2022屆江蘇省南京市寧海中學(xué)高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 20 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 20 頁2022屆江蘇省南京市寧海中學(xué)高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1設(shè)集合，R為實(shí)數(shù)集，則（）A或B或CD【答案】C【分析】先求出集合A，B，再求兩集合的并集，然后再求其補(bǔ)集【詳解】由，得，解得，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，所以，所以，所以，故選：C2若復(fù)數(shù)（1i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A（，1）B（，1）C（1，+）D（1，+）【答案】B【詳解】試題分析：設(shè)，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的

2、點(diǎn)在第二象限，所以，解得：，故選B.【解析】復(fù)數(shù)的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，bR)復(fù)數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.3若命題“時(shí)，”是假命題，則的取值范圍（）ABCD【答案】B【分析】全稱命題的否定是特稱命題，將問題轉(zhuǎn)化為不等式能成立求參數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)椤埃笔羌倜}，則其否定“，”為真命題則而當(dāng)時(shí)，取得最小值所以故選：B4已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，記次品數(shù)為X，已知，且該產(chǎn)品的次品率不超過

3、；則這10件產(chǎn)品中次品數(shù)n為（）A1件B2件C8件D2件或8件【答案】B【分析】設(shè)10件產(chǎn)品中存在 件次品，根據(jù)題意列出方程求出的值即可【詳解】設(shè)10件產(chǎn)品中存在 件次品，從中抽取2件，其次品數(shù)為 ，由 得 化簡(jiǎn)得 ，解得 或 又該產(chǎn)品的次品率不超過 ， 應(yīng)取故選：B5函數(shù)的部分圖象大致為（）ABCD【答案】A【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)的對(duì)稱性，再根據(jù)時(shí)，即可判斷.【詳解】可得，令，定義域?yàn)?，且，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是由向右平移2個(gè)單位所得，關(guān)于對(duì)稱，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的辨別，屬于基礎(chǔ)題.6將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將圖象上每一點(diǎn)的橫

4、坐標(biāo)縮短到原來的倍，所得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小正值為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到變換之后的解析式，再根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的取值，從而得解；【詳解】解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到，再將圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的所得圖象的解析式因?yàn)樗脠D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最值，所以，解得，當(dāng)時(shí)，取得最小正值為，故選：D7已知中，AD與BE交于點(diǎn)P，且，則（）ABCD【答案】B【分析】利用可得，再利用可得，可得關(guān)于的方程組，解方程組即求.【詳解】，與交于點(diǎn)，且，又，解得，.故選：B.8設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿

5、足，則的最小值為（）ABCD【答案】A【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用余弦定理和基本不等式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，得，設(shè)，因?yàn)?，由余弦定理得，即，整理得，?又，即，所以，即的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：A.二、多選題9某保險(xiǎn)公司銷售某種保險(xiǎn)產(chǎn)品，根據(jù)2020年全年該產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）和該產(chǎn)品的銷售額占總銷售額的百分比，繪制出如圖所示的雙層餅圖根據(jù)雙層餅圖，下列說法正確的是（）A2020年第四季度的銷售額為280萬元B2020年上半年的總銷售

6、額為500萬元C2020年2月份的銷售額為60萬元D2020年12個(gè)月的月銷售額的眾數(shù)為60萬元【答案】AD【分析】先根據(jù)第二季度的銷售額和占百分比計(jì)算出全年的銷售總額，然后再根據(jù)選項(xiàng)逐一判斷即可【詳解】第二季度銷售額為260萬元，第二季度占總銷售額的百分比為 ，可得年銷售額為1000萬元2020年第四季度的銷售額為 萬元，故A正確2020年上半年的總銷售額為 萬元，故B錯(cuò)誤2020年2月份的銷售額為 萬元，故C錯(cuò)誤2020年12個(gè)月的月銷售額分別是 ，眾數(shù)是 萬元，故D正確故選：AD10關(guān)于的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32B所有項(xiàng)的系數(shù)和為0C常數(shù)項(xiàng)為D系數(shù)最大的項(xiàng)

7、為第3項(xiàng)【答案】BC【分析】原二項(xiàng)式可化為，再根據(jù)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)求解即可.【詳解】，可得二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A錯(cuò)誤；令得所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項(xiàng)，故C正確；，系數(shù)為，最大為或，為第3項(xiàng)或第5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11定義為數(shù)列的“優(yōu)值”已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，前n項(xiàng)和為，下列關(guān)于數(shù)列的描述正確的有（）A數(shù)列為等差數(shù)列B數(shù)列為遞增數(shù)列CD，成等差數(shù)列【答案】ABC【分析】由新定義可得，利用該遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】由已知可得，所以，所以時(shí)，得時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，由知，滿足所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B正確，所以，所以故，故C

8、正確，不是等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤，故選：ABC12已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，則（）A是以2為周期的周期函數(shù)B點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心CD函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【分析】首先根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的周期和對(duì)稱中心，然后求得.利用圖象法即可判斷D.【詳解】依題意，為偶函數(shù)，且，有，即關(guān)于對(duì)稱，則，所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)榈闹芷跒?，關(guān)于對(duì)稱，所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；因?yàn)榈闹芷跒?，則，所以，故C錯(cuò)誤；作函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BD.三、填空題13已知，_.【答案】【分析】利用半角公式求解

9、即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.故答案為：14若函數(shù)滿足：（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有；（2），則_.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個(gè)函數(shù)即可)【答案】型的都對(duì)【分析】本題屬于開放性題，只需填寫符合題意的答案即可，依題意可以判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，（且，）即可得解；【詳解】解：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，都有，說明該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又對(duì)數(shù)函數(shù)滿足運(yùn)算性質(zhì)：，故可選一個(gè)遞增的對(duì)數(shù)函數(shù)：故答案為：15已知曲線，圓，當(dāng)曲線C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)_【答案】4或55或4【分析】由題可得表示兩條直線，利用點(diǎn)到直線的距離公式及直線與圓的位置關(guān)系即得.【詳解】由，得，則表示兩條直線，其方程分別為與， 因?yàn)榭?/p>

10、知圓心，直線與圓相交，又到直線的距離，所以當(dāng)時(shí)，直線與圓相切，與圓有3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線與圓相交，且其中一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，符合題意；綜上，或.故答案為：4或5.16已知四面體ABCD中，為等邊三角形，若，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為_【答案】【分析】由已知證明平面ABC，設(shè)，則，求出底面外接圓的半徑r，再求得球心到底面中心的距離，利用勾股定理結(jié)合二次函數(shù)求得四面體外接球的半徑R的最小值，則四面體ABCD外接球表面積的最小值可求.【詳解】解：由題意可得，所以，則，得到：平面ABC，設(shè)，則，取正三角形ABC的外心為，四面體ABCD的外接球球心O，連接，則底面ABC，底面外接圓的半徑，所以

11、四面體外接球的半徑，當(dāng)時(shí)，R有最小值為，所以四面體ABCD外接球表面積的最小值為，故答案為：.四、解答題17已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，表示取a與b中的較大值，記，求數(shù)列前n項(xiàng)和【答案】(1)(2)【分析】（1）分別令，可得，兩式相除可求出，從而可求出，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式，（2）由題意可得，然后通過比較與的大小，可求出，從而可求出【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為（），因?yàn)?，所以?所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?2)由（1），得，所以，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí) ，當(dāng)時(shí)，即 ，所以，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，綜上，18在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)在邊上，滿足

12、，且(1)求證：；(2)求【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別在和中利用正弦定理表示出，代入已知等式化簡(jiǎn)整理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)，在和利用余弦定理可整理得到；在中，利用余弦定理可得，進(jìn)而得到，代入中即可求得結(jié)果.【詳解】(1)，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；又，即，.(2)在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；，即，整理可得：；在中，由余弦定理得：，則，即；.19如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為O，且，(1)求證：平面；(2)設(shè)，若直線與平面所成的角為；求二面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，得到，再證

13、明，由線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可【詳解】(1)證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又，是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，平面；所以平面?2)解：因?yàn)?，所以直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，所以直線與平面所成的角即為，即，因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，則在等邊三角形中，在中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，由平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角為，由圖可知，二面角為鈍二面角，則，所以，即二面角的正

14、弦值為20某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)100元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)300元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)(1)求X的分布列；(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)更合理？【答案】(1)分布列見解析；(2

15、)選更合理，理由見解析.【分析】（1）由柱狀圖，易得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列；（2）購買零件所需費(fèi)用含兩部分：一部分為購買零件的費(fèi)用，零一部分備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用，結(jié)合(1)分別求出、時(shí)費(fèi)用的期望即可下結(jié)論.【詳解】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，從而；所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)購買零件所需費(fèi)

16、用含兩部分：一部分為購買零件的費(fèi)用，另一部分備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用，當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為：元，當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為：元，因?yàn)?，所以選更適合.21已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C(1)求曲線C的軌跡方程(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)B引圓的兩條切線BP；BQ，切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q，線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為，求的取值范圍【答案】(1)；(2)的取值范圍為【分析】(1)根據(jù)曲線軌跡方程的定義求解；(2) 設(shè)切線BP的方程為，切線的方程為，所以， ，再求出，即得解.【詳解】(1)設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡(jiǎn)得，所以，所以曲線C的方程為，(2)由已知，所以切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，則圓心到切線的距離，所以，設(shè)切線BQ的方程為，同理可得，所以是方程的兩根，所以， ，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，所以，同理，所以，因?yàn)?，所以所以所以的取值范圍為【點(diǎn)睛】求取值范圍常用的方法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.22已知函數(shù)，(1)設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：對(duì)任意正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得，分類討論即得；（2）利用導(dǎo)數(shù)可得