2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁(yè)，共 =sectionpages 3 3頁(yè)第 Page * MergeFormat 19 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 頁(yè)2022屆北京大學(xué)附屬中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知集合，則（）ABCD【答案】B【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】依題意可知，解得，所以，故選：.2若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的規(guī)則，計(jì)算出z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定.【詳解】解：依題意，所以，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)（1，1）；故選：C.3已知，下列不等式中正確的是（）ABCD

2、【答案】C【分析】由，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式即可判斷出結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，而的正?fù)不確定，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，依題意，所以，所以，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榕c正負(fù)不確定，故大小不確定，故D錯(cuò)誤；故選：C.4已知平面，直線(xiàn)和，則下列命題中正確的是（）A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】A【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；對(duì)于B選項(xiàng)，垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面有可能相交，也有可能互相平行；對(duì)于C選項(xiàng)，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，平行于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)有可能相交、平行或異面.【詳解】選項(xiàng)A正確，因?yàn)榇怪?/p>

3、于同一直線(xiàn)的兩個(gè)平面互相平行；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，平面和也可以相交；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，直線(xiàn)可能在平面內(nèi)；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，直線(xiàn)和還可能相交或者異面.故選：A.5有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機(jī)抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為（）ABCD【答案】C【分析】直接根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式即可得結(jié)果.【詳解】依題意，樣本空間包含樣本點(diǎn)為52，抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點(diǎn)為16，所以抽到的牌為“紅桃”或“”的概率為，故選：C.6已知函數(shù)，則不等式的解集是（）ABCD【答案】D【分析】由可得，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象，即可得答案.【詳解】解

4、：依題意，等價(jià)于，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象，如圖所示： 如圖可得的解集為：.故選：D.7已知，則“”是“是鈍角三角形”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【分析】在三角形中，由先利用輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得角為鈍角成立，反之舉反例得出必要性不成立，從而得出結(jié)論.【詳解】解：中，所以是鈍角三角形，充分性成立；若是鈍角三角形，角不一定是鈍角，反例：,此時(shí)，必要性不成立；故選：A.8已知數(shù)列滿(mǎn)足，其中，則數(shù)列（）A有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【答案】A【分析】求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的

5、單調(diào)性即可【詳解】依題意，因?yàn)?，其中，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩式相除有，易得隨著的增大而減小，故，且，故最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為故選：A9已知半徑為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切，則其圓心到直線(xiàn)距離的最小值為（）A1BC2D【答案】B【分析】先求出得圓心的軌跡方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出距離，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值求解方法可求得答案.【詳解】依題意，設(shè)圓的圓心，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得圓心的軌跡方程為，設(shè)圓心到直線(xiàn)距離為，當(dāng)時(shí), 故選：B方法二：可以設(shè)與直線(xiàn)平行的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，聯(lián)立方程，利用判別式等于零，得到切線(xiàn)方程，再利用平行線(xiàn)的距離公式得解；方法三：在第一象限分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)

6、化為求函數(shù)的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，再利用平行線(xiàn)的距離公式得解.10如圖矩形，沿對(duì)折使得點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)度可以用含的式子表示，那么長(zhǎng)度的最小值為（）A4B8CD【答案】D【分析】設(shè)，由三角比的定義可得，繼而求得，令和，求導(dǎo)可得的最大值為：，繼而求得長(zhǎng)度的最小值.【詳解】設(shè)，則，則有和，代入，解得：，令和，導(dǎo)函數(shù)，即可得的最大值在時(shí)取得，此時(shí)，求得此時(shí)，故選：D.二、雙空題11已知雙曲線(xiàn)，則的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)；若雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相同，則雙曲線(xiàn)的離心率_.【答案】 【分析】由已知，根據(jù)題意給的雙曲線(xiàn)方程，即可直接求解右頂點(diǎn)坐標(biāo)；共漸近線(xiàn)系的雙曲線(xiàn)，離心率相同，可根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率求解出雙曲線(xiàn)

7、的離心率.【詳解】解：由已知雙曲線(xiàn)，所以右頂點(diǎn)坐標(biāo)為；共漸近線(xiàn)系的雙曲線(xiàn)，離心率相同，雙曲線(xiàn)的離心率就是雙曲線(xiàn)的離心率，所以.故答案為：；.12已知正方形的邊長(zhǎng)為是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，則_；_.【答案】 【詳解】解：以A為原點(diǎn)，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所?故答案為：；10.三、填空題13在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作答）【答案】15【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】解：，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為：15.14已知函數(shù)，其中，若函數(shù)恒成立，則常數(shù)的一個(gè)取值為_(kāi).【答案】1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可【分析】由三角函數(shù)的

8、值域可知，當(dāng)且僅當(dāng)和同時(shí)取到時(shí)，等號(hào)成立；再根據(jù)正弦函數(shù)在（）取得最大值，聯(lián)立即可得到.【詳解】若函數(shù)，即存在使得和同時(shí)取到1，所以，即，所以，解得當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，其中，則當(dāng)（）時(shí)，.故答案為：1；答案不唯一；只要常數(shù)的取值不等于即可.15對(duì)于函數(shù)和，給出下列四個(gè)結(jié)論：設(shè)的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑒t是的真子集.函數(shù)的圖像在處的切線(xiàn)斜率為0.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_.【答案】【分析】對(duì)于，分別求出函數(shù)和的定義域，即可判斷；對(duì)于，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，在處的切線(xiàn)斜率；對(duì)于，先對(duì)分離常數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的單調(diào)性；對(duì)于，驗(yàn)證時(shí)，.

9、【詳解】對(duì)于，由題意得，函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域.所以是的真子集，則正確.對(duì)于，則在處的切線(xiàn)斜率，則錯(cuò)誤.對(duì)于，的定義域是，而函數(shù)在區(qū)間，上都是單調(diào)遞減且值為正，又因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，因此復(fù)合后得到的在這兩個(gè)區(qū)間上也是單調(diào)遞減，則正確.只需驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，則正確.故答案為：.四、解答題16如圖，在平面四邊形中，的面積(1)求的長(zhǎng)；(2)從條件條件條件這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為已知，判斷是否可能成立，并說(shuō)明理由.條件：；條件：；條件：.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由面積公式先求出的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求出的長(zhǎng).（2）由題設(shè)，可以隨意選擇兩個(gè)條件，去判斷與是否可能相等.但是優(yōu)

10、先選擇哪兩個(gè)條件思維邏輯最清晰解題過(guò)程最簡(jiǎn)潔是同學(xué)們應(yīng)該思考的.由第一問(wèn)可知，是唯一確定的三角形，都是可求的，而要判斷與是否可能相等，可轉(zhuǎn)化為判斷它們的某一個(gè)三角函數(shù)值是否相等，因此首選條件和條件，此時(shí)中的三條邊長(zhǎng)都知道，容易計(jì)算余弦值.如果看到條件，正好滿(mǎn)足，能夠想到四點(diǎn)共圓，那么圓周角相等則對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)相等，因此選條件和條件也非常簡(jiǎn)單.最麻煩的是選擇條件和條件，因?yàn)榇藭r(shí)中知道的條件是邊邊角，不一定唯一確定，需要討論.【詳解】(1)因?yàn)?，所以在中，由，?由余弦定理，得，所以.(2)選擇條件：和條件：，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，因?yàn)?，所以；選擇條件：和條件：，在中，由正弦定理可得

11、，在中，由正弦定理可得，所以，若，則，與矛盾，所以；選擇條件：和條件：，在中由余弦定理可得.在中，由余弦定理，可得，所以或.當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，因?yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，在中，由余弦定理可得，因?yàn)?，所?所以選擇條件和條件時(shí)，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，.17如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線(xiàn)段上，且直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定可得平面，進(jìn)而根據(jù)正三角形與線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定可得平面；（2）取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，可得兩兩垂直，再建立空間直角

12、坐標(biāo)系根據(jù)線(xiàn)面角與點(diǎn)面距離的方法求解即可【詳解】(1)證明：由題知，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，為中點(diǎn)，于是，又，所以平面(2)取中點(diǎn)為中點(diǎn)為，則，由（1）知平面，且平面，所以，又，所以，所以平面，于是兩兩垂直如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則所以設(shè)平面的法向量為，則，即令，則于是設(shè)，則由于直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為于是，即，整理得，由于，所以于是設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則所以點(diǎn)到平面的距離為18北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績(jī)

13、等級(jí)化學(xué)成績(jī)等級(jí)人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以表示這2人中物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的頻率作為每名學(xué)生物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率）；(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿(mǎn)分150分）的方差為，排名前的成績(jī)方差為，排名后的成績(jī)方差為，則不可能同時(shí)大于和，這種判斷是否正確.（直接寫(xiě)出結(jié)論）.【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為(3)不正

14、確【分析】（1）由表可知，樣本中物理成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為110，即可估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；（2）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率估計(jì)為，可知隨機(jī)變量的取值范圍，分別求出相應(yīng)概率即可得到分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)排名前的成績(jī)均為分，排名后的成績(jī)均為分，即可判斷.【詳解】(1)設(shè)事件為“該生物理成績(jī)等級(jí)為的情況下，化學(xué)成績(jī)等級(jí)為”，樣本中物理成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為110，所以頻率為，由樣本估計(jì)總體可得，故該生物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率為.(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)

15、選考物理化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率估計(jì)為.由題意隨機(jī)變量的取值范圍是則的分布列：012(3)不正確；舉例：，排名前的成績(jī)均為分，方差為，排名后的成績(jī)均為分，方差為，顯然，所以，故同時(shí)大于和.【點(diǎn)睛】（1）概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題關(guān)鍵在于審題，建議大家在考試過(guò)程中審題不少于兩遍，同時(shí)把重要信息標(biāo)注出來(lái)，這樣不容易丟掉關(guān)鍵信息；（2）分布列問(wèn)題類(lèi)型判斷是關(guān)鍵，建議結(jié)合做過(guò)的典型問(wèn)題放在一起對(duì)比感悟；（3）第三問(wèn)這種問(wèn)題是北京命題特色，圍繞一些概念深入考查，具有較高的區(qū)分度，建議把一些典型的第三問(wèn)加以整理并思考命題的邏輯.19已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程及其離心率；(2)若為橢圓上

16、第一象限的點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)，離心率為；(2)【分析】（1）由題意可得，繼而求出，即可得方程和離心率；（2）設(shè)，則，又由可得，繼而得到，聯(lián)立即可解得，的值.【詳解】(1)依題知：，所以.所以橢圓方程為，離心率.(2)如圖：設(shè)，第一象限有，；由得：，又，因此，聯(lián)立解得，故.20已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，若曲線(xiàn)與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)若對(duì)任意，不等式恒成立，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)后設(shè)，再根據(jù)切點(diǎn)的性質(zhì)列式求解即可；（2）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最小值即可；（3）方法一：數(shù)形結(jié)

17、合判斷，根據(jù)，分析函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方和與函數(shù)圖象恰好有一個(gè)公共點(diǎn)的臨界情況求解即可；方法二：將原不等式轉(zhuǎn)換為恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性得到，再求解的最小值即可【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則切線(xiàn)斜率.由切點(diǎn)性質(zhì)，得，解得.所以點(diǎn)的坐標(biāo).(2)當(dāng)時(shí)，其中，則，令，其中，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：10單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知，.所以.(3)實(shí)數(shù)的取值范圍.理由如下：方法一：（數(shù)形結(jié)合）在上恒成立，即.因而函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方.考慮函數(shù)圖象在函數(shù)圖象恰好有一個(gè)公共點(diǎn)的臨界情形（如圖所示），此時(shí)它們?cè)诮稽c(diǎn)處有一條公切線(xiàn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. 又，由切點(diǎn)性

18、質(zhì)知，所以即，由得，所以即記，則，所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?，所以方程的解?因此，當(dāng)兩函數(shù)恰好有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)是，此處公切線(xiàn)方程是.所以當(dāng)函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.方法二：（同構(gòu)變形）顯然，在上恒成立，即恒成立即恒成立，所以恒成立，構(gòu)造函數(shù)，易知在上是增函數(shù)，所以恒成立，即，令，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值，進(jìn)而證明不等式等，同時(shí)也考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)解決恒成立的問(wèn)題.需要根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合分析臨界條件，或構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，參變分離求得函數(shù)的最值即可.屬