《材料力學》課件 5彎曲應力

1、材 料 力 學Monday, August 15, 2022第五章彎 曲 應 力1第五章 彎曲應力本章內(nèi)容:1 純彎曲2 純彎曲時的正應力3 橫力彎曲時的正應力4 彎曲切應力5* 關于彎曲理論的基本假設6提高彎曲強度的措施23關于兩大世界體系的對話4（達 .芬奇手稿） 5 梁彎曲的若干定義與概念對稱面（symmetric plane） 如果梁的橫截面具有對稱軸，所有相同的對稱軸組成的平面，稱為梁的對稱面6 所有外力（包括力偶）都作用于梁的同一主軸平面內(nèi)時，梁的軸線將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎曲稱為平面彎曲平面彎曲75. 1 純彎曲 橫力彎曲梁的橫截面上同時有彎矩和剪力的

2、彎曲。 純彎曲梁的橫截面上只有彎矩時的彎曲。橫截面上只有正應力而無切應力。 純彎曲的變形特征8 純彎曲的變形特征9 純彎曲的變形特征 基本假設1: 平面假設變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于梁的軸線。 中性層與中性軸 基本假設2: 縱向纖維無擠壓假設縱向纖維間無正應力。10 中性層與中性軸115. 2 純彎曲時的正應力1 變形幾何關系取坐標系如圖，z軸為中性軸； y軸為對稱軸。 縱向線bb變形后的長度為: 縱向線bb變形前的長度為求出距中性層 y處的應變，取長dx的梁段研究:中性層長度不變, 所以有:12 縱向線bb變形后的長度為: bb變形前的長度 縱向線bb的應變?yōu)榧矗杭儚澢鷷r

3、橫截面上各點的縱向線應變沿截面高度呈線性分布。中性層長度不變, 所以132 物理關系因為縱向纖維只受拉或壓，當應力小于比例極限時，由胡克定律有:即：純彎曲時橫截面上任一點的正應力與它到中性軸的距離y成正比。也即，正應力沿截面高度呈線性分布。3 靜力關系14NMz3 靜力關系My對橫截面上的內(nèi)力系，有:由梁段的平衡有:15由梁段的平衡有:對橫截面上的內(nèi)力系，有:所以 z 軸通過形心。即：中性軸通過形心。16由即：中性軸通過形心。由因為y軸是對稱軸，上式自然滿足。17由 梁的抗彎剛度將上式代入18 由于推導過程并未用到矩形截面條件，因而公式適用于任何橫截面具有縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用在對稱面內(nèi)的情況

4、。 公式是對等直梁得到的。對緩慢變化的變截面梁和曲率很小的曲梁也近似成立。 公式是從純彎曲梁推得，是否適用于一般情形（橫力彎曲）？純彎曲時正應力公式 公式的適用性195. 3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時，橫截面上有切應力平面假設不再成立此外, 橫力彎曲時縱向纖維無擠壓假設也不成立.由彈性力學的理論，有結論：當梁的長度l與橫截面的高度h的比值:則用純彎曲的正應力公式計算橫力彎曲時的正應力有足夠的精度。 l / h 5 的梁稱為細長梁。20 最大正應力橫力彎曲時，彎矩是變化的。引入符號：則有： 抗彎截面系數(shù) 比較拉壓:扭轉(zhuǎn):21 兩種常用截面的抗彎截面系數(shù) 矩形截面 圓形截面22 彎曲強度條件注

5、意：當截面變化時，還需綜合考慮W的值。23例 1已知：板長3a =150mm，材料的許用應力s =140MPa。解：求：最大允許壓緊力P。壓板可簡化為如圖的外伸梁。由微分關系，AC段、BC段的彎矩圖為斜直線。(1) 求彎矩圖24且B截面最薄弱。由微分關系，AC段、BC段的彎矩圖為斜直線。(1) 求彎矩圖作出彎矩圖。(2) 確定危險截面B為危險截面。(3) 計算B截面W25(3) 計算B截面WB為危險截面?？闯山M合物體26(3) 計算B截面WB為危險截面。(4) 由強度條件計算P27例 2已知： s=100 MPa，P = 25.3 kN。解：求：校核心軸的強度。 計算簡圖如圖。(1) 求彎矩圖

6、支反力28(1)求彎矩圖(2) 確定危險截面 I截面 II截面 III截面支反力(3) 強度校核 I截面29(3) 強度校核 I截面 II截面30 II截面 III截面31 III截面 結論 注意滿足強度要求。最大正應力并非發(fā)生在彎矩最大的截面。32例 3已知：T形截面鑄鐵梁，st= 30 MPa，sc=160 MPa。Iz=763cm4, 且 |y1|=52mm。解：求：校核梁的強度。 (1) 求彎矩圖 支反力 作出彎矩圖33(1) 求彎矩圖 支反力 作出彎矩圖最大正彎矩為:最大負彎矩為:(2) 確定危險截面 B截面 C截面34(2) 確定危險截面 B截面 C截面最大正彎矩為:最大負彎矩為:

7、(3) 強度校核 B截面M35(3) 強度校核 B截面M C截面顯然， 2c 1cM 結論滿足強度要求。36作業(yè)第5版5.2, 5.5, 5.16第4版5.2, 5.5, 5.16375. 4 彎曲切應力橫力彎曲時, 橫截面上既有正應力, 又有切應力。推導切應力公式的方法：假設切應力的分布規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件求出1 矩形截面梁切應力。按截面形狀，分別討論。 切應力分布假設(1) 各點切應力方向平行于剪力Q;381 矩形截面梁 切應力分布假設(1) 各點切應力方向平行于剪力Q;(2) 切應力沿寬度均勻分布。 用平衡條件導出切應力公式 取研究對象39 用平衡條件導出切應力公式 取研究對象40 由

8、切應力互等定理 右截面上的N2A1為右截面 pn1的面積。右截面正應力為:41 右截面上的N2其中: y以下的面積對中性軸的靜矩。42 右截面上的N2其中: 左截面上的N1同理可得: 上表面上的dQdQ x方向平衡條件43dQ x方向平衡條件44dQ 由微分關系 由切應力互等定理，得 計算Sz*45 由切應力互等定理，得 計算Sz*可用公式所以：46所以： 距中性層 y處的切應力公式 切應力分布切應力沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。在上下邊緣處在中性層處因為47在中性層處因為即：最大切應力是平均剪應力的1.5倍。2 工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼緣組成。 腹板的切應力腹板是矩形，切應力公式同矩

9、形截面梁。482 工字形截面梁 腹板的切應力腹板是矩形，切應力公式同矩形截面梁: 計算Sz*49 計算Sz*則，距中性層 y處的切應力公式為:切應力分布如圖。50距中性層 y處的切應力公式為:切應力分布如圖。 最大切應力發(fā)生在中性軸處 最小切應力發(fā)生在 y=h/2 處51 最大切應力發(fā)生在中性軸處 最小切應力發(fā)生在 y=h/2 處 腹板切應力的近似公式因為: (1)腹板切應力近似為均勻分布;(2)腹板負擔了絕大部分剪力。近似公式:52 腹板切應力的近似公式因為: (1)腹板切應力近似為均勻分布;(2)腹板負擔了絕大部分剪力。近似公式: 翼緣的切應力 特點(1) 除了有平行于剪力Q的切應力分量外

10、，還有與剪力Q垂直的切應力分量；(2) 切應力數(shù)值與腹板的切應力相比較小。533 圓形截面梁 切應力分布的特點(1) 邊緣各點的切應力與圓周相切；(2) y軸上各點的切應力沿y軸。 假設(1) AB弦上各點的切應力作用線通過同一點 p；(2) AB弦上各點的切應力沿 y軸的分量 y相等。所以，對y可用矩形截面梁的公式54所以，對y可用矩形截面梁的公式式中，b為AB弦的長度，Sz*為AB弦以外的面積對z軸的靜矩。 最大切應力最大切應力發(fā)生在中性軸上。中性軸上的切應力的方向？中性軸處55最大切應力是平均切應力的1.33倍。中性軸處564 彎曲切應力強度條件 強度條件彎曲時橫截面上正應力和切應力的分

11、布為：正應力最大處，切應力為零，是單向拉壓狀態(tài)；切應力最大處，正應力為零，是純剪切狀態(tài)。57彎曲切應力強度條件為 實心截面梁正應力與切應力的比較正應力最大處，切應力為零，是單向拉壓狀態(tài)；切應力最大處，正應力為零，是純剪切狀態(tài)。58 實心截面梁正應力與切應力的比較 對矩形截面梁 對圓形截面梁59 對矩形截面梁 對圓形截面梁所以，對實心截面梁通常不需要校核剪切強度。 需要校核剪切強度幾種情況(1) 彎矩較小而剪力很大的情況：短粗梁，或在支座附近作用有較大的集中力；(2) 非標準的腹板較高且較薄的工字梁；(3) 梁上的焊縫、鉚釘或膠合面。60懸臂梁由兩根槽鋼背靠背(兩者之間未作任何固定連接)疊加起來

12、放置，構成如圖所示。在載荷作用下，橫截面上的正應力分布是？61例：截面為三塊矩形截面疊加而成(膠合成一體)的梁,膠 =3.4MPa，求：Fmax及此時的max。若截面為自由疊合，max的值又為多大。FZ10050解：1、確定 Fmax2、確定max3、自由疊合時的maxxxFsMF-F*162例 1已知：由木板膠合而成的梁。解：求：膠合面上沿x方向單位長度的剪力。 無法直接用公式。取一微段：與推導剪應力公式的方法相同，有63取一微段：與推導切應力公式相同，有645. 6 提高彎曲強度的措施彎曲正應力是控制梁的強度的主要因素。彎曲正應力強度為：1 減小最大彎矩從上式可知，要提高梁的彎曲強度，應減

13、小最大彎矩Mmax和提高抗彎截面系數(shù)W。(1) 合理布置支座的位置651 減小最大彎矩(1) 合理布置支座的位置66 工程例子(2) 合理布置載荷67(2) 合理布置載荷682 提高抗彎截面系數(shù)在截面積A相同的條件下，提高抗彎截面系數(shù)。 矩形截面梁的放置 幾種常用截面的比較用比值來衡量69 幾種常用截面的比較用比值來衡量可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。70可看出：材料遠離中性軸的截面(環(huán)形、槽形、工字形等)比較經(jīng)濟合理。 根據(jù)材料特性選擇合理截面71 根據(jù)材料特性選擇合理截面 抗拉和抗壓強度相等的材料可采用關于中性軸上下對稱的截面，如：矩形、工字形、圓形等。 抗拉和抗壓強度不相等的材料可采用中性軸偏于受拉一側(cè)的截面，如：72上次例 1 (書例5.3) 已知：T形截面鑄鐵梁，st= 30 MPa，sc=160 MPa。Iz=763cm4, 且|y1|=52mm。求：校核梁的強度。 問題：T形截面是否放反了？沒放反。Mmax是負的。733 等強度梁的概念對如圖的簡支梁: 等強度梁這就是等強度梁的抗彎截面系數(shù)應滿足的關系。只有中點處的截面上達到最大正應力。 中點受集中力作用的簡支等強度梁74 中點