二次曲線動弦中點軌跡問題

1、關(guān)于二次曲線動弦中點軌跡問題第一張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月實系數(shù)方程 ax2+bx+c=0(a0)的兩根x1,x2(x1x2)則有=b2-4ac0 曲線的參數(shù)方程 x=f(k)y=g(k)消參F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=第二張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解法一:(點差法)設A(x1,y1),B(x2,y2) AB中點P(x,y) 則有x12+y12=4 x22+y22=4 兩式相減得： 例1：直線y=x+b與圓x2+y2=4 相交于不同兩點A、B,求弦中點P的軌跡方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k=y1+y2x1+x2-=xy-又k=1 所以y

2、=-x,又由直線與圓相交得22- x 所以y=-x( )為所求軌跡方程22- x 022-2b2 2x1+x22b又x=- 2y1+y22by=消去b得：y=-x( )22- x 所以y=-x( )22- x 為所求軌跡方程。第四張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月解法三： 設弦中點為P(x,y),由題可得OPAB，當x0時有KOPKAB=-1,所以 1=-1即y=-x 又x=0也適合,所以y=-x(- x )為所求軌跡方程。22yx解法四： (向量法)設弦中點P(x,y),直線AB的方向向量為 =(1,1)又 即 =0 所以x+y=0即y=-x(- x )為所求軌跡方程。nopABopn

3、22第五張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月2yxy=x+by=-x第六張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例2: 過點M(-1,-1)作直線與圓x2+y2=4相交于不同兩點A、B,求弦AB中點P的軌跡方程。x2+y2 +x +y=0M（-1，-1）yx2 第七張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月問題1:所求的兩個方程各表示什么軌跡？3. y=2x2-3,拋物線型4. x2+2y2+x+2y=0,橢圓型問題3: 比較上面四題結(jié)論的異同，請猜測哪些條件對結(jié)論起了決定性的作用？1. 構(gòu)成動弦的直線形式2. 二次曲線的形狀問題4:你能否從上面的問題中探索出規(guī)律性結(jié)論嗎？平行直線系所構(gòu)成的

4、動弦中點軌跡為直線型，過定點的直線系所構(gòu)成的動弦中點軌跡與原二次曲線同型。 問題2:將例1、例2中的圓換為拋物線： y=x2-2x+2或者橢圓x2+2y2=1,所求軌跡又如何？例1為直線的一部份，例2為圓。1. x= ,直線型322. y= ,直線型x2-第八張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月問題5：直線y=kx+m(k為常數(shù)）與曲線ax2+by2=1(ab0)相交于不同兩點A、B則弦AB中點軌跡是什么類型？問題6: 過點M(a、b)(a、b為常數(shù))的直線與雙曲線x2-4y2=1相交于不同兩點A、B，求弦AB中點的軌跡方程？軌跡方程為x2-4y2-ax+4by=0軌跡方程為y=- ,軌跡

5、為直線型bkax第九張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月問題7：判斷問題6中所求的軌跡是什么曲線？問題8：根據(jù)問題6、問題7修正問題4中所探索的規(guī)律性結(jié)論，并給予證明(課外完成)。(x- )2-4(y- )2= -b2a2b2a241) -b2=0即b= 時為兩直線a2a242) -b20即b 時為雙曲線型a2a24第十張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)：二次曲線動弦中點軌跡的求法一個結(jié)論(特殊到一般，簡單到復雜，先猜后證)第十一張，PPT共十三頁，創(chuàng)作于2022年6月作業(yè)：已知橢圓x2+2y2=2,(1)求被點P（ , ）平分的弦所在直線方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點軌跡。(3)過A(2,1)引橢圓的割線，求截得弦的中點軌跡。1212拋物線y=x2-2x+2與直線y=mx交于P1、P2兩點(1)求線段P1P2中點Q的軌跡方