無窮級數(shù)疑難分析講座

1、微積分疑難分析系列講座無窮級數(shù)主講人：賈 閩 惠 無窮級數(shù)主要內(nèi)容一、常數(shù)項無窮級數(shù)二、冪級數(shù)三、傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）（1）正項級數(shù)收斂的充分必要條件:1、正項級數(shù)的判斂法:一. 常數(shù)項無窮級數(shù)正項級數(shù)收斂 設(shè) 和 都是正項級數(shù)，且可找到正數(shù) k 和自然數(shù) N，(1) 如果級數(shù) 收斂，則級數(shù) 收斂。(2) 如果級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 發(fā)散。(2). 比較判別法 (一般形式)：( 大的收斂，小的必收斂 )( 小的發(fā)散，大的必發(fā)散 )（即速度）取決于其一般項un趨于0的快慢程度!正項級數(shù) 是否收斂的本質(zhì)：則應(yīng)用比較判別法： (一般形式)（1）由觀察初步估計級數(shù)的斂散性； （2）對一般項進(jìn)行放縮。說明

2、：一般項的“放縮”是比較麻煩的！ 而比較判別法的極限形式，則可 避免“放縮”。收斂,發(fā)散, 比較判別法的極限形式 設(shè) 和 都是正項級數(shù)，如果則級數(shù) 和 同時收斂或同時發(fā)散。說明：比較法的極限形式避免了一般項的“放縮”！但仍需要確定比較對象.收斂,（3）.比值判別法 (達(dá)朗貝爾判別法) 設(shè) 是正項級數(shù)，如果(1)當(dāng) 時，則級數(shù) 收斂；(2)當(dāng) 時，則級數(shù) 發(fā)散；(3)當(dāng) 時，斂散性無法確定。優(yōu)點：不必借助其他級數(shù)，根據(jù)自身的結(jié)構(gòu)進(jìn)行判別。(需用其它方法)（4）.根值判別法 (柯西判別法) 設(shè) 是正項級數(shù)，如果(1)當(dāng) 時，則級數(shù) 收斂；(2)當(dāng) 時，則級數(shù) 發(fā)散；(3)當(dāng) 時，斂散性無法確定。優(yōu)

3、點：不必借助其他級數(shù)，根據(jù)自身的結(jié)構(gòu)進(jìn)行判別。(需用其它方法)（4）.積分判別法 (柯西積分判別法) 設(shè) 是正項級數(shù)，級數(shù) 和廣義積分 同時收斂或同時發(fā)散。 設(shè) 是正項級數(shù)，如果(1)當(dāng) 時，則級數(shù) 收斂；(2)當(dāng) 時，則級數(shù) 發(fā)散；(3)當(dāng) 時，斂散性無法確定。(需用其它方法)（5）拉阿伯判別法由拉阿伯判別法知級數(shù)是收斂的2、交錯級數(shù)的斂散性 若交錯級數(shù) 滿足如下條件：則交錯級數(shù)收斂。萊布尼茲判別法： 任意項級數(shù)發(fā)散非用正項級數(shù)判別法收斂絕對收斂用萊氏準(zhǔn)則、定義或 級數(shù)性質(zhì)判別收斂條件收斂發(fā)散是發(fā)散發(fā)散(附注) 3. 任意項級數(shù) 的判斂法：注:若用比值或根值判別法判得 發(fā)散，則 必發(fā)散!4.

4、 記住幾個標(biāo)本級數(shù)：（1）調(diào)和級數(shù)發(fā)散；（3） p-級數(shù)：（2）幾何（等比）級數(shù)5. 幾個常用結(jié)論:(5)幾個常用無窮大的比較:(見無窮級數(shù)檢測題第三題)例1 填空題1. 若正項級數(shù) 收斂，則有( )D例2 選擇題B(A). (1),(2); (B). (2),(3); (C). (3),(4); (D). (4),(1);注意:（A）絕對收斂； （B）條件收斂；（C）發(fā)散； （D）收斂性與a1有關(guān).3 . 設(shè)a1為任意常數(shù)，則級數(shù) （ ）CC命題:反之,未必成立.如:命題:B(2003年考研三)絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的本質(zhì)區(qū)別: 一個絕對收斂級數(shù)的正數(shù)項與負(fù)數(shù)項所組成的級數(shù)都是收斂的;

5、一個條件收斂級數(shù)的正數(shù)項與負(fù)數(shù)項所組成的級數(shù)都是發(fā)散的.例3 判別下列級數(shù)的斂散性注意：有時需先對一般項進(jìn)行代數(shù)恒等變形后 再進(jìn)行判別。泰4 判別級數(shù) 的斂散性. 解:故原級數(shù)收斂;例4 判別下列級數(shù)的斂散性解:故原級數(shù)的絕對值級數(shù)發(fā)散.由比較判別法知,發(fā)散.將加括號,得因加括號以后的級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.例5 判別下列級數(shù)的斂散性解:由比較判別法知,它是發(fā)散的.所以，原級數(shù)條件收斂。.例6 判別級數(shù)的斂散性：說明：當(dāng)級數(shù)的一般項含有字母參數(shù)時，級數(shù)的斂散性通常與參數(shù)的取值范圍有關(guān)。解：故原級數(shù)發(fā)散.原級數(shù)收斂.(2010級期末考題, 7分)例7: 設(shè) 為單調(diào)增加的正值數(shù)列,證明:因 為單調(diào)

6、遞增正值數(shù)列,.收斂.數(shù)列收斂級數(shù)例8 證明:收斂收斂。部分和數(shù)列證:收斂.數(shù)列連鎖消元而(2004級期末考題, 5分)例9求證：級數(shù) 收斂。2. 設(shè)級數(shù)收斂,級數(shù)絕對收斂；求證:絕對收斂；1. 設(shè) 為單調(diào)遞減正值數(shù)列,(2005級期末考題, 6分)說明：關(guān)于正項級數(shù)的證明題中常用比較判別法（尤其是其“一般式”）3. 設(shè) 為單調(diào)增加有界的正值數(shù)列,求證：級數(shù) 收斂。(2006級期末考題, 7分)(2004級期末考題, 5分)例9: 設(shè) 為單調(diào)遞減正值數(shù)列,求證：級數(shù) 收斂。證明:因 為單調(diào)遞減正值數(shù)列,故 收斂, 而 .證明:2001級考題(1997年考研題)二、冪級數(shù)2、已知 ，求其收斂區(qū)間

7、及和函數(shù)。1 、阿貝爾(Abel）定理。3、已知f(x)，（用間接展開法）將其展開成冪級數(shù)。重點：2. 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù) 的收斂區(qū)間 （ ）.(不計端點)（-2，4）1.例1 填空題1冪級數(shù)在x=2收斂。（1，33. 當(dāng)a取值范圍為（ ）時，例2 選擇題B 設(shè)冪級數(shù)為 ，如果則有(1) 當(dāng) 時， 。(2) 當(dāng) 時， 。(3) 當(dāng) 時， 。注意：缺少偶(奇)次冪項的冪級數(shù)， 不能直接代此公式求半徑 R ！ 求收斂半徑: 例. 求 的收斂域。例. 求 的收斂域。求冪級數(shù)和函數(shù)的步驟：1. 確定冪級數(shù)的收斂域； 積分法、求導(dǎo)法、變量代換法 代數(shù)恒等變形。2. 未知和函數(shù)的冪級數(shù)已知和

8、函數(shù)的冪級數(shù)“轉(zhuǎn)化”方法： 轉(zhuǎn)化 1. 改變冪函數(shù)的冪次.2. 改變冪級數(shù)的系數(shù).如：常用的代數(shù)恒等變形:如：應(yīng)記住的冪級數(shù)展開式:例5 選擇題C解： 冪級數(shù)例6. 求級數(shù) 的和。另解：例6. 求級數(shù) 的和。的和函數(shù)S(x).積分兩次得：例 驗證函數(shù)滿足微分方程，并求出的和函數(shù)。（2002年考研題分）已知求：函數(shù)y(x)函數(shù)展開成冪級數(shù)（用間接展開法 ）(1) 求導(dǎo)與積分（2）變量代換法（3）代數(shù)恒等變形主要用的“轉(zhuǎn)化”方法如下:未知展開式的函數(shù)已知展開式的函數(shù) 轉(zhuǎn)化 例8. 將 展開成 x 的冪級數(shù)。(2006年考研一,12分)解:并求：的冪級數(shù)展開式中x6的系數(shù)為：1、狄利克雷(Diric

9、hlet)充分條件(收斂定理)；三.傅里葉級數(shù)2、f(x)的歐拉傅里葉系數(shù)公式；3、常見題型：（1）求傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)；（3）將定義在 上的函數(shù)f(x) 展開成傅里葉級數(shù)。（4）將定義在 上的函數(shù) f(x) 展開 成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)。（2）將以 為周期的周期函數(shù)f(x) 展開成傅里葉級數(shù)。（6）證明題。(5) 將定義在 a, a+2l上的函數(shù)f(x)展開為以2l為周期的傅里葉級數(shù)。 例： 1 設(shè)f(x)是以 2 為周期的周期函數(shù)，它在(-1.1上定義為：則f(x)的傅里葉級數(shù)在x=1處收斂于（ ）。解:同理可得完完謝謝大家！證明:連鎖消元歷年期末考試”無窮級數(shù)”所占分值如下:2001級 23分2002級 22分2003級 25分2004級 21分2005級 22分解:2.若級數(shù) 收斂，則 級數(shù) ( )(A)條件收斂; (B)絕對收斂; (C)發(fā)散; (D)不能判定1. 若正項級數(shù) 收斂，則有( )D例2 選擇題2004考研題證明:例1 填空題解：收斂區(qū)域(-1,1),求 的和函數(shù) 例9.將 展開成 x 的冪級數(shù)。解:例10 將