2022-2023學(xué)年人教A版必修第一冊(cè) 第二章 2.1 第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小 學(xué)案

1、第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小素養(yǎng)導(dǎo)引1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的相等關(guān)系與不等關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象)2.了解不等式(組)的實(shí)際背景，會(huì)用不等式(組)表示不等關(guān)系(數(shù)學(xué)建模)3.會(huì)用作差法(或作商法)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大小(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)一、不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個(gè)要點(diǎn)：(1)不等符號(hào)，_，_或.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系【批注】不等式ab或ab的含義(1)不等式ab的含義是指“ab，或者ab”，等價(jià)于“a不小于b”，即若ab或ab中有一個(gè)正確，則ab正確(2)不等式ab的含義是指“ab，或者ab”，等價(jià)于“a不

2、大于b”，即若ab或ab中有一個(gè)正確，則ab正確二、關(guān)于比較實(shí)數(shù)a，b大小的基本事實(shí)文字表示符號(hào)表示如果ab是正數(shù)，那么abab0ab如果ab等于0，那么abab0ab如果ab是負(fù)數(shù)，那么abab0a0，所以x244x0，所以x244x.答案：x244x學(xué)習(xí)任務(wù)一用不等式(組)表示不等關(guān)系(數(shù)學(xué)建模)1已知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，將上述文字語(yǔ)言用不等式(組)可表示為()Aabc B eq blc(avs4alco1(abc,acb) ，C eq blc(avs4alco1(acb,bca) ， D eq blc(avs4alco1(abc,acb,bc

3、a) ，【解析】選D.由三角形三邊關(guān)系及題意易知選D.2某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案A為一次性投資300萬(wàn)；方案B為第一年投資80萬(wàn)，以后每年投資20萬(wàn)下列不等式表示“經(jīng)過(guò)n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”的是()A8020n300 B8020n300C8020(n1)300 D8020(n1)300【解析】選D.經(jīng)過(guò)n年后，方案B的投入為8020(n1)，則“經(jīng)過(guò)n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”用不等式表示為8020(n1)300.3用一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18 m，要求菜園的面積不小于96 m2，靠墻的一邊長(zhǎng)為x m試

4、用不等式(組)表示其中的不等關(guān)系【解析】因?yàn)榫匦尾藞@靠墻的一邊長(zhǎng)為x m，而墻長(zhǎng)為18 m，所以0 x18.這時(shí)菜園的另一條邊長(zhǎng)為 eq f(30 x,2) (15 eq f(x,2) )m.因此菜園的面積Sx(15 eq f(x,2) ).依題意有S96，即x(15 eq f(x,2) )96.故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為 eq blc(avs4alco1(0 x18，,x（15f(x,2)）96.) 用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)：至多、至少、大于等(2)設(shè)未知數(shù)表示變量(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語(yǔ)，并連接變量得不等式提醒：實(shí)際問(wèn)題中要注意

5、實(shí)際意義對(duì)變量的限制學(xué)習(xí)任務(wù)二作差法比較大小(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(2022汕頭高一檢測(cè))設(shè)M(x2)(x3)，N(x1)(x4)a2.(1)當(dāng)a2時(shí)，比較M，N的大??；(2)當(dāng)MN時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解析】(1)當(dāng)a2時(shí)，N(x1)(x4)，則MN(x2)(x3)(x1)(x4)(x25x6)(x25x4)20，所以MN.(2)因?yàn)镸N(x2)(x3)(x1)(x4)a2(x25x6)(x25x6a)a，當(dāng)MN時(shí)，則a0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|a0作差法比較大小的步驟當(dāng)x1時(shí)，比較3x3與3x2x1的大小【解析】3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1

6、)(3x21)(x1).因?yàn)閤1，所以x10.又因?yàn)?x210，所以(3x21)(x1)0，所以3x33x2x1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 已知a，b為正實(shí)數(shù)，試比較 eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) 與 eq r(a) eq r(b) 的大小【解析】因?yàn)? eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) )( eq r(a) eq r(b) )( eq f(a,r(b) eq r(b) )( eq f(b,r(a) eq r(a) ) eq f(ab,r(b) eq f(ba,r(a) eq f(（ab）（r(a)r(b)）,r(ab) eq f(（r(a)r(b)）（r(a)r(b)）2

7、,r(ab) ，再由a，b為正實(shí)數(shù)可得 eq r(a) eq r(b) 0， eq r(ab) 0，( eq r(a) eq r(b) )20，可得 eq f(（r(a)r(b)）（r(a)r(b)）2,r(ab) 0，所以 eq f(a,r(b) eq f(b,r(a) eq r(a) eq r(b) ，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取等號(hào)學(xué)習(xí)任務(wù)三不等式的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)【典例】(2022威海高一檢測(cè))甲、乙兩位消費(fèi)者同時(shí)兩次購(gòu)買(mǎi)同一種物品，分別采用兩種不同的策略甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)一定(1)若兩次購(gòu)買(mǎi)

8、這種物品的價(jià)格分別為6元，4元，求甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品和乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格分別為多少；(2)設(shè)兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的價(jià)格分別為a元，b元(a0，b0)，問(wèn)甲、乙誰(shuí)的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算【解題思維】觀察(1)甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)一定(2)甲、乙誰(shuí)的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算聯(lián)想(1)計(jì)算兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品平均價(jià)格的方法；(2)由比較經(jīng)濟(jì)合算想到比較平均價(jià)格轉(zhuǎn)化(1)用總錢(qián)數(shù)除以總數(shù)量計(jì)算兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格；(2)作差法比較大小【解析】(1)設(shè)甲每次購(gòu)買(mǎi)這種物品的數(shù)量為m，乙每次購(gòu)買(mǎi)這種物品所花的錢(qián)數(shù)為n

9、.所以甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格為 eq f(6m4m,mm) 5(元)，乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格為 eq f(2n,f(n,6)f(n,4) eq f(24,5) (元).(2)由(1)知，甲兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格為 eq f(ambm,mm) eq f(ab,2) (元)，乙兩次購(gòu)買(mǎi)這種物品的平均價(jià)格為 eq f(2n,f(n,a)f(n,b) eq f(2ab,ab) (元).因?yàn)?eq f(ab,2) eq f(2ab,ab) eq f(（ab）24ab,2（ab）) eq f(a2b22ab,2（ab）) eq f(（ab）2,2（ab）) 0，所以乙的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算用不

10、等式解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟(1)確定制約著決策優(yōu)化的關(guān)鍵量是哪一個(gè)；(2)確定在各種決策下該量分別是多少；(3)用作差法(或其他方法)比較它們的大小即可某種商品計(jì)劃提價(jià)，現(xiàn)有四種方案：方案(1)先提價(jià)m%，再提價(jià)n%；方案(2)先提價(jià)n%，再提價(jià)m%；方案(3)分兩次提價(jià)，每次提價(jià) eq f(mn,2) %；方案(4)一次性提價(jià)(mn)%.已知mn0，那么四種提價(jià)方案中，提價(jià)最多的是哪種方案？【解析】依題意，設(shè)單價(jià)為1，那么方案(1)提價(jià)后的價(jià)格是(1 eq f(m,100) )(1 eq f(n,100) )1 eq f(mn,100) eq f(mn,10 000) ，方案(2)提價(jià)后的價(jià)格是(1 eq f(n,100) )(1 eq f(m,100) )1 eq f(mn,100) eq f(mn,10 000) ，方案(3)提價(jià)后的價(jià)格是(1 eq f(mn,200) )21 eq f(mn,100) eq f(（mn）2,40 000) ，方案(4)提價(jià)后的價(jià)格是1 eq f(mn,100) ，所以提價(jià)最少的是方案(4)，方案(1)和方案(2)提價(jià)后的價(jià)格是一樣的，只需比較 eq f(mn,10 000) 與 eq f(（mn）2,40 000) 的大小即可因?yàn)?/p>