小學(xué)幾何五大模型

1、專業(yè)資料整理鳥頭模型，是平面圖形中常用的五個模型之一，其特點(diǎn)是通過邊與面積的關(guān)系來解決問題。對于初學(xué)者來說，最重要的是理解什么是鳥頭模型并熟記它的特征。一、鳥頭模型的相關(guān)知識1定義：兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)（相加等于180度），這兩個三角形就叫共角三角形。這個模型就叫鳥頭模型。其中存在的比例關(guān)系就叫做共角定理。2核心：比例模型有：SABCABxACSAADEADxAEBC、鳥頭模型的原理剖析證明：在三角形ABC中，連接BE,則有竺繆竺沁ABEABSAABE_AES/XABCAC利用等式的性質(zhì),左右兩邊分別相乘得:SAADESAABEADAEx=x=S/ABESABCAB1c即SAADEA

2、DxAES/XABCABxAC三、鳥頭模型的方法運(yùn)用鳥頭模型解題四部曲：第一步：觀察：圖中是否有鳥頭模型第二步：構(gòu)造：鳥頭模型第三步：假設(shè)：線段長度或圖形面積第四步：轉(zhuǎn)化：將假設(shè)的未知數(shù)轉(zhuǎn)化到鳥頭模型中計算例1：如圖，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面積是6平方厘米，求三角形ABC的面積？第一步：標(biāo)條件第二步：確定等角位置A小夾邊ADXAE(小夾邊指的是：小三角形夾著等角A的兩邊)大夾邊ABXAC第三步：利用鳥頭模型結(jié)論SAADE：SAABC二小夾邊乘積:大夾邊乘積=(2X3):(5X4)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面積是3份，三角形ABC的面

3、積是10份。第四步：先除后乘算面積三角形ADE的面積是6平方厘米，對應(yīng)3份，6*3=2平方厘米/份；所求三角形ABC的面積是10份，2X10=20平方厘米。例2：如圖，已知BC：CD=5:2,AE:EC=1:1，三角形ABC的面積是20平方厘米，求三角形CDE的面積？第一步：標(biāo)條件第二步：確定補(bǔ)角位置C小夾邊CDXCE(小夾邊指的是：小三角形夾著補(bǔ)角C的兩邊)大夾邊CAXCB第三步：利用鳥頭模型結(jié)論SACDE：SAABC二小夾邊乘積：大夾邊乘積=(2X1):(2X5)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面積是1份，三角形ABC的面積是5份。第四步：先除后乘算面積三角形ABC的面積是

4、20平方厘米，對應(yīng)5份，20*5=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面積是1份，4X1=4平方厘米。比例模型版塊威力最大且最難掌握的就是風(fēng)箏模型！風(fēng)箏模型命題很容易拉開難度，既可以出基礎(chǔ)題，也可以作為爆難的華杯賽全國總決賽題目（2013年18屆華杯賽全國總決賽筆試二試第4題），所以箏模型是各大杯賽命題老師非常喜歡考察的第知識點(diǎn)。觀察發(fā)現(xiàn)，可以用來算比值的都是這個角形！“風(fēng)箏的骨架”，而能算的面積都是骨架連起來之后構(gòu)成的三所以應(yīng)用風(fēng)箏模型的時候，第一步是找叉叉?！帮L(fēng)箏的骨架”，第二步是把骨架連起來，即先找叉叉，再包命題老師最喜歡考的是標(biāo)紅的面積比，觀察能力。因?yàn)檫@種大塊的面積比較隱蔽，適合考察同

5、學(xué)們在圖形中的cAAODAOSSyDOSyBO【題目】沙漏模型如圖，正方形腫CD中，E分別是仞的中點(diǎn).迂知正方形面積為匚求三角形MV的面積是多少?格+式專業(yè)資料整理【小升初奧數(shù)專題】幾何之五大模型（已更新完）2015-12-1200:00一、五大模型簡介（1）等積變換模型1、等底等高的兩個三角形面積相等;幾何五大模型2、所個，角形高相等面積之比等于底之比如圖曲1/：；bsub2/sub=a:、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如/圖所示，Ssub1/sub、在一組平行線之間的等積變形，如圖所示，SsubACD/sub二SsubSsub2/sub=a:b；BCD/sub；反之，如果Ssub

6、ACD/sub=SsubB則可知直線AB平行于CDo例、如圖，三角形ABC的面積是24,D、DEF的面積。BDE、F分別是BC、AC、AD1詳徹SI??，F(xiàn)（2）鳥頭（共角）定理模型1、兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫共角三角形;格+式專業(yè)資料整理2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。如圖下圖三角形ABC中，D、E分別是AB、AC上或AB、AC延長線上的點(diǎn)則有：SsubAABC/sub：SsubAADE/sub二（ABXAC）：（ADXAE）我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理！如圖連接BE,根據(jù)等積變化模型知，SsubAADE/sub：ABE/

7、su：CBE/sub二AE：CE,SsubABE/sub=AD：AB、SsubbSsub所以ABE/sub：(SsubAABE/sub+SsubCBE/sub)二AE：AC，因此SsubAADE/sub：SsubAABC/sub二(SsubAADE/sub：SsubAABE/sub)X(SsubAABE/sub：SsubABC/sub例、如圖在ABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB：AD=5:2,AE：ADE的面積為12平方厘米，求ABC的面積?！驹斀狻扛鶕?jù)鳥頭模型可知：九皿沾3=|血?）兒爐冥血人（平方厘米人（3）蝴蝶模型1、梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）訂丿5：=$4（因?yàn)閒

8、l所I丄Sgc-S泊聽S辺耽50（7帛:缶=a2:b2Sj:5q：5:：SA=a21b1iab.abjABCD,AB與CD平行，對角線AC、BD交于點(diǎn)0,已知AAOB、25平方厘米、35平方厘米，求梯形AB?CD=5：h所以為如：泗：仞訂歩：725:4比即熱而屯遜=也=巧平方厘米，所以梯形ABM的面樹九25+35梯形S的對應(yīng)粉數(shù)為（a+疔。BoC口的面積分別為2、任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:（平方厘米人禺話:場或者邑縄胡細(xì)/GOC=（Si+S:S+SJ例、如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O,如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3，且AO=2、DO=3，求CO

9、的長【詳解】由任意四邊形蝴蝶定理的性質(zhì)知AO.OC=SzScd=1:3*OC=3AO=3X2=6,所以O(shè)CrOD=6:3=2:10牒關(guān)系與我們形供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的的對角線的比例關(guān)系。（4）相似模型1、相似三角形：形狀相同，大小不相等的兩個三角形相似;2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質(zhì)：相似三角形的一切對應(yīng)線段（對應(yīng)高、對應(yīng)邊）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方。有似模型大致分為金字塔模型、

10、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都澤DE這樣的一對平行線!例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的長度是多少?AE【詳解】如圖所示連接環(huán)構(gòu)造燕尾模型.根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可糾RD1竺_H1MBF(?份*L：護(hù)=4x現(xiàn)設(shè)-1你則酊二2份.S/2你紜心悅、5二=2.4所以比如0皿=2吃4=4.U優(yōu)、=2-Sc-224,4X9=45(平方J1米)。等積變換模型的邊長是中的E、F、G分別是正方ABCD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形格+式ABCD，BE二AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，ABCD與四邊專業(yè)資料整理【詳解把另外三個三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的

11、3條邊了相等的三段把點(diǎn)H和這些分點(diǎn)*正方形的頂點(diǎn)連接.這割咸了9嚇形狀各不相同的三角形、同時我們把空白部分的標(biāo)記1乜這9個三角形的底邊都杲正方形邊檢的三分之陰影的3個三角形。根據(jù)等積變換模型可知.S邊上的陰影三角形的面積等*Bf邊上的陰影三角形與第3/個三甬形相等；AB邊JJ&個三角形相等總因此，陰影面積是空白面積的二分之一,之一.即=12X12-3=48.例2、如圖所示，Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AB、CD上的點(diǎn)，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=P【詳解】如圖所示,連接C職DE?由于DQ*HE平行，5=5i同喪根據(jù)DC、辭平行，有S胡遊=$畑

12、；貿(mào)由于四邊形ABCD為直角梯形，所以1盧甸i11=-(5+?X5+3-x5x5-7n7iSjTDf=S轉(zhuǎn):-孔匠_5角形阿的面積為阪*鳥頭(共角)定理模型例1、如圖所示，平行四邊形平行四邊形ABCD的面積為2,求平行四邊形格+式專業(yè)資料整理【詳解】如圖所示連接BD,由于在ABBAEBF中.厶迪C補(bǔ)，所以根據(jù)鳥頭定理有S如腫1C_1PS曲FBEBFlxr因?yàn)镾gc平舒吐逼akd二所以S如尸=3*同理可得S2_2_18+8+15+3+2=36=1S例2、如圖所示，ABC的面積為1,BC=5BD、AC=4EC、DG二GS二SE、AF二FG,求APGS的面積?！驹斀?首先根據(jù)等積變換模型知*二龜叱根

13、據(jù)鳥頭定理有芒=欝=備乜所以比十沿=寫老“所以=2心對所以S“ADRDlx沁QDQ1x47所以也5；所以（3）蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1,那么陰影部分面積為多少?詳解】如圖陽示，連接陰夥四邊形的對角線，此時正六:紜如的面積為I他根據(jù)正六邊形的特殊性質(zhì)知，BC-2A1理標(biāo)出各個三角形所占偽數(shù)，所以整個正六邊形被分咸其中的8你即陰影部分面積粒189例2、如圖，長方形別為2、5、8平方厘米,ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分如圖所示.連接DBCFc在梯形EDCF中，狠據(jù)梯形蝴【詳解】耗hoc=1x8=161即Sjj皿狼8+斗=12,霜烏雖例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長

14、為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，求三角形10厘米，E為【詳解】設(shè)我D與九的交點(diǎn)為6連接BE.DFo在梯形BCDE中*白理知，O;CO=Sjtoi7xl0 xl-6-2S（平方厘0:C（?=l:2o又因?yàn)镕為CE的中點(diǎn)*航以E0-.F02：n在四邊形BFM中由蝴蝶定理知，E0:F0=$s$叱（4）相似模型例1、如圖，正方形的面積為1,E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，GC=1/3FC，求陰影部分的面積。格+式格+式專業(yè)資料整理120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC專業(yè)資料整理套詳解】如圖所示作陽垂直BC于點(diǎn)乩GI垂：SBC于點(diǎn)I：jffliCbCH=CG：CF=l：3i因?yàn)镕是ED的

15、中點(diǎn)所以tBhBC二(6-1)；6=5:6-所認(rèn)九加丄汎HE13例2、如圖，長方形ABCD,E為AD的中點(diǎn)，AF與BD、BE分別交于G和H,0E垂直于AD,交AD于E點(diǎn)，交AF于0點(diǎn)，已知AH=5【詳解】根據(jù)長方形的性辰知，AB平行于DF.再根據(jù)沙漏模型知碼DF=AHHFm又因?yàn)槌鬄镠Q的中點(diǎn):.OS：FD=2、；:O-5:=1G:32利押相似三角形注質(zhì)可箒AG;DO=AB:OEW:3燕尾模型例1、如圖，正方形ABCD的面積是的中點(diǎn)，求四邊形BGHF的面積。4(詳解玻口圖、連接BHo由于BE與CD平行根據(jù)沙曙現(xiàn)設(shè)3沁才份，根據(jù)燕尾模型知，吸=2粉、!ABCD就是：(1+2+2)X2=10(份)

16、。四邊形BGHF占-12010 x2=14平方厘米人例2、如圖，在AABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么AABC的面積是陰影GHI面積的幾倍?【詳解】如圖，這接根據(jù)燕尾模型乳L也”2，址二血*S一血同理可知$“ci=RD:Djd2:1T所MxSjjcj:$d口AX貂=血住所以務(wù)甌創(chuàng)=(1fE、F是BC的三等分點(diǎn)，若ABC的面即AA&C的面和是陰AGHI面積的7倍中例3、如圖，在ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)積是1，求四邊形CDMF的面積?！驹斀狻咳鐖D，辻接CHCNe根據(jù)燕屋模型知而=3込屮所以罠曲=4Sgsj*即BM-4DMu所認(rèn)三、鞏固練習(xí)1、如圖，在角MON的兩邊上分別

17、有ABC、ABCD、ACDE、ADEF的面積都等于DCF的面積。A、C、E、B、D、F六個點(diǎn)，并且OAB、1，求厶2、如下圖，ABCD為平行四邊形，厘米，求三角形CDF的面積。EF平行AC,如果的面積為4平方3、如下圖，在三角形DGFE面積占三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四邊形ABC的幾分之幾？D/BEFC格+式格+式專業(yè)資料整理ABCD的面積為120平方厘米，EBGHF的面積。專業(yè)資料整理4、如圖，四邊形CB二BF、DC二CG、HD=DA，求四邊形EFGH的面積是66平方米，EA二AB、ABCD的面積。5、邊長為1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF

18、，求三角形AGE的面積。11,三角形BCH7、如圖，三角形ABC是一塊銳角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米?，F(xiàn)在要把它加工成一個正方形零件，是正方形的邊在BC上其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個正方形零件的邊長是多少?8、如圖，已知正方形是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊的中點(diǎn)，求四邊形DEBCABCD的邊長是12厘AGCD的面積。L)CAIjfB9、如圖，正方形米，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，AF與CE交于點(diǎn)G,求四邊形10、如圖，在四邊形積是12,求平行四邊形BODC的面積。ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四邊形AE0F的面、鞏練習(xí)詳解lx如圖.在角ION的漏邊上分別有A

19、.C.E.BxD.卩六個點(diǎn).井目AOAB+AABC.ABCD.AGUE.ADEF的面和都等于1.求ZdCT的面私駐【詳解磁個題我們可以用等積變換來解.由于三角形OCD的面積是可以求岀的.所以只要求出皿DE就能求岀厶剛的面積鼻因?yàn)镺D:DF=服5產(chǎn)四:1,所以Sg=卜3二扌。2、如下臥ABCD為平齊四邊形.EF平行AC$U果AADE的面積為4平方厘米.求三角形CDF的面札【謙解】如圖所云連接血CE（因?yàn)槠叫兴倪呅螌吰叫?翫以根據(jù)同底等高知SjBF=_!、jcdf$乂0局理*覩據(jù)AC、EF平仃所以S乂曙5土併所乩比砂=$遠(yuǎn)=4平方）1米in3如T圖.在三角形ABC中，BD=2AD,AZ2CG,B

20、E=EF二FG求四邊形DGFE和占三角形ABC的幾分之幾？BADAG所以.55趙尋胡Sgt1=-sc【詳解】根據(jù)鳥頭模型的性質(zhì)有:也G二詈%詈Sgc=卜扌仏c二詁3cABAC3392，鍛贖；J=九畛弘莎=Sqc4如圖.四邊形ABCD的面積廿H、fhfi邊形EFGH的面積是66平方米，EA=ABxCB=BFIXHSHB=DAS求【詳解】如圖連接由鳥頭模型知S沁CDBC1X1CXF!x23即$農(nóng)嚴(yán)込5曲同理可得丄宓$沁；所以G+=?吐衛(wèi)砧仞連接AC同理可得，S皿尸+孔呢“比靦沖所以S；=5電蘭3*即弘護(hù)肋仞=66+2i32(半萬米兒乩邊長為1的正方形ABCD中.BAZEGFODF,求三角形AGE的

21、面黑【詳解】這接即-況酣F二號躍亍黑)X空疋力旳凰血石氓方感冊過2由蝴蝶定理可得：嶺存,1=6瓦GQF=-132少=Eo血十dwia=2?；頙L8CD_石沫亓屈=詐應(yīng)a=亍【詳解】連接E化顯然四邊形AD呵和呂CEF都是梯形于是三角形EFG的面積等于三角形ADG的面積$三錯形BCH的面積等于三角形E陽的面積？所以四邊形EGFH的面積為11+23-34仏如圖.三角形ABC星一塊銳角三角形余料.BO120WK.高AD=80札如圖.方形被一些直線分成了若于個#或緯已知三角形ADG的面和為臺米廿規(guī)在要把它加工成一1正方瞬件”是正方形的一邊在BC上.其余兩個頂點(diǎn)分別在AB*AC,這個正方形零件的邊長是多少*三現(xiàn)設(shè)正方形的邊長為乂毫