宇宙的基本形式-圓錐曲線的那些鮮為人知的故事

1、宇宙的基本形式圓錐曲線的那些鮮為人知的故事1、圓錐曲線是什么？相信高中學(xué)生都能知道：橢圓，雙曲線和拋物線通稱為“圓錐曲線”。圓錐曲線（二次曲線）的統(tǒng)一定義為：到定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到定直線（準(zhǔn)線）的距離的商是常數(shù)e（離心率）的點(diǎn)的軌跡。當(dāng)e1時(shí)，為雙曲線的一支，當(dāng)e=1時(shí)，為拋物線，當(dāng)0e1時(shí)，為橢圓，當(dāng)e=0時(shí)，橢圓退化為圓（此時(shí)可認(rèn)為定點(diǎn)（焦點(diǎn)）為圓心，定直線（準(zhǔn)線）為無(wú)窮遠(yuǎn)直線），而且知道相對(duì)的方程式是二元二次方程式。那就納悶了，這樣的一些曲線為什么叫圓錐曲線?難道與圓錐有關(guān)？還真是。這要從2000多年前的古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（ApolloniusofPerga，約公元前262190

2、年）談起。3、阿波羅尼奧斯“數(shù)學(xué)三杰”之一阿波羅尼奧斯阿波羅尼奧斯常和歐幾里得、阿基米德合稱為亞歷山大時(shí)期的“數(shù)學(xué)三杰”。阿波羅尼奧斯年青時(shí)到亞歷山大跟隨歐幾里得的后繼者學(xué)習(xí)。阿波羅尼奧斯總結(jié)了前人（柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線）的工作，尤其是歐幾里得的工作，寫(xiě)了一部經(jīng)典巨著圓錐曲線論，一共8大卷，共487個(gè)命題，前4卷的希臘文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下來(lái)，最后一*津Ak一卷遺失。阿波羅尼奧斯在其著作中使用純幾何方法將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎不給后人留有任何研究的余地，堪稱希臘幾何的最高水平。（與歐幾里得的幾何原本同被譽(yù)為古代希臘幾何的登峰造極之作。）我們

3、很難想象，在沒(méi)有現(xiàn)代代數(shù)符號(hào)的情況下，他是如何發(fā)現(xiàn)并證明百條優(yōu)美而深?yuàn)W的定理的。不愧是“數(shù)學(xué)三杰”之一！阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來(lái)研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行于圓錐的軸的平面截取，可得到雙曲線的一支（把圓錐面換成相應(yīng)的二次錐面時(shí)，則可得到雙曲線。他曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。rSB霸圓（ellipse）拋物繪(parabola雙曲線hy(直到1800年之后的17世紀(jì)天才人物B.帕斯卡(Pascal,16231662)的出現(xiàn)，圓

4、錐曲線的研究才開(kāi)始有了突破。天才少年帕斯卡17歲寫(xiě)成的圓錐曲線論8頁(yè)論文。在文中得出了一些特殊的結(jié)論?？芍^別開(kāi)生面。文中包含了三條定義，三個(gè)引理和一些定理。其中一個(gè)定理被認(rèn)為是射影幾何上最重要的定理。帕斯卡定理“圓錐曲線的內(nèi)接六邊形，延長(zhǎng)相對(duì)的邊得到三個(gè)交點(diǎn)，這三點(diǎn)必共線”。該定理命名為帕斯卡定理，定理中的六邊形叫做“神秘六邊形”。而當(dāng)法國(guó)另外兩位數(shù)學(xué)家R.笛卡兒(Descartes)和費(fèi)馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了一個(gè)新階段，對(duì)圓錐曲線的研究方法既不同于阿波羅尼奧斯的幾何法，又不同于投射和截影法，而是朝著解析法的方向發(fā)展，即通過(guò)建立坐標(biāo)系，得到圓錐曲線的方程，進(jìn)而利用方程來(lái)研

5、究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達(dá)到抽象化的目標(biāo)，也可求得對(duì)圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一。這也是我們現(xiàn)高中教材的主要編排思路。R.笛卡兒費(fèi)馬值得一提的是，由比利時(shí)數(shù)學(xué)家G.F.Dandelin1822年得出的冰淇淋定理證明了圓錐曲線幾何定義與焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義的等價(jià)性。真正將圓錐曲線的研究拉回生活，而不再是象牙塔里的抽象事物的，則是16世紀(jì)所發(fā)生的兩件事，促使了人們對(duì)圓錐曲線作進(jìn)一步研究。一是德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒(Kepler,15711630)繼承了哥白尼的日心說(shuō)，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)行的事實(shí)。我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的橢圓軌跡上運(yùn)行，太陽(yáng)系其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦

6、點(diǎn)上。如果這些行星運(yùn)行速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行。人類(lèi)發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵照這個(gè)原理。二是意大利物理學(xué)家伽利略(Galileo,15641642)得出物體斜拋運(yùn)動(dòng)的軌道是拋物線。我們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運(yùn)動(dòng)的普遍形式。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式。這個(gè)事情的發(fā)生本身就很是意思。沒(méi)有人知道純粹數(shù)學(xué)何時(shí)能得到意外應(yīng)用。正如WilliamWhewell(首創(chuàng)科學(xué)家一詞)所說(shuō)：假如希臘人不應(yīng)用圓錐曲線，開(kāi)普勒就不可能取代托勒密。有趣的是，希臘人運(yùn)用圓錐曲線只是為了他們對(duì)知識(shí)的渴望，而在1800年后，它

7、們竟發(fā)揮作用如此重要的實(shí)際作用。有關(guān)圓錐曲線的那些趣事圓錐曲線的燈光構(gòu)造法手電筒射出來(lái)的光束，圓形燈罩里的臺(tái)燈照出來(lái)的光束，天花板上的筒燈里照出來(lái)的光束，可以視為圓錐形。光束照到墻上，就好比用平面(墻)去截圓錐，光照到的亮處與沒(méi)有照到的地方的暗處的分界線就是平面與圓錐的交線，就是圓錐曲線。調(diào)整手電筒照射的方向，可以得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線。臺(tái)燈和筒燈照出來(lái)的圓錐形光束的軸基本上與墻平行，得到的交線是雙曲線的一支。橢圓的作圖法【定義作圖法】我們常用的最簡(jiǎn)單實(shí)用的方法，就是依據(jù)“平面內(nèi)到定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡”。（這是1579年蒙蒂（Guidobal

8、dodelMonte,15451607）給出的橢圓定義）當(dāng)然，市面上流行的橢圓規(guī)也別具一格。橢圓的性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線或者聲波在經(jīng)過(guò)橢圓周上反射之后，反射都經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)。（最早提出焦點(diǎn)概念的正是開(kāi)普勒）拋物線的性質(zhì)由拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn)，可得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)物面的曲面。它也有一條軸，即拋物線的軸。在這個(gè)軸上有一個(gè)具有奇妙性質(zhì)的焦點(diǎn)，任何一條過(guò)焦點(diǎn)的直線由拋物面反射出來(lái)以后，都成為平行于軸的直線。這就是我們?yōu)槭裁匆烟秸諢舴垂忡R做成旋轉(zhuǎn)拋物面的道理。據(jù)說(shuō)，“數(shù)學(xué)之神”阿基米德就曾利用銅鏡燒了敵人船只。這大概是夸張的說(shuō)法。不過(guò)當(dāng)時(shí)阿基米德確實(shí)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)拋物面反射鏡能夠聚焦的性質(zhì)。雙曲線的

9、性質(zhì)一根直桿怎么能從彎曲的洞中穿過(guò)?原來(lái)這彎曲的洞是雙曲線的一支。把這個(gè)曲線繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)曲面，叫做單葉雙曲面。有意思的是，這條雙曲線是一種直紋曲面。它是可以由一條條直線所織成的。比如圓柱面、圓錐面都是直紋曲面。單葉雙曲面也是如此，只不過(guò)它上面的直線看起來(lái)不是那么顯而易見(jiàn)，這些直線是傾斜的。這就是上面那根桿是斜著的才能穿過(guò)的原因。單葉雙曲面還有一個(gè)神奇的地方：通過(guò)它上面的每一個(gè)點(diǎn)，都有兩條直線在曲面上。單葉雙曲面作為一種直紋面，在現(xiàn)代建筑設(shè)計(jì)中也已屬常見(jiàn)。日本神戶港塔、各種冷卻塔、廣州電視塔、圣路易斯科學(xué)中心天文館、巴西利亞大教堂、在德國(guó)黑默爾本的木制瞭望塔、還有上海世博沙特館等。這樣的體形既輕巧又堅(jiān)固。悲傷的雙曲線王淵超于1995年讀高中時(shí)創(chuàng)作了這首歌曲。據(jù)說(shuō)，創(chuàng)作的靈感正是來(lái)源于一堂解析幾何課，當(dāng)時(shí)老師正在論證講解“雙曲線與漸近線只能無(wú)限接近不能達(dá)到”，而正是這點(diǎn)給王淵超帶來(lái)了創(chuàng)作動(dòng)機(jī)，并在筆記本上把歌詞一揮而就。歌詞music如果我是雙曲線，恩你就是那漸近線如果我是反比例函數(shù)，你就是那坐標(biāo)軸雖然我們有緣，能夠生在同一個(gè)平面然而我們又無(wú)緣，恩慢慢長(zhǎng)路無(wú)交點(diǎn)為何看不見(jiàn)，等式成立要條件難到正如書(shū)上說(shuō)的，無(wú)限接近不能達(dá)到如果我是雙曲線，恩你就是那漸近線如果我是