2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題33幾何綜合壓軸問題(解析版)

1、2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：專題33幾何綜合壓軸問題一、解答題（1湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，BAC90點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到AG，連接GC，HB（1）證明：AHBAGC；（2）如圖2，連接GF，HC，AF交AF于點Q證明：在點H的運動過程中，總有HFG90；若ABAC4，當(dāng)EH的長度為多少時，AQG為等腰三角形？【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；當(dāng)EH的長度為2或2時，AQG為等腰三角形【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG，HAG=90，從而得BAH=C

2、AG，進而即可得到結(jié)論；（2）由AHBAGC，得AH=AG，再證明AEHAFG，進而即可得到結(jié)論；AQG為等腰（三角形，分3種情況：a）當(dāng)QAG=QGA=45時，b）當(dāng)GAQ=GQA=67.5時，c）當(dāng)AQG=AGQ=45時，分別畫出圖形求解，即可【詳解】解：（1）線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到AG，AH=AG，HAG=90，在等腰直角三角形ABC中，BAC90，AB=AC，BAH=90-CAH=CAG，AHBAGC；第1頁共127頁EH=1（2）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，AE=AF，AEF是等腰直角三角形，AH=AG，BAH=CAG，AEHA

3、FG，AEH=AFG=45，HFG=AFG+AFE=45+45=90，即：HFG90；ABAC4，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，AE=AF=2，AGH=45，AQG為等腰三角形，分3種情況：（a）當(dāng)QAG=QGA=45時，如圖，則HAF=90-45=45，AH平分EAF，點H是EF的中點，1AE2AF222222；22（b）當(dāng)GAQ=GQA=（180-45）2=67.5時，如圖，則EAH=GAQ=67.5，EHA=180-45-67.5=67.5，EHA=EAH，EH=EA=2；第2頁共127頁（c）當(dāng)AQG=AGQ=45時，點H與點F重合，不符合題意，舍去，綜上所述：當(dāng)EH的長度為2或2時

4、，AQG為等腰三角形【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進行分類討論，是解題的關(guān)鍵（22021湖北中考真題）問題提出如圖（1），在ABC和DEC中，ACBDCE90，BCAC，ECDC，點E在ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F，線段AF，BF，CF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究（1）先將問題特殊化如圖（2），當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系；（2）再探究一般情形如圖（1），當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立問題拓展如圖（3），在ABC和DEC中

5、，ACBDCE90，BCkAC，ECkDC（k是常數(shù)），點E在ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F，直接寫出一個等式，表示線段AF，BF，CF之間的數(shù)量關(guān)系第3頁共127頁【答案】（1）BFAF（2CF2）見解析；問題拓展：BFkAF1k2CF【分析】（1）先證明BCEACD,得到AF=BE，BF-BE=BF-AF=EF=2CF；（2）過點C作CGCF交BE于點G，證明ACDBCE，ACFBCG，CGF是等腰直角三角形即可；利用前面的方法變?nèi)葹橄嗨谱C明即可【詳解】問題探究（1）BFAF，2CF理由如下：如圖（2）BCA=ECF=90，BCE=ACF，BC=AC，EC=CF，BCEACF，BE=

6、AF，BF-BE=BF-AF=EF=2CF；（2）證明：過點C作CGCF交BE于點G，則FCGACB90，第4頁共127頁BCGACFACBDCE90，BCEACD又ACBC，DCEC，ACDBCE，CAFCBGACFBCGAFBG，CFCG，CGF是等腰直角三角形GF2CFBFAFBFBGGF2CF問題拓展BFkAF1k2CF理由如下：BCA=ECD=90，BCE=ACD，BC=kAC，EC=kCD，BCEACD，EBC=FAC，過點C作CMCF交BE于點M，則FCMACB90，第5頁共127頁BCMACFBCMACF，BM:AF=BC:AC=MC:CF=k，BM=kAF,MC=kCF，BF

7、-BM=MF，MF=MC2CF2k2CF2CF2=1k2CFBF-kAF=1k2CF【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解題的關(guān)鍵3（2021浙江中考真題）（證明體驗）點（1）如圖1，AD為ABC的角平分線，ADC60，E在AB上，AEAC求證：DE平分ADB（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為AB上一點，連結(jié)FC交AD于點G若FBFC，DG2，CD3，求BD的長（拓展延伸）（3）如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD,BCA2DCA，點E在AC上，EDCA

8、BC若BC5,CD25,AD2AE，求AC的長【答案】（1）見解析；（2）916；（3）23【分析】（1）根據(jù)SAS證明EADeqoac(,)CAD，進而即可得到結(jié)論；（2）先證明EBDGCD，得BDDE，進而即可求解；CDDG第6頁共127頁得CDBD（3）在AB上取一點F，使得AFAD，連結(jié)CF，可得AFCADC，從而得DCEBCF，可CE,CEDBFC，CE4，最后證明EADDAC，即可求解BCCF【詳解】解：（1）AD平分BAC，EADCAD，AEAC,ADAD，EADCADSAS，ADEADC60，EDB180ADEADC60，BDEADE，即DE平分ADB；（2）FBFC，EBDG

9、CD，BDEGDC60，EBDGCD，DECDDGEADeqoac(,)CAD，DEDC3DG2，BD92；（3）如圖，在AB上取一點F，使得AFAD，連結(jié)CFAC平分BAD，F(xiàn)ACDAC第7頁共127頁CD,CEDBFCEAACAC，AFCADCSAS，CFCD,ACFACD,AFCADCACFBCFACB2ACD，DCEBCFEDCFBC，DCEBCF，CEBCCFBC5,CFCD25，CE4AED180CED180BFCAFCADC，又EADDAC，EADDACAD1，ADAC2AC4AE，AC416CE33【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線，

10、構(gòu)造全等三角形和相似三角形，是解題的關(guān)鍵（42021浙江中考真題）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BD為直徑，AD上存在點E，滿足AECD，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F，BE與AD交于點G第8頁共127頁（1）若DBC，請用含的代數(shù)式表列AGB（2）如圖2，連結(jié)CE,CEBG求證；EFDG（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)CG，AD2若tanADB3，求FGD的周長2求CG的最小值【答案】（1）AGB90；（2）見解析；（3）572；3【分析】（1）利用圓周角定理求得BAD90，再根據(jù)AECD，求得ABGDBC，即可得到答案；（2）由BECBDC90，得到BECAGB，從而推出CEFB

11、GD，證得CFEBDGASA，由此得到結(jié)論；（3）連結(jié)DE利用已知求出AB32AD3，證得DACE，得到BGAD2，利用RtABG，設(shè)GHx，得到CH222x，利用勾股定理得到CG2GH2CH2，求得中，根據(jù)正弦求出AGB60,AG1BG1，求出EF的長，再利用RtDEG中，EGD60，2求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；過點C作CHBF于H，證明BADCHFAAS，得到FHAD，證明BHCCHF，得到BHCHCHFHCG2x22(2x)(x1)23，利用函數(shù)的最值解答即可【詳解】第9頁共127頁解：（1）BD為O的直徑，BAD90，AECD，ABGDBC，AGB90（2）B

12、D為O的直徑，BCD90，BECBDC90，BECAGB，CEF180BEC,BGD180AGB，CEFBGD又CEBG,ECFGBD，CFEBDGASA，EFDG（3）如圖，連結(jié)DEBD為O的直徑，ABED90在RtABD中，tanADB3，AD2，2AB3AD32第10頁共127頁AECD，AEDECDDE，即DACE，ADCECEBG，BGAD2在RtABG中，sinAGBAB3BG2，AGB60,AG12BG1，EG1EFDGADAG1在RtDEG中，EGD60，133DG,DEDG2222在RtFED中，DFEF2DE272，F(xiàn)GDGDF572，F(xiàn)GD的周長為572如圖，過點C作CH

13、BF于HBDGCFE，第11頁共127頁BHBDCF,CFHBDABADCHF90，BADCHFAASFHAD，ADBG，F(xiàn)HBGBCF90，BCHHCF90BCHHBC90，HCFHBC，BHCCHF90，BHCCHF，CHCHFH設(shè)GHx，BH2x，CH222x在RtGHC中，CG2GH2CH2，CG2x22(2x)(x1)23，當(dāng)x1時，CG2的最小值為3，CG的最小值為3【點睛】此題考查圓周角的定理，弧、弦和圓心角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定，函數(shù)的最值問題，是一道綜合的幾何題型，綜合掌握各知識點是解題的關(guān)鍵5（2021浙江中考真題）在扇形AOB中

14、，半徑OA6，點P在OA上，連結(jié)PB，將OBP沿PB折疊得到OBP第12頁共127頁（1）如圖1，若O75，且BO與AB所在的圓相切于點B求APO的度數(shù)求AP的長（2）如圖2，BO與AB相交于點D，若點D為AB的中點，且PD/OB，求AB的長【答案】（1）60；626；（2）125【分析】(1)根據(jù)圖像折疊的性質(zhì)，確定角之間的關(guān)系，通過已知的角度來間接求所求角的角度；求AP的長，先連接OO，先在RtOBQ中，求出OQ；再在RtOPQ中，求出OP即可得到答案；（2）要求AB的長，扇形的半徑已知，就轉(zhuǎn)化成求AOB的度數(shù)，連接OO，通過條件找到角之間的等量關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180，建立等式求

15、出AOB，最后利用弧長的計算公式進行計算【詳解】解：（1）如圖1，BO為圓的切線OBO90由題意可得，OBPOBP45，OPBOPBOPB180BOPOBP180754560OPBOPB60APO60，如圖1，連結(jié)OO，交BP于點Q則有BPOO在eqoac(,Rt)OBQ中，OQOBsin4532在eqoac(,Rt)OPQ中，OPOQ26，sin60APOAOP626第13頁共127頁ABnR（2）如圖2連結(jié)OD設(shè)1a點D為AB的中點BDAD21aPD/OB321aPDPO由題意可得，POPO,OBOPPDPOPDOOBOP2a又PD/OB,OBOPDO2aOBOD,4OBO2a43PDO1

16、80，2aa2a180，解得a36AOB72726121801805【點睛】本題考查了求線段的長度和弧長的長度問題，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題目中的條件，找到邊角之間的等量關(guān)系，通過等量代換的思想間接求出所需要求的量（62021浙江中考真題）已知在ACD中，是CD的中點，B是AD延長線上的一點，連結(jié)BC,AP第14頁共127頁（1）如圖1，若ACB90,CAD60,BDAC,AP3，求BC的長（2）過點D作DE/AC，交AP延長線于點E，如圖2所示若CAD60,BDAC，求證：BC2AP（3）如圖3，若CAD45，是否存在實數(shù)m，當(dāng)BDmAC時，BC2AP？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明

17、理由【答案】（1）23；（2）見解析；（3）存在，m2【分析】（1）先解直角三角形ABC得出AB2AC，從而得出ADC是等邊三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的長，進而得出BC的長；（2）連結(jié)BE，先利用AAS證出CPADPE，得出AE=2PE，AC=DE，再得出ADC是等邊三角形，然后由SAS得出CABEBA，得出AE=BC即可得出結(jié)論；（3）過點D作DE/AC，交AP延長線于點E，連接BE，過C作CGAB于G，過E作ENAB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再證明AENBCG，從而得出CABEBA得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值【詳解】（1）解ACB90,CAD

18、60，ABAC2AC，cos60BDAC，ADAC，ADC是等邊三角形，ACD60是CD的中點，APCD，在RtAPC中，AP3，第15頁共127頁ACAP2，sin60BCACtan6023（2）證明：連結(jié)BE，DE/AC，CAPDEP，CPDP,CPADPE，CPADPEAAS，APEP1AE,DEAC，2BDAC，BDDE，又DE/AC，BDECAD60，BDE是等邊三角形，BDBE,EBD60BDAC，ACBE，又CABEBA60,ABBA，CABEBASAS，AEBC，BC2AP（3）存在這樣的m,m2過點D作DE/AC，交AP延長線于點E，連接BE，過C作CGAB于G，過E作ENA

19、B于N，則BDECAD45，CGACsin45，ENDEsin45第16頁共127頁由（2）得AE=2AP，DE=AC，CG=EN，BC2AP，AE=BC，ANE=BGC=90，AENBCG，EAN=CBGAE=BC，AB=BA，CABEBAAC=BE，DE=BE，EDB=EBD=45，DEB=90，BD2AC，BDmACm2【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是合理添加輔助線，有一定的難度（72021安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，ABCBCD，點E在邊BC上，且AE/CD，DE/AB，作CF/

20、AD交線段AE于點F，連接BF（1）求證：ABFEAD；（2）如圖2，若AB9，CD5，ECFAED，求BE的長；（3）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求BEEC的值第17頁共127頁（3）延長BM、ED交于點G易證ABEDCE，可得AB【答案】（1）見解析；（2）6；（3）12【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證ABEAEB，DCEDEC，即可得ABAE，DEDC；再證四邊形AFCD是平行四邊形即可得AFCD，所以AFDE，根據(jù)SAS即可證得ABFEAD；（2）證明EBFEAB，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；AEBE；設(shè)CE1，BEx，DCDECEDCDEa，由此可得ABAE

21、ax，AFCDa；再證明MABMDG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DGABax證明FABFEG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得aaxBE，解方程求得x的值，繼而求得的值a(x1)a(x1)EC【詳解】（1）證明：AE/CD，AEBDCE；DE/AB，ABEDEC，12，ABCBCD，ABEAEB，DCEDEC，ABAE，DEDC，AF/CD，AD/CF，四邊形AFCD是平行四邊形AFCD第18頁共127頁FAAB，即FEEG12，AFEDAFDE在ABF與EAD中ABEAABFEAD(SAS)（2）ABFEAD，BFAD，在AFCD中，ADCF，BFCF，F(xiàn)BCFCB，又FCB2，21，F(xiàn)BC1，在EB

22、F與EAB中BEFAEBEBF1，EBFEAB；EAEBEFEB；AB9，AE9；CD5，第19頁共127頁EBAF5；EF4，4，9EB；BE6或6（舍）（3）延長BM、ED交于點GAB45，MAMDABE與DCE均為等腰三角形，ABCDCE，eqoac(,?)ABEDCE，AEBE，DCDECE設(shè)CE1，BEx，DCDEa，則ABAEax，AFCDa，EFa(x1)，AB/DG，3G；在MAB與MDG中，3GMABMDG(AAS)；DGABax第20頁共127頁EGa(x1)；AB/EG，F(xiàn)ABFEG，F(xiàn)AAB，F(xiàn)EEGaax，a(x1)a(x1)x(x1)x1，x22x10，(x1)22

23、，x12，x12（舍）x12，12BE12EC【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵8（2021四川中考真題）在等腰ABC中，ABAC，點D是BC邊上一點（不與點B、C重合），連結(jié)AD（1）如圖1，若C60，點D關(guān)于直線AB的對稱點為點E，結(jié)AE，DE，則BDE_；（2）若C60，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60得到線段AE，連結(jié)BE在圖2中補全圖形；第21頁共127頁探究CD與BE的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若ABADk，且ADEC，試探究BE、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證BCDE明【答案】（1）3

24、0；（2）見解析；CDBE；見解析；（3）ACk(BDBE)，見解析【分析】（1）先根據(jù)題意得出ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可（2）按要求補全圖即可先根據(jù)已知條件證明ABC是等邊三角形，再證明AEBADC，即可得出CDBE，再證明ACBeqoac(,)ADE，得出BACEAD，從而證明AEBADC，（3）先證明ACBCADDE得出BDBEBC，從而證明ACk(BDBE)【詳解】解：（1）ABAC，C60ABC是等邊三角形B=60點D關(guān)于直線AB的對稱點為點EABDE，BDE30故答案為：30；（2）補全圖如圖2所示；CD與BE的數(shù)量關(guān)系為：CDBE；證明：ABAC，BAC60A

25、BC為正三角形，又AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60，第22頁共127頁ADAE，EAD60，BADDAC60，BADBAE60，BAEDAC，AEBADC，CDBE（3）連接AEABADACADk，ABAC，BCDEBCDEACBCADDE又ADEC，ACBADE，BACEADABAC，AEAD，BADDACBADBAE，DACBAE，AEBADC，CDBEBDDCBC，BDBEBC又ACk，BCACk(BDBE)【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點9（2021山東中考真題）如圖1，O為半圓的圓心，C

26、、D為半圓上的兩點，且BDCD連接AC并延第23頁共127頁長，與BD的延長線相交于點E（1）求證：CDED；（2）AD與OC，BC分別交于點F，H若CFCH，如圖2，求證：CFAFFOAH；若圓的半徑為2，BD1，如圖3，求AC的值【答案】（1）見解析；（2）見解析；AC72【分析】（1）連接BC，根據(jù)ACBBCE90，ECDBCD90且BDCD，則EECD，即可推導(dǎo)出CDED；（2）CFCH，則AFOCHF，又BDCD，CADBAD，則AFOAHC，進而推導(dǎo)出CFAFFOAH；連接OD交BC于G，設(shè)OGx，則DG2x，根據(jù)在eqoac(,Rt)OGB和eqoac(,Rt)BGD中列式22x

27、212(2x)2，進而求得x的值，再根據(jù)中位線定理求出AC的長【詳解】證明：（1）連接BC，AB為直徑ACBBCE90ECDBCD90BDCDEBCBCDEECDCDED第24頁共127頁（2）CFCHCFHCHF又AFOCFHAFOCHF又BDCDCADBADAFOAHCAFAFAHAHOFCHOFCFCFAFOFAH連接OD交BC于G設(shè)OGx，則DG2xCDBDCODBOD又OCOBODBC，CGBG在eqoac(,Rt)OGB和eqoac(,Rt)BGD中第25頁共127頁x722x212(2x)27即OG44OAOBOG是ABC的中位線OG12AC7AC2【點睛】本題考查了等弧對等角、

28、相似三角形、等腰三角形、中位線等有關(guān)知識點，屬于綜合題型，借助輔助線是解決這類問題的關(guān)鍵10（2021江蘇中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動（1）ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點，且AE1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖1，求CF的長；（2）ABC是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個動點，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個動點，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；第26頁共

29、127頁（4）正方形ABCD的邊長為3，E是邊CB上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形BFGH，其中點F、G都在直線AE上，如圖4，當(dāng)點E到達點B時，點F、G、H與點B重合則點H所經(jīng)過的路徑長為_，點G所經(jīng)過的路徑長為_【答案】（1）1；（2）3；（3）33323；（4）；244【分析】（1）由ABC、BEF是等邊三角形，BABC，BEBF，ABECBF，可證ABECBF即可；（2）連接CF，ABC、BEF是等邊三角形，可證ABECBF，可得BCFABC，又點E在C處時，CFAC，點E在A處時，點F與C重合可得點F運動的路徑的長AC3；（3）取BC中點H，連接H

30、N，由ABC、BMN是等邊三角形，可證DBMHBN，可得NHBC又點M在C處時，HNCD332，點M在D處時，點N與H重合可求點N所經(jīng)過的路徑的長CD323；（4）連接CG,AC，OB，由CGA=90，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的BC上運動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2BO2BC2即，可求x322，點G所經(jīng)過，點H所經(jīng)過的路徑長為BN的長的路徑長為BC長=32434【詳解】解:（1）ABC、BEF是等邊三角形，第27頁共127頁BABC，BEBF，ABCEBF60ABECBECBFCBE，ABECBF，ABECBF，CFAE1；（2）連接CF，AB

31、C、BEF是等邊三角形，BABC，BEBF，ABCEBF60ABECBECBFCBE，ABECBF，ABECBF，CFAE，BCFBAE60，ABC60，BCFABC，CF/AB，又點E在C處時，CFAC，點E在A處時，點F與C重合點F運動的路徑的長AC3；（3）取BC中點H，連接HN，BH12BC，BH12AB，CDAB，BD12AB，第28頁共127頁BHBD，ABC、BMN是等邊三角形，BMBN，ABCMBN60，DBMMBHHBNMBH，DBMHBN，DBMHBN，HNDM，BHNBDM90，NHBC，又點M在C處時，HNCD33，點M在D處時，點N與H重合，2點N所經(jīng)過的路徑的長CD

32、323；（4）連接CG,AC，OB，CGA=90，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的BC上運動，四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，COB=90，設(shè)OC=x，由勾股定理CO2BO2BC2即x2x232，x322，第29頁共127頁22點G所經(jīng)過的路徑長為BC長=1432324，點H在以BC中點為圓心，BC長為直徑的弧BN上運動，點H所經(jīng)過的路徑長為BN的長度，點G運動圓周的四分之一，點H也運動圓周的四分一，點H所經(jīng)過的路徑長為BN的長=1332，424故答案為；32344【點睛本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式，掌握等邊三角形的性質(zhì)

33、，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90圓周角所對弦是直徑，圓的弧長公式是解題關(guān)鍵11（2021吉林中考真題）實踐與探究操作一：如圖，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則EAF度操作二：如圖，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點E的位置不同時，點N的位置也不同當(dāng)點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則AEF度在圖中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：第30頁共127頁（1）設(shè)AM與NF的交點為點P求證ANPeqoac

34、(,)FNE：（2）若AB3，則線段AP的長為【答案】操作一：45，操作二：60；（1）證明見解析；（2）232【分析】操作一：直接利用折疊的性質(zhì)，得出兩組全等三角形，從而得出BAEEAM,MAF得出EAF的值；FAD,從而操作二：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出ABE可求得AEF的度數(shù)；（1）首先利用AEF60,得出NAPAME,CEFNEF,從而得出BEAAEFFEC，即30,PAF15,則NAF45,從而得出ANF為等腰直角三角形，即可證得ANPFNE；（2）利用三角函數(shù)或者勾股定理求出BE的長，則BEEM,設(shè)DF=x，那么FC=3x，在RtEFC中，利用勾股定理得出DF的長，也就是MF的長，即可求得

35、EF的長，進而可得結(jié)果【詳解】操作一：45，證明如下：ABE折疊得到AME,ADF折疊得到AMF,ABEAME,ADFAMF,BAEMAE12BAM,MAFDAF1MAD,2EAFEAM1MAFBAM211MAD(BAM22MAD)第31頁共127頁19045,2故填：45；操作二：60，證明如下：ABEBEAAME，AEM,又CEF沿著EF折疊得到ENF,360,CEFNEFBEA故填：60；（1）證明：NEF，F(xiàn)EC,AEFFEC1BEC由上述證明得CEFNEF,NECCEF60,NFECFE,CENF四邊形ABCD為正方形，C=D=90，CFE又ADFNFE30,ENFANF90,AMF

36、,DAMF90,在ANP和PMF中，ANPPMF90,NPAMPF,NAPBAEMFPNAP30,30,MAFNAFFAD15，NAPPAF301545,ANF為等腰直角三角形，即AN=NF,在ANP和FNE中：第32頁共127頁ANNFANPENFNAPNFEANPFNE(ASA)（2）由題可知ABE是直角三角形，BAE30,tanBAEBEABBE333,解得BE=1,BE=EM=1,EC31,設(shè)DF=x，則MF=x，CF=3x，在RtCEF中，CE2CF2EF2(31)2(3x)2(1x)2，解得x=233，則EFx1232，ANPFNE(ASA)AP=EF=232【點睛】本題考查正方形

37、的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用折疊的性質(zhì)，找出全等三角形12（2021湖南中考真題）如圖，在ABC中，ABAC，N是BC邊上的一點，D為AN的中點，過點A作BC的平行線交CD的延長線于T，且ATBN，連接BT第33頁共127頁（1）求證：BNCN；（2）在如圖中AN上取一點O，使AOOC，作N關(guān)于邊AC的對稱點M，連接MT、MO、OC、OT、CM得如圖求證：TOMAOC；設(shè)TM與AC相交于點P，求證：PD/CM,PD12CM【答案】(1)見解析；(2)見解析，見解析【分析】（1）先用AT/BN，且ATBN證明出四邊形ATBN是平行四邊形，得到TADCND，

38、用對應(yīng)邊相等與等量代換，從而得出結(jié)論（2）連接AM、MN，利用矩形的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì)，證明出OCM是直角三角形，證明出RtOATRtOCM，得到對應(yīng)角相等，則得到答案；連接OP，由中TOMAOC，得到OTM=OAP，點O、T、A、P共圓，由直徑所對的圓周角為直角，證明出OPT=90，再根據(jù)等腰三角形的三線合一性得出結(jié)論【詳解】證明：（1）AT/BC，且ATBNAT/BN，且ATBN，四邊形ATBN是平行四邊形，AN/TB，DTA=DCN，ADT=NDC，點D為AN的中點，AD=ND，TADCND（AAS）第34頁共127頁TA=CN，ATBN，BN=CN，（2）如圖所示，連接AM、MN，

39、點N關(guān)于邊AC的對稱點為M，ANCAMC，ACN=ACM，AB=AC，點N為AC的中點，平行四邊形ATBN是矩形，TAB=ABN=ACN=ACM，BAN=MAC=CAN，AT=BN=NC=MC，OA=OC，CAN=ACO，TAB+BAN=ACM+ACO=90，OAT=OCM=90，在RtOAT和RtOCM中，AT=CM，OAT=OCM，OA=OC，RtOATRtOCM（SAS），AOT=COM，OT=OM，AOT+AOM=COM+AOM，TOM=AOCOA=OC，OT=OM，OTOM=OAOC，TOMAOC；第35頁共127頁如圖所示，連接OP，TOMAOC，OTM=OAP，點O、T、A、P共

40、圓，OAT=90，OT為圓的直徑，OPT=90，OT=OM，點P為TM的中點，由（1）得TADCND，TD=CD，點D為TC的中點，DP為TCM的中位線，PD/CM,PD12CM【點睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、以及相似三角形的判定與性質(zhì)、圓中直徑的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過等量代換，換出角相等，證明出直角三角形全等，再證明三角形相似13（2021浙江臺州市中考真題）如圖，BD是半徑為3的O的一條弦，BD42，點A是O上的一個動點（不與點B，D重合），以A，B，D為頂點作平行四邊形ABCD第36頁共127頁（1）如圖2，若點A是劣弧BD的中點求證：平行四

41、邊形ABCD是菱形；求平行四邊形ABCD的面積（2）若點A運動到優(yōu)弧BD上，且平行四邊形ABCD有一邊與O相切求AB的長；直接寫出平行四邊形ABCD對角線所夾銳角的正切值【答案】證明見解析；82；（2）AB的長為882或42；352【分析】（1）利用等弧所對的弦相等可得ADAB，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得證；連接AO，交BD于點E，連接OD，根據(jù)垂徑定理可得DEBE22，利用勾股定理求出OE的長，即可求解；（2）分情況討論當(dāng)CD與O相切時、當(dāng)BC與O相切時，利用垂徑定理即可求解；根據(jù)等面積法求出AH的長度，利用勾股定理求出DH的長度，根據(jù)正切的定義即可求解【詳解】解：（1）點A是劣

42、弧BD的中點，ADAB，ADAB，四邊形ABCD是平行四邊形，平行四邊形ABCD是菱形；連接AO，交BD于點E，連接OD，第37頁共127頁，點A是劣弧BD的中點，OA為半徑，OABD，OA平分BD，DEBE22，平行四邊形ABCD是菱形，E為兩對角線的交點，在eqoac(,Rt)ODE中，OEOD2DE21,AE2，S2ABCD1BDAE282；（2）如圖，當(dāng)CD與O相切時，連接DO并延長，交AB于點F，CD與O相切，DFCD，AB2BF，四邊形ABCD是平行四邊形，第38頁共127頁AB/CD，DFAB，在eqoac(,Rt)BDF中，BF2BD2DF232OF32，在RtBOF中，BF2

43、BO2OF29OF2，32OF329OF2，解得OF，73BF432，8AB2BF2；3如圖，當(dāng)BC與O相切時，連接BO并延長，交AD于點G，同理可得AGDG432，OG7，3所以ABBG2AG242,綜上所述，AB的長為832或42；過點A作AHBD，第39頁共127頁，由（2）得：BD42,AD87162,BG3,33311根據(jù)等面積法可得BDAHADBG，2232解得AH，9在在RtADH中，DHAD2AH2892，810HI2222，99AH8tanAIH2HI5【點睛】本題考查垂徑定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵（142021青海中考真

44、題）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60,30,15等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖13-1）第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖13-2）猜想論證：第40頁共127頁（1）若延長MN交BC于點P，如圖13-3所示，試判定BMP的形狀，并證明你的結(jié)論拓展探究：（2）在圖13-3中，若ABa，BCb，當(dāng)a，b滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片ABCD中剪出符（1）中的等邊三角形BMP？【答案】(1)BMP是等邊

45、三角形，理由見解析；（2）a32b，理由見解析【分析】（1）連接AN，由折疊性質(zhì)可得ABN是等邊三角形，PBN30，ABMNBM30，然后可得到MBPBMP60，即可判定BMP是等邊三角形（2）由折疊可知BCBP，由（1）可知BPBM，利用30的三角函數(shù)即可求得【詳解】（1）解：BMP是等邊三角形，證明如下：連接AN由折疊可知：ABBN，EF垂直平分ABANBN，ANABBN，ABN為等邊三角形，ABN60，PBN30，ABMNBM30，BNMBAM90，BMP60，MBPBMPBPM60，BMP是等邊三角形（2）解：方法一：要在矩形紙片ABCD上剪出等邊BMP，則BCBP，第41頁共127頁

46、BPab23在eqoac(,Rt)BNP中，BNBAa，PBN30，23a，cos303BCBP，3a，即ab，32當(dāng)a323b或（ba）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊BMP23方法二：要在矩形紙片ABCD上剪出等邊BMP，則BCBP，在eqoac(,Rt)BNP中，NBP30，BNABa，設(shè)NPx，則BP2x，b23BP2NP2BN2，即2x2x2a2，得xBP23a，3BCBP，3a，即ab，3233a，當(dāng)a323b（或ba）時，在矩形紙片上能剪出這樣的等邊BMP23【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，正確理解折疊性質(zhì)靈活運用三角函數(shù)解直角三角形是解本題的關(guān)鍵（15202

47、1海南中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，且點E不與點B、C重合，點F是BA的延長線上一點，且AFCE第42頁共127頁（1）求證：DCEDAF；（2）如圖2，連接EF，交AD于點K，過點D作DHEF，垂足為H，延長DH交BF于點G，連接HB,HC求證：HDHB；若DKHC2，求HE的長【答案】（1）見解析；（2）見解析；HE1【分析】（1）直接根據(jù)SAS證明即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果及題意，證明DFE為等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線即可證明HDHB；根據(jù)已知條件，先證明DCHBCH，再證明DKFHEC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出HE的長【詳解】（

48、1）證明：四邊形ABCD是正方形，CDAD,DCEDAF90又CEAF，DCEDAF（2）證明；由（1）得DCEDAF，DEDF,CDEADFFDEADFADECDEADEADC90DFE為等腰直角三角形又DHEF，點H為EF的中點HD1EF2同理，由HB是eqoac(,Rt)EBF斜邊上的中線得，第43頁共127頁DKHB1EF2HDHB四邊形ABCD是正方形，CDCB又HDHB,CHCH，DCHBCHDCHBCH45又DEF為等腰直角三角形，DFE45HCEDFK四邊形ABCD是正方形，AD/BCDKFHECDKFHECDFHEHCDKHCDFHE又在等腰直角三角形DFH中，DF2HF2H

49、EDKHCDFHE2HE22HE1【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵16（2021甘肅中考真題）問題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點E,F分別在AB,BC邊上，DEAF,DEAF于點G第44頁共127頁（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點H，使得BHAE，判斷AHF的形狀，并說明理由類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點E,F分別在AB,BC邊上，DE與AF相交于點G，DEAF,AED60,AE6,BF2，求DE的長【答案】問題解決：（1）見解

50、析；（2）等腰三角形，理由見解析；類比遷移：8【分析】（問題解決：1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可結(jié)合DEAF和DAE90可知BAFADG，再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明ABFDAE，即ABAD，即可求解；（2）由（1）中結(jié)論可知AEBF，再結(jié)合已知BHAE，即可證明ABHDAE，從而求得AHF是等腰三角形；類比遷移：由前面問題的結(jié)論想到延長CB到點H，使得BHAE6，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到ABHDAE，再結(jié)合已知AED60可得等邊AHF，最后利用線段BF長度即可求解【詳解】解：問題解決：（1）證明：如圖1，四邊形ABCD是矩形，ABCDAB90BAFGAD90DEAF

51、,ADGGAD90BAFADG第45頁共127頁又AFDE,ABFDAE,ABAD矩形ABCD是正方形（2）AHF是等腰三角形理由如下：ABAD,ABHDAE90,BHAE，ABHDAE,AHDE又DEAF,AHAF，即AHF是等腰三角形類比遷移：如圖2，延長CB到點H，使得BHAE6，連接AH四邊形ABCD是菱形，ADBC,ABAD,ABHBADBHAE,ABHDAEAHDE,AHBDEA60又DEAF,AHAFAHB60,AHF是等邊三角形，AHHF，第46頁共127頁DEAHHFHBBF628【點睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問題，屬于中檔難度的幾何綜合題

52、理解題意并靈活運用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵17（2021四川中考真題）如圖1，在ABC中，ACB90，ACBC，點D是AB邊上一點（含端點A、B），過點B作BE垂直于射線CD，垂足為E，點F在射線CD上，且EFBE，連接AF、BF（1）求證：ABFCBE；（2）如圖2，連接AE，點P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點，連接PM、MN、PN求PMN的度數(shù)及MN的值；PM（3）在（2）的條件下，若BC2，直接寫出PMN面積的最大值MN1=2；（3）【答案】（1）證明見解析；（2）PMN135；PM4【分析】（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等判定即可（2）PMN的值可以根據(jù)中位線

53、性質(zhì)，進行角轉(zhuǎn)換，通過三角形內(nèi)角和定理求解即可，MNPM的比值轉(zhuǎn)換為AFCE的比值即可求得.eqoac(,S)PMN（3）過點P作PQ垂直于NM的延長線于點Q，12MNPQ，將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為CE，可得eqoac(,S)PMN關(guān)系1CE2，觀察圖象，當(dāng)CEBC2時，可得最大值8【詳解】（1）證明：ACB90，ACBC第47頁共127頁又ABPM/CN，MN/AF，PM1AB2BC,ABCBAC45BE垂直于射線CD,BEF90,又EFBEFB2EB,FBEEFB45ABC+ABEABEFBE即：ABFCBEBF2CBBEABFCBE（2）解：點P、M、N分別為線段AC、AE、EF的中點1CE

54、,MNAF22MPNCNP,CNMEFAMPN+MNPCNPMNPCNMEFA又ABFCBEAFBCEB90又EFB45EFAAFBBFE904545MPN+MNP45又MPN+MNP+PMN180PMN18045135MN2AFCECE又1AF=PM12AF=2又ABFCBEABCECB第48頁共127頁MNPM=2（3）如下圖：過點P作PQ垂直于NM的延長線于點Q,PMN135,PMQ45MPQ,PQ2PM,2SPMN1112212MNPQAFPMAFCEAFCE22228216又BCAF22CEeqoac(,S)PMN212CE2CE2168當(dāng)CE取得最大值時，PMN取得最大值，BECE

55、,E在以BC的中點為圓心，BC為直徑的圓上運動，當(dāng)CECB2時，CE最大，1S=2=8【點睛】14，第49頁共127頁本題考查的是三角形相似和判定、以及三角形面積最大值的求法，根據(jù)題意找見相關(guān)的等量是解題關(guān)鍵（182021山西中考真題）綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖，在ABCD中，BEAD，垂足為E，F(xiàn)為CD的中點，連接EF，BF，試猜想EF與BF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將ABCD沿著BF（F為CD的中點）所在直線折疊，如圖，點C的對應(yīng)點為C，連接DC并延長交AB于點G，請判斷AG與BG

56、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將ABCD沿過點B的直線折疊，如圖，點A的對應(yīng)點為A，使ABCD于點H，折痕交AD于點M，連接AM，交CD于點N該小組提出一個問題：若此ABCD的面積為20，邊長AB5，BC25，求圖中陰影部分（四邊形BHNM）的面積請你思考此問題，直接寫出結(jié)果【答案】（1）EFBF；見解析；（2）AGBG，見解析；（3）223【分析】（1）如圖，分別延長AD，BF相交于點P，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD/BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得PDFC，PFBC，利用AAS可證明PDFBCF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FPFB，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得EF1

57、2BP，即可得EFBF；（2）根據(jù)折疊性質(zhì)可得CFB=CFB=12CFC，F(xiàn)C=FC，可得FD=FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得FDC=FCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得CFC=FDC+FCD，即可得出CFB=FCD，可得DG/FB，即可證明四邊形DGBF是平行四邊形，可得DF=BG=1AB，可得AG=BG；2（3）如圖，過點M作MQAB于Q，根據(jù)平行四邊形的面積可求出BH的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB=AB，A=A，ABM=MBH，根據(jù)ABCD可得ABAB，即可證明MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A=C，即可得A=C，進而可證明ANHCBH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)第50

58、頁共127頁在PDF和BCF中，PDFC，DFCF2BP，2BP，可得AH、NH的長，根據(jù)NH/MQ可得ANHAMQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出MQ的長，根據(jù)S=陰SAMB-SANH即可得答案【詳解】（1）EFBF如圖，分別延長AD，BF相交于點P，四邊形ABCD是平行四邊形，AD/BC，PDFC，PFBC,F為CD的中點，DFCF，PFBCPDFBCF，F(xiàn)PFB，即F為BP的中點，BF1BEAD，BEP90，EF1EFBF（2）AGBG第51頁共127頁將ABCD沿著BF所在直線折疊，點C的對應(yīng)點為C，CFB=CFB=1CFC，F(xiàn)CFC，2F為CD的中點，1FCFDCD，2FCFD，F(xiàn)DC=

59、FCD，CFC=FDC+FCD，F(xiàn)CD1CFC，2FCD=CFB，DG/FB，四邊形ABCD為平行四邊形，DC/AB，DC=AB，四邊形DGBF為平行四邊形，BGDF，BG1AB，2AGBG（3）如圖，過點M作MQAB于Q，ABCD的面積為20，邊長AB5，ABCD于點H，BH=505=4，CH=BC2BH22，AH=AB-BH=1，將ABCD沿過點B的直線折疊，點A的對應(yīng)點為A，AB=AB，A=A，ABM=MBH，ABCD于點H，AB/CD，ABAB，MBH=45，MBQ是等腰直角三角形，MQ=BQ，第52頁共127頁CH四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，A=C，AHN=CHB，ANHCB

60、H，BH24，即，AHNH1NH解得：NH=2，ABCD，MQAB，NH/MQ，ANHAMQ，AHNH12，即，AQMQ5MQMQ解得：MQ=103，=S陰SAMB-SANH=10111122ABMQ-AHNH=5-12=222323【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵19（2021浙江中考真題）問題：如圖，在ABCD中，AB8，AD5，DAB，ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，F(xiàn)，求EF的長答案：EF2探究：（1）把“問題”中的條件“AB8”去掉，其余條件不變當(dāng)點E與點F重合時，