中學(xué)生物理競賽試題選講量子、相對論

1、中學(xué)生物理競賽試題選講一.試從相對論能量和動量的角度分析論證:1.一個光子與真空中處于靜止?fàn)顟B(tài)的自由電子碰撞時,光子的能量不可能完全被電子吸收.2.光子射到金屬表面時,其能量有可能完全被吸收并使電子逸出金屬表面,產(chǎn)生光電效應(yīng).解:1. 碰撞前電子與光子的總能量為: 這表明,所假設(shè)的過程不符合能量守恒定律,因此,這一過程實際上不可能發(fā)生.(2)束縛在金屬中的電子和入射金屬的光子二者構(gòu)成的系統(tǒng),在發(fā)生光電效應(yīng)的過程中動量不守恒,只需要考慮能量轉(zhuǎn)換問題.對電子,由功能原理得:考慮到一般情況:vc 所以: 故:二.鈾 是放射性元素，若衰變時依次放出 , , , , , , , , , , , , ,

2、粒子，最終形成的穩(wěn)定核 ，則其中X= ,Y= .三.已知：光子有質(zhì)量，但無靜止質(zhì)量，在重力場中也有重力勢能。若從地面上某處將一束頻率為 的光射向其正上方相距為d的空間站，遠(yuǎn)d小于地球半徑，令空間站接收到的光的頻率為 ，則差 （ ） ，已知地球表面附近的重力加速度為g。四.圖中K是密封在真空玻璃管內(nèi)的金屬電極，它受光照射后能釋放出電子；W是可以透光的窗口，光線通過它可照射到電極K上；C是密封在真空玻璃管內(nèi)圓筒形的收集電極，它能收集K所發(fā)出的光電子；R是接在電池組E（電壓足夠高）兩端的滑動變阻器，電極K通過導(dǎo)線與串聯(lián)電池組的中心端O連接；G是用于測量光電流的電流計。已知當(dāng)某一特定頻率的單色光通過窗

3、口照射電極K時能產(chǎn)生光電子。當(dāng)滑動變阻器的滑動接頭處在某一點P時，可以測到光電流，當(dāng)滑動頭向右移動時G的示數(shù)增大，使滑動頭繼續(xù)緩慢向右不斷移動時，電流計G的示數(shù)變化情況是：（ ）。當(dāng)滑動變阻器的滑動接頭從P點緩慢向左不斷移動時，電流計G的示數(shù)變化情況是：（ ）。 若測得用頻率為 的單色光照射電極K時的遏止電壓為 ，頻率為 的單色光照射電極K時的遏止電壓為 ，已知電子的電量為e，則普郎克常量h=（ ），電極K的逸出功W=（ ）。五.如圖所示，豎直、固定且平行放置的兩條相同的長直導(dǎo)線1和2相距為a（a長直導(dǎo)線的長度），兩導(dǎo)線中通有方向和大小都相同的穩(wěn)恒電流，電流方向向上。導(dǎo)線中的正離子都是靜止的，

4、每單位長度導(dǎo)線中正離子的電荷量為；形成電流的導(dǎo)電電子以速度 沿導(dǎo)線向下勻速運動，每單位長度導(dǎo)線中導(dǎo)電電子的電荷量為-。已知：單位長度電荷量為的無限長均勻帶電直導(dǎo)線在距其距離為r處產(chǎn)生的電場強度大小為 ，其中 是常量；當(dāng)無限直導(dǎo)線通有穩(wěn)恒電流I時，電流在距導(dǎo)線距離為r處產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度大小為 ，其中 是常量。試?yán)锚M義相對論中的長度收縮公式求常量 和 的比值。 提示：忽略重力；正離子和電子的電荷量與慣性參考系的選取無關(guān)；真空中的光速為c。分析：以導(dǎo)線1中的正離子為研究對象，分別從相對于導(dǎo)電電子靜止的參考系 和相對于正離子靜止的參考系S對導(dǎo)線1中的正離子所受的電場力和磁場力進(jìn)行計算比較，從而

5、得到題目所問問題的結(jié)果。解：在相對于正離子靜止的參考系S中， 對導(dǎo)線2 +（-）=0 所以導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中的正離子施加的 電場力為零，即： 導(dǎo)線1中的正離子處于靜止?fàn)顟B(tài)，故導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中的正離子施加的磁場力為零，即：由以上計算可知，在參考系S中，導(dǎo)線2對導(dǎo)線1中正離子所施加的電場力和磁場力的合力為零，而導(dǎo)線1中的正離子又處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以其所受到的其它力的合力必為零。在相對于導(dǎo)電電子靜止的參考系 中 和 分別是 系中單位長度導(dǎo)線的正、負(fù)離子電荷量，則所以：同理可得：所以在參考系 中，導(dǎo)線2單位長度的帶電量為：它在導(dǎo)線1處產(chǎn)生的電場強度的大小為：電場強度方向向左。所以導(dǎo)線1中電荷量為q的正離子

6、受到的電場力大小為： 方向向左。在參考系 中，以速度 向上運動的正離子形成的電流為：該電流在導(dǎo)線1處產(chǎn)生的磁場為：方向垂直紙面向外。因為在 系中，導(dǎo)線1中的正離子所受到的其它力的合力為零，同時又處在勻速直線運動狀態(tài)，所以：六.處在激發(fā)態(tài)的氫原子向能量較低的狀態(tài)躍遷時會發(fā)出一系列不同頻率的光,稱為氫光譜.氫光譜線的波長可以用下面的巴耳末里德伯公式來表示 n,k分別表示氫原子躍遷前后所處狀態(tài)的量子數(shù). k=1,2,3, 每一個對于k,有n=k+1,k+2,k+3R稱為里德伯常量,是一個已知量.對于k=1的一系列譜線其波長處在紫外線區(qū),稱為賴曼系;k=2的一系列譜線其波長處在可見光區(qū),稱為巴耳末系.

7、 用氫原子發(fā)出的光照射某種金屬進(jìn)行光電效應(yīng)實驗,當(dāng)用賴曼系波長最長的光照射時,遏止電壓大小為U1,當(dāng)用巴耳末系波長最短的光照射時,遏止電壓大小為U2.已知電子電荷為e,真空中的光速為c,求普朗克常量和該種金屬的逸出功.分析:根據(jù)光電效應(yīng)實驗裝置和愛因斯坦方程 可知: 所以有:將題給條件帶入上述方程,聯(lián)立求解,即的h,A.解:根據(jù)巴耳末里德伯公式 賴曼系波長最長的光是氫原子由n=2k=1躍遷時發(fā)出的,其波長的倒數(shù)為:巴耳末系波長最短的光是氫原子由n=k=2躍遷時發(fā)出的,其波長的倒數(shù)為:根據(jù)愛因斯坦方程可知:將(1)和(2)分別代入上式,并根據(jù)題給條件得:七.封閉的車廂中有一點光源S,在距光源l處

8、有一半徑為r的圓孔,其圓心為O1.光源一直在發(fā)光,并通過圓孔射出.車廂以高速v沿固定在水平地面上的x軸正方向勻速運動,如圖所示.某一時刻,點光源S恰位于x軸的原點O的正上方,取此時刻作為車廂參考系與地面參考系的時間零點.在地面參考系中坐標(biāo)為xA處放一半徑為R(Rr)的不透光的圓形擋板,板面與圓孔所在的平面都與x軸垂直.板的圓心O2與S和O1都等高.起始時刻經(jīng)圓孔射出的光束會有部分從擋板周圍射到擋板后面的大屏幕上(圖中未畫出).由于車廂在運動,將會出現(xiàn)擋板將光完全遮住,即沒有光射到屏上的情況.不考慮光的衍射,試求:1.車廂參考系中(所測出的)剛出現(xiàn)這種情況的時刻.2.地面參考系中(所測出的)剛出

9、現(xiàn)這種情況的時刻.解(1)以車廂為參考系.地面連同擋板以速度v趨向光源S運動. 設(shè)當(dāng)擋板距光源S的距離為L(在車廂中測量)時,擋板將小孔射出的光完全擋住(如圖所示) 根據(jù)幾何計算,得:根據(jù)相對論,擋板在計時開始時離光源的距離為:(2)以地面為參考系.光源與車廂以速度v向擋板運動,光源與孔之間的距離(從地面測量)縮短為: 而孔的半徑不變,仍為r.擋板將 小孔射出的光完全擋住時的距離 應(yīng)為: 計時開始時,擋板離S的距離為xA,因此,擋板將小孔射出的光完全擋住的時刻為:八.子在相對自身靜止的慣性參考系中的平均壽命0約為 .宇宙射線與大氣在高空某處發(fā)生核反應(yīng)產(chǎn)生一批子,以v=0.99c的速度(c為真空

10、中的光速)向下運動并衰變.根據(jù)放射性衰變定律,相對給定慣性參考系,若t=0時刻的粒子數(shù)為N(0),t時刻剩余的粒子數(shù)為N(t),則有N(t)=N(0) ,式中為相對該慣性系粒子的平均壽命.若能到達(dá)地面的子數(shù)為原來的5%,試估算子產(chǎn)生處相對于地面的高度.不考慮重力和磁場對子運動的影響.解:因為子在相對自身靜止的慣性系中的平均壽命為: 0 根據(jù)相對論時間膨脹效應(yīng),在地球上觀測到子的平均壽命為: 代入數(shù)據(jù)計算得: 從地面觀測,若子到達(dá)地面所需的時間為t,則在t時刻剩余的子數(shù)為: 根據(jù)題意有: 所以: 根據(jù)題意,可以把子的運動看作勻速直線運動,因此子產(chǎn)生處距地面的高度為:九.設(shè)某原子核處于基態(tài)時的靜止

11、質(zhì)量為m0,處于激發(fā)態(tài)時其能量與基態(tài)能量之差為E,且受激原子核處于自由狀態(tài).1.假設(shè)處于激發(fā)態(tài)的原子核原先靜止,在發(fā)射一個光子后回到基態(tài),試求其發(fā)射光子的波長0.2.由于無規(guī)則熱運動,大量處于激發(fā)態(tài)的原子核原先不是靜止的,可以沿任何方向運動,且速度的大小也是無規(guī)則的,可具有任何值.現(xiàn)只考察那些相對實驗室是向著或背著儀器做直線運動的激發(fā)態(tài)原子核,假定它們速度的最大值是u,試求這些受激核所發(fā)光子的最大波長和最小波長之差 與0之比. 已知普朗克常量為h,真空中的光速為c.分析1)當(dāng)原子核的狀態(tài)發(fā)生變化時往往伴隨有較大的能量 變化,從而導(dǎo)致原子核以及它所放出(或吸收)的粒 子具有較大的速度,此時應(yīng)考慮

12、相對論效應(yīng); 2)解決問題的物理依據(jù): 能量守恒 動量守恒.解:(1)以地為參考系.設(shè)m為基態(tài)原子核的動質(zhì)量, 為所發(fā) 射的光子的頻率.取光子運動的方向為正方向.根據(jù)題意,原子核與所發(fā)射的光子所組成的系統(tǒng)動量守恒.由動量守恒定律可得:在發(fā)射過程中能量守恒.由能量守恒定律可得:求解(1)和(2),得:考慮到: 所以:(2) a)對以最大速度u向儀器運動的激發(fā)態(tài)核. 以地為參考系.設(shè) 為基態(tài)原子核的動質(zhì)量, 為所發(fā) 射的光子的頻率.取光子運動的方向為正方向.由動量守恒定律可得:由能量守恒定律可得:求解(3)和(4),得:考慮: 所以:b)對以最大速度u背離儀器運動的激發(fā)態(tài)核. 以地為參考系.設(shè) 為

13、基態(tài)原子核的動質(zhì)量, 為所發(fā) 射的光子的頻率.取光子運動的方向為正方向.由動量守恒定律可得:由能量守恒定律可得:求解(5)和(6),得:考慮: 所以: 26復(fù)6.兩慣性系 與S初始時刻完全重合,前者相對后者沿x軸正方向以速度v高速運動.作為光源的自由質(zhì)點靜止于 系中,以恒定功率P向四周輻射(各向同性)光子.在S系中觀察,輻射偏向于光源前部(即所謂的前燈效應(yīng)).1.在S系中觀察, 系中向前的那一半輻射將集中于光源前部以x軸為軸線的圓錐內(nèi).求該圓錐的半頂角 .已知相對論速度變換關(guān)系為:2.求S系中測得的單位時間內(nèi)光源輻射的全部光子的總動量與總能量.分析:1.由速度變換分析可知: 2.由質(zhì)能關(guān)系可知

14、,在 系中質(zhì)子輻射出光子的功率與其質(zhì)量變化快慢的關(guān)系,再分別由相對論時間變換和相對論質(zhì)量方程,計算出在S系中觀察質(zhì)子質(zhì)量變化快慢的情況,從而求出在S系中觀察在單位時間內(nèi)質(zhì)子所輻射出的光子的動量及能量.解:1.根據(jù)光速不變原理,在兩個慣性系中光速的大 小都是c.以 和 分別表示光子速度方向在S系和 系中與 和 軸的夾角,則在兩個慣性系中光速的x分量分別為:將上式代入相對論速度變換公式 得:2.在 系中,質(zhì)點靜止,在 時間內(nèi)輻射光子的能量來自質(zhì)點質(zhì)量的減少,即:在S系中,在與 系中輻射時間 對應(yīng)的時間 內(nèi),質(zhì)點質(zhì)量減少為 ,而其速度不變,從而導(dǎo)致其動量和能量的減少.由動量守恒定律和能量守恒定律可知

15、,其減少的動量和能量轉(zhuǎn)化為光子的動量和能量. 由相對論時間變換和相對論質(zhì)量方程可得:在S中,在 時間內(nèi)轉(zhuǎn)化為光子的動量和能量分別是:由以上各式可求得在S系中:單位時間輻射的全部光子的總動量為單位時間輻射的全部光子的總能量為26復(fù)7.1.設(shè)想光子能量為E的單色光垂直入射到質(zhì)量為M、以速度V沿光入射方向運動的理想反射鏡(無吸收)上,試用光子與鏡子碰撞的觀點確定反射光的光子 能量,可以取以下近似: 其中c為光速.2.若在上述問題中單色光的強度為 ,試求反射光的強度 (可以近似認(rèn)為光子撞擊鏡子后,鏡子的速度仍為V).光的強度定義為單位時間內(nèi)通過垂直于傳播方向單位面積的光子的能量. 分析:動量守恒; 能

16、量守恒.解:1.在光子與反射鏡碰撞的過程中,光子和鏡子所 組成的系統(tǒng)動量守恒,能量守恒.所以有:c+,并化簡得:解之得:將該結(jié)果代入(1),計算得: 當(dāng) 時, 所以:2.以t時刻位于垂直于光的傳播方向在截面A左側(cè)長為1c、底面積為單位面積的柱體內(nèi)的光子為研究對象.根據(jù)分析,原來分布在(1c)范圍內(nèi)的光子,在反射后將發(fā)布在(1c+2ct)的范圍內(nèi).其中:即:根據(jù)光強定義,入射光強和反射光強分別為:其中 和 分別為入射光和反射光單位體積中的光子數(shù).由于入射光子數(shù)與反射光子數(shù)相等,因此有: 所以,反射光的強度為:考慮到Vc,有:24復(fù)72007年是我國著名物理學(xué)家王金昌誕辰一百周年。王先生早在194

17、1年就發(fā)表論文，提出了一種探測中微子的方案： 原子核可以俘獲原子的K層電子而成為 的激發(fā)態(tài) ，并放出中微子（當(dāng)時寫做 ）：而 又可以放出光子 而回到基態(tài) ：現(xiàn)用王先生的方案來估算中微子的質(zhì)量和動量。若實驗測得鋰核 反沖能量（即 的動能）的最大值 ， 光子的能量 。已知有關(guān)原子核和電子靜止能量的數(shù)據(jù)為 ， ， 。設(shè)在第一個過程中， 核是靜止的，K層電子的動能也可忽略不計。由以上數(shù)據(jù)算出的中微子的動量 和靜止質(zhì)量 各為多少。解:因為 核及K層電子的動量為零,所以根據(jù)動量守恒定律得:在第一個反應(yīng)中:在第二個反應(yīng)中:已知光子的動量大小為:對鋰核,由動能和動量的關(guān)系得:代入數(shù)據(jù),聯(lián)立求解上述方程,得:設(shè)

18、 為中微子能量,則根據(jù)相對論有: +對(1)和(2)兩個過程由能量守恒定律,有:由(5) 、(6)兩式得:將已知數(shù)據(jù)和 的計算結(jié)果代入上式計算得:所算出的中微子靜止質(zhì)量的數(shù)值在題目所給數(shù)據(jù)的誤差范圍之內(nèi),故不能確定中微子的靜止質(zhì)量.如果存在,其質(zhì)量一定小于 .24決7已知鈉原子從激發(fā)態(tài)(記做 )躍遷到基態(tài)(記做 )所發(fā)出的光譜線波長為 ,現(xiàn)有一團鈉原子氣,其中的鈉原子做無規(guī)則的熱運動(鈉原子的運動不必考慮相對論效應(yīng)),被一束沿z軸正方向傳播的波長為=589.0080nm的激光照射.以表示鈉原子運動方向與z軸正方向之間的夾角(如圖所示).問在3045角度區(qū)間內(nèi)的鈉原子中速率u在什么范圍內(nèi)能產(chǎn)生共振吸收,從 態(tài)激發(fā)到 態(tài)?并求共振吸收前后鈉原子速度(矢量)變化的大小.已知鈉原子質(zhì)量為: ,普朗克常量為: ,真空中的光速為: .解:根據(jù)已知條件,射向鈉原子的激光頻率為:由于多普勒效應(yīng),角度,速率為u的原子接收到的激光頻率和波長分別為:發(fā)生共振時應(yīng)有 ,即求解得:代入有關(guān)數(shù)據(jù)計算,得:對=30的鈉原子,其速率