歸納思維及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、 歸納思維及其在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的定義及類型歸納法是從特殊到一般的推理方法歸納法分為兩種形式：完全歸納法和不完全歸納法完全歸納法就是根據(jù)一切特殊情況的考慮而作出的推理不完全歸納法就是根據(jù)一個或幾個特殊情況作出的推理由于完全歸納法是科學(xué)的，得出的結(jié)論是正確的，而由不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的，所以在這里我只討論完全歸納法中的數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地用于確定一個表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的，或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可通過“有限” 的問題來解決“無限”的問題 1 (P45-47) 數(shù)學(xué)歸納法這一方法貫穿了數(shù)學(xué)的幾個知識點(diǎn)：

2、不等式、恒等式、數(shù)列、三角函數(shù)、計數(shù)問題、幾何分類問題、一般容斥原理、離散數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等發(fā)展現(xiàn)狀1889 年意大利數(shù)學(xué)家皮亞杰發(fā)表算術(shù)原理新方法提自然數(shù)的公理體系時，奠定了數(shù)學(xué)歸納法邏輯基礎(chǔ) 北京大學(xué)出版社出版張順燕編著的 數(shù)學(xué)的思想、 方法和應(yīng)用 ， 這本書給出了歸納法，不完全歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的具體定義安徽教育出版社出版的李祥倫等編著的高中數(shù)學(xué)講座 ，這本書介紹了數(shù)學(xué)歸納法的概念、數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟、數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的高中代數(shù) ，這本書介紹了數(shù)學(xué)歸納法的概念、使用數(shù)學(xué)歸納法的步驟、使用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵、數(shù)學(xué)歸納法的變形形式等數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟數(shù)學(xué)歸納法是一種重

3、要的數(shù)學(xué)方法，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟是： (1) 證明當(dāng) n 取第一個值n0(n01) 時，命題成立； (2)假設(shè) n k(k N* 且 k n0) 時命題成立，從而推出當(dāng) n k 1 時，命題也成立根據(jù)(1)、 (2)可知，對一切n N* n n0 命題成立數(shù)學(xué)歸納法的第一步是驗證命題的基礎(chǔ)，第二步是論證命題的依據(jù)，兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可需要注意的是：步驟 (1) 一般選取命題中最小的正整數(shù)n0作為起始值進(jìn)行驗證；步驟(2)推證當(dāng)n k 1時命題成立的前題，必須是當(dāng)n k 時命題成立，否則推理無效數(shù)學(xué)歸納法的變形形式驗證步中的變化：起點(diǎn)前移，命題雖陳述為“對一切自然數(shù)n 成立” ，但命

4、題成立的范圍可更寬時，可以考慮證比“ n 1 ”更方便的起點(diǎn)起點(diǎn)后移，有時為了使n k 向 n k 1 遞推更方便可考慮把歸納的起點(diǎn)適當(dāng)后移.增加起點(diǎn)個數(shù)，由基礎(chǔ)時，可考慮增加起點(diǎn)的個數(shù).n k”向后遞推時，當(dāng)需要以其它特殊情形作為假設(shè)步中的變化：以“假設(shè) n k,n k 1, , n k i時命題成立”代替“假設(shè) n k時命題成立，或以“假設(shè)n k時命題成立”代替“假設(shè) n k時命題成立”遞推步中的變化：增加遞推跨度，遞推步中一般總是假設(shè) n k時命題成立后，推出n k 1時命題也成立，從而使問題得證. 但若這一過程有困難， 可考慮假設(shè)n k時命題成立，推出n k i時命題成立來證明命題.先

5、進(jìn)后退，對于假設(shè)nk時命題成立后，遞推n k 1時命題也成立有困難，還可以用如下變化：n k n k ik 1, n k 2, , n k i 1 .運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法發(fā)現(xiàn)解題途徑在不等式中的應(yīng)用用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)不等式的命題，關(guān)鍵是一湊一證”，常用比較法、分析綜合法、放縮法等方法完成“假設(shè)當(dāng)n k時命題成立，證明當(dāng)1時命題也成立”這一步.以下就此舉例予以說明.j 一n 、一*例1 求證若n N ,當(dāng)n 2時，有證明（比較法）(1)當(dāng)n，一，1n 2時，因為-2 11 n 2 1112n 211所以原不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)k(k2）時，原不等式成立,即有2 12k 1112k 2設(shè) f (n)

6、12n，則f (k.11) f(k) 2n12(k 1)2(k 1)(2k 1)1,所以f(k 1) f (k)即當(dāng)n k 21時，原不等式也成立.故由（1）（2）可知，當(dāng)n是不小于2的任意自然數(shù)時，原不等式都成立.11例2 求證右n N ，當(dāng)n 1時，有1 j= -23證明（分析綜合法）（1）當(dāng)n 2時因為1 1 J2.2所以2時原不等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n k（k 2）原不等式成立，即有11k k11 11 當(dāng)n k 1時，原式左邊2. 3因為k 0所以vk2 kk所以tk2k一 11 k 1 所以.k k 1于是當(dāng)n k1時,原不等式成立.由(1)(2)可知,對任意大于1的自然數(shù)，原不等

7、式都成立.例3求證1*N ).證明(放縮法)(1)當(dāng)n 1時，不等式顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)原不等式成立，當(dāng)1 12k2 21_2k 12kkk 1 1212k2k2n1TkH ；21k 1212k故由(1) (2)知原不等式恒成立.在恒等式中的應(yīng)用證明證明2(n 1) 3(n 2)(n1) 2(1)當(dāng)n 1時，左邊 1 ,右邊1 ，、,-n(n 1)(n62)2 3 左邊，等式成立.0).(2)假設(shè)n k(k N)時等式成立,即 1 k 2(k 1)(k 1) 2 k 11 .八 k(k61)(k 2)那么當(dāng)n k 1時,1 (k 1) 2k 3(k 1)1 k 2(k 1) 3(

8、k 2)2k (k1)(k 1) 2(k 1)1(k 1)(k 2)1 八k(k 1)(k 2)(k6261)(k2)(k 3)故n k 1時等式成立，綜合(1)(2)知，當(dāng)n且n 0時，等式成立.評析：一般來講，第一步寫出初步狀態(tài)下的左、右邊再進(jìn)行比較而驗證等式成立；第二步，先假設(shè)n k時等式成立，而寫出 n k 1時的一邊式子，再運(yùn)用假設(shè)構(gòu)造出n k 1時的另一邊式子，即得證.關(guān)鍵是假設(shè) n k時的運(yùn)用，特別要弄清 n k到n k 1時等式的變化.在數(shù)列題中的應(yīng)用 1例5已知在數(shù)列 an中，a1 一，它的刖n項的和Sn滿足an Sn 2(n 2).Sn 試計算S1,S2,S3,S4的值，并

9、猜想Sn的表達(dá)式，然后給出你的證明.由已知有 s1a12 r一，當(dāng)n32 時，anSnSn1 Sn-12Sn所以Sn1Sn 12（n 2）于是有S21ST-234，S345,S4故猜想 Snn 1n-2卜面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.證明（1）當(dāng)n1時,(2)假設(shè)當(dāng)nk(kS1*,k1）時，猜想成立，即Sk則當(dāng)nSk 1Skak 1 Sk (Sk 1Sk 12),所以SkSk-,即2Sk 1(k 1) 1(k 1) 2故當(dāng)k 1時，猜想也成立.由（1）（2）可知，當(dāng)n時，猜想Sn-成立.評析：本題屬于典型例題,由歸納法推出Sn的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明.得出猜想正確.5.4在三角函數(shù)中的應(yīng)用例

10、6證明1 . , x.1 . , x.tan()2 tan(2)22221, x .1, x、tan(三)7ncot(7n) 8txm 2222證明（1）當(dāng)n 1時，左邊一、 1 x右邊一cot（一）22cotx一 x2tan(-)21 1 zxtan().2211tanx 2,左邊=右邊,所以等式成立.（2）假設(shè)nk (nN且n 0）時等式成立，那么當(dāng) n k 1時- tan(一) -2tan(-2)2222221，%、777 c0t(77 cotx222rtan(2r)1 x2 k 1 tan( 2 k 1)2TcotC2T)cot x1 x2k 1 tan( 2 k 1 )故當(dāng)n k 1

11、時，等式成立.所以當(dāng) n N（n 0）時，等式成立.評析：對于三角函數(shù)的證明形式與例 2 相同，只有在變換三角函數(shù)式時，要準(zhǔn)確運(yùn)用三角函數(shù)公式在解一類計數(shù)問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法可應(yīng)用于解決與正整數(shù)有關(guān)較復(fù)雜的計數(shù)問題用數(shù)學(xué)歸納法解計數(shù)問題簡單，易懂()3例72(P12)設(shè)正整數(shù)n” 2),s 1,2, ,n ,人為s的一個恰包含n 1個元素的子集合.則 對任意正整數(shù) m n,存在s的一個m元子集T t1,t2, ,tm，使得下列集合 Aj x t j | x A , j 1,2, ,m 中的任意兩個都不相交證明 考慮由A 中兩個不同元素的差的絕對值組成的集合B ，則 B 中至多有Cn2 1 個

12、元素若有ti tj使AAj ,則存在a A,b A,使a ti b匕，故ti tjba B；反之，若 ti t j B ，將上述過程逆過來可證AiAj于是“集合，Ajxtj|x A,j 1,2, ,m中的任意兩個都不相交”等價于“T中任意兩個元素之差的絕對值均不屬于B ” 下面歸納地構(gòu)造出 s 的一個 m 元子集 T t1 ,t2 , ,tm 任取 s的一個元素為t1 由于 s t1 中與 t1 之差的絕對值屬于B 的元素至多有2Cn2 1個， 而 2Cn2 1 1 n3 ，故 s t1 中存在與t1 之差的絕對值不屬于B 的元素，任取其一為 t2 設(shè)已確定好了t1 ,t2 , ,tk(k m

13、 1)對每個 1 j k,st1,t2,tk 中與 tj 之差的絕對值屬于 B 的元素至多有2Cn2 1個， 故 s t1,t2,tk 中至少與 t1 ,t2,tk 中的一個之差的絕對值屬于 B 的元素至多有k 2Cn2 1 個而 k 2Cn2 1 (m 1) 2Cn2 1(n 1)n(n 1) n3 n n3 k 所以 st1,t2,tk 中存在與t1,t2,tk 中的每一個之差的絕對值都不屬于B 的元素，任取其一為tk 1 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，具有所述性質(zhì)的集合T t1,t2,tm 存在在幾何分類問題上的應(yīng)用例如在初中幾何課的學(xué)習(xí)中，有一些分類問題需要滲透數(shù)學(xué)歸納法去解決，從而鍛煉提高我們

14、的分析、審題、推理、歸納，進(jìn)一步得出規(guī)律性結(jié)論的解題能力例 8 (初中幾何題)如下圖所示，圖中三角形的個數(shù)是多少？A思路分析：此類問題的特征是所有三角形都有一條邊落在同一條直線上.解 如圖，這些三角形都有一條邊在直線BC上，此圖三角形個數(shù)取決于不在這條直線上的邊數(shù)，每有兩邊就會于 BC上一條邊構(gòu)成一個三角形，圖中有AB、AD、 AE、 AF、AC 5條邊,兩兩組合的組數(shù)為5 (5 1) 10,即圖中有10個三角形.若圖中有n (n 2)條邊不在直線 BC上，則三角形的個數(shù)為n (n 1)個.一般容斥原理的數(shù)學(xué)歸納法證明容斥原理又稱為包含排斥原理，它是解決組合計數(shù)問題的一個重要工具.定理2.43

15、(p45-47)設(shè)S是有限集,A S(i1,2,n, n1 i1 n1Ai1 i2 nA2(1)k11 12Aik nA2A1k證明(2)(1)n1 Ain(1)k1k 1A2An1 i1 i2iA1nA2(1)當(dāng)n 2時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)n s(s 2)時結(jié)論成立，則n1時,s(A) As1i 1sAi i 1Ai11 i1 s 1S(A)i 11)k 11 i1 i2Ai1 ik sAi2Aiks(Ai 1k(1)AiiAk 11 ii i2ik s_s _AikAs 1( 1) A1A2AsAs 1Ai11 i1 s 1(1)kk 2(1)s A11 i1 s 1(1)k1k 11 i

16、1 i2ik si1 i2Ai1As1)k 11 i1 i2Ai1ik s 1A2Ai2As1Ais s 1AkAikA2Aik1)k11 i1i21)s A11 i1Ai1ik 1 sA2Ai2As1A1kAik 1As 1n(n 2),結(jié)論成立.所以當(dāng)n s 1時，結(jié)論仍成立.由數(shù)學(xué)歸納法，對任意的自然數(shù)5.8在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用隨著計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，離散數(shù)學(xué)在計算機(jī)的研究中的作用越來越大.而離散數(shù)學(xué)中(特別是圖論中)的很多命題的論證，數(shù)學(xué)歸納法不失為一種行之有效的方法.例9設(shè)T為任意的一棵二元完全樹，m為邊數(shù)，t為樹葉數(shù)，試證明 m 2t 2(t 2).證明(方法一)對樹口t數(shù)t進(jìn)行證明.

17、(1)當(dāng)t 2時，結(jié)點(diǎn)數(shù)3,邊數(shù)m 2 ,故m 2t 2成立.(2)假設(shè)t k(k 2)時，結(jié)論成立，當(dāng)t k 1時，由于T是二元完全樹，因此T中一定存在都是樹葉的兩兄弟結(jié) v1,v2,設(shè)v是一 . 、 、.一 、一 、一 V1,V2的父親.在T中刪除V1,V2 ,得到T . T仍為二兀完全樹，這時結(jié)點(diǎn)v成為樹葉，樹葉數(shù) t t21k11k邊數(shù)m m2,由歸納假設(shè)知m 2t 2,所以 m 2 2(t 2 1) 2 故 m 2t 2.(方法二)對分支點(diǎn)數(shù)i用歸納法進(jìn)行證明.(1)當(dāng)i 1時，邊數(shù)m 2 ,樹葉數(shù)t 2,故m 2t 2成立.(2)假設(shè)i k(k 1)時，結(jié)論成立，當(dāng)i k 1時，由

18、于是二元完全樹因此T中一定存在兩個兒子都是樹葉的分支點(diǎn)設(shè)vi就是這樣一個分支點(diǎn)，設(shè)它的兩個兒子為.在T中刪除 此，氣，得樹T, 丁仍為二元完全樹，這時結(jié)點(diǎn)vi 成為樹葉，分支點(diǎn)數(shù)i i 1 k 1 1 k 樹葉數(shù) t t 2 1 ，邊數(shù) m m 2 ，由歸納假設(shè)知， m 2t 2 所以 m 2 2(t 2 1) 2 ，故 m 2t 2 5.9 在線性代數(shù)中的應(yīng)用在線性代數(shù)中，有一個眾所周知的關(guān)于矩陣乘積的行列式的定理，即設(shè)A 、 B 是數(shù)域 F 上的兩個 n 階矩陣，則有“det(AB)detA det B” (1)目前，對(1)式的證明多采用以下兩種方法：一是將行列式理論中的Laplace定

19、理用于一個2n階行列式上(文獻(xiàn)9 中稱其為行列式乘法定理)；二是利用矩陣的初等變換理論10 另外，謝邦杰教授將矩陣的分塊理論與初等變換結(jié)合，再把Laplace 定理用到兩個2n 階行列式上，給出了 (1) 式的 一個簡短的證明 11 ；文 12則將初等矩陣與矩陣的初等變換結(jié)合起來給出了 (1) 式的又一個不同證法但以上所有證法要么用到過多的理論知識(如矩陣的初等變換,矩陣的分塊，初等矩陣等) ，要么用到很強(qiáng)的技巧 (如構(gòu)造一個2n 階矩陣) 岳陽師范學(xué)院、數(shù)學(xué)系、盧小寧用數(shù)學(xué)歸納法給出(1) 式的一個簡單證明證明 ( 1 )當(dāng) n 1 時， (1) 式顯然成立(2)假設(shè)(1)式對于A、B都是n

20、 1階矩陣時成立，下證(1)式對于A、B都是n階矩陣時也成立事實上，設(shè)A (aj)nn,B (bj)n n ,且aj與bj的余子式分別為Mj與Nj (i, j 1,2,n),將detA依第1行展開，detB依第j(j 1,2,n)行展開，則有nndetA ( 1)1 ja1jM1jdetB ( 1)j vbjvNjvj1v1nn于是detAdetB ( 1)1 va1jbjvM 1jNjv(2)j1v1因 M1j , Njv 均為 n 1 階矩陣的行列式，從而由歸納假設(shè)，有nnnna2kbk1a2kv 1a2kbk,v 1a2 kbmk 1k 1k 1k 1k jk jk jk jM1jNjv

21、nnnnankbk1ankbk,v 1ankbk,v 1ank bknk 1k 1k 1k 1k jk jk jk j由此可見，n(1)1va1jbjvM1jN jv 正一個n階行列式依第1行展開的結(jié)果v 1即有當(dāng)aj 。時，將（3）式右邊的行列式的第1行乘以31.aj加到第i行（i 1,2,n）,a1jbj1a1 jbj2a1jbjnnnna2kbk1a2kbk2a2kbkn, 八 1 v.一 .(1) a1jbjvM 1 jN jvk 1k 1k 1k jk jk j(3)其中 j 1,2,nnnnankbk1ankbk2ankbknk 1k 1k 1k jk jk j則由行列式的性質(zhì)，有

22、a1jbj1a1 jbj2nnna2kbk1a2kbk21 v(1)a1jbjvM1jNjvk 1k 1v 1nnankbk1ankbk2k 1k 1a1j bjn na2kbkn k 1(4)nankbknk 1當(dāng)aij。時，（3）、（4）兩式右邊的行列式均等于零，因而（4）式仍然成立.于是由（2）式與行列式的性質(zhì)及矩陣乘積的定義，有a1j bj1a1j bj2nnna2kbk1a2kbk2det A det Bk 1k 1j 1nnankbk1ankbk2k 1k 1ai j b jnna2kbknk 1nank bkn k 1nna” bj1a1jbj2j 1j 1nna2k bk1a2

23、k bk2k 1k 1nnankbk1a nk bk2k 1k 1nd j bjn j 1na2kbkn k 1a nk bknk 1det(AB) 這說明對于 A、B都是n階矩陣來說，(1)式也成立，故對任意自然數(shù)n及數(shù)域F上的任意兩個n階矩陣 A、 B ， (1) 式恒成立證畢評析： 這道題給出了線性代數(shù)中 “det(AB) detA det B” 的一個數(shù)學(xué)歸納法證明 其中只用到了行列式的三個基本性質(zhì)與行列式依行展開定理以及矩陣乘積的定義,避免了初等矩陣、矩陣的初等變換、矩陣的分塊以及行列式理論中的 Laplace 定理等過多的理論知識和過高的技巧6 數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用技巧數(shù)學(xué)歸納法的第二

24、步，不能機(jī)械地套用 n k 時的假設(shè)條件，而要尋求當(dāng) n k 1 和 n k 時結(jié)構(gòu)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，設(shè)法變通，創(chuàng)造應(yīng)用歸納假設(shè)的條件，才可以運(yùn)用歸納假設(shè)證明， 從而形成觀察、歸納、猜想、證明的思維模式，更好地培養(yǎng)探索能力、創(chuàng)新能力常用的方法有：(1)加項法 ： 如果命題為一串等式之和，設(shè)n k 成立，要證n k 1 成立時，往往采用等式兩邊加項的方法(2)作差法：若命題中有關(guān)于 n 的連加式或數(shù)列的前n 項和，則可考慮利用 n k 1 和 n k 時兩個結(jié)構(gòu)式的差，創(chuàng)造應(yīng)用歸納假設(shè)的條件(如 5.1 例 1)(3)作商法： 若命題中有關(guān)于n 的連乘式或等比數(shù)列的前n 項和的形式， 則可考慮利用 n k 1 和n k 時兩個結(jié)構(gòu)式的商，創(chuàng)造條件應(yīng)用歸納假設(shè)(4)裂項法：為了證明 n k 1 時等式成立，可設(shè)法把n k 1時命題形式分裂為若干項，再利用歸納假設(shè)(5)放縮法：有關(guān)不等式的證明問題，也常用到放縮法，這種方法也是高等數(shù)學(xué)中常用的證題技巧(如 5.1 例 3) (6)輔助公式法：對于有些數(shù)學(xué)命題的證明，有時要先證明一個輔助等式或輔助不等式再以輔助公式為工具，達(dá)到證題的目的7 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時常