儲慶昕高等電磁場講義第四章資料

1、=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=第 4 講 能量、能流、電磁動(dòng)量、張力張量第一節(jié)能量與能流密度矢量我們說電磁場是作為一種物質(zhì)形式存在的。衡量物質(zhì)存在的一個(gè)標(biāo)志是動(dòng)量和能量，那么如何確定電磁場的動(dòng)能量呢？通常我們對一種新的能量或動(dòng)量形態(tài)的認(rèn)識， 總是通過它們與其他物質(zhì)的相互作用來達(dá)到。本講所討論的就是通過電磁場與電荷系統(tǒng)的相互作用來認(rèn)識電磁場的動(dòng)量和能量的。4.1Lorentz 力電磁場與帶電物質(zhì)之間有著密切的聯(lián)系。 Maxwell 方程反映了電荷和電流（運(yùn)動(dòng)的電荷）激發(fā)電磁場以及電磁場內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，但是，卻不能反映電磁場如何反作用于電荷系統(tǒng)。Coulomb 定律和 Ampere 定律反映

2、了一定條件下場對電荷系統(tǒng)的作用。Coulomb 定律：靜止的電荷q 受到靜電場的作用力FqEAmpere 定律：恒定電流元Jdv 受到磁場作用力dFJBdv若電荷為連續(xù)分布，其密度為，則電荷系統(tǒng)單位體積所受的力密度為fEJBLorentz 把上述結(jié)果推廣為普遍情況下場對電荷系統(tǒng)的作用力，因此上式稱為Lorentz 力密度公式。把上式用于速度為v，電荷為q 的帶電粒子，則粒子所受的電磁場作用力為Fq EvB(4-1)上式稱為Lorentz 力公式。Lorentz 假設(shè)這一公式適合任意運(yùn)動(dòng)的帶電粒子。近代物理學(xué)的實(shí)踐證明了這一假說是正確的。4.2電荷系統(tǒng)的動(dòng)量和能量根據(jù)作用力等于動(dòng)量的時(shí)間變化率，

3、有dvddG pF mmv(4-2)dtdtdt式中 Gpmv 為帶電粒子的動(dòng)量，由(4-1) 和(4-2) ，有dG pq E v B(4-3)dt另一方面，帶電粒子的動(dòng)能Wp1 mv 21 mv v22dWpvdG pv qE qvB qE v(4-4)于是有dtdt1=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=對于電荷密度為，電流密度為 Jv 的連續(xù)分布電荷系統(tǒng)，式(4-3)和 (4-4) 變?yōu)閐g pEJB(4-5)dtdwJE(4-6)dt式中， g p , w p 分別為動(dòng)量密度和能量，即單位體積中的動(dòng)量和能量。dg p0，dwp，則表明電荷系統(tǒng)得到了動(dòng)量和能量，而這些動(dòng)從 (4-5)和

4、(4-6) 可以看出，若0dtdt量和能量只能來自電磁場，所以根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，我們可以得到結(jié)論：電磁場具有動(dòng)量和能量。4.2 時(shí)域 Poynting 定理利用矢量恒等式abbaab ，有EHHEEH將 Maxwell 旋度方程代入，可得EHHBEJEDtt設(shè)媒質(zhì)非色散，u0 ，則tt1E HE JH BE D(4-7)2tt令SE H ， we1 ED ， wm1 HB， w fwewm， JJJ其中，22we 和 wm 分別為電場能量密度和磁場能量密度，JE 為導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流，J 為外部電流源?？紤]到 (4-6)，得Sw Pw fEE(4-8)t上式的積分形式為Snds

5、wPw fdvE2dv(4-9)?tsvv式中， wp 為連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的能量密度，w f 為電磁場的能量密度，S 為電磁場的能流密度矢量（功率密度矢量） ，稱為 Poynting 矢量。2E 為歐姆損耗功率密度。式 (4-9)表明，從閉合面s 流入的功率等于s 所包圍的體積 v 內(nèi)總能量（電荷系統(tǒng)的能量和電磁場能量之和）在單位時(shí)間內(nèi)的增加量與v 中的損耗功率之和。如果s 面為理想導(dǎo)體面，則(4-9) 左邊的面積分為0，則 v 中的損耗功率等于總能量的減小率；如果0 ，則電磁場能量與電荷系統(tǒng)能量相互轉(zhuǎn)換；如果 wp0 ，則電場能量與磁場能量相互轉(zhuǎn)換，即諧振。2=高等電磁場講義第 4 講=褚慶

6、昕=4.3頻域 Poynting 定理采用與上節(jié)類似的方法，可以得到1E H111（ 4-10 ）2J E j 2H BE D244令s1 E H , wm1 H B, we1 E D244得頻域 Poynting 定理s1 J E j 2 wm we（4-11 ）2與時(shí)域比較，一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值為1TsdtRe1HRe ssTE021T1wmTwm dt Re H B Re wm041T1Re weweTwe dt Re E D04各向同性媒質(zhì)的無耗條件設(shè)j，j，則耗能為Re1H?12dv21E21H2dvEndsE44s2v 2儲能為Im1?21H21E2dvE Hnds44s2v上式

7、表明，進(jìn)入封閉面s 內(nèi)的實(shí)功率（ Poynting 矢量的時(shí)間平均值）等于s 面所包圍的體積內(nèi)由傳導(dǎo)電流引起的熱損耗與媒質(zhì)中極化阻尼和磁化阻尼引起的損耗功率之和。（ 4-13）表明進(jìn)入封閉面 s 內(nèi)的虛功率與 s 面所包圍的體積內(nèi)磁場儲能與電場儲能時(shí)間平均值之差成正比。媒質(zhì)無耗時(shí)，耗能為零，所以媒質(zhì)的無耗條件為0，0，0（ 4-14 ）即0，Im wm0， Im we0（ 4-15 ）各向異性媒質(zhì)的無耗條件設(shè)DEH（ 4-16）BEH不失一般性，考慮無源區(qū)域，J0 ，將上式代入（4-10）并取實(shí)部得3=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕 =1Re j( EDBH)Re( s)21Re j( EE

8、EHHEHH)21 j E ()EH () E2E() HH()H )對于無耗媒質(zhì)，Re(s)0，所以，無耗條件為，Poynting 定理的電路解釋考慮圖 4-1 所示的 RLC 串聯(lián)電路。ILCRE圖 4-1 RLC 串聯(lián)電路流入電路的復(fù)功率為P1I IZ1 I I R j L1c22j1I IRj 21I ILI Ic244 2 c 21 I 2 R j 21I2L1 vc2c244PL j 2wmwe場的互能量電磁場的能量和能流不是場的線性函數(shù)，所以不滿足疊加原理。例如，假設(shè)在各向同性非色散媒質(zhì)中，同時(shí)存在兩個(gè)電場E1 和 E2 ，于是，合成的電場能量密度為we1( E1E2) (E1

9、E2)1E121E22E1 E2222上式的前兩項(xiàng)為兩個(gè)電場系統(tǒng)的自能量密度，交叉項(xiàng)則代表互能量密度。4、 4 關(guān)于能量的單位我們知道能量的單位在國際單位制中為焦耳(J)。但是在通常討論單色平面波時(shí)，能量還有許多單位，特別是當(dāng)電磁波的頻率很高時(shí)，比如討論X 射線或者 射線時(shí)，此時(shí)的能量單位最為繁雜。溫度T、波數(shù) k、頻率 f、工作波長 、電壓 V 、熱能量 (單位為卡， cal)、都可以作為能量的單位，單位物質(zhì)的質(zhì)量也是能量單位， 比如每摩爾多少焦耳 (J/mol) 、每摩爾多少卡 (cal/mol) 。單個(gè)光子的能量等于普朗克常數(shù)h乘以頻率 f ，或者等于約化普朗克常數(shù)乘以角頻率 。這里的約

10、化普朗克常數(shù)等于普朗克常數(shù)h 除于 2 。在微觀世界， 單個(gè)光子的能量也是表征能量的單位。其中電子伏特 （ eV），絕對溫標(biāo)下的溫度T ，頻率，角頻率之間的換算關(guān)系由下列表達(dá)式給出：eV kThfRT / N a上述公式中的k 是玻耳茲曼常數(shù)（請讀者注意，要區(qū)分開它和波數(shù)，盡管采用同一個(gè)字母，但是涉及的不是同一個(gè)量） ， Na 是阿佛伽德羅常數(shù)，R 是氣體摩爾熱容量常數(shù)。至于熱量單位卡(cal) ，在國際單位4=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕 =制中，屬于要淘汰的單位。 但是鑒于許多微觀物理領(lǐng)域的書籍至今還在使用，我們在這里給以簡單介紹。感興趣并想進(jìn)一步了解的讀者可以查閱北大趙凱華院士的著作

11、（趙凱華，定性與半定量物理學(xué) ）?？ǎ?cal）的定義有許多，最為常用的有三種。一個(gè)是15 度卡，第二個(gè)是國際蒸汽表卡，第三個(gè)是熱化學(xué)卡 。 三 者 的 符 號 依 次 為 cal15、 cal IT 、 calth 。 它 們 與 焦 耳 的 換 算 關(guān) 系 為 cal154.1855J 、cal IT4.1868J 、 cal th4.184J 。通常在近似計(jì)算時(shí)，一般選取 cal4.185J 。一般而言，能量在微觀領(lǐng)域有 7 種表征，依次為電子伏特、開、阿焦耳、千焦耳每摩爾、千卡每摩爾、拍赫茲和微米。它們的符號分別為eV 、 K 、 aJ、kJ/mol 、 kcal/mol 、 PHz

12、和 m。近似的換算關(guān)系為：1eV0.86 10 4 K6.2aJ0.0104kJ / m o l 0.044k c a/lm o l4.1P H z 1.24m上述表達(dá)式a(阿 )與 P(拍 )，分別表示10 的負(fù) 18 次冪和正15 次冪。第二節(jié)動(dòng)量流密度張量與張力張量51 動(dòng)量流張量首先對 DB 關(guān)于時(shí)間 t 求導(dǎo)數(shù)D(DB)BDttD將 Maxwell 旋度方程HJtBEt以及本構(gòu)關(guān)系DEBH 代入，得t ( DB)(H )BJBD(E)=H(H)JBE(E)利用矢量公式a (a)1(a a ) ( a )a2(D B)JB1H )( EE) ( H（ 5-2）則t2( H) H( E)

13、E利用張量公式(I ) ，( fg )( f )g ( f)g ,有(DB)JBt1D E)I BH(B H2(B) H(D )E代入 Maxwell 散度方程D,B 0,（ 5-3）變?yōu)?DB)JBE1(B H D E)It2B（5-1）tDE（5-3）BHDE （5-4）5=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=令g f D BE HS（ 5-5）1BH DE（ 5-6）(B H D E)I2gpJBE結(jié)合電荷系統(tǒng)的動(dòng)量守恒方程t最后得( g f g p )（ 5-7）t對比 Poynting 定理(w fw p )St可以看出 （ 5-7）中各項(xiàng)的物理意義。因?yàn)間p 為電荷系統(tǒng)的動(dòng)量密度，所

14、以gf 可定義為電磁場的動(dòng)量密度。而代表動(dòng)量流密度，稱為電磁場動(dòng)量流密度張量。對（ 5-7）兩邊關(guān)于體積v 積分，并利用積分變換公式dvAds Avs得( g fg p ) dvds（ 5-8）t vs上式告訴我們，單位時(shí)間內(nèi)通過閉合曲面s流入體積 v 的總動(dòng)量等于體積v 內(nèi)電磁場與電荷系統(tǒng)總動(dòng)量的時(shí)間變化率。例 5-1計(jì)算自由空間中均勻平面電磁波的能量流密度和動(dòng)量流密度。解：對于自由空間中的均勻平面電磁波，電場E 、磁場 H 和 Poynting 矢量 S 互相垂直。不妨設(shè)EEx, HHy, HESEHEHzE 2 z于是1( 1E 21H 2 )z（ 5-9）22cwf z式中， c 表示

15、光速， w f 表示電磁場能量密度。電磁場動(dòng)量密度張量為E2 ?H2 ?xxyy w f I（ 5-10 ）?w f (xxyyI )w f zz根據(jù)（ 5-9） w f zS / c ，以及 g fSS / c 2 ，可得6=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=?（5-11）cg f z5-9）和（ 5-11）表明，自由空間中的均勻平面電磁波攜帶能量和動(dòng)量以光速傳播形成電磁場能量流和動(dòng)量流。5 2 電磁場張力張量令TBH DE1(B H D E)I（ 5-12）則（ 5-7）和（ 5-8）變?yōu)?(g fg p )T（ 5-13 ）tt(g f g p )dvT dvds T（ 5-14 ）vv

16、s對比經(jīng)典力學(xué)動(dòng)量守恒定律GF ,可見，Tdvds T 就是作用在體積 v 上的力，它也可以等tvs效地看成作用在包圍體積v 的閉合曲面 s上的張力。由于T 只包含電磁場，所以這些力是由電磁場施加的。T 為電磁場體積力密度，T 為作用在單位面積上的電磁場張力張量，顯然 T 為對稱張量。（ 5-13）和（ 5-14）稱為電磁場動(dòng)量守恒定理。在電磁場張力張量T 的表示式（ 5-12）中，電場 E 和磁場 H 之間彼此是獨(dú)立的，可以表示為兩部分之和TT eT m（ 5-15 ）式中，T eD E1(D E)I（ 5-16）2T m BH1(B H)I（ 5-17 ）2分別稱為電場和磁場張力張量。為了

17、便于分析又不失一般性，令EEx ，則2?1212?（）TEIEz?z?)5-18eE xx(xxyy22于是作用在表面s 單位面積上的電場張力為?12?（）FeTEnz z?)5-19ne(nx xny y式中， n nx xn y ynz z 為表面 s的外單位法向矢。2ay平面內(nèi)，nz0, nxcos , nysin，其中為E與n之間的夾角，則情況 ： n在 xFe1E 2 (cosx sin y )（ 5-20 ）2情況 b： E 與 n平行，即 n nxx,nx1, ny nz0，則Fe1E 2n（ 5-21）n同向，它是對表面s向外的拉力。2所以，電場表面張力與情況 c： E 與 n

18、垂直，不妨設(shè) nny y,ny 1, nxnz 0，則7=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=Fe1E 2 n（ 5-22 ）2此時(shí)，電場表面張力與n反向，它是對表面s向內(nèi)的壓力。以上情況的受力示意圖如圖5-1 所示。圖 5-1 電場表面張力(a) n在 xy 平面內(nèi)(b) E與 n平行（拉力） (c)E 與 n垂直（推力）由于磁場張力張量與電場張力張量形式相同，只要把T e 中的 E 換成 H 以及 換成便可得到 T m的表示式，所以上述有關(guān)電場表面張力的結(jié)論完全適合于磁場表面張力。根據(jù)這些結(jié)論，我們很容易分析任一表面所受的電磁場力。例如，對于理想導(dǎo)電空腔腔壁，電場E 垂直于腔壁，電場力為拉力

19、，磁場平行于腔壁，磁場力為壓力。再如一均勻平面波垂直入射到無限大理想導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體表面上電場等于零，只存在切向磁場，因此，導(dǎo)體受到平面波的壓力，既輻射壓力。53 合成場的張力張量設(shè)有兩個(gè)電磁場系統(tǒng)，其場量分別為E1 , H1 和 E2 , H 2 。當(dāng)兩個(gè)場系統(tǒng)疊加時(shí)，其合成場的場矢量為EE1E2HH1H2則合成場的張力張量為T T11 T22 T12 T21（ 5-23 ）其中，1T ijBi H jDi E j( BiH jDiE j )I ,i, j = 1 , 22T 11 和 T 22 分別表示場系統(tǒng) E1 , H1 和 E2 , H 2 的張力張量， T 12 和 T 21 表示兩個(gè)場系統(tǒng)相互作用的張力張量。由于場的張力張量為 E 和 H 的二次項(xiàng)，所以在合成場的張力張量表達(dá)式中出現(xiàn)了場的交叉乘積項(xiàng)。8=高等電磁場講義第 4 講=褚慶昕=應(yīng)用 T12和 T 21 可以計(jì)算兩個(gè)電磁場系統(tǒng)間的相互作用力。例如，對于兩個(gè)靜電場系統(tǒng)E1和 E2T 12T 21E1E2E2 E1(E1 E2)I