隨機變量分布和數(shù)字特征

1、關(guān)于隨機變量的分布和數(shù)字特征第一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月為什么要引入隨機變量的概念1.很多隨機試驗，其結(jié)果可以直接用數(shù)值表示。例如：產(chǎn)品抽檢中出現(xiàn)的次品數(shù)，測量物體長度產(chǎn)生的誤差等。2.有些試驗其結(jié)果看起來與數(shù)值沒有直接的關(guān)系，但是我們可以人為的賦予他們“關(guān)系”。例如：拋硬幣的試驗第二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月這個試驗有2個可能的結(jié)果:正面,反面。為了討論的方便，引入變量X，當正面出現(xiàn)時，取X=1，當反面出現(xiàn)時，取X=0，這樣，X隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，即X可以看成是定義在樣本空間上的函數(shù)第三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月一、隨機變量（

2、random variable）的概念 2.1 隨機變量 1、含義：用來表示隨機現(xiàn)象結(jié)果的變量。 樣本點本身是用數(shù)量表示的； 樣本點本身不是用數(shù)量表示的。 總之，不管隨機試驗的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，都可以建立一個樣本空間和實數(shù)空間的對應(yīng)關(guān)系，使之與數(shù)值建立聯(lián)系，用隨機變量的取值來表示事件。 2、定義：定義在樣本空間上的實值函數(shù)XX()稱為隨機變量，常用大寫英文字母或小寫希臘字母來表示，相應(yīng)地，用小寫英文字母表示其取值。HT第四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機變量的特點: （1）X的全部可能取值是互斥且完備的。（2）X的部分可能取值描述隨機事件。 注：隨機變量是樣本點的函數(shù)，其

3、函數(shù)值是實數(shù)，但自變量（樣本點）不一定是實數(shù)。 與微積分中的變量不同，還存在其取值的概率的問題。（分布）第五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、隨機變量的實例解：樣本點如圖所示共有10個不同的樣本點例1 引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：將3個球隨機地放入三個格子中，事件A=有1個空格，B=有2個空格，C=全有球。第六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月記X表示“空格個數(shù)”，則有第七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月三、關(guān)于隨機變量的補充說明 隨機變量隨著試驗結(jié)果的不同而取不同的值，在試驗之前，只能知道它可能取值的范圍，但不能預先知道它取哪個（些）值； 隨機試驗的各

4、個結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，因此隨機變量取某個（些）值也有一定的概率。第八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月隨機變量的分類：其他（混合型）連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量隨機變量第九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2.2 離散型隨機變量的概率分布一、離散型隨機變量及概率分布XP第十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 擲兩顆骰子，觀察其點數(shù)，記X為點數(shù)之和，Y為6點的個數(shù)，Z為最大點數(shù)，求X、Y、Z的概率分布。含有36個樣本點.分析：樣本空間是什么？隨機變量的取值范圍是什么？第十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月XPYPZP第十二張，PPT共一百零三頁，

5、創(chuàng)作于2022年6月求分布律的一般步驟確定樣本空間。確定隨機變量的可能取值。確定隨機變量的每個取值所對應(yīng)的事件。求出每個事件的概率。列出表格或?qū)懗鲆话愕母怕时磉_式。求分布律中的概率時，關(guān)鍵在于必須把隨機變量的取值對應(yīng)到樣本空間中的具體事件。第十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月分布律的基本性質(zhì) 非負性： 正則性： 這兩條性質(zhì)也是隨機變量分布律的充要條件。第十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、常用離散分布1、01分布 X 0 1 P 1-p p 隨機變量只有兩個取值的分布稱為兩點分布；特別地，若其取值為0和1，稱之為01分布。例2 一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任意取一

6、個進行檢驗，用隨機變量X描述廢品出現(xiàn)的情況，即X的分布。第十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月用X=1表示產(chǎn)品為廢品，X=0表示產(chǎn)品為合格品，則 X 0 1 P 95% 5%2、二項分布（Binominal distribution） 定義：在 n 重Bernoulli試驗中， 若以X記事件發(fā)生的次數(shù)，則X為一隨機變量，且其可能取值為X=0,1,2,，n.其對應(yīng)的概率由二項概率給出： 第十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4,求最近6天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布。 X 0 1 2 3 4 5 6 P0.0002 0.0044 0.

7、0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780第十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月3、泊松分布第十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月補充說明單位時間內(nèi)電話總機接到用戶的呼喚次數(shù)、電路受到的電磁波的沖擊次數(shù)；一平方米內(nèi)玻璃上的氣泡數(shù)；一鑄件上的沙眼數(shù)等隨機變量都服從泊松分布。二項分布和泊松分布都是非常重要常用的離散分布.在n重的貝努利試驗中，某個事件在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)服從的是二項分布.其特點是只知次數(shù)，不知位置.二項分布在某個取值處概率達到最大.第十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二項分布與泊松分布的關(guān)系：泊松定理 二項概率可以用泊松

8、分布的概率來近似 ，n越大，近似程度越高，該定理解決了二項概率的近似計算問題。第二十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率是多少？解：設(shè)患病人數(shù)為X，則X服從二項分布B(5000,0.001).n=5000, p=0.001.概率可利用泊松分布近似計算。直接查表可得，見P294，5，k=05.第二十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月4、幾何分布（Geometric distribution）特殊性質(zhì)無記憶性定義：在Bernoulli試驗中，記 p 為事件A在一次試驗中出現(xiàn)的

9、概率，X為首次出現(xiàn)A時的試驗次數(shù)，則X的可能取值為1，2，稱X的分布為幾何分布，記為XGe(p). 其分布律為第二十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月5、超幾何分布 設(shè)N個元素分為兩類，有N1個屬于第一類，N2屬于第二類（N1+N2=N) ，從中任取n個，令X表示取到的第一（二）類元素的個數(shù)，則X的分布稱為超幾何分布。 當N很大，n相對于N較小時，超幾何分布可用二項分布來近似計算，不放回抽樣可近似看成有放回抽樣，這一結(jié)論在實際工作中往往可使問題變得簡單。第二十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月 為了方便地表示隨機事件的概率及其運算，我們引入了分布函數(shù)的概念。一、分布函數(shù)

10、（distribution function）的定義2.3 隨機變量的分布函數(shù)第二十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月 注：（1）分布函數(shù)表示的是隨機事件的概率。（2）分布函數(shù)與微積分中的函數(shù)沒有區(qū)別。第二十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、分布函數(shù)的性質(zhì) 注：以上三條是分布函數(shù)的基本性質(zhì)，也是分布函數(shù)的充要條件。 第二十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月三、舉例例1一袋中裝有依次標著數(shù)字-1，2，2，2，3，3的6個球，從袋中隨機取出一個球。記X為取出的球上的數(shù)字，求X的分布函數(shù)。解：X的可能取值有-1，2，3.且有第二十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作

11、于2022年6月該分布函數(shù)的圖形如下:注：分布函數(shù)是概率的累加。第二十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月四、離散型隨機變量的分布函數(shù)由分布律可以寫出其分布函數(shù) 10它的圖形是有限（或無窮）級數(shù)的階梯函數(shù)右連續(xù) 在X的取正概率的點xk處有跳躍，躍度為概率pk.第二十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月解：X的可能取值為1，2，3.且例2一個袋中有5個球，編號為1，2，3，4，5.從中任取3個，以X表示取出球的最小號碼，求X的分布律與分布函數(shù)。注：計算概率時，必須明確相應(yīng)的具體事件是什么。第三十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月X的分布律為 X 1 2 3 P0.6

12、 0.3 0.1X的分布函數(shù)為思考：如何由分布函數(shù)求分布律？第三十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月分析：由分布律與分布函數(shù)的關(guān)系，考慮X的可能取值有哪些？第三十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2.4 連續(xù)型隨機變量的概率分布定義：設(shè)X是隨機變量，F(xiàn)(x) 是它的分布函數(shù)，若存在一個非負可積函數(shù)f(x)，使得對任意的xR ，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)為X的分布密度函數(shù)。注：分布函數(shù)表示在 x 處的累積概率，把其導數(shù)稱為概率密度是非常合理的。一、連續(xù)型隨機變量的定義及性質(zhì)稱f(x) 為X的概率密度函數(shù)第三十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月概率密度的

13、性質(zhì)（充要條件）：非負性：正則性：概率密度在概率計算中的應(yīng)用：注：（2）式中的區(qū)間可以是開（閉或半開）區(qū)間。第三十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月幾個重要結(jié)論(4)對于連續(xù)型r.v.,不必“點點計較”，而對離散型r.v.,則要“點點計較”。第三十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系：1由分布函數(shù)求密度函數(shù)比較簡單，下面考慮如何由密度函數(shù)來求分布函數(shù).第三十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.設(shè)隨機變量X密度函數(shù)為 求常數(shù)c 和分布函數(shù).第三十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下：1-11-11

14、第三十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月求：1.c的值；2.P(-1X1)；3.X的分布函數(shù).解：1.利用正則性例2設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為第三十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月注意隨機變量的可能取值，不能機械地套公式，簡單地在積分上、下限上取.二、常用連續(xù)分布1、均勻分布（Uniform distribution）第四十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形：ab1ab均勻分布的概率計算：第四十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例3設(shè)X服從(0,10)上的均勻分布，現(xiàn)對X進行4次獨立觀察，求至少3次觀測值大于5的概

15、率。分析：除了X之外，本題還有一個隨機變量觀測值大于5的次數(shù)，記為Y.二項分布，第四十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月 某公共汽車站從早晨7：00起，每隔15min來一趟車,一乘客在7：00到7：30之間隨機到達，求（1）該乘客等候不到5min乘上車的概率；（2）該乘客等候時間超過10min才乘上車的概率。注：均勻分布與幾何概型關(guān)系“密切”。練習第四十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2、指數(shù)分布(Exponontial distribution)密度函數(shù)的圖形為：其分布函數(shù)為：注：與幾何分布類似，指數(shù)分布也具有無記憶性。第四十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022

16、年6月例4設(shè)打一次電話所需要的時間(單位：分鐘)服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布。如果剛好有人在你前面走進電話亭，并立即開始打電話，求你將等待：1、超過5分鐘的概率；2、5分鐘至10分鐘的概率.指數(shù)分布在實際中有著重要的應(yīng)用。如一些“東西”的壽命服從指數(shù)分布、隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間也服從指數(shù)分布等。第四十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月3、正態(tài)分布（Normal /Gaussian distribution）密度函數(shù)圖形如下密度函數(shù)關(guān)于x=對稱.分布函數(shù)為：第四十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月標準正態(tài)分布其密度函數(shù)為：0.51第四十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于20

17、22年6月正態(tài)分布概率的計算：第四十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第四十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月正態(tài)分布的標準化 問題：對于非標準的正態(tài)分布，如何通過查表求相關(guān)概率？通過等價事件轉(zhuǎn)化為服從標準正態(tài)分布的隨機變量。第五十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例7某地區(qū)抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績X，且96分以上的考生占總?cè)藬?shù)的2.3。求考生成績在60分至84分之間的概率。第五十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月 定義 設(shè)f(x)是定義在隨機變量X的一切可能值x集合上的函數(shù),對X的每一可

18、能取值x,有唯一的y=f(x)與之對應(yīng),Y是y的集合,則Y是一個隨機變量,稱Y為X的函數(shù),記作Y=f(X).問題:若X的分布已知,如何求Y的分布？2.5 隨機變量函數(shù)的分布第五十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)隨機變量X的分布律為一、離散型隨機變量函數(shù)的分布第五十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 已知X的分布律如下：解：第五十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月整理，得第五十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布1、公式法注意該定理的適用條件。g(x)嚴格單調(diào)第五十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理

19、的證明:第五十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第五十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第六十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月補充說明:第六十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2、分布函數(shù)法g(x)為任意形式（1）先確定Y的可能取值范圍，（2）在Y的可能取值范圍內(nèi)，求出其分布函數(shù)。（3）在Y的可能取值范圍內(nèi)，求其密度函數(shù)。（4）在實數(shù)區(qū)間內(nèi)，表示出Y的密度函數(shù)。萬能法第六十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 設(shè)X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布,求Y=X2的密函數(shù).第六十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習：設(shè)X的密度

20、函數(shù)是fX(x),Y=4X-1,求Y的密度函數(shù).第六十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2.6 隨機變量的數(shù)字特征一、為什么要引入隨機變量的數(shù)字特征1.實際中，有些隨機變量的分布不易求。二、幾個常用的特征指標數(shù)學期望、方差、標準差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩2.有些實際問題往往對隨機變量的分布不感興趣，只對隨機變量的幾個特征指標感興趣。第六十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月一、數(shù)學期望例1分賭本問題甲、乙兩個賭徒賭技相同，各出賭注50元，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100元。當甲贏了兩局，乙贏了一局時，因故要中止賭博，問這100元的賭本應(yīng)如何分配才合理？乙勝甲

21、輸甲勝乙輸乙勝甲輸甲勝乙輸甲勝的概率為：.分析：假設(shè)賭博繼續(xù)下去，其可能結(jié)果如下：1、數(shù)學期望的引入第六十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)甲得到的賭本為X，則X的分布律為 甲勝的概率為：.說明：該問題涉及隨機變量的分布，且含有均值的意義.甲應(yīng)該獲得賭本的3/4.第六十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月算術(shù)平均與加權(quán)平均問題：如果已知離散型隨機變量X的分布律如何求X的平均值？第六十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月加權(quán)平均數(shù)的計算：隨機變量的平均值：概率替換頻率第六十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月2、數(shù)學期望的定義 為隨機變量X的數(shù)學期望.

22、第七十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月補充說明：加權(quán)平均數(shù)：離散型隨機變量期望：連續(xù)型隨機變量期望：頻率概率概率注：期望是均值的推廣或更一般的形式.第七十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、次品及廢品5種，相應(yīng)的概率分別為0.7,0.1,0.1, 0.06，0.04，若其價格分別為6元，5.4元，5元，4元及0元。求產(chǎn)品的平均價格。XP第七十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月3、數(shù)學期望的運算性質(zhì)4、一維隨機變量的函數(shù)的數(shù)學

23、期望 線性性質(zhì)第七十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 設(shè)隨機變量X的分布為解：第七十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習：設(shè)隨機變量X的分布律為XP第七十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第七十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月數(shù)學期望在解決實際問題中有著非常重要的應(yīng)用，見下面的例子.第八十一張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 購買福利彩票,為簡化假定只有一種獎,即百萬大獎,中獎率為百萬分之一.每張彩票2元,張某買了一張彩票

24、,問他可以獲益多少元?第八十二張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月練習:保險公司設(shè)立汽車盜竊險,參保者交保險費a元,若汽車被盜,公司賠償b元,問b應(yīng)如何定值才能使公司期望獲益?(經(jīng)統(tǒng)計,一年內(nèi)汽車的失竊率為p)第八十三張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月保險公司按以上策略經(jīng)營,很可能破產(chǎn)！原因有二：(1)投保者是相對不安全地區(qū)的車主.信息不對稱(2)投保者會放松對車的看管.道德風險它們使投保者中車輛的失竊率p大大提高.第八十四張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月例7 某公司生產(chǎn)的機器無故障工作時間X有密度函數(shù)公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之

25、內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，這時每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負責。求該公司售出每臺機器的平均獲利。第八十五張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月解決方法：求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望.關(guān)鍵：第八十六張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月則用戶自己負責。公司每售出一臺機器可獲利1600元，若機器在售出1.2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，每臺虧損1200元；若在1.2到2萬小時之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負擔維修費400元；若在使用2萬小時以上出現(xiàn)故障，第八十七張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月第八十八張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月二、方差與標準差引例1 比較甲、乙兩班學生成績的差異百分比若把兩班成績看作隨機變量的取值，其分布有什么區(qū)別？隨機變量取值的分散程度不同，乙班成績分布較集中。第八十九張，PPT共一百零三頁，創(chuàng)作于2022年6月引例2 比較兩種型號手表的質(zhì)量哪種手表質(zhì)量