中考數(shù)學真題分類解析匯編(九)一元二次方程及其應用

1、一元二次方程及其應用、選擇題（ 2014?廣東，第8題3分）關于x的一元二次方程x2- 3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍為（）考點：根的判別式.專題：計算題.分析：先根據(jù)判別式的意義得到 = （-3） 2-4m0,然后解不等式即可.解答： 解：根據(jù)題意得 = （-3） 2-4m0,解得mv上.4故選B.點評：本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （awQ的根的判別式 =b2- 4ac：當 0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0,m=0符合題意.故選A.點評：本題主要考查了一元二次方程與系數(shù)的關系：如果xi, x2是方程x2+px+q=0

2、的兩根時，那么 xi + x2=- p, xix2=q.參賽的每個隊之間都要比賽一場,4場比賽.設比賽組織者應邀請 x(2014年天津市，第10題3分)要組織一次排球邀請賽,根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排個隊參賽，則x滿足的關系式為()x (x+1) =28x (x 1) =28A. X (x+1) =28 B. Jx (x-1) =28考點：由實際問題抽象出一元二次方程.分析：關系式為：球隊總數(shù) x每支球隊需賽的場數(shù) 妥=4X7,把相關數(shù)值代入即可.解答： 解：每支球隊都需要與其他球隊賽(x-1)場，但2隊之間只有1場比賽，所以可列方程為： Jx (x- 1) =4X7.故

3、選B.點評：本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解決本題的關鍵是得到比賽總場數(shù)的等量關系，注意2隊之間的比賽只有1場，最后的總場數(shù)應除以 2.(2014年玄南省，第5題3分)一兀二次方程 x2-X-2=0的解是()A.x=1,x2=2B.x1=1 ,x2= 2C.x1= 1,x2= 2D . x1= 1, x2=2考點： 解一元二次方程一因式分解法.分析：直接利用十字相乘法分解因式，進而得出方程的根解答： 解：x2-x-2=0（x- 2） （x+1） =0 ,解得：Xi=- 1, X2=2.故選：D.點評：此題主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正確分解因式是解題關鍵.（2014河川自貢，

4、第5題4分）一元二次方程 x2-4x+5=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根考點：根的判別式.分析：把a=1, b=-4, c=5代入 =b2-4ac進行計算，根據(jù)計算結果判斷方程根的情況.解答：解：a=1 , b= - 4, c=5,.=b2- 4ac= （-4） 2-4X1 漕=-4 v 0,所以原方程沒有實數(shù)根.故選：D.點評：本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （awQ a, b, c為常數(shù)）的根的判別式 =b2- 4ac.當4 0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當 0,方程沒有實數(shù)根.

5、（2014云南昆明，第 3題3分）已知X、*2是一元二次方程 x2 4x 1 0的兩個根，則x x2等于（）A. 4B. 1C. 1D. 4考點：一元二次方程根與系數(shù)的關系 .分析：根據(jù)一元二次方程兩根之積與系數(shù)關系分析解答.解答：解：由題可知：a 1,b4,c 1,x1 x2 - 1 1a 1故選C.點評：本題考查一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）根與系數(shù)的關系.7.（2014云南昆明，第6題3分）某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率.設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x,則根據(jù)題 TOC o 1-5 h z 意可列方程為(

6、)，、2, 一，一，、2，A.144(1x)100B.100(1x)144 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 22C.144(1X)2100D.100(1x)2144考點：由實際問題抽象出一元二次方程.分析：果園從2011年到2013年水果產(chǎn)量問題，是典型的二次增長問題.解答：解：設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x ,由題意有2100(1 x)2 144,故選D.點評：此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，理解二次增長是做本題的關鍵.(2014新江寧波，第9題4分)已知命題 關于x的一元二次方程 x2+bx+1=0,當b0時必有實數(shù)解”，

7、能說明這個命題是假命題的一個反例可以是()A.b= - 1B.b=2C.b= - 2D.b=0考點：命題與定理；根的判別式專題：常規(guī)題型.分析：先根據(jù)判別式得到 =b2-4,在滿足b0的前提下，取b=-1得到 0,根據(jù)判別式的意義得到方程沒有實數(shù)解，于是b=-1可作為說明這個命題是假命題的一個反例.解答：解： =b2 - 4,由于當b= - 1時，滿足bv 0,而 1B. m=1C. m 1D. mQ建立關于m的不等式，解答即可.解答：解：:方程x2-2x+m=0總有實數(shù)根，即 4- 4mQ一 4m* 4,mW 1.故選D.點評：本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關系： 0?

8、方程有兩個不相等的實數(shù)根；A=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；1, x1?x2 0C . 0vx1+x2 0的兩根x1，x2判斷正確的是()B . x+x2V 0, x1?x2 0D, x1+x2與x1?x2的符號都不確定考點：根與系數(shù)的關系；反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.分析：根據(jù)點A (a, c)在第一象限的一支曲線上，得出 a0, c0,再點B (b, c+1)在 該函數(shù)圖象的另外一支上，得出b 0, c 0, c 0,點B (b, c+1)在該函數(shù)圖象的另外一支上,b0, c+1 0, c 0 , 0VXl+X20,然后解不等式得到 m的取值范圍，4再在此范圍內(nèi)找出最大整數(shù)即可.解答：解：

9、根據(jù)題意得 = (1-m) 2-4L0,解得m 0,方 程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當a -mg2a解得：m=V1, n= 1 正或者 m= 1詆，n=/i T, 將 m=壓-1、n= - 1 代入 m2- mn+3m+n=8;將 m= - 1 - n=f - 1 代入 m2 - mn+3m+ n=8;故答案為：8.點評：此題主要考查了一元二次方程根根的計算公式，根據(jù)題意得出 m和n的值是解決問題的關鍵.（2014?惠州，第16題4分）方程x2+2kx+k2 2k+1=0的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=4,則k的值為 1.考點：根與系數(shù)的關系分析：由 x1

10、2+x22=x12+2x1?x2+x22- 2x1?x2= （x+x2）2 - 2x1？：2=4,然后根據(jù)根與系數(shù)的關系即可 得到一個關于k的方程，從而求得 k的值.解答：解；x12+x22=4,即 x12+x22=x12+2x1?x2+x22 2x1?x2= （x + K2）2 2x1?（2=4,又x1+x2= - 2k, x1?x2=k2- 2k+1 ,代入上式有 4k2- 4 （k2-2k+1） =4,解得k=1.故答案為：1 .點評：本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （aw。的根與系數(shù)的關系： 若方程的兩根為 x1，bcx2,貝U x1+x2=, x1?x2.aa（2014

11、?齊寧，第13題3分）若一元二次方程 ax2=b （ab0）的兩個根分別是 m+1與2m-4,則= 4 .考點：解一元二次方程一直接開平方法.專題：計算題.分析：利用直接開平方法得到 x=+（E,得到方程的兩個根互為相反數(shù)， 所以m+1+2m-4=0, 不解得m=1,則方程的兩個根分別是2與-2,則有正=2,然后兩邊平方得到 個=4.解答：解：.x2上（ab0）,，方程的兩個根互為相反數(shù)，- m+1+2 m - 4=0 ,解得 m=1 ,元二次方程 ax2=b （ab0）的兩個根分別是 2與-2,3x2=p 4 ( nx+m) 2=p (p0 的一故答案為4.點評：本題考查了解一元二次方程-直

12、接開平方法：形如元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.如果方程化成x2=p的形式,那么可得x=p；如果方程能化成（nx+m） 2=p （pQ的形式，那么 nx+m=ip.三.解答題（ 2014?廣西玉林市、防城港市，第 24題9分）我市市區(qū)去年年底電動車擁有量是10萬輛，為了緩解城區(qū)交通擁堵狀況，今年年初，市交通部門要求我市到明年年底控制電動車擁有量不超過11.9萬輛，估計每年報廢的電動車數(shù)量是上一年年底電動車擁有量的10%,假定每年新增電動車數(shù)量相同，問：（1）從今年年初起每年新增電動車數(shù)量最多是多少萬輛？（2）在（1）的結論下，今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率是多少？（結

13、果精確到 0.1%）考點：一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用.分析：（1）根據(jù)題意分別求出今年將報廢電動車的數(shù)量，進而得出明年報廢的電動車數(shù)量，進而得出不等式求出即可；（2）分別求出今年年底電動車數(shù)量，進而求出今年年底到明年年底電動車擁有量的年增長率.解答：解：（1）設從今年年初起每年新增電動車數(shù)量是x萬輛，由題意可得出：今年將報廢電動車：10X10%=1 （萬輛），. (101) +x (1 10%) +x25,x2=5 舍去.即 AB=20, BC=20.答：羊圈的邊長 AB, BC分別是20米、20米.點評：本題考查了一元二次方程的應用.解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條

14、件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.3.2014年廣東汕尾，第 22題9分)已知關于 x的方程x2+ax+a-2=0(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根；(2)求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.分析：(1)將x=1代入方程x2+ax+a-2=0得到a的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關系求出另一根；(2)寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進行解答.解：(1)將 x=1 代入方程 x2+ax+a 2=0 得，1+a+a2=0,解得，a；2方程為x2+x 金=0,即2x2+x- 3=0,設另一根為x1，則1x1=金，x二一二.2222.=a2-4 (a-2) =a2

15、- 4a+8=a2- 4a+4+4= (a-2) 2+4o,不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.點評：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關系，要記牢公式，靈活運用. (2014?畢節(jié)地區(qū)，第25題12分)某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質量分為10個檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能生產(chǎn) 95件，每彳利潤6元.每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少 5件.(1)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為 y元(其中x為正整數(shù)，且1蟲w 10 ,求出y關于x的函數(shù)關系式；(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質量檔次.考點：二次函數(shù)的應用；一元二次方程的應用分析：(1

16、)每件的利潤為 6+2 (x-1),生產(chǎn)件數(shù)為95-5 (x-1),貝U y=6+2 (x-1) 95 -5 (x-1);(2)由題意可令y=1120,求出x的實際值即可.解答：解：(1)二.第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元，每提高一個檔次，每件利潤加2元，但一天生產(chǎn)量減少 5件.第x檔次，提高白檔次是 x- 1檔.y=6+2 (x-1) 95 - 5 (x- 1),IP y=- 10 x2+180 x+400 (其中 x 是正整數(shù)，且 10,a=5.故答案為5.自評：本題主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因

17、為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.(2014陰目潭，第26題)已知二次函數(shù) y=-x2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點，直線AC解析式為y=kx+4,(1)求二次函數(shù)解析式；若包幽匹，求k；SA0OC(3)若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，求 k.考點：二次函數(shù)綜合題.II分析：(1)由對稱軸為x=-上，且函數(shù)過(0, 0),則可推出b, c,進而得函數(shù)解析式.2a-I(2)三曬=,且兩三角形為同高不同底的三角形，易得第二,考慮計算方便可作 B,SABOCECC對x軸的垂線，進而有B, C橫坐標的比為虹， =.由B, C為直線與二次函

18、數(shù)的交點,則聯(lián)立可求得 B, C坐標.由上述倍數(shù)關系，則 k易得.(3)以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，即/ BOC=90。，一般考慮表示邊長， 再用勾股定理構造方程求解k.可是這個思路計算量異常復雜，基本不考慮，再考慮(2)的思路,發(fā)現(xiàn)B, C橫縱坐標恰好可表示出 EB, EO, OF, OC.而由/ BOC=90 ,易證 EBOsfoc,即EB?FC=EO?FO.有此構造方程發(fā)現(xiàn) k值大多可約去，進而可得k值.解答:解：（1） .二次函數(shù)y=-x2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點,0=0+0+ c,- b2, (-1)b=4, c=0,l- y= x2+4x.（2）如圖1,連接OB, OC

19、,過點A作AEy軸于E,過點B作BFy軸于F, EB / FC ,. 典逗FC AC- y=kx+4 交 y= - x2+4x 于 B, C,kx+4= -x2+4x,即 x2+ (k 4) x+4=0 ,.= (k - 4) 2 - 4?4=k2 - 8k,(4-k)-后-8k -(4-k) +i/k2 - Skx=m,或 x=,- xbvxc,解得k=9 （交點不在y軸右邊，不符題意，舍去）或 k= - 1.(3) / BOC90 , ./ EOB+Z FOC90 ,. / EOB+Z EBO90 , ./ EBOZ FOC,. / BEOZ OFC90 , . EBOA FOC,EB F

20、0ECTFC. EB?FC = EO斤O. XB=，且 B、C 過 ykx+4,yB=k?+4, yc=k?k) +7k2 -8k+4,1 EO=yB=k?+4, OF= - yc= k?二,k?(k) -血2一三k?+4) ?整理得16k=-20,二次方程及圓的基本知識. 題點評：本題考查了函數(shù)圖象交點的性質、相似三角形性質、目特殊，貌似思路不難，但若思路不對，計算異常復雜，題目所折射出來的思想，考二次方程(a+c) x2+2bx+ (a-c) 0,生應好好理解掌握.(2014琳洲，第21題，6分)已知關于x的其中a、b、c分別為 ABC三邊的長.(1)如果x- 1是方程的根，試判斷 ABC

21、的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷ABC的形狀，并說明理由;(3)如果 ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根.考點：一元二次方程的應用.分析：(1)直接將x=-1代入得出關于a, b的等式，進而得出a=b,即可判斷 ABC的形 狀；(2)利用根的判別式進而得出關于a, b, c的等式，進而判斷 ABC的形狀；(3)利用 ABC是等邊三角形，則 a=b=c,進而代入方程求出即可.解答：解：(1) ABC是等腰三角形；理由： x= - 1是方程的根，( a+c) x( T) 2 - 2b+ (a-c) =0,a+c 2b+a c=0, -a - b=0, a=b,

22、 .ABC是等腰三角形； (2)二,方程有兩個相等的實數(shù)根，(2b) 2-4 (a+c) (a-c) =0,1- 4b2- 4a2+4c2=0,a2=b2+c2,.ABC是直角三角形；(3)當AABC是等邊三角形，(a+c) x2+2bx+ (a-c) =0,可整理為：2ax2+2ax=0, x2+x=0,解得：x1=0, x2= - 1 .點評：此題主要考查了一元二次方程的應用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關系是解題關鍵.(2014年江蘇南京，第22題，8分)某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為 4萬元，可變成本逐年增長，已知該養(yǎng)殖戶第

23、1年的可變成本為2.6萬元，設可變成本平均的每年增長的百分率為x.(1)用含x的代數(shù)式表示第 3年的可變成本為2.6 (1+x) 2萬元.2） 如果該養(yǎng)殖戶第3 年的養(yǎng)殖成本為 7.146 萬元， 求可變成本平均每年增長的百分率x 考點： 列一元二次方程解實際問題的運用 %分析 ： （ 1 ）根據(jù)增長率問題由第 1 年的可變成本為 2.6 萬元就可以表示出第二年的可變成本為 2.6（1+x） ，則第三年的可變成本為2.6（1+x）2，故得出答案；（ 2 ）根據(jù)養(yǎng)殖成本= 固定成本 +可變成本建立方程求出其解即可解答： （ 1 ）由題意，得第 3 年的可變成本為： 2.6（ 1+x） 2，故答案

24、為：2.6（ 1+x） 2；（2）由題意，得4+2.6 （ 1+x） 2=7.146，解得：X1=0.1, X2=-2.1 （不合題意，舍去）.答：可變成本平均每年增長的百分率為 10%點評： 本題考查了增長率的問題關系的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據(jù)增長率問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵（2014年江蘇南京，第 24題）已知二次函數(shù)y=x2 - 2mx+m2+3 （m是常數(shù)）.（ 1 ）求證：不論m 為何值，該函數(shù)的圖象與X 軸沒有公共點；（2）把該函數(shù)的圖象沿y 軸向下平移多少個單位長度后，得到的函數(shù)的圖象與X 軸只有一個公共點？考點：二次函數(shù)和X 軸的交點問題，根的判別式，平移的性質，二次函數(shù)的圖象與幾何變換的應用分析： （ 1 ）求出根的判別式，即可得出答案；（ 2 ）先化成頂點式，根據(jù)頂點坐標和平移的性質得出即可（1）證明：= （ - 2m） 2 - 4X1 X （m2+3） =4m2- 4m2- 12= - 12 v 0,，方程x2- 2mx+m2+3=0沒有實數(shù)解，即不論 m 為何值，該函數(shù)的圖象與 X 軸沒有公共點；（2）解答：y=x2 - 2mx+m2+3= （x m） 2+3,把函數(shù)y= （x-m） 2+3的圖象延y軸向下平移3個單位長度后，得到函數(shù)y= （x-m）的圖象，它的 頂點坐