(zhì)點p 的位置不斷變化，位置也是t 的函數(shù)，物理量B(t)可表示為Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t (1)用求全導(dǎo)數(shù)方法得質(zhì)點導(dǎo)數(shù)歐拉表達式(2)從物理上解釋質(zhì)點導(dǎo)數(shù)： 為固定點上物理量B 隨時間變化率，稱為當(dāng)?shù)刈兓剩?反映流場的不定常性。 為不同位置上物理量的差異引起的變化率，稱為 遷移變化率，反映流場的不均勻性。B2.4 流體質(zhì)點的隨體導(dǎo)數(shù)B2.4.1 質(zhì)點導(dǎo)數(shù)B2.4.2 加速度場1. 三維流動取 ，速度的質(zhì)點導(dǎo)數(shù)為加速度2.

8、一維流動(1)沿流線s，v=v(s,t)(2)沿總流s，V=V(s,t)B2.4.2 加速度場例B2.4.2收縮噴管流動：遷移加速度(3-1) 已知：圖示一圓錐形收縮噴管。長為36 cm，底部與頂部直徑分 別為d0= 9 cm，d3 = 3 cm，恒定流量Q = 0.02 m 3 / s。 按一維流動處理 解：設(shè)流動方向為x軸，原點在圓錐底部。噴管內(nèi)為定常流動，當(dāng)?shù)丶铀俣葹榱?，只有遷移加速度。按一維流動式計算求： 圖示四個截面A0 ，A1 ，A2，A3上的加速度。V為管截面上的平均速度。設(shè)任意管截面與底部的距離為x，面積A與x的關(guān)系為任一截面上的平均速度和加速度為計算結(jié)果如下表8834.00

9、312.25 28.290.000710.36A 3682.0067.18 10.150.001970.24A 2128.0024.655.1900.003850.12A 136.5011.603.1440.006360.00A 0a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面例B2.4.2收縮噴管流動：遷移加速度(3-2)討論：計算結(jié)果表明噴管進出口的直徑比為1:3，速度比為1:9，加速度比為1:242。按牛頓第二定律流體有加速度必產(chǎn)生對噴管的沖擊力，而且該沖擊力在不同截面上數(shù)值不同。例B4.4.2將計算流體對噴管的沖擊力合力。速度與加速度的變化曲線如圖所示例B2.4.2收縮噴管流動：遷移

10、加速度(3-3)B2.5 一點鄰域內(nèi)相對運動分析B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理在 xy 平面流場中，M0 點鄰近 M 點的速度在 x 方向的分量可分解為旋轉(zhuǎn)速率線變形速率角變形速率 M0 平移速度M 相對M0的速度B2.5.1 亥姆霍茲速度分解定理B2.5.2 流體的變形1.線變形（以平面流動為例） (1)線應(yīng)變率 流體面元的線尺度在 x 方向的局部瞬時 相對伸長速率(2)面積擴張率 流體面元的面積在平面內(nèi)的局部瞬時相對擴張速率(3)體積膨脹率 流體體元的體積在空間的局部瞬時相對膨脹速率同理B2.5.2 流體的變形(2-1)例B2.5.2膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴張率(3-1)解：(1)按

11、（B2.3.5a）式，因v =0, 流線微分 方程為dy = 0，積分可得流線方程為 已知：設(shè)平面流場為 （k 0，為常數(shù)）說明流線是平行于x軸的直線族。線應(yīng)變率為 求： （1）流線、線應(yīng)變率和面積擴張率表達式；y = c ( c為常數(shù) ) （2） 設(shè)k =1,t =0時刻邊長為1的正方形流體面abcd位于圖中 所示位置,求 t = t 時刻點a(1,3)到達點a(3,3)時流體面abcd的 位置和形狀。說明x方向的線元以恒速率k 伸長，y方向的線元長度保持不變。面積擴張率為 說明流場中每一點的瞬時面積相對擴張率為常數(shù)，任何單位面積的流體面均以恒速率k 擴張，通常將這種流動稱為膨脹流（當(dāng)k 0

12、，為常數(shù)） 求：試分析該流場的運動學(xué)特征。流場中的速度分布如圖所示。由流線微分方程 k y dy = 0,積分得流線方程為 y = C (C為常數(shù))說明流線是平行于x軸的直線族。x, y方向的線應(yīng)變率和x y平面內(nèi)的角變形率分別為說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)，實際上正是由于在每條流線上的所有流體元都作順時針旋轉(zhuǎn)才形成速度沿y方向的線性增加。一點鄰域內(nèi)的面積擴張率為說明該流場屬不可壓縮流動。圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x軸的夾角不斷減小，流體面不斷拉長和變窄。說明x，y方向的線元既不伸長也不縮短，但xy平面內(nèi)互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。圖中的流場相應(yīng)于k 0

13、的情況，即 0，流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為例B2.5.3線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-2)（彎管內(nèi)流體元變形）例B2.5.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-1) 解：該流場代表了盛水的圓筒繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)時的流動。若坐標(biāo)系固定在圓筒軸上，流體相對于坐標(biāo)系處于平衡狀態(tài)，稱為相對平衡（參見C1.4.2）。 已知：設(shè)平面流場為 （k 0，為常數(shù)） 求：試分析該流場的運動學(xué)特性。流場中的速度分布如圖所示。由流線微分方程 -k y dy = k x dx,積分得流線方程為 x2 + y2= C (C為常數(shù))說明流線是一簇同心圓。x, y方向的線應(yīng)

14、變率和x y平面內(nèi)的角變形率分別為例B2.5.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度(2-2) 說明在x,y方向無線變形，在xy平面內(nèi)無角變形。面積擴張率為 說明在流動平面上流體無任何變形，象剛體運動一樣。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為 說明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱為剛體旋轉(zhuǎn)流動，其動力學(xué)分析可按靜力學(xué)方法處理（見C1.4節(jié)）。 B2.6 流動分類B2.6.1 層流與湍流2. 雷諾數(shù)V 流速，d 特征長度，、 流體密度、粘度圓管臨界雷諾數(shù)B2.6.1 層流與湍流（2-1）1.雷諾實驗(1883)過渡區(qū)湍流區(qū)層流區(qū)試驗裝置B2.6 流動分類B2.6.1 層流與湍流3. 經(jīng)典實驗雷諾實驗(1883)哈根實驗(1839)林格倫實驗