2022年三角形相似教案

1、學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載三角形相像 教學(xué)大綱：相像三角形是中學(xué)幾何的重要內(nèi)容,包括相像三角形的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用,是 中考必考內(nèi)容,以相像三角形為背景的綜合題是常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型,所以把握好相像三角形的基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)至關(guān)重要,本講就如何判定三角形相像,以及應(yīng)用相像三角形的判定、性質(zhì)來(lái)解決與比例線段有關(guān)的運(yùn)算和證明的問(wèn)題進(jìn)行探究；【例題講解】一、如何證明三角形相像例 1 已知,如圖, D 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD ,以 BC 為邊在ABC 外作 CBE= ABD ,BCE= BAD 求證： DBE ABC 分析：由已知條件 ABD= CBE, DBC 公用；所以 DBE= ABC ,要證的DBE

2、和 ABC ,有一對(duì)角相等,要證兩個(gè)三角形相像,或者再找一對(duì)角相等,或者 找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；從已知條件中可看到 CBE ABD ,這樣既有相等的角,又有成比例的線段,問(wèn)題 就可以得到解決；證明： 在 CBE 和 ABD 中, CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC AB=BE BD即BC BE=AB BD=AB BD DBE ABC 在 DBE 和 ABC 中,CBE= ABD, DBC= DBC CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC BE學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載例 2 矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、F,是 BC 邊的三等分點(diǎn),連

3、結(jié)AE 、AF 、AC,問(wèn)圖中是否存在非全等的相像三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論；AD分析：此題要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我們來(lái)看一看相像三角形的幾種基本圖形：BEFC（1） 如圖：稱為 “ 平行線型 ” 的相像三角形BDAECBEADCDBACE2如圖：其中 1=2,就 ADE ABC 稱為 “ 相交線型 ” 的相像三角形；B2EAD4BEADBD1AE112C2CC3如圖： 1= 2, B= D,就 ADE ABC ,稱為 “旋轉(zhuǎn)型 ”的相像三角形；觀看此題的圖形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交線型 ” 的相像三角形,及EAF 與 ECA 解：設(shè) AB=a ,就 BE=E

4、F=FC=3a ,DA21由勾股定理可求得AE=2 a,在 EAF 與 ECA 中, AEF 為公共角,且AEEC2BEEFAEC所以 EAF ECA （兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相像）點(diǎn)撥： 以上兩例中都用了相像三角形的判定定理 強(qiáng)訓(xùn)練；【練習(xí)】2,該定理的敏捷應(yīng)用是教學(xué)上的難點(diǎn)所在,應(yīng)留意加如圖：點(diǎn) G 在平行四邊形學(xué)習(xí)好資料歡迎下載A42FDABCD 的邊 DC 的延長(zhǎng)線上 ,AG 交 BC、BD 于點(diǎn) E、F,就 AGD ；B3 E1CG點(diǎn)撥：（1）證明三角形相像的首選方法是“ 兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相像”；（2）找到兩個(gè)三角形中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等,便可按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的次序精確

5、地把這一對(duì)相像三角形登記來(lái)；二、如何應(yīng)用相像三角形證明比例式和乘積式例 3 已知：如圖,在ABC 中, BAC=90 0,M 是 BC 的中點(diǎn), DM BC 于點(diǎn) E,交 BA 的延長(zhǎng)線于2點(diǎn) D.求證：（ 1） MA 2=MD ME ；（ 2）AE2 MEAD MDD證明：（ 1） BAC=90 0,M 是 BC 的中點(diǎn),AMA=MC , 1=C,1 EDM BC, C=D=90 0-B,2 1=D, 2= 2,BM C MAE MDA ,MA ME, MA 2=MD ME MD MA2（2） MAE MDA ,AE MA,AE MEAE2 MA ME MEAD MD AD MA AD MD

6、 MA MD點(diǎn)撥： （1）通過(guò)一對(duì)相像三角形來(lái)證明比例線段,是證比例線段的一種基本方法；本例第（1）小題證明 MA 2=MD ME ,常常可以把其中的 MA 看作一對(duì)相像三角形的公共邊,再去查找與確定需證相似的三角形；（ 2）本例的關(guān)鍵是證明MAE MDA ,這種具有特別關(guān)系（有一個(gè)公共角和一條公共邊）的三角形的相像,在解題中應(yīng)用許多,應(yīng)從下面兩個(gè)方面深刻懂得：學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載命題 1 如圖,假如 1=2,那么ABD ACB ,AB 2=AD AC ；命題 2 如圖,假如 AB 2=AD AC,那么ABD ACB , 1=2；C例 4 如圖 ABC 中, AD 為中線, CF 為任始終線,

7、 CF 交 AD 于 E,A1B交 AB 于 F,求證： AE ：ED=2AF ：FB；D分析 ：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相像形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考慮作平行線構(gòu)造相像形；怎樣作？觀看要證明的結(jié)論,緊緊扣住結(jié)論中“ AE： ED” 的特點(diǎn),作DG BA 交 CF 于 G,得 AEF DEG ,AEAF；與結(jié)論AE2AFAF相比較,明顯問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證DEDGEDFB1 2BFDG1FB；2證明： 過(guò) D 點(diǎn)作 DG AB 交 FC 于 G, 就 AEF DEG；（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相像）AE DEAF DG（1） D 為 BC 的中點(diǎn),且DG

8、BFG 為 FC 的中點(diǎn)就 DG 為 CBF 的中位線,DG1BF（2）2將（ 2）代入（ 1）得：AEAF2AFDE1 2BFFB點(diǎn)撥： （1）為了得到比例式,通常用過(guò)一點(diǎn)作某始終線的平行線的方法,在作平行線時(shí)必需留意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載” 的方法,即構(gòu)造相像形,寫(xiě)（ 2）在探究證題思路的過(guò)程中,我們可以實(shí)行“做做比比,比比做做出比例式時(shí)要始終留意待證結(jié)論中的有關(guān)線段,并準(zhǔn)時(shí)與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進(jìn)行比較,以便確定下 一步需要解決什么問(wèn)題；三、如何用相像三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等；例 5 已知：如圖 E、F分別是正方形ABCD 的邊 AB 和 AD 上的點(diǎn),且

9、EBAF1,求證：AEF= FBD ABAD3分析： 要證角相等,一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相像三角形,等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn),此題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中,可考慮用相像三角形來(lái)證,但要證的兩個(gè)角所在的三角形明顯不行,所以證明此題的關(guān)鍵是構(gòu)造相像三角形,能相像 （一個(gè)在直角三角形中,另一個(gè)在斜三角形中）證明： 作 FGBD,垂足為 G, 設(shè) AB=AD=3k AFD就 BE=AF=k ,AE=DF=2k , BD=32 k ADB=450, FGD=900G E DFG=450DG=FG=DF2 kBC2BG=32 k2k22kAFFG1AEBG2又 A= FGB=900 AEF GBF

10、 AEF= FBD 點(diǎn)撥： 本例是通過(guò)構(gòu)造一對(duì)相像三角形,而證明兩個(gè)角相等,而證明兩個(gè)三角形相像又運(yùn)用了代數(shù)法,設(shè)參數(shù),運(yùn)算邊長(zhǎng),從而證明兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,運(yùn)用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方 形和正三角形的條件時(shí)成效很好 . 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載例 6 直角三角形 ABC 中, ACB=90 ,BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求證： FC=FG 分析：要證明 FC=FG,從圖中可以看出它們所在的三角形明顯不全等,但存在較多的平行線的條件,因而可用比例線段來(lái)證明；要證明 FC=FG,第一要找出與 FC、 FG 相關(guān)的比例線段,圖中與 FC、FG相

11、關(guān)的比例式較多,就應(yīng)挑選與 FC、FG 都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡,最終必需得到 FC FG（“ ？”代表. .相同的線段或相等的線段）,便可完成證明；D證明： FG AC BE, ABE AGF C就有GF BEAF AED AFC AGFBEAE而 FC DE 就有CF DEAFGF BECFAFAEDEAE又 BE=DE （正方形的邊長(zhǎng)相等）DF BEGF,即 GF=CF ；BE點(diǎn)撥： 應(yīng)用比例線段證明兩直線平行或兩線段相等時(shí),（1）要留意假如相關(guān)的比例式較多,一時(shí)難以作出挑選,應(yīng)將全部相關(guān)的比例式都寫(xiě)出來(lái),然后再認(rèn)真對(duì)比、分析選出有用的；（2）要留意比例性質(zhì)的敏捷運(yùn)用,善于總結(jié)比例式變換時(shí)的方法和技巧；變化時(shí),要頭腦清醒,思路清楚,一個(gè)字母也不放過(guò),并且每一步都要有根有據(jù),切不行無(wú)依據(jù)的亂變,或者相當(dāng)然地硬變；【練習(xí)】學(xué)習(xí)好資料歡迎下載DSRQC1.在平行四邊形ABCD 內(nèi), AR 、BR、CP、DP 各為四角的平分線,求證： SQ AB ,RP BC APB2.已知 A 、C、 E 和 B、F、D 分別是 O 的兩邊上的點(diǎn),且E AB ED,BC FE,求證： AF CD C AOBFD【課后作業(yè)】時(shí)間： 25 分鐘1、 已知 ABC 中, AB=AC , A=36 ,BD 是角平分線,A求證：ABC BCD DB C學(xué)習(xí)好資料歡迎下載FE 2、 ABC 中,在