人教版高中數(shù)學(xué)選修4測(cè)試題全套及答案

1、3 x12最新人教版高中數(shù)學(xué)選修 4-5 測(cè)試題全套及答案第一講不等式和絕對(duì)值不等式一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的)1設(shè)集合 Ax|ylog (42xx2)，Bx 1x|1x 51x|3x2x|1x1x|1 5x3 或 510 可轉(zhuǎn)化為，則 AB 等于( ) x22x40，解得1 5x1 5，Ax|1 5x1 5； 3 x2不等式 1 可轉(zhuǎn)化為 0，x1 x1解得1x2，Bx| 1x2， ABx|1x 51答案： Ax12不等式 x11 的解集為( )Ax|0 x1 Cx|1x0Bx|0 x1 Dx|x0解析：

2、 方法一：特值法：顯然 x1 是不等式的解，故選 D. 方法二：不等式等價(jià)于|x1|x1|，即(x1)2(x1)2，解得 x ，a|ab|b，aba2b24ab3b22 ，ab 2ab恒成立的序號(hào)為( ) AB ab，即 ab ，故不正確，排除 A、B；abab1 1 21 1 22 1 1b1 1 1 1ab3433C解析：D2ab 2ab 2ab 2 ab 2 ab ab2 22，即正確答案： D1 14已知 a0，b0，則 2 ab的最小值是( )a bA2C4B2 2D5解析： ab，b0， ，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取等號(hào)，a b ab 2 ab 2 ab2 a b ab22 ab4.ab

3、當(dāng)且僅當(dāng) ab1 且2 ab時(shí)成立，能取等號(hào)，故 2 ab的最小值為 4，故選 C. ab a b答案： C5設(shè)|a |1，|b|1，則|ab|ab|與 2 的大小關(guān)系是( ) A|ab|ab|2|ab|ab|2|ab|ab|2不可能比較大小解析： 當(dāng)(ab)(ab)0 時(shí)，|ab| |ab| |(ab)(ab)|2|a|2，當(dāng)(ab)(ab)0 時(shí)，|ab| |ab| |(ab)(ab)|2|b|2.答案： B6設(shè) x，yR ，a1，b1.若 axb A2C1y1 13，ab2 3，則 的最大值為( )x y3B.21D.2解析： axby3，xloga3，ylog 3， log x y l

4、og 3 log 3 3alog blog3ab2ablog log 31，故選 C.答案： C1a(11 a(1 a)(1a)(1a)(1(1a)(1a)(1(1a)(1a)121231 2 31 2 31 2 31231231233123p.70a2B|log (1a)|log (1a)| C|log (1a)log (1a)|log (1a)|log (1a)|解析： 令 a ，代入可排除 B、C、D. 答案： A8若實(shí)數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ab2，則 3a3b的最小值是( )A18C2 3B64D. 3解析： 3a3b2 3a3b23ab2 326.答案： B9已知|a |b|，m|a|b

5、 | |a|b|，n ，則 m，n 之間的大小關(guān)系是( ) |ab | |ab|Amn CmnBmn Dmn解析： |a| |b |ab|a| |b |，|a| |b | |a| |b |m 1，|ab| |a| |b |a| |b | |a| |b |n 1，m1n.|ab| |a | |b |答案： D10某工廠年產(chǎn)值第二年比第一年增長(zhǎng)的百分率為p ，第三年比第二年增長(zhǎng)的百分率為 p ，第四年比 第三年增長(zhǎng)的百分率為 p ，則年平均增長(zhǎng)率 p 的最大值為( )3A. p p pp p pC.3p p pB.31p 1p1p D23解析： (1p)3(1p)(1p )(1p )，1p3 1p

6、 1p 1p 1p 1p1p ，p p p 1 2 33答案： B，2sin xcos x tan x11sin 2x sin 2x5911若 a，b，c0，且 a22ab2ac4bc12，則 abc 的最小值是( )A2 3C2解析： a22ab2ac4bca(a2c)2b(a2c) (a2c)(a2b)a2ca2b 2 2 B3D. 3(abc)212，又 a，b，c0，abc2 3.答案： A 1cos 2x8sin2 x12當(dāng) 0 x0，且 tan x 時(shí)取等號(hào)21cos 2x8sin2 x 53cos 2x方法二：f(x) (02x0.答案： C二、填空題(本大題共 4 小題，每小題

7、 4 分，共 16 分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)2 2 2可得2 244 13已知 ，則 的取值范圍是_ 解析： 利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解由 答案： 0.2 214設(shè)集合 Sx|x2|3，Tx|ax3，x23 或 x25 或 x5 或 x1又Tx|axa8，STR，a53a1.答案： 3a1，求函數(shù) y 的最小值為_(kāi)x1解析： x1，x10，x5x2x14x11y x1 x1(x1)542x1x159.x1當(dāng)且僅當(dāng) x1 ，即 x1 時(shí)，等號(hào)成立x1y 的最小值是 9.答案： 916某商品進(jìn)貨價(jià)每件 50 元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格(每件 x 元)在 50 x80 時(shí)，每天售出的件數(shù) P 1

8、05，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，銷(xiāo)售價(jià)格每件應(yīng)定為_(kāi)元x402解析： 設(shè)銷(xiāo)售價(jià)格定為每件 x 元(50 x80)，每天獲得利潤(rùn) y 元，則：y 2 500.100tmax1 1 1 x ybx ayy xbx aymin105x50y(x50) P ，x402設(shè) x50t，則 0t30，105t 105tt102 t220t100105 105 t 20 2020當(dāng)且僅當(dāng) t10，即 x60 時(shí)，y 2 500.答案： 60三、解答題(本大題共 6 小題，共 74 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)x17(12 分)已知 30 x42,16y24，求 xy，x2y， 的取值范圍y

9、解析： 30 x42,16y24，46xy66.16y24，482y32，18x2y10.30 x42， .24 y 165 x 214 y 8.a b18(12 分)已知 a，b，x，yR ，x，y 為變量，a，b 為常數(shù)，且 ab10， 1，xy 的最小x y值為 18，求 a，b.a b解析： xy(xy)ab ab2 ab( a b)2，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)y x又(xy) ( a b)218，即 ab2 ab18321 3 12 23 12 2又 ab10a2 由可得 或b8 82.19(12 分)解不等式|x1|x|2.解析： 方法一：利用分類(lèi)討論的思想方法當(dāng) x1 時(shí)，x1x2，解

10、得 x1；當(dāng)1x0 時(shí)，x1x2，解得1x0； 當(dāng) x0 時(shí)，x1x2，解得 0 x .2因此，原不等式的解集為x| x . 方法二：利用方程和函數(shù)的思想方法令 f(x)|x1| |x |22x1x0，11x0，2x3x1.作函數(shù) f(x)的圖象(如圖)，知當(dāng) f(x)0 時(shí)， x .2 2故原不等式的解集為 3 1 x| x .方法三：利用數(shù)形結(jié)合的思想方法由絕對(duì)值的幾何意義知，|x1|表示數(shù)軸上點(diǎn) P(x)到點(diǎn) A(1)的距離，|x|表示數(shù)軸上點(diǎn) P(x)到點(diǎn) O(0) 的距離由條件知，這兩個(gè)距離之和小于 2.作數(shù)軸(如圖)，知原不等式的解集為2 23 1 xx4 3x 3x 43 9，3

11、x 3x 4 2 92 9 4 31 12 500 22 5001212 500 3 1 x| x0)的最值x2解析： 由已知 x0，y3x x2 2 2 x2333x 3x 4 3 2 2 x23當(dāng)且僅當(dāng) ，即 x 時(shí)，取等號(hào)2 2 x2 33當(dāng) x 時(shí)，函數(shù) y3x 的最小值為 3 9.3 x221(12 分)在某交通擁擠地段，交通部門(mén)規(guī)定，在此地段內(nèi)的車(chē)距 d(m)正比于車(chē)速 v(km/h)的平方與 車(chē)身長(zhǎng) s(m)的積，且最小車(chē)距不得少于半個(gè)車(chē)身長(zhǎng)，假定車(chē)身長(zhǎng)均為 s(m)，且車(chē)速為 50 km/h 時(shí)車(chē)距恰為 車(chē)身長(zhǎng) s，問(wèn)交通繁忙時(shí)，應(yīng)規(guī)定怎樣的車(chē)速，才能使此地段的車(chē)流量 Q 最大

12、？解析： 由題意，知車(chē)身長(zhǎng) s 為常量，車(chē)距 d 為變量且dkv2s，把 v50，ds 代入，得 k ，把 d s 代入1d v2s，得 v25 2.所以s025 2.則車(chē)流量3s2v22 500Q 2s 1 ss1 vs22 11 000v025 2.s1 當(dāng) 025 2時(shí)，Q 1 000v 1 000 v2 1 v 2 500 v 2 500s21 000 25 000.1 vv 2 500當(dāng)且僅當(dāng) ，即 v50 時(shí)，等號(hào)成立即當(dāng) v50 時(shí)，Q 取得最大值 Q v 2 500所以車(chē)速規(guī)定為 50km/h 時(shí)，該地段的車(chē)流量 Q 最大25 000 .因?yàn)?Q Q ，22(14 分)已知函數(shù)

13、 f(x)ax2fxx04(a 為非零實(shí)數(shù))，設(shè)函數(shù) F(x)fxx0.若 f(2)0，求 F(x)的表達(dá)式；在(1)的條件下，解不等式 1|F(x)|2；設(shè) mn0，試判斷 F(m)F(n)能否大于 0? 解析： (1)f(2)0，4a40，得 a1，f(x)x24，x24 x0 F(x)x24x0 的情況當(dāng) x0 時(shí)，由|F(2)|0，故當(dāng) 0bc2c2 0a b2 時(shí)，解不等式 1x242，得 5x 6；綜合上述可知原不等式的解集為x| 2x 3或 5x 6或 3x 2或 6x 5 (3)f(x)ax24，ax24 x0F(x) ，ax24x0mn0，則 n0，mn0，m2n2，F(xiàn)(m)

14、F(n)am24an24a(m2n2)，所以：當(dāng) a0 時(shí)，F(xiàn)(m)F(n)能大于 0，當(dāng) a ，則下列不等式一定成立的是( )c2 c2Aa2b2Blg alg b1 1C. b c 33aa b解析： 從已知不等式入手： ab(c0)，其中 a，b 可異號(hào)或其中一個(gè)為 0，由此否定 A、B、 C，應(yīng)選 D.答案： D1 12若 0，則下列結(jié)論不正確的是( )a bAa2b2Bab2a bD|a|b |ab |1 11 1 a b解析： 因?yàn)?0a0且b0baaba0，b0ba0，y0，xy1， x y的最大值是( )A1B. 2C.22D.32解析： x0，y0，1xy2 xy， xy，

15、x y2xy 2(當(dāng)且僅當(dāng) xy 時(shí)取“”)2答案： B6用分析法證明：欲使AB，只需CD，這里是的( )A充分條件 C充要條件B必要條件D既不充分也不必要條件解析： 分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論的充分條件成立，即 ，所以是的必要條件 答案： B7已知 0a0B21ab2Clog alog b2D2b a解析： 方法一：特值法令 a ，b 代入可得 方法二：因?yàn)?0ab 且 ab1，所以 0a1，所以 log2a0.1ab0 所以 2ab2 所以 2 a b4，而 abab22 ，4所以 log2alog b0，b0，則“ab”是“a b ”成立的( ) A充分不必要條件必要不充分條件充要條件即

16、不充分也不必要條件解析： a b ab (ab) a0，b0，11 .ab(ab)1 1 1 1 0a b .可得“ab”是“a b ”成立的充要條件 答案： C9設(shè) a0，b0，則以下不等式中不恒成立的是( )1 1A(ab) 4Ca2b222a2bBa3b32ab2D. |ab| a b解析： 因?yàn)?ab)1 1a b2 ab 24，所以 A 正確 aba3b32ab2(ab)(a2abb2)0，但 a，b 大小不確定，所以 B 錯(cuò)誤32b a ab ab ab2 2xa1ax(a2b22)(2a2b)(a1)2(b1)20，所以 C 正確|ab| a b|ab| b abab0，所以 D

17、 正確答案： Ba2 b210設(shè) a，bR ，且 ab，P ，Qab，則( )b aAPQ CP0，PQ.答案： A11若函數(shù) f(x)，g(x)分別是 R 上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿(mǎn)足 f(x)g(x)ex，則有( )Af(2)f(3)g(0) Cf(2)g(0)f(3)Bg(0)f(3)f(2) Dg(0)f(2)b 3 5 2 682 1582 12，同理可比較得 bc. 答案： abc14已知三個(gè)不等式：c d(1)ab0；(2) ad.a b以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，為_(kāi)解析： 運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行推理，從較復(fù)雜的分式不等式(2)切入，去尋覓它與(1)的聯(lián)系c d c d c

18、 d 0bcad 0ab(bcad)0.答案： (1)、(3)(2)；(1)、(2)(3)；(2)、(3)(1)15若 f(n) n211n，g(n)n n21，(n) ，則 f(n)，g(n)，(n)的大小順序?yàn)開(kāi)解析： 因?yàn)?f(n)n21nn211n，g(n)nn21n21.1n又因?yàn)閚21n2n n21n，所以 f(n)(n)(n)f(n)16完成反證法整體的全過(guò)程題目：設(shè) a ，a ，a 是 1,2,3，7 的一個(gè)排列，求證：乘積 p(a 1)(a 2)(a 7)為偶數(shù)證明：反設(shè) p 為奇數(shù)，則_均為奇數(shù)因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)_._.0.但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說(shuō)明 p 為

19、偶數(shù)解析： 反設(shè) p 為奇數(shù)，則(a 1)，(a 2)，(a 7)均為奇數(shù) 因?yàn)閿?shù)個(gè)奇數(shù)的和還是奇數(shù)，所以有奇數(shù)(a11)(a 2)(a 7)1 271271271 27 abc同理 1 ， 1 1 1 1 abc1(aa a )(1237)0.但奇數(shù)偶數(shù)，這一矛盾說(shuō)明 p 為偶數(shù)答案： (a 1)，(a 2)，(a 7)(a 1)(a 2)(a 7)(a a a )(1237)三、解答題(本大題共 6 個(gè)小題，共 74 分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17(12 分)若 abc，求證：a2bb2cc2aa2cb2ac2b.證明： abc，ab0，bc0，ac0，于是：a

20、2bb2cc2a(a2cb2ac2b)(a2ba2c)(b2cb2a)(c2ac2b)a2(bc)b2(ca)c2(ab)a2(bc)b2(bc)c2(ab)b2(ab)(bc)(a2b2)(ab)(c2b2)(bc)(ab)(ab)(ab)(cb)(cb) (bc)(ab)ab(cb)(bc)(ab)(ac)0，a2bb2cc2a1 10.x y1 1證明： 用分析法證明8 31 10832 241 102 102 242 10 24 10.最后一個(gè)不等式是成立的，故原不等式成立1y 1x20(12 分)若 x，y0，且 xy2，則 和 中至少有一個(gè)小于 2.x y1y 1x證明： 反設(shè) 2

21、 且 2，x，y0，1y2x,1x2y 兩邊相加，則2(xy)2(xy)，可得 xy2，與 xy2 矛盾，1y 1x 和 中至少有一個(gè)小于 2.x y21(12 分)已知 a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，且 a2b21，c2d21，求證|acbd|1. 證明： 證法一(綜合法) 因?yàn)?a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，所以|acbd|ac| |bd |a2c2 b2d22 2a2b2c2d2.2又因?yàn)?a2b21，c2d21. 所以|acbd|1.證法二(比較法) 顯然有|acbd|11acbd1.先證明 acbd1. acbd(1)acbd 2 2a2b2 c2d2 acbd 2 21 12nnnn1n2

22、 2n n1 2nnnnnq 642 ，bad1n32 2ac2bd2 0.2acbd1.再證明 acbd1.1(acbd) (acbd)2 2a2b2 c2d2 acbd 2 2ac2bd2 0，acbd1.綜上得|acbd|1.證法三(分析法) 要證|acbd|1.只需證明(acbd)21.即只需證明 a2c22abcdb2d21.由于 a2b21，c2d21，因此式等價(jià)于a2c22abcdb2d2(a2b2)(c2d2)將式展開(kāi)、化簡(jiǎn)，得(adbc)20.因?yàn)?a，b，c，d 都是實(shí)數(shù)，所以式成立，即式成立，原命題得證22(14 分)數(shù)列a 為等差數(shù)列，a 為正整數(shù)，其前 n 項(xiàng)和為 S

23、 ，數(shù)列b 為等比數(shù)列，且 a 3，b11，數(shù)列ba 是公比為 64 的等比數(shù)列，b S 64.(1)求 a ，b ；1 1 1 3(2)求證： .S S S 4解析： (1)設(shè)a 的公差為 d，b 的公比為 q，則 d 為正整數(shù)，a 3(n1)d，b qn1，ban1 q3nd 依題意有 n q S b 6dq64，d 6由(6d)q64 知 q 為正有理數(shù)，故 d 為 6 的因子 1,2,3,6 之一， 解得 d2，q8.nnn nn21 2n1 n21 n1 n21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n1 1 2 2n n1 2 n 1 2 n故 a32(n1)2n1，b 8n1.

24、(2)證明：S 35(2n1)n(n2)1 1 1 1 1 1 1 S S S 13 24 351 1 1 1 1 1 1 2132 4 3 5 n 1 1 1 212 3bcd，x(ab)(cd)，y(ac)(bd)， z(ad)(bc)，則 x，y，z 的大小順序?yàn)? )Axzy CxyzByzx Dzyd 且 bc，則(ab)(cd)(ac)(bd)，得 xb 且 cd，則(ac)(bd)(ad)(bc)，得 yz，故選 C.答案： C10若 0a a 0b b 且 a a b b 1，則下列代數(shù)式中值最大的是( )Aa b a bCa b a bBa a b b 1D.2解析： 利用特

25、值法，令 a 0.4，a 0.6，b 0.3，b 0.7 計(jì)算后作答；或根據(jù)排序原理，順序和 最大答案： A11已知 a，b，c，d 均為實(shí)數(shù)，且 abcd4，a2b216c2d2 ，則 a 的最大值為( ) 3A16C4B10D2解析： 構(gòu)造平面 ：xyz(a4)0，球 O：x2y2z2 a 32，4a c3 31 1 1a3b a3b a3b4 3b c 4a c 1 4a 3b 5 3b 4a c 4a c 3b5 43 3(ab)2則點(diǎn)(b，c，d)必為平面 與球 O 的公共點(diǎn)，|a4|從而3163a2，即 a22a0，解得 0a2，故實(shí)數(shù) a 的最大值是 2. 答案： D12x，y，

26、z 是非負(fù)實(shí)數(shù)，9x212y25z29，則函數(shù) u3x6y5z 的最大值是( )A9C14解析： u2(3x6y5z)2B10D15(3x)2(2 3y)2( 5z)212( 3)2( 5)29981，u9.答案： A二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上)1 1 113已知 a，b，c 都是正數(shù)，且 4a9bc3，則 的最小值是_a b c解析： 由 4a9bc3， 3b 1， a b c4 c 4 c 4 c3 3 3 3 3 3 a b c 3 3 a 3a 3b 3b 3 3c c3 3 a 3b 3a 3c 3b c 3 4 212.答

27、案： 12a2 b214已知 a，b 是給定的正數(shù)，則 的最小值是_sin2 cos2解析：a2 b2 sin2 cos2(sin2cos2)答案： (ab)2a2 b2 sin2 cos2.，2 4x 2y 33max33min15已知點(diǎn) P 是邊長(zhǎng)為 2 3的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為 x，y，z，則 x，y，z 所滿(mǎn)足的關(guān)系式為_(kāi)，x2y2z2的最小值是_解析： 利用三角形面積相等，得 1 32 3(xyz) (2 3)2 即 xyz3；由(111)(x2y2z2)(xyz)29，則 x2y2z23.答案： xyz3 316若不等式|a1|x2y2z，對(duì)滿(mǎn)足 x2y2z21

28、的一切實(shí)數(shù) x，y，z 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析： 由柯西不等式可得(122222)(x2y2z2)(x2y2z)2，所以 x2y2z 的最大值為 3，故有|a1|3，a4 或 a2.答案： a4 或 a2三、解答題(本大題共 6 小題，共 74 分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17(12 分)已知 a2b21，x2y21.求證：axby1.證明： a2b21，x2y21. 又由柯西不等式知1(a2b2)(x2y2)(axby)21(axby)2，1|axby|axby，所以不等式得證18(12 分)設(shè) x22y21，求 x2y 的最值解析： 由|x2y| |1

29、 x 2 2y|12 x22y2 3.當(dāng)且僅當(dāng) ，即 xy 時(shí)取等號(hào) 1 2 3所以，當(dāng) xy 時(shí)，3 3.當(dāng) xy 時(shí)， 3.19(12 分)設(shè) ab0，求證：3a32b33a2b2ab2.(111)2于是 于是證明： ab0，aaabb0，a2a2a2b2b20，由順序和亂序和，得a3a3a3b3b3a2ba2ba2aab2ab2.又 a2ba2ba2aab2ab23a2b2ab2.則 3a32b33a2b2ab2.20(12 分)已知 x，y，zR，且 xyz3，求 x2y2z2的最小值解析： 方法一：注意到 x，y，zR，且 xyz3 為定值， 利用柯西不等式得到(x2y2z2)(12

30、1212)(x1y1z1)29，從而 x2y2z23，當(dāng)且僅當(dāng) xyz1 時(shí)取“”號(hào)，所以 x2y2z2的最小值為 3.方法二：可考慮利用基本不等式“a2b22ab”進(jìn)行求解， 由 x2y2z2(xyz)2(2xy2xz2yz)9(x2y2x2z2y2z2)，從而求得 x2y2z23，當(dāng)且僅當(dāng) xyz1 時(shí)取“”號(hào)，所以 x2y2z2 的最小值為 3.21(12 分)設(shè) a，b，c 為正數(shù)，且不全相等，求證： 2 2 2 9 .ab bc ca abc證明： 構(gòu)造兩組數(shù) ab，bc，ca；1，1，1，則由柯西不等式得bc(abbcca)ca1 1 1 ab bc ca，即 2(abc)1 1

31、1ab bc ca9.2 2 2 9 .ab bc ca abc2 2 2 9 .ab bc ca abc2 2 2 91 2 n 1 212nn12n1 2n2n n 21 2 n112n1 2n n所以 1 212n1 1由柯西不等式知，中有等號(hào)成立ab1abbc1bcca1caabbccaabc.因題設(shè) a，b，c 不全相等，故中等號(hào)不成立，于是 .ab bc ca abcx2 x2 x2 122(14 分)設(shè) x ，x ，x R ，且 x x x 1，求證： .1x 1x 1x n1證明： 因?yàn)?x x x 1，所以 n1(1x1)(1x )(1x )又x2 x2 x2 1x1 1x2

32、 1xn(n1)x2 x2 x2 1x1 1x2 1xn(1x )(1x )(1x )(x x x )21，x2 x2 x2 1 .1x 1x 1x n1第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的)1 1 11用數(shù)學(xué)歸納法證明 1 1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式( )2 3 2n11A1 2 21 1 C1 32 31 1B1 2 2 31 1 1 D1 1，n 取的第一個(gè)自然數(shù)為 2，左端分母最大的項(xiàng)為22 ，故選 B. 1 3答案： B2用數(shù)學(xué)歸納法證明 123252(2n1)21 n(4n21)

33、的過(guò)程中，由 nk 遞推到 nk1 時(shí)， 3等式左邊增加的項(xiàng)為( ) A(2k)2C(2k1)2解析： 把 k1 代入(2n1)2B(2k3)2 D(2k2)2得(2k21)2即(2k1)2，選 C.答案： C3設(shè)凸 n 邊形有 f(n)條對(duì)角線(xiàn)，則凸 n1 邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)，加上多的哪個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的對(duì)角 線(xiàn)的條數(shù) f(n1)為( )Af(n)n1 Cf(n)n1Bf(n)n Df(n)n2解析： 凸 n1 邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)等于凸 n 邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)，加上多的那個(gè)點(diǎn)向其他點(diǎn)引的 對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)(n2)條，再加上原來(lái)有一邊成為對(duì)角線(xiàn)，共有 f(n)n1 條對(duì)角線(xiàn)，故選 C.答案： C2

34、6 5 3 7 1 10 24觀察下列各等式： 2， 2， 2， 2，依照以24 64 54 34 74 14 104 24上各式成立的規(guī)律，得一般性的等式為( )n 8nA. 2n4 8n4n1 n15B. 2n14 n14n n4C. 2n4 n44n1 n5D. 2n14 n54解析： 觀察歸納知選 A.答案： A5欲用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于足夠大的自然數(shù) n，總有 2 的最小值應(yīng)該是( )nn3，那么驗(yàn)證不等式成立所取的第一個(gè) nA1C10B9Dn10，且 nN解析： 由 2101 024103 知，故應(yīng)選 C.答案： C1 1 1 16用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1(nN*，n2)時(shí)，由“k

35、到 k1”，不等式左端的n n1 n2 2n變化是( )1 1 1 1k1 1 1 1 11 1 1k 1A增加 一項(xiàng)2k11 1B增加 和 兩項(xiàng)2k1 2k11 1 1增加 和 兩項(xiàng)，同時(shí)減少 一項(xiàng) 2k1 2k1 k以上都不對(duì)解析： 因 f(k) ，k1 k2 kk而 f(k1) ， k1 k2 kk kk1 kk2故 f(k1)f(k) ，故選 C.2k1 2k2答案： C7用數(shù)學(xué)歸納法證明 34n152n1(nN )能被 8 整除時(shí)，若 nk 時(shí)，命題成立，欲證當(dāng) nk1 時(shí) 命題成立，對(duì)于 34(k1)152(k1)1可變形為( )A5634k 125(34k 152k 1)B343

36、4k 15252kC34k 152k 1D25(34k 152k 1)解析： 由 34(k1)152(k1)18134k12552k12534k12534k15634k125(34k152k1)，故選 A.答案： A8用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)”時(shí)，從 nk 到 nk1 等 式的左邊需增乘代數(shù)式為( )A2k12k12k2 C.k12k1B.k12k3D.k1解析： 左邊當(dāng) nk 時(shí)最后一項(xiàng)為 2k.左邊當(dāng) nk1 時(shí)最后一項(xiàng)為 2k2，又第一項(xiàng)變?yōu)?k2， 2k12k2需乘 .k1答案： Cn1n n12 3 4n1234nn9數(shù)列 a 中，已知

37、 a 1，當(dāng) n2 時(shí)，a a 2n1，依次計(jì)算 a ，a ，a 后，猜想 a 的表達(dá)式是( )A3n2 C3n1Bn2 D4n3解析： 計(jì)算出 a 1，a 4，a 9，a 16.可猜 an2故應(yīng)選 B.答案： B10用數(shù)學(xué)歸納法證明 123n2n4n2，則當(dāng) nk1 時(shí)左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上加上( ) 2Ak2 B(k1)2k14 C.k12 2D(k21)(k22)(k1)2解析： 當(dāng) nk 時(shí)，左端1123k2，當(dāng) nk1 時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2.故當(dāng) nk1 時(shí)，左端應(yīng)在 nk 的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2，故應(yīng)選 D.答案： D11用數(shù)學(xué)歸納

38、法證明“ n2nn1(nN *)”的第二步證 nk1 時(shí)(n1 已驗(yàn)證，nk 已假設(shè)成立)這樣證明： k12k1 k23k2 2n1.證明：利用貝努利不等式 (1 x)n1 nx(n N1， n2， x 1 ， x0)的一個(gè)特例 1 2 2k112 2k1 2k1，得 1 2k12k1，k 分別取 1,2,3，n 時(shí)，n 個(gè)不等式左右兩邊 2k11 31 31 135144 (2k 1) (2k 1) 2(2k 1) k(2k 1) k4(k 1)4k21 1n2 3 4n1 1a an1 111 1 1a a 12 11a2aa311相乘，得(11) 1 1 2n13 5 2n1 .2n1即

39、(11) 1 11 1 2n12n1成立21(12 分)是否存在常數(shù) a，b，c 使等式(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c 對(duì)一切正整數(shù) n 成立？證明你的結(jié)論解析： 存在分別有用 n1,2,3 代入，解方程組abc0， 16a4bc3， 81a9bc18a， 1b ，c0下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) n1 時(shí)，由上式可知等式成立；假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)等式成立，則當(dāng) nk1 時(shí)，左邊 (k 1)212 2(k 1)2 22 k(k 1)2 k2 (k 1)(k 1)2 (k 1)2 (k2 12) 2(k222) k(k2 k21 1 kk1 1 1 4 4 2 4 4(k1)2.由

40、(1)(2)得等式對(duì)一切的 nN 均成立1 122(14 分)對(duì)于數(shù)列a ，若 a a (a0，且 a1)，a a .n 1 a n a求 a ，a ，a ，并猜想a 的表達(dá)式；用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想解析： (1)a a ，a a ，naa a aa21 a a4a 1 ，a21 aa21 1a a 2a21 aa21 a a4a214na1ka a1na6a4a21 ，aa4a21同理可得 aa8a6a4a21 aa6a4a21猜想 aa2na2n2a21 aa2n2a2n41a2n21a21 a2n1aa21a2n21 . aa2n1a41 a211(2)當(dāng) n1 時(shí)，右邊 aaa21，

41、等式成立假設(shè)當(dāng) nk 時(shí)(kN*)，等式成立，即a2k21a ，則當(dāng) nk1 時(shí)， aa2k1ak11 a21 aa2k1 a k a2k21a21a2k21aaa2k212a2k1a2k21 ，aa2k11這就是說(shuō)，當(dāng) nk1 時(shí)，等式也成立，根據(jù)可知，對(duì)于一切 nN a2n21a 成立aa2n1*，全冊(cè)質(zhì)量檢測(cè)一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的)721 7 12 2 2 q，q ， 21已知：ab0，bbabCabbaBaabb Dabab解析： ab0ab，bab0babba答案： C2“acbd”是“ab

42、且 cd”的( )A必要不充分條件 C充分必要條件B充分不必要條件D既不充分也不必要條件解析： 易得 ab 且 cd 時(shí)必有 acbd.若 acbd 時(shí)，則可能有 ad 且 cd，選 A. 答案： A3a0，b0，且 ab2，則( )1Aab2 Ca2b221Bab2 Da2b23解析： 由 a0，b0，且 ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)，a2b22.選 C.答案： C4若不等式|2x3|4 與不等式 x2pxq0 的解集相同，則 pq 等于( )A127 C(12)7B712 D(3)4解析： |2x3|42x34 或 2x3 或 xQR CQRPBRPQ DRQP解析：

43、P217，Q2162 15，R2122 35，Q2P22 1510，R2P22 3550，P 最小Q2R22 1542 35，又(2 154)2166016 157616 152 154，Q2R2，Q0 和正整數(shù) n，都有 xnxn2xn41 1 1 n1” xn4 xn2 x時(shí)，需驗(yàn)證的使命題成立的最小正整數(shù)值 n 應(yīng)為( )An 1 Cn 1,2Bn 2D以上答案均不正確1解析： n 1 時(shí)，x 11 成立，再用數(shù)學(xué)歸納法證明x1 26x122x1611 2n1n1n1 2n1 2n1 2 n1 2n1 2n答案： A18函數(shù) ylog x 5 (x1)的最小值為( )A3C4解析： x1

44、，x10，B3D4 1 ylog log log83，22x11 x1 當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)等號(hào)成立，又 x0，x1x2 時(shí)，y 有最小值 3，選 B.答案： B9“|x1|2”是 x3 的( )A充分不必要條件 C充分必要條件B必要不充分條件D既不充分也不必要條件解析： |x1|22x121x3.1x3x3，反之不成立從而得出“|x1|2”是“xq CpqBp0，qp.答案： B11已知實(shí)數(shù) x，y 滿(mǎn)足 x2y21，則(1xy)(1xy)有( min1 3A最小值 和最大值 1 B最小值 和最大值 12 41 3C最小值 和最大值2 4解析： 1x2y2|2xy|，

45、 |xy| ，2(1xy)(1xy)1(xy)2，D最小值 11x2y2 且 1x2y21. 4答案： B112在數(shù)列a 中，a ，且 S n(2n1)a ，通過(guò)求 a ，a ，a ，猜想 a 的表達(dá)式為(n 1 3 n n 2 3 4 n)1A.n1n1 1C.2n12n11B.2n2n11D.2n12n21解析： 經(jīng)過(guò) a 可算出 a2 ，a ，所以選 C.答案： C二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分請(qǐng)把正確答案填在題中橫線(xiàn)上) 13若不等式|x1|a 成立的充分條件是 0 x4，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 解析： |x1|a 1ax0，y0，xyxy2，則 xy 的最小值為_(kāi) 解析： 由 xyxy2 得 2(xy)xy，2(xy)xy22 即(xy)24(xy)80，xy22 3或 xy2 32， 又x0，y0，(xy) 2 321 1 12n1 1 12 3 n1 1 12 3 2k1 1 1 1 1 12 3 2k 答案： 2 3215若 f(n) n211n，g(n) ，nN ，則 f(n)與 g(n)的大小關(guān)系為_(kāi)2n 解析： f(n)n21n f(n)1 1 1 n1