北師大版（新）九上-2.2 用配方法求解一元二次方程【優(yōu)質(zhì)教案】

1、班海數(shù)學(xué)精批一本可精細(xì)批改的教輔2.2 用配方法求解一元二次方程 直接開平方法教學(xué)內(nèi)容運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程教學(xué)目標(biāo)知識與技能理解一元二次方程“降次”轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題過程與方法提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程情感態(tài)度與價值觀歷由事實(shí)問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程,使同學(xué)們體會到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型;經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程

2、,使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景,使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重、難點(diǎn) 1重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領(lǐng)會降次轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想 2難點(diǎn)：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列各題問題1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2問題2如圖，在ABC中，B=90，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的

3、速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？老師點(diǎn)評：問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2問題2：設(shè)x秒后PBQ的面積等于8cm2則PB=x，BQ=2x依題意，得：x2x=8 x2=8根據(jù)平方根的意義，得x=2即x1=2，x2=-2可以驗證，2和-2都是方程x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負(fù)值所以2秒后PBQ的面積等于8cm2二、探索新知上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能

4、否也用直接開平方的方法求解呢？（學(xué)生分組討論）老師點(diǎn)評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=2即2t+1=2，2t+1=-2方程的兩根為t1=-，t2=-例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1解：由已知，得：（x+2）2=1直接開平方，得：x+2=1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3例2市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10 x=10（1+x）；二年后人均

5、住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，則：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接開平方，得1+x=1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%（學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？共同特點(diǎn)：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”三、鞏固練習(xí)教材P6練習(xí)四、應(yīng)用拓展例3某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一

6、季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當(dāng)成一個數(shù)，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1因為增長率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=轉(zhuǎn)化

7、為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的六、布置作業(yè) 1教材P16復(fù)習(xí)鞏固1 2選用作業(yè)設(shè)計: 配方法教學(xué)內(nèi)容間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程教學(xué)目標(biāo)知識與技能理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題過程與方法通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟重難點(diǎn) 1重點(diǎn)：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟 2難點(diǎn)：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活

8、動）請同學(xué)們解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老師點(diǎn)評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二個問題的方程并回答：（1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調(diào)皮，告我總數(shù)共多少，兩隊猴子在一起”大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數(shù)是猴子總

9、數(shù)的的平方，另一隊猴子數(shù)是12，那么猴子總數(shù)是多少？你能解決這個問題嗎？問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？老師點(diǎn)評：問題1：設(shè)總共有x只猴子，根據(jù)題意，得： x=（x）2+12整理得：x2-64x+768=0問題2：設(shè)道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有（2）不能既然不能直接降次解方程，那么，我

10、們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉(zhuǎn)化：x2-64x+768=0 移項 x=2-64x=-768兩邊加（）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2-64x+322=-768+1024 左邊寫成平方形式（x-32）2=256 降次x-32=16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程x1=48，x2=16可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子學(xué)生活動：例1按以上的方程完成x2-36x+70=0的解題老師點(diǎn)評：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=，x-18=或x-

11、18=-，x134，x22可以驗證x134，x22都是原方程的根，但x34不合題意，所以道路的寬應(yīng)為2例2解下列關(guān)于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5可以，驗證x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的兩根（2）x2-2x-=0 x2-2x=x2-2x+12=+1 （x-1）2= x-1=即x-1=，x-1=- x1=1+，x2=1-可以驗

12、證：x1=1+，x2=1-都是方程的根三、鞏固練習(xí)教材P6探究改為課堂練習(xí)，并說明理由教材P39練習(xí)1 、2（1）、（2）四、應(yīng)用拓展例3如圖，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，點(diǎn)P、Q同時由A，B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半分析：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半，PCQ也是直角三角形根據(jù)已知列出等式解：設(shè)x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半根據(jù)題意，得：（8-x）（6-x）=86整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去所以2秒后PC