數(shù)學(xué)史概論第五講課件

1、一、 中世紀(jì)的歐洲第 5講. 沖破黑暗文藝復(fù)興與近代數(shù)學(xué)的興起三、 解析幾何的誕生二、 向近代數(shù)學(xué)的過渡大約在公元500年左右才開始出現(xiàn)新文化公元511世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期出現(xiàn)一些水平低下的算術(shù)和幾何教材： 博埃齊：選編了幾何、算術(shù)等教科書,幾何僅包含原 本的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡(jiǎn)單的測(cè) 量術(shù)；算術(shù)則是根據(jù)四百年前尼科馬庫(kù)斯的一本淺易的 著作編寫的。比德(V.Bede,674735)、熱爾拜爾(Gerbert,約9501003)等人也討論過數(shù)學(xué). 前者研究過算術(shù)中的指算，據(jù)說后者可能把印度-阿拉伯?dāng)?shù)字帶入歐洲。 直到12世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)才出現(xiàn)復(fù)蘇的跡象。這種復(fù)蘇是由于受

2、翻譯、 傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激開始。文藝復(fù)興的意大利成為東西方文化的熔爐.古代學(xué)術(shù)傳播西歐的路線如圖5.1所示一、中世紀(jì)的歐洲 數(shù)學(xué)著作的翻譯：阿德拉特：幾何原本、花拉子米 天文表；普拉托：巴塔尼天文學(xué)、狄奧多 修斯球面幾何以及其它著作羅伯特：花拉子米代數(shù)學(xué)等杰拉德：90多部阿拉伯文著作翻譯 成拉丁文.包括大匯編,原 本,圓錐曲線論,圓的度 量等斐波那契： 算盤書(Abaci, 1202) 印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼，分?jǐn)?shù)算法，開方 法，二次和三次方程，不定方程， 以及幾何原本和希臘三角學(xué)的 大部分內(nèi)容 兔子問題： 有人想知道一年內(nèi)一對(duì)兔子可繁殖成多少對(duì)，便筑了一道圍墻把一對(duì)兔子關(guān)在里面。已知一

3、對(duì)兔子每一個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而一對(duì)兔子出生后第二個(gè)月就開始生小兔子。假如一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，則一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)？ 斐波納契數(shù)列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233二、向近代數(shù)學(xué)的過渡1.1 三、四次方程求解： 費(fèi)羅(S. Ferro, 14651526)： 發(fā)現(xiàn)形如 的三次方程的代數(shù)解法，并將解法秘密傳給他 的學(xué)生費(fèi)奧 塔塔利亞:宣稱可以解形如 的三次方程,并最終將解法傳授與卡爾丹1 代數(shù)學(xué)論數(shù)字與度量（15561560）：數(shù)學(xué)百科全書和16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一卡爾丹：大術(shù)(或大法1545年) 三次方程 x3 = px + q (p , q

4、 0 ) 的解法： 實(shí)質(zhì)是考慮恒等式：(ab)3 + 3ab(ab) = a3b3 若選取 a 和b，使 3ab= p，a3b3 = q， （*） 由（*）不難解出a 和b， 于是得到 a b 就是所求的 x . 后人稱之為卡爾丹公式。 卡爾丹還對(duì)形如 x3 = px + q (p , q 0 )的方程給出了解的公式： x = a + b 其中 對(duì)于帶有二次項(xiàng)的三次方程，通過變換總可以將二次項(xiàng)消去，從而變成 卡爾丹能解的類型。 費(fèi)拉里(L. Ferrari,15221565)：四次方程求解 其解法是利用一個(gè)變換： 將一般四次方程 簡(jiǎn)化為 (這總可以做到) 由此進(jìn)一步得到 于是，對(duì)于任意的z，有

5、 再選擇適當(dāng)?shù)?z ，使上式右邊成為完全平方式，實(shí)際上使 即可。這樣就變?yōu)閦的三次方程。 費(fèi)拉里所討論的四次方程類型主要有以下幾種卡爾丹：將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程， 給出幾何證明；認(rèn)識(shí)到三次方程有三個(gè)根，四 次方程有四個(gè)根；對(duì)三次方程求解中的所謂“ 不可約”情形感到困惑，認(rèn)為復(fù)根是成對(duì)出現(xiàn) 的；卡爾丹還發(fā)現(xiàn)了三次方程的三根之和等于 x2項(xiàng)的系數(shù)的相反數(shù)，每?jī)筛朔e之和等于x 項(xiàng)的系數(shù)，等等 1572年,意大利數(shù)學(xué)家邦貝利在其所著教科書代 代數(shù)中引進(jìn)虛數(shù)，用以解決三次方程不可約情況，并以dimRq11表示 -11。 牛頓在其普遍的算術(shù)中證明復(fù)根成對(duì)出現(xiàn) 荷蘭人吉拉德代數(shù)新發(fā)現(xiàn)(1629

6、) 作進(jìn)一步的推斷：對(duì)于n次多項(xiàng)式方 程，如果把不可能的(復(fù)數(shù)根)考慮在內(nèi)，并包括重根，則應(yīng)有n 個(gè)根。 根與系數(shù)的關(guān)系問題后來由韋達(dá)、牛頓和格列高里等人作出系統(tǒng)闡述。 * 法國(guó)代數(shù)學(xué)：韋達(dá)：分析方法入門(1591)、論方程的整理與修正(1615)、有效 的數(shù)值解法(1600)等方程論著作 給出代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項(xiàng)式分解因式解法。笛卡兒：1637年,首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個(gè)二次方程求 解.幾何學(xué)中提出因式分解定理：f (x) 能為 (x-a) 整除,當(dāng)且僅當(dāng)a 是 f (x) = 0的一個(gè)根;未加證明敘述了n次多項(xiàng)式方程應(yīng)有 n個(gè)根的論斷, 以 及 “笛卡兒符號(hào)法則

7、”:多項(xiàng)式方程f (x) = 0 的正根的最多個(gè)數(shù)等于系 數(shù)變 號(hào)的次數(shù),負(fù)根的最多個(gè)數(shù)等于兩個(gè)正號(hào)與兩個(gè)負(fù)號(hào)連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù). 韋達(dá)：分析引論(1591) 第一次有意識(shí)地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號(hào),輔音 字母表示已知量,元音字母表示未知量,他把符號(hào) 性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”.同時(shí)規(guī)定了算術(shù)與代數(shù) 的分界,認(rèn)為代數(shù)運(yùn)算施行于事物的類或形式,算 術(shù)運(yùn)算施行于具體的數(shù).使代數(shù)成為研究一般類型 的形式和方程的學(xué)問,因其抽象而應(yīng)用更為廣泛. 韋達(dá)的符號(hào)代數(shù)保留著齊性原則，要求方程中各項(xiàng)都 是“齊性”的，即體積與體積相加，面積與面積相加.1.2 符號(hào)代數(shù)的引入 韋達(dá)的這種做法受到后人的贊賞，并被吉拉德的代數(shù)新

8、發(fā)現(xiàn)和奧特雷德(Oughtred, 15751660）的實(shí)用分析術(shù)所繼承。特別是通過后者的著作使得采用數(shù)學(xué)符號(hào)的風(fēng)氣流行起來。對(duì)韋達(dá)所使用的代數(shù)法的改進(jìn)工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個(gè)（a, b, c, d, ）表示已知量，后幾個(gè)（x, y, z, w, ）表示未知量，成為今天的習(xí)慣。 到十七世紀(jì)末，歐洲數(shù)學(xué)家已普遍認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)中特意使用符號(hào)具有很好的功效。并且使數(shù)學(xué)問題具有一般性。 部分文藝復(fù)興時(shí)期出現(xiàn)的縮寫代數(shù)符號(hào)：帕西奧里（意，14451517年）（意，1994） 1494年算術(shù)集成：繼斐波那契之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書貓捉老鼠問題 ：一只老鼠在60英尺高的白楊樹頂上，一只

9、貓?jiān)跇淠_下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；貓每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；這棵樹在貓和老鼠之間每天長(zhǎng)1/4英尺，晚上又縮1/8英尺。試問貓要多久能捉住老鼠？符號(hào)使用者時(shí)間方根RFibonacci (11701250, 意)1202年加，減p, mPacioli (約14451517, 意)1494年加，減+ , -J.Widman（德）1489年減Oughtred（英）1631年等于=R. Recorde（英）1557年等于Vieta（法）1591年等于Descartes（法）1637年乘Oughtred（英）1631年乘Oughtred（英）1631年運(yùn)算或關(guān)

10、系比例：Oughtred（英）1631年除J.H.Rahn (16221676, 瑞士)1659年大于,小于, T. Harriot（15601621,英）16世紀(jì)方括號(hào),大括號(hào) , Vieta （法）1593年根號(hào)C.Rudolff （奧地利）16世紀(jì)n根號(hào)A.Girard（15931632,荷）16年乘冪xnxnOresme14世紀(jì)乘冪xnBombelli （法）乘冪axnanChuquet （法）1484年指數(shù)a3a3Pierre Herigone （法）1634年指數(shù)a3aaaT. Harriot（15601621,英）指數(shù)axaxDescartes （法）1637年n2 三角學(xué)波伊爾

11、巴赫： 把托勒玫的天文大成譯成拉丁文，并編制了十分精確的正弦表。雷格蒙塔努斯： 論各種三角形歐洲第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著 全書分五卷，前兩卷論平面三角, 后三卷論球面三角, 給出了球面三角 正弦定理和邊的余弦定理。 方位表：制定高達(dá)5位的三角函數(shù)表, 除正余弦表外, 還有正切表。 首次對(duì)三角學(xué)作出完整、獨(dú)立的闡述,使其開始在歐洲廣泛傳播。維爾納(Werner,14681528)：論球面三角(1514) 改進(jìn)了將雷格蒙塔努斯的思想。雷提庫(kù)斯： 將傳統(tǒng)的弧與弦的關(guān)系, 改進(jìn)為角的三角函數(shù)關(guān)系, 并采用了六個(gè)函數(shù) (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，編制了間隔為10“的10位 和15位正弦表

12、。韋達(dá)：將平面三角與球面三角知識(shí)系統(tǒng)化.在標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)(1579)和斜截 面(1615) 中, 把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起, 其中包括自己得到的正切公式： 建立解球面三角形的方法與一套公式, 給出幫助記憶這些公式的今天 所謂的“納皮爾法則”. 這些球面三角公式大都是托勒玫建立的, 但 也有 韋達(dá)自己的公式, 如 （A為鈍角） 尤為重要的是韋達(dá)還將一套三角恒等式改成代數(shù)形式。 16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。 3 從透視學(xué)到射影幾何 圓錐曲線在天文學(xué)上的應(yīng)用，促使人們需要重新審視希臘人的圓錐曲線，以及其它高等曲線。天文觀測(cè)的需要，光學(xué)又日益成為文藝復(fù)興

13、時(shí)期的一個(gè)重要課題。文藝復(fù)興時(shí)期的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力來自藝術(shù)。 中世紀(jì)宗教繪畫具有象征性和超現(xiàn)實(shí)性。文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界成為繪畫的重要目標(biāo).畫家們?cè)趯⑷S現(xiàn)實(shí)世界 由于繪畫、制圖的刺激導(dǎo)致透視學(xué)的興起, 從而誕生了投影幾何學(xué)。 布努雷契：由于對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)興趣而認(rèn)真研究透 視法，他試圖運(yùn)用幾何方法進(jìn)行繪畫。 阿爾貝蒂：論繪畫(1511) 早期數(shù)學(xué)透視 法的代表作。引入投影線、截影等概念， 還討論了截影的數(shù)學(xué)性質(zhì)，成為射影幾何 發(fā)展的起點(diǎn)。繪制到二維的畫布上時(shí),面臨的問題： （1）一個(gè)物體的同一投影的兩個(gè)截影有什么共同的性質(zhì)？ （2）從兩個(gè)光源分別對(duì)兩個(gè)物體投影得同一物影,那么這兩個(gè)物體有何共同的幾

14、何性質(zhì)？蒙娜麗莎達(dá)芬奇自畫像 德沙格(G.Desargues, 15911661)： 系統(tǒng)討論透視法的第一人. 他研究投影法的動(dòng)機(jī)是希望證明阿波羅尼奧斯 圓錐曲線的定理. 1636年發(fā)表第一篇關(guān)于透視法的論文. 代表作是1639年發(fā) 表的試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿,書中引入70多個(gè)投影幾何術(shù) 語(yǔ), 有些很古怪, 如投影線叫“棕”, 標(biāo)有點(diǎn)的直線叫“干”, 其上有三點(diǎn)成對(duì)合關(guān)系 的直線叫“樹” 等等。 創(chuàng)造性思想： 從焦點(diǎn)透視的投影與截影原理出 發(fā), 對(duì)平行線引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的概念, 繼而獲得無(wú)窮遠(yuǎn)線的概念; 討論了今天所謂的笛沙格定理: 投影三角形 ABC 和ABC 的對(duì)應(yīng)邊(或 延長(zhǎng)線)交點(diǎn)

15、Q、R、P共線。反之，對(duì)應(yīng) 邊交點(diǎn)共線的三角形，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線 AA、BB、CC共點(diǎn)O 。 德沙格在他朋友鮑瑟1648年發(fā)表的一本關(guān)于透視法著作的附錄中,發(fā)表了三角形其它一些射影性質(zhì)的結(jié)論,其中包含投影變換下交比不變性定理。A B C DQRPABCCABOOA BCD一直線上的四點(diǎn)A、B、C、D間的線段構(gòu)成的比 定義為它們的交比. 笛沙格從投影觀點(diǎn)考慮，證明了投影線的每個(gè)截線上的交比都相等。 從對(duì)合點(diǎn)問題出發(fā)首次討論了調(diào)和點(diǎn)組的理論。笛沙格利用射影原理證明了：在圓錐曲線的內(nèi)接四邊形中，任一不過頂點(diǎn)的直線與圓錐曲線以及與完全四邊形對(duì)邊相交的四對(duì)點(diǎn)具有對(duì)合關(guān)系。在對(duì)合概念的基礎(chǔ)上引入共軛點(diǎn)與調(diào)和點(diǎn)

16、組的概念，認(rèn)為對(duì)合、調(diào)和點(diǎn)組關(guān)系在投影變換下具有不變性。在調(diào)和點(diǎn)組概念基礎(chǔ)上，笛沙格進(jìn)一步研究了極點(diǎn)與極帶理論。利用這些理論處理了阿波羅尼奧斯的圓錐曲線，他將圓錐曲線的直徑視作無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的極帶，通過投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線。 法國(guó)另一位數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal, 16231662）十六歲時(shí)就開始也研究投射與取景法, 他曾接受笛沙格的建議 把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化為少數(shù)幾個(gè)基本命題, 1640年完成著作略論圓錐曲線, 不久失傳, 后于1779 年被重新發(fā)現(xiàn). 在射影幾何方面他最突出的成就是所謂的帕斯卡定理:圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線. （1）一

17、個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從形狀連續(xù)變化到另一形狀； （2）變換與變換不變性； （3）幾何新方法僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系，不涉及度量。 十七世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的時(shí)尚是理解自然和控制自然,用代數(shù)方法處理數(shù)學(xué)問題一般更為有效,也特別容易獲得科技所需要的數(shù)量結(jié)果,而射影幾何學(xué)家的方法是綜合的,而且得出的結(jié)果也是定性的,不那么有用.因此,射影幾何產(chǎn)生后不久,很快就讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分,終由這些學(xué)科進(jìn)一步發(fā)展出在近代數(shù)學(xué)中占中心地位的其它學(xué)科.笛沙格、帕斯卡、希爾等人的工作與結(jié)果也漸被人們所遺忘,遲至十九世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn). 拉伊爾: (P. de la Hire,16401718) 圓錐曲線(1685)中

18、首先證明了有關(guān)調(diào)和點(diǎn)組的圓的性質(zhì), 再通過投影和取截影, 將這些性質(zhì)推廣到圓錐曲線上, 證明了阿波羅尼烏斯的364個(gè)關(guān)于圓錐曲線的定理中的300個(gè). 其結(jié)果并未超過笛沙格與帕斯卡的工作, 最突出的地方在于極點(diǎn)理論方面有所創(chuàng)新, 獲得并且證明了命題：若一點(diǎn)Q在直線p上移動(dòng), 則該點(diǎn)Q 的極帶將繞那直線 p 的極點(diǎn) P 轉(zhuǎn)動(dòng). 德沙格等人把這種投影分析方法和所獲得的結(jié)果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在十七世紀(jì)人們對(duì)二者不加區(qū)別。但我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，當(dāng)時(shí)由于這一方法而誘發(fā)了一些新的數(shù)學(xué)思想和觀點(diǎn)：4 計(jì)算技術(shù)與對(duì)數(shù) 科學(xué)成果在工程技術(shù)上的應(yīng)用以及實(shí)踐上的需要,對(duì)計(jì)算技術(shù)提出了前所未有的要求. 如：地

19、理探險(xiǎn)與海洋貿(mào)易需要更為準(zhǔn)確的天文知識(shí); 以精確觀測(cè)為基礎(chǔ)的新天文學(xué)說需要精密的天文數(shù)表, 特別是三角函數(shù)表;日益發(fā)展起來的銀行業(yè)務(wù)和商務(wù)活動(dòng)也需要更好的計(jì)算技術(shù). 由于算術(shù)方面的推動(dòng), 數(shù)域開始得到拓寬, 人們能夠?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)及連分?jǐn)?shù)有了一定的認(rèn)識(shí)并作適當(dāng)?shù)奶幚? 1585年荷蘭數(shù)學(xué)家史蒂文發(fā)表的論十進(jìn)制算術(shù)系統(tǒng)探討十進(jìn)數(shù)及其運(yùn)算理論, 并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來書寫分?jǐn)?shù), 還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進(jìn)制. 這種十進(jìn)位值制的采用又為計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)準(zhǔn)備了必要條件。 對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用：由于天文和航海計(jì)算的強(qiáng)烈需要，為簡(jiǎn)化天文、航海方面所遇到繁復(fù)的高位數(shù)值計(jì)算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單

20、的加減法，這種設(shè)想受到人們熟知的三角公式 的啟示，或許受到斯蒂費(fèi)爾在他的綜合算術(shù)（1544）中所發(fā)現(xiàn)的幾何級(jí)數(shù) 1, r, r2, r3, 與其指數(shù)構(gòu)成的算術(shù)級(jí)數(shù)0, 1, 2, 3, 之間對(duì)應(yīng)關(guān)系及運(yùn)算性質(zhì)的啟示。 納皮爾(J.Napier)： 在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對(duì)數(shù)方法. 奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書(1614) 闡述了對(duì)數(shù)方法. 他考察一個(gè)點(diǎn)P沿直線AB(長(zhǎng)度為107單位)運(yùn)動(dòng),其速度在每一點(diǎn)P上正比于剩余距離PB = y;再假定一個(gè)點(diǎn)Q沿?zé)o限直線CD勻速運(yùn)動(dòng),速度等于第一點(diǎn)在A處的速度, CQ = x; 且P與Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)(如圖); 那么定義 x 是 y 的對(duì)數(shù)。 A

21、PyBCDQx圖 納皮爾最初讓 x 和 y 這兩組數(shù)是按公式 對(duì)應(yīng), 其中a = 107，e 是自然對(duì)數(shù)的底，當(dāng) 時(shí)，并不能得到 ，而是得到 。納皮爾的目的是想用對(duì)數(shù)解決平面和球面三角問題，因此他作了以分弧為間隔的090角正弦的對(duì)數(shù)表。 布里格斯(Henry Briggs,15611631)：與納皮爾合作, 決定采用y =10 x , 則 時(shí)得到 , 獲得今天所謂的“常用對(duì)數(shù)”. 由于我們的數(shù)系是十進(jìn)的, 從而它在數(shù)值計(jì)算上具有優(yōu)越性. 對(duì)數(shù)算術(shù)(1624)編制了1-2000以及90000-100000的14位常用對(duì)數(shù)表。 比爾吉(Jobst Brgi, 15521632) :1600年也獨(dú)立

22、地發(fā)明了對(duì)數(shù)方法以簡(jiǎn)化天文計(jì)算。其對(duì)數(shù)思想的基礎(chǔ)是斯蒂費(fèi)爾的級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)思想，屬于算術(shù)性質(zhì)而略異于納皮爾的做法。不過他的發(fā)明遲至1620年才得到發(fā)表。對(duì)數(shù)的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲。拉普拉斯(Laplace, 17491827)曾贊譽(yù)：“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”?？梢哉f，到十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初，整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型，文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。三、 解析幾何的誕生 近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說成是變量數(shù)學(xué)。 生產(chǎn)力對(duì)科學(xué)技術(shù)提出的要求： 機(jī)械的普遍使用引起了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事 業(yè)的空前發(fā)

23、達(dá)，而測(cè)定船舶位置問題要求準(zhǔn)確地研究天體運(yùn)行的規(guī)律； 武器的改進(jìn)刺激了彈道問題的探討，等等； 十六世紀(jì), 對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題, 這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具, 從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的誕生。 解析幾何 變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的誕生. 解析幾何的基本思想是在平面上引進(jìn)所謂“坐標(biāo)”的概念, 并借助這種坐標(biāo)在平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)(x , y)之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 代數(shù)方程 f (x , y) = 0對(duì)應(yīng)于平面曲線. 奧雷斯姆：解析幾何最重要的前驅(qū) 論形態(tài)幅度中提出的形態(tài)幅度原理(或稱圖線原理), 甚至已接觸到直角坐標(biāo)系中用曲線表示函數(shù)的圖象, 奧雷斯

24、姆借用“經(jīng)度”、“緯度”這兩個(gè)地理學(xué)術(shù)語(yǔ)來敘述他的圖線, 相當(dāng)于縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo). 不過他的圖線概念是模糊的, 至多是一種圖表, 還未形成清晰的坐標(biāo)與函數(shù)圖象的概念。 笛卡兒: 更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論(1637) 三個(gè)附錄:幾何學(xué),屈光學(xué)和氣象學(xué), 解析幾何的發(fā)明包含在幾何學(xué)中. 笛卡爾出發(fā)點(diǎn)是帕普斯(Pappus)問題： 設(shè)在平面上給定3條直線 l1 、l2 和 l3，從平面上的點(diǎn)C 作點(diǎn)作三條直線分別與l1 、l2 、l3交于P、R、Q，交角分別等于已知角1 、2 和3，求使CPCR = k CQ 2的點(diǎn)C的軌跡。如果給定四條直線(如圖)，則求使 這一問題稱作帕普斯四直線問題.

25、 問題還可以類似地推廣到 n 條直線的情形.帕普斯曾宣稱, 當(dāng)給定的直線是三條或四條時(shí),所得的軌跡是一條圓錐曲線。 的C點(diǎn)的軌跡。l2 l3 l4l1E A x P GyRDCQHFS幾何學(xué)第二卷證明了四直線問題的帕普斯結(jié)論。其做法是：記AP為x，PC為y，經(jīng)簡(jiǎn)單的幾何分析，他用已知量表出CR、CQ 和CS 的值，代入CPCR = CSCQ，就得到一個(gè)關(guān)于x和y的二次方程： y 2 = A y + B x y + C x + D x 2 (* )其中A、B、C、D是由已知量組成的簡(jiǎn)單代數(shù)式。笛卡爾指出，任給x一個(gè)值，就得到一個(gè)關(guān)于y的二次方程，從這個(gè)方程可以解出y，根據(jù)幾何學(xué)第一卷所給的方法，

26、用圓規(guī)直尺將y畫出。如果我們?nèi)o(wú)窮多個(gè)x值，就得到無(wú)窮多個(gè)y值，從而得到無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)C，所以這些點(diǎn)C的軌跡就是方程（*）代表的曲線。 笛卡兒在這里選定一條直線(AG)作為基線(相當(dāng)于一根坐標(biāo)軸)，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，x值是基線的長(zhǎng)度，從A點(diǎn)量起；y值是另一條線段的長(zhǎng)度，該線段從基線出發(fā)，與基線交成定角。于是，笛卡兒建立了歷史上第一個(gè)傾斜坐標(biāo)系。幾何學(xué)第三卷還給出直角坐標(biāo)系的例子。有了坐標(biāo)系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸選擇無(wú)關(guān)；坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡(jiǎn)單；利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點(diǎn)；以及曲線的分類等等。 笛卡兒幾何學(xué)的方法論背景:幾何學(xué)作為笛

27、卡兒哲學(xué)著作方法論的附錄，意味著他的幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至其它方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導(dǎo)下獲得的。其方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他認(rèn)為在一切領(lǐng)域中可以建立一種普適的推證真理的方法，這個(gè)方法就是數(shù)學(xué)方法，稱之為“通用數(shù)學(xué)”。由此出發(fā)提出一種大膽的計(jì)劃，即： 任何的問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程求解為了實(shí)現(xiàn)這一計(jì)劃，笛卡兒首先通過“廣延” (對(duì)有形物廣延的一種推廣)的比較將一切度量問題化為代數(shù)方程問題.為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號(hào)系統(tǒng)及其算術(shù)運(yùn)算，特別是要給出算術(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)。 當(dāng)然，笛卡兒的方法論著作并沒有告訴人們，在將一切問題化歸為代數(shù)方程

28、問題后將如何繼續(xù)，這還是幾何學(xué)需要完成的任務(wù)。笛卡爾運(yùn)用算術(shù)或代數(shù)術(shù)語(yǔ)將一切幾何問題化為關(guān)于一個(gè)未知線段的單個(gè)代數(shù)方程： z = b z2 = a z + b z3 = a z2 + b z + c z4 = a z3 + b z2 + c z + d 幾何學(xué)的主要篇幅或者說主要目標(biāo)就是討論如何給出這些方程的標(biāo)準(zhǔn)解法(由線段作圖畫出)。笛卡兒依次對(duì)此進(jìn)行分類解答： (1) 一、二次方程； (2) 三、四次方程； (3) 五、六次方程； 幾何學(xué)第一卷對(duì)于最簡(jiǎn)單的第（1）類方程，討論了三種形式的二次方程： z2 = a z + b2 z2 = a z + b2 z2 = a z b2 并分別給出作

29、圖（解）。本質(zhì)上是利用圓與直線的交點(diǎn)。 以z2 = a z + b為例，笛卡兒作一直角三角形NLM，使其一邊LM = b，另一邊LN = a /2，延長(zhǎng)斜邊MN至O，使NO = NL，則OM即所求線段 z（如圖）。 aONPL b M2圖 笛卡兒發(fā)明坐標(biāo)幾何的最終目標(biāo)是解決高次方程的作圖問題在幾何學(xué)第三卷的后半部分，他利用得到的坐標(biāo)幾何工具，解決了三、四次方程的作圖(利用圓與拋物線的交點(diǎn))和五、六次方程的作圖(利用圓與比拋物線更高一次的所謂“笛卡兒拋物線”的交點(diǎn))，并指出，可以依此類推地解決更高次方程的作圖問題。 笛卡兒幾何學(xué)的整個(gè)思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭.笛卡兒在方法論中尖銳地批判了亞里士多德的“三段論”法則,認(rèn)為三段論法則“只