2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期全真模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 16 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 頁2022屆陜西省西安交通大學(xué)附屬中學(xué)高三下學(xué)期全真模擬（一）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1已知集合，集合，則ABCD【答案】B【分析】由題意，求得集合，集合，根據(jù)集合的交集的運算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，集合，集合，根據(jù)集合的交集的運算，可得，故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集的運算問題，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的運算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2若復(fù)數(shù)與其共

2、軛復(fù)數(shù)滿足，則（）ABC2D【答案】A【分析】設(shè)，則,求得，再求模，得到答案.【詳解】設(shè)，則，故，.故選：A.【點睛】本題考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，兩復(fù)數(shù)相等的條件，復(fù)數(shù)的模，還考查了學(xué)生的計算能力，屬于容易題.3等比數(shù)列an中，若a59，則log3a4+log3a6（）A2B3C4D9【答案】C【分析】利用等比中項得到，直接求得.【詳解】等比數(shù)列an中，若a59，所以，所以.故選：C4焦點在軸的正半軸上，且焦點到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)拋物線中的幾何意義計算可得；【詳解】解：依題意設(shè)拋物線，又焦點到準(zhǔn)線的距離為，即，所以拋物線方程為；故選：D5已知命題p

3、：命題q：則下列命題為真命題的是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得命題的真假，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題的真值表即可得到答案【詳解】對于命題，由指數(shù)函數(shù)的值域可知，成立，故命題為真命題；對于命題，當(dāng)時，故成立，命題為真命題；故命題為真命題，為假命題，為假命題，為假命題；故答案選A【點睛】本題考查真假命題的概念，以及真值表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是判斷出命題，的真假，屬于基礎(chǔ)題6若，則（）ABCD【答案】A【解析】利用誘導(dǎo)公式得，再利用二倍角公式可求結(jié)果.【詳解】根據(jù)已知，有.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式、三角函數(shù)求值等基礎(chǔ)知識；考

4、查運算求解能力.7已知等差數(shù)列的前項和為，若且，三點共線（該直線不過原點），則的值為（）A1007B2018C1009D2007【答案】C【分析】由三點共線可得向量與共線，再結(jié)合共線定理及平面向量基本定理可得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)即可求出.【詳解】因為，三點共線，所以向量與共線，所以有且只有一個實數(shù)，使得，所以，所以，又，由平面向量基本定理可知，所以，所以.故選：C【點睛】本題主要考查了共線定理、平面向量基本定理、等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.8（）ABCD【答案】C【分析】由定積分的運算性質(zhì)可得，再結(jié)合定積分的計算公式及定積分的幾何意義，即可求解.【詳解

5、】解：由定積分的運算性質(zhì)可得，又由，根據(jù)定積分的幾何意義，可知表示所表示的圖形的面積，即所表示的上半圓的面積，所以，故選：C.9為了對變量，的線性相關(guān)性進行檢驗，由樣本點求得兩個變量的樣本相關(guān)系數(shù)為，那么下面說法正確的有（）A若所有樣本點都在直線上，則B若變量，呈正相關(guān)，則變量，的線性相關(guān)性較強C若所有樣本點都在直線上，則D若越小，則變量，的線性相關(guān)性越強【答案】A【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系與變量的線性相關(guān)性之間的關(guān)系判斷各選項的正誤【詳解】所有樣本點都在一條直線上，若，則正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)；，負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為越大，相關(guān)性超強，越小，相關(guān)性越弱，四個選項中只有A正確故選：A10雙曲線的左、右焦點分別

6、為、，是雙曲線上一點，軸，則雙曲線的離心率為（）ABCD【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得，利用勾股定理求出，再利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的齊次等式，由此可求得雙曲線的離心率.【詳解】因為軸，則，故，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：D.11已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，是邊長為的正三角形，則球O的半徑長為()ABCD【答案】B【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，設(shè)ABC外接圓半徑為r，S到底面ABC距離為h，三棱錐外接球半徑為R，則，據(jù)此即可求出答案【詳解】易知三棱錐S-ABC為正三棱錐，設(shè)底面ABC外接圓圓心為D，半徑為AD=r=，S到底面ABC距離為SD=h

7、=，設(shè)外接球球心為O，半徑為SO=OA=R，則在RtAOD中，解得R=.故選：B.12若關(guān)于x的方程存在三個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是ABCD【答案】C【詳解】若關(guān)于的方程等價于，令，的兩根一正一負，由在 上遞增，在 上遞減，且 時，結(jié)合 的圖象可知，要使關(guān)于的方程存在三個不等實根，只需令的正根滿足，即可，解得，故選C.【方法點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題. 數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系

8、提供了“形”的直觀性歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)二、填空題13若變量x，y滿足約束條件，則的最大值等于_【答案】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)果.【詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域如下，由可得，則表示直線在軸截距的三倍，因此直線在軸截距越大，越大；由圖像可得，當(dāng)直線過點時，在軸截距最大，聯(lián)立可得，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可，屬于?？碱}型.14已知，若與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為

9、_.【答案】【分析】由題意得出且與不共線，利用向量的坐標(biāo)運算可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由于與的夾角為鈍角，則且與不共線，解得且，因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查利用向量的夾角求參數(shù)，解題時要找到其轉(zhuǎn)化條件，設(shè)兩個非零向量與的夾角為，為銳角，為鈍角.15若，且，則_【答案】【分析】由，可得，從而利用換底公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】解：因為，所以，又，所以，所以，所以，故答案為：.16已知數(shù)列中，前n項和為.若，則數(shù)列的前15項和為_.【答案】【分析】首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求出數(shù)列的和【詳解】解：數(shù)列中，前項和為若，則，整

10、理得，所以數(shù)列是以1為首項，1位公差的等差數(shù)列，則，所以所以所以故答案為：三、解答題17如圖，已知四棱錐的底面ABCD是矩形，底面ABCD，M為BC的中點，且.(1)求四棱錐的體積；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形相似列方程即可求得長，然后利用棱錐的體積公式進行求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求面的法向量與面的法向量的夾角的正弦值.【詳解】(1)連接BD，交AM于E，面，面，則又，則面，又面，則，則有，則，又，即，解之得，即，所以，四棱錐的體積為.(2)以D為原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則，設(shè)平面的

11、法向量為則，即，令，則即，設(shè)平面的法向量為則，即，則，令，則即，則又，則18設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且(1)求B；(2)若，AC的中點為D，求BD的長【答案】(1)(2)【分析】（1）通過正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可求角B；（2）利用中線與相鄰兩邊的向量關(guān)系式結(jié)合已知可求得BD的長【詳解】(1)因為，由正弦定理可得：，因為，所以，所以，又(2)，兩邊平方可得，即，所以.19某學(xué)校在假期安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校對全校學(xué)生進行了測試（滿分100分），從中隨機抽取50名學(xué)生的成績，并將其分成以下6組：，整理得到如圖所示的頻率分布直方

12、圖.(1)求圖中的值；(2)試估計全校學(xué)生的平均成績；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）(3)將頻率視為概率，從全校成績在80分及以上的學(xué)生中隨機抽取10人，用表示成績在中的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)72.6(3)【分析】（1）由小矩形面積之和為1求出；（2）利用中間值作代表求解出平均數(shù)的估計值為72.6；（3）先得到全校成績在80分及以上的學(xué)生中抽取1人，此人成績在的概率為，進而得到，利用二項分布求期望公式直接進行求解.【詳解】(1)由題意得：，解得：(2)，估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?2.6(3)因為成績在與的學(xué)生比例為2:1，所以全校成績在80分及以上的學(xué)生中抽取1人

13、，此人成績在的概率為，故，則20已知橢圓E：的左焦點為，離心率.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓E上在第一象限有一點P的橫坐標(biāo)為，點MN是橢圓E上異于點P的不重合的兩點，且，求證：直線MN恒過定點，并求出定點坐標(biāo).【答案】(1)(2)證明見解析，定點【分析】（1）利用離心率，焦點坐標(biāo)及求得得橢圓方程；（2）先確定點坐標(biāo)，MN斜率不存在時，設(shè)，則，由點在橢圓上及求出得直線方程，當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN方程為，直線方程代入橢圓方程，應(yīng)用韋達定理得，代入得出關(guān)系，從而得直線所過定點【詳解】(1)由題設(shè)，又，可得，則橢圓E的方程為(2)易得，當(dāng)MN斜率不存在時，設(shè)，則，代入橢圓方程，得，

14、由，得，即，代入并化簡，得，解得，此時直線MN的方程為；當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN方程為，聯(lián)立方程，消去y得，.，即，代入與并整理，得，即，或，當(dāng)時，此時直線MN為，易知直線過，不符合題意舍去；當(dāng)時，此時直線MN為，易知直線過，符合題意；綜上，MN所在直線恒過定點.21設(shè)函數(shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)如果對于任意的，都有成立，試求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論確定和的解得單調(diào)區(qū)間；（2）由導(dǎo)數(shù)求得在上的最大值1，問題化為時，恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值，得參數(shù)范圍【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞

15、增；當(dāng)時，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上得，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)，令，解得，則在上單調(diào)遞減，令，解得，則在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，恒成立，即恒成立，則恒成立；令，則，設(shè)，則它是減函數(shù)，即是減函數(shù)，又，令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，解得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減：，故，即實數(shù)a的取值范圍是.22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與C交于A，B兩點，求的值.【答案】(1)，(2)21【分析】（1）根據(jù)參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的公式求得C的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程并代入的普通方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得的值.【詳解】(1)，所以C的普通方程為，l的極坐標(biāo)方程可化為，所