2014年題國賽一等獎

1、三號軌道設(shè)計與控制策略摘要我國三號已成功完成月球表面。在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。而本文主要研究的就是繞月飛行以及著陸過程中的一系列問題。針對問題一，要確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，本文用及高度來表示位置。通過三號的著陸軌跡結(jié)合計算方法即可推出近月點的位置，由于近、遠(yuǎn)月點的連線過球心，故可由對應(yīng)關(guān)系求得遠(yuǎn)月點的位置。又因為所有可能的著陸軌跡在月球表面的投影為一個半圓，故近月點位置不唯一，且位置范圍應(yīng)為一個半圓周，遠(yuǎn)月點同理。再求在準(zhǔn)備著陸軌道近月點和遠(yuǎn)月點的速度，采用能量法。因在準(zhǔn)備著陸軌道只受萬有引力作用，故可根據(jù)能量守恒

2、定律結(jié)合面積定律建立求解速度的模型。最后得到在近月點速度大小為 v 1692.2m / s ，遠(yuǎn)月點速度大小為v 1613.9m / s ，速度方向均為沿軌跡的切線方向。針對問題二，由于主階段水平方向的初速度和豎直方向的降落高度較其他階段要大很多，所以整個著陸過程中的消耗集中在這一階段。本文在主減速階段通過建立極坐標(biāo)來表示 著陸軌道 S(r0 (t), (t) ，并結(jié)合約束條件建立相關(guān)微分方程模型對軌道進(jìn)行求解。再建立耗燃最少的目標(biāo)函數(shù)，利用貪婪算法尋找到最優(yōu)控制策略u(t) u(F, ) 。而對于其余各階段，在達(dá)到滿足關(guān)鍵點狀態(tài)的基礎(chǔ)上，找到一種次優(yōu)化模型減少的消耗。最終，求得整個過程的消耗

3、量為 1217.2kg，所經(jīng)歷的總時間為 570.1519s。針對問題三，在差對于整個優(yōu)化過程也是階段消耗的最多,該階段的誤各階段中，主。通過分析主階段的優(yōu)化結(jié)果，將主推力F 與夾角 敏感度進(jìn)行比較，可知 對優(yōu)化結(jié)果影響更為顯著，所以為減少誤差要著重控制夾角 。：能量守恒定律；定律；貪婪算法；最優(yōu)控制策略；目標(biāo)函數(shù)1一、問題重述三號于 2013 年 12 月 2 日 1 時 30 分成功發(fā)射，12 月 6 日抵達(dá)月球軌道。三號在著陸準(zhǔn)備軌道上的運行質(zhì)量為 2.4t，其安裝在下部的主發(fā)能夠產(chǎn)生 1500N 到 7500N 的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為 2940m/s，可以滿

4、足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)，在給定主發(fā)的推力方向后，能夠自動通過多個發(fā)的脈沖組合實現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。（見附件 1）。三號的預(yù)定著陸點為 19.51W，44.12N，海拔為-2641m三號在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計。其著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點 15km，遠(yuǎn)月點 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至過程共分為 6 個階段（見附件 2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵著陸點，其點所處的狀態(tài)；盡量減少過程的消耗。根據(jù)上述的基本要求，請建立數(shù)學(xué)模型解決下面：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點

5、的位置，以及與方向。三號相應(yīng)速度的大小確定對于三號的著陸軌道和在 6 個階段的最優(yōu)控制策略。設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。二、問題假設(shè)1. 假設(shè)月球表面的重力加速度不變，因為距離月球表面的高度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球半徑，故其引起的重力加速度的變化很小，這里可忽略不計。2. 不考慮月球的自轉(zhuǎn)，因為月球自轉(zhuǎn)會對月球表面加速度大小產(chǎn)生影響，而不考慮自轉(zhuǎn)則萬有引力提供向心力，月球表面重力加速度為恒定的值。3. 月球引力非球項、日月引力攝動等影響均可忽略不計，因為若考慮到這些力將會影響著陸時的軌跡，分析受力時也極為復(fù)雜。4. 視月球為規(guī)則的球體，則可根據(jù)球的一些性質(zhì)確定月球的求解軌道及確

6、定位置時較方便。變化，5. 假設(shè)發(fā)制動時產(chǎn)生內(nèi)能的耗燃量忽略不計，若將產(chǎn)生內(nèi)能的耗燃量也考慮在內(nèi)，則求得的耗燃量與實際耗燃量之間存在誤差。2三、符號說明四、問題分析通過閱讀題目全文可知，本文給出一些有關(guān)三號繞月飛行的相關(guān)信息與數(shù)據(jù)，并主要求解著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，以及三號相應(yīng)速度的大小與方向和三號的軌道設(shè)計與控制策略這兩個問題。最后再對設(shè)計的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。下面是具體問題的分析過程：4.1 問題一分析欲求著陸軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置，因題目中給出預(yù)定著陸點的位置信息及月球和的質(zhì)量等一些基本量，且從近月點開始著陸，故可通過三3符號含 義M月球質(zhì)量m三號

7、初始質(zhì)量v在近日點速度v 在遠(yuǎn)日點速度vxi第 i 階段末水平速度vyi第 i 階段末豎直速度vi第 i 階段末合速度EA經(jīng)過近月點的機械能EB經(jīng)過遠(yuǎn)月點的機械能hi第 i 階段的下降高度ti第 i 階段所用時間xi著陸第 i 階段水平位移ai第 i 階段的合加速度axi第 i 階段加速度 a 的水平分量ayi第 i 階段加速度 a 的豎直分量mi變化的三號質(zhì)量m i時間消耗的公斤數(shù)F發(fā)的推力aFi第 i 階段推力提供的加速度Mi第 i 階段消耗量號的著陸軌跡進(jìn)而推出近月點的位置。而近月點的位置可由經(jīng)度、緯度和高度來表示，遠(yuǎn)月點與近月點的連線過月球球心，故其緯度的大小相同，但方向相反，經(jīng)度的大

8、小互補，方向相反，且近遠(yuǎn)月點的高度題目已給出分別為 15km 和100km。故只要確定近月點的即可確定其位置。對于三號在近遠(yuǎn)月點的速度大小與方向，可以采用能量法，由于衛(wèi)星繞月球在準(zhǔn)備著陸軌道上只受萬有引力作用，故遵循能量守恒定律，再結(jié)合開第二定律的面積相等公式，聯(lián)立便可求得向即為沿軌道的切線方向。在近遠(yuǎn)月點的速度大小，而方4.2 問題二分析根據(jù)著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點 15km，遠(yuǎn)月點 100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其過程共分為 6 個階段（見附件 2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少消耗。過程的首先，可利用問題一所求得的數(shù)據(jù)，建立出著陸

9、準(zhǔn)備橢圓軌道的方程模型。其次，再分別考慮過程的 6 個階段：第一階段著陸準(zhǔn)備軌道模型已求出，而對于第二階段主段主要是減小水平方向的速度，由于該階段水平方向的初速度和豎直方向的位移相比于其他階段都很大，所以整個著陸過程中的要在這一階段進(jìn)行。消耗集中在這一階段，所以優(yōu)化應(yīng)該主第三階段快速調(diào)整段，快速減小水平方向的速度使其減至零。通過這一給定條件建立相關(guān)運動學(xué)模型，即可表示出在這一階段的著陸軌跡。通過軌跡進(jìn)而求得推力以及這一階段的消耗量。第四階段粗避障段，對圖像的每一塊區(qū)域進(jìn)行掃描，找出平坦的區(qū)域，從而避開大的隕石坑，確定最佳著陸點。同時通過對推力的控制，實現(xiàn)在著陸點上方懸停。第五階段精避障段和粗避

10、障過程類似，由于在粗避障階段已經(jīng)找到了平坦面積大的區(qū)域，所以在這一階段根據(jù)對這100100m 等高線圖的分析，選擇20 20m 區(qū)域進(jìn)行掃描，直接以方差為判斷標(biāo)準(zhǔn)找出方差最小的區(qū)域即為最優(yōu)著陸點，用歐式距離算出兩點之間的水平距離 x5 。第六階段緩速下降階段，要求實現(xiàn)在距離月面4m 處相對月面。而對于第三、四、五、六階段著陸軌道的模型，可由關(guān)鍵點的約束條件來建立。且耗燃量的求解也均可由推力與質(zhì)量變化遞推公式求出。4.3 問題三分析要求分析控制策略的誤差以及敏感度，根據(jù)問題二的求解，可知控制階段的誤差來源主要是重力加速度的變化；由于消耗主要是主階段，所以減少4的，通過分析優(yōu)化結(jié)果對主推力 F 與

11、夾角 敏感度比較，這一段誤差是可知 對優(yōu)化結(jié)果影響更為顯著，所以在減少誤差這一點上要著重控制夾角 。五、模型的建立與求解5.1 問題一模型的建立與求解5.1.1三號著陸準(zhǔn)備軌道運動模型由題意可知，三號在“落月”前最后一次軌道調(diào)整，是從軌道高度100 公里的環(huán)月圓軌道進(jìn)入到環(huán)月橢圓軌道，即通過降軌進(jìn)入預(yù)定的月面著陸準(zhǔn)備軌道。如下圖 1 所示：圖 1.三號近月軌道示意圖在實施之前，三號還將在這條近月點高度約 15 公里、遠(yuǎn)月點高度約 100 公里的橢圓軌道上繼續(xù)飛行。眾所周知，系中的八都在按照各自的橢圓軌道繞進(jìn)行公轉(zhuǎn)，位于橢圓的一個焦點上，行星的運動遵循三定律。而本文，采用同樣的來考慮三號在著陸準(zhǔn)

12、備軌道上的運動。月球位于橢圓軌道其中的一個焦點 F 上，橢圓的半長軸為 a，半短軸為 b，半焦距為 c，月球的質(zhì)量為 M，的質(zhì)量為 m，運動到近日點 A 的速度為 v，運動到遠(yuǎn)日點 B 的速度為v ，飛行軌道如下圖 2 所示：圖 2.三號著陸準(zhǔn)備軌道示意圖5從能量的角度來求在近日點和遠(yuǎn)日點的速度1 ：下面，由于速度 v 和v 均沿軌跡的切線方向，故速度 v 和v 的方向均與橢圓的長軸垂直。設(shè)近月點高度為r1 ，遠(yuǎn)月點高度為r2 ，月球的半徑為 R，且 A、B 兩點距月球球心的距離分別為 LA 和 LB ：LA r1 R（1）LB r2 R在 A、B 兩點分別取極短的相等時間t ，則掃過的面積分

13、別為（2）與月球連線在這兩段時間內(nèi)S 1 v t LAA2B再根據(jù)積，故有第二定律：和月球的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面SA SB由此，可推導(dǎo)出兩速度之間的關(guān)系式v LA v LB繞月運動的總機械能等于其動能和引力勢能之和，故當(dāng)A、B 兩點是的機械能分別為（3）分別經(jīng)過GMm E 1 mv2 （4）A2LAGMm E 1 mv 2 （5）B2LB由于在運動過程中只受萬有引力作用，所以遵循機械能守恒定律，故有EA EB（6）將(3) (6) 式聯(lián)立解得2GMLBv （7）(LA LB )LA2GMLAv （8）(LA LB )LB6因為 LB LA ，故很明顯v v ，正好符合關(guān)系的認(rèn)知。對近

14、日點和遠(yuǎn)日點速度大小的5.1.2 著陸準(zhǔn)備軌道近遠(yuǎn)月點位置確定模型求出速度后，再確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置。這里，用經(jīng)度、緯度和高度三個變量來表示著陸準(zhǔn)備軌道近月點和遠(yuǎn)月點的位置。且題目中已給出三號預(yù)定著陸點的位置，故由離開近月點到快速調(diào)整階段結(jié)束的運動過程，即可推出近月點和遠(yuǎn)月點的位置。假設(shè)下降這兩個階段是做拋物線運動，則這段時間加速度為定值?，F(xiàn)將示：的拋物線運動過程分解為水平和豎直兩個方向來求。下降軌跡如下圖所圖 3.下降兩階段的運動軌跡三號從近月點開始做拋物線運動，初速度為 v，到第二階段末的水平速度為vx ，豎直速度為vy ，合速度為v2 ，所用時間為t2 ，下降的高度為h2

15、 。到第三階段末，水平方向速度減為 0，位移為 x3 ，所用的總時間為t3 ，下降的高度為h3 。而在這兩階段，加速度 a 為定值，將 a 沿水平和豎直方向分解為ax 和ay 。故在豎直方向上，由運動學(xué)公式可列得：h 1 a t 2（9）2y 22h 1 a t2（10）3y 32vy ayt2（11）水平方向上有vx v0 axt2（12）7v axt3（13）又因為vx 、vy 的合速度為v2 ，故有v2 v2 v2（14）2xy聯(lián)立公式(9) (14) ，即可求得所有的未知量ax , ay ,t1 ,t2 ，其中：4 h1 h2t 2hv 2 (v v 1 )21h2用到時間t2 和平均

16、速度，求出衛(wèi)由于水平方向做勻運動，這里星下落的水平位移為x v t（15）332模擬下落的正面示意圖，如下所示：圖 4.運動軌跡A 為近月點即離開著陸準(zhǔn)備軌道的點，F(xiàn) 為的預(yù)著陸點，題目中已給出 F 的位置，經(jīng)度設(shè)為0 ，緯度設(shè)為0 ，這里用坐標(biāo)表示為 F(0, 0 ) ，O 為月球球心，故弧 AF 以 OF 為軸旋轉(zhuǎn)一周，A 點的路徑即為一個圓周。取 AF 繞軸 OF 旋轉(zhuǎn)后在月球球面上所形成的投影，即所示：到一個圓，如下圖 5圖 5.近月點位置投影8上圖中，橫虛線表示月球的緯線，縱虛線表示月球的經(jīng)線，AF 長度即為前面所求得的水平位移 x2 ，AF 與緯線的夾角為 ，取值范圍為 , 2 2

17、故圖 5 中陰影部分的半圓周即為近月點位置的選取范圍。理由如下：圖 6. 正確圖 7. 錯誤近月點位置近月點位置因為繞月方向與月球自轉(zhuǎn)方向相同，月球繞月軸自西向東轉(zhuǎn)。當(dāng)近月點A 的位置在 范圍內(nèi)時，如圖 6 所示，在軌道旋轉(zhuǎn)方向與自轉(zhuǎn)方向相同，故從 A 點可下降到預(yù)著陸點 F。而當(dāng)近月點 A 的位置在 范圍之外時，如圖 7 所示，繞月旋轉(zhuǎn)方向與月球自轉(zhuǎn)方向相反，故點 F。從 A 點下降時不能落到預(yù)著陸因此，準(zhǔn)備著陸軌道近月點 A 的位置可落在過 F 點經(jīng)線左側(cè)的半圓周，即AF 與緯線的夾角 的范圍為 , 2 2是均勻變化的，1 經(jīng)度所對應(yīng)的長度假設(shè)投影得到的圓所覆蓋的為 s，1 緯度所對應(yīng)的長

18、度為 s ，則表示經(jīng)度的示意圖如下：圖 8. 月球經(jīng)度求解示意圖9故求得 1 經(jīng)度所對應(yīng) MN 的長度為s 2 R sin（16）360表示緯度的示意圖如下：圖 9. 月球緯度求解示意圖故求得 1 緯度所對應(yīng) CD 的長度為s R180（17）于是，由已知點 F 的即可求出滿足條件的所有 A 點的，這里 A點的經(jīng)度設(shè)為 ，緯度設(shè)為 ，表達(dá)式如下： 0 x3 cos s 0 x3 sin s （18）（19）由于近月點 A 與遠(yuǎn)月點 B 的連線經(jīng)過月球球心，如圖 4 所示，故近遠(yuǎn)月點的是對稱的，求得 A 點便可知 B 點。再根據(jù)題中所給出近遠(yuǎn)月點高度，即可確定近月點與遠(yuǎn)月點的位置。5.1.3 近

19、遠(yuǎn)月點位置及速度的求解由 5.1.1 能量關(guān)系，以及已知數(shù)據(jù)：引力常量G 6.671011 Nm2 / kg2 ；月球質(zhì)量M 7.34771022 kg LA 1737.01315 1752.013km ； LB 1737.013 100 1837.013km代入公式（7）、（8）求出的大小為三號在準(zhǔn)備著陸軌道近月點與遠(yuǎn)月點的速度v 1692.2m / s v 1613.9m / s速度 v 和v 的方向均為沿軌跡的切線方向。再根據(jù) 5.1.2 所建立的模型結(jié)合題中已知數(shù)據(jù)，由公式（18）和（19），即到準(zhǔn)備著陸軌道近月點的為 19.51 23.8030cos (W)10 44.12 17.0

20、878sin (N)可表示為 160.49 23.8030cos (E) 44.12 17.0878sin (S)遠(yuǎn)月點的其中， , 。2 2而近月點高度為 15km，遠(yuǎn)月點高度為 100km。下面例舉出幾個特殊夾角的近遠(yuǎn)月點位置，如下表 1 所示（這里的位置用表示經(jīng)度、緯度、高度表示）：表 1. 五個特殊角度的近遠(yuǎn)月點位置而對于其他位置，應(yīng)該是一個角度對應(yīng)一個位置，在這里就不一一例舉。5.2 問題二模型的建立與求解建立三號的著陸軌道模型，根據(jù)著陸軌道設(shè)計的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點 15km，遠(yuǎn)月點 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，其過程共分為 6 個階段（見附件

21、2），要求滿足每個階段在關(guān)鍵點所處的狀態(tài)；盡量減少過程的消耗。再通過綜合分析，建立出優(yōu)化的著陸軌道模型。5.2.1 階段一：著陸準(zhǔn)備軌道模型的建立首先，求得要求的橢圓形著陸準(zhǔn)備軌道模型。由 5.1.1 可知，三號衛(wèi)星飛行的著陸準(zhǔn)備軌道示意圖如下圖 2（這里借用前文已給出的圖）所示：11角度大小近月點位置遠(yuǎn)月點位置 219.5100W，27.0322N，15km160.4900E，27.0322S，100km 436.3413W，32.0371N，15km143.6587E，32.0371S，100km043.3130W，44.1200N，15km136.6870E，44.1200S，100km

22、436.3413W，56.2029N，15km143.6587E，56.2029S，100km219.5100W，61.2078N，15km160.4900E，61.2078S，100km圖 2.三號著陸準(zhǔn)備軌道示意圖月球位于橢圓軌道其中的一個焦點 F 上，橢圓的半長軸為 a，半短軸為 b，半焦距為 c，且 A、B 兩點距月球球心的距離分別為 LA 和 LB ，則有LA a c（20）LB a c（21）LA 和 LB 的值已由 5.1.3 求出，代入(20)和(21)式后聯(lián)立即可解得 a,c 的值。再由數(shù)學(xué)公式橢圓軌跡方程為x2 y2 1（22）a2b2其中， b2 a2 c2 。5.2.2

23、 著陸準(zhǔn)備軌道模型的求解由 5.1.1 求得的 A、B 兩點距月球球心的距離分別為LA 1752.013km, LB 1837.013km進(jìn)而求得 a,c,b 的值分別為a 1794.513km, c 42.5km,b 1795.0km最后將 a、b 的值代入公式（22）求得準(zhǔn)備著陸橢圓軌跡的方程為x2y2 11794.5132179525.2.3 階段二：主階段軌道優(yōu)化模型由要求可知，三號著陸軌道為從近月點至著陸點，其12過程分為 6 個階段：著陸準(zhǔn)備軌道、主緩速下降階段。段、快速調(diào)整段、粗避障段、精避障段、第一階段著陸準(zhǔn)備軌道段已由 5.2.2 求出。下面分析第二階段主段：，實現(xiàn)到距主段的

24、區(qū)間是距離月面 15km 到 3km。該階段的主要是離月面 3 公里處三號的速度降到 57m/s。而這一過程使用較為簡單的二維模型便可以很好的描述這一問題，即假設(shè)在一個固定的鉛垂面內(nèi)運動 2 ，沒有考慮側(cè)向運動，而且得到的模型忽略月球自轉(zhuǎn)。故極坐標(biāo)系：可建立如圖 10 所示的圖 10. 縱向面坐標(biāo)示意圖取月球球心 O 為坐標(biāo)原點， Oy 指向著陸注意軌道的近月點；r 為到月心的距離； 是Oy 和Or 的夾角； 為推力方向與Or 垂線的夾角；F 為制動常值推力大小。由圖 10 可知，著陸軌跡沿矢徑方向的變化關(guān)系式為dr vydt（23）沿矢徑Or 方向的變化量， vy 表示速度 v 沿矢徑方向的

25、分其中，dr 表示解量。而vy 的變化量可表示為 g F sin dtdv（24）ymg 為月球的重力加速度，可由下面的物理公式求得：GMm mgR2對于加速度 的變化量，由v r0 ，可知13t（25）0由題中附件 1 給出的數(shù)據(jù)可知，月球的半徑為 R 1737.013km ，而近月點高度為r1 15km ，因月球半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于近月點里月球表面的高度，故這里等效為月球半徑 R。r0到角度 的變化，關(guān)系式如下：d (t)dt質(zhì)量變化為：dm F dtve根據(jù)角速度的變化即（26）因主推動力而消耗的（27）到 r 和 關(guān)于時將公式（27）代入（23）和（26）式進(jìn)行積分求解，便間 t 的表達(dá)式為：

26、r 1sin( )(t b) ln(b) ln(b t) te2 ve cos (ln(b) ln(b t) d ttR00v m(t) 其中，b e，ve 是以 m/s 為的比沖，m(t) 是t 時刻三號的質(zhì)量。F而著陸軌跡上的點到球心的距離可表示為r0 R r1 r則著陸軌跡方程可用S(r0 (t), (t) 表示。（28）結(jié)合軌道設(shè)計的基本要求，滿足各階段關(guān)鍵點的狀態(tài)，故第二階段末速度為v2 ，所用時間為t2 ，下降的高度為h2 。因此，為了在到達(dá)月面時實現(xiàn)在第二階段末達(dá)到相應(yīng)的狀態(tài)，顯然應(yīng)有如下約束條件，即v2 v2 v2xy2（29）r h2其中， v2 57m / s ， h2 1

27、2000m 。軌道設(shè)計的目的是尋找最優(yōu)控制策略u(t) u(F, ) ，使得著陸過最優(yōu)程消耗量最少，故建立如下目標(biāo)函數(shù)F m tt2dm dt2min（30）vem00其中， F ve14mm 是時間消耗的公斤數(shù)， m0 為初始質(zhì)量。5.2.4 主階段最優(yōu)控制策略求解為能使著陸軌道設(shè)計最優(yōu)化，可通過控制推力 F 和夾角 來實現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化。由于 F 的范圍題目中已給出為 1500N 到 7500N，再由圖 10 可知，角度的變化范圍為 0, 2 所要達(dá)到的目標(biāo)函數(shù)為 2Fm ttdm dt2minvem00其中約束條件為v2 v2 v2xy2r h2因為該問題的推動力 F 為一個常數(shù)，所以

28、轉(zhuǎn)化為求主短問題，即該優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為對時間 t 求最小值：階段花費時間最m t tmin t0e對于任意一個 F, ，都有一個時間 t，使其滿足約束條件，尋找所有滿足條件的t 中最小的作為最優(yōu)解，其所對應(yīng)的 F, 也為最優(yōu)控制的條件。顯然該問題是一個全局優(yōu)化問題求解全局最優(yōu)通過求解一系列局部最優(yōu)解，最后得到全局最優(yōu)解，而貪婪算法正是通過求解一系列局部最優(yōu)解而得到全局最優(yōu)解的優(yōu)化算法，所以本題的 采用貪婪算法 3 ，尋找最優(yōu)的控制策略u(t) u(F, ) 。具體步驟為：Step1：從初始 F0 , 0 ，根據(jù)約束條件可以求出 F0 , 0 條件下對應(yīng)的從近月點到達(dá)主階段末端的時間t0 ；S

29、tep2：選取步長dF, d ，改變 F, 的大小使其成為 Fi , i ，求該階段的最短時間ti ；Step3：遍歷所有的 F, ，找到所有滿足約束條件的ti ；Step4： 從所有滿足條件的ti 中找到最小的，即為全局最優(yōu)解，其對應(yīng)的 F, ，就是對應(yīng)的最優(yōu)控制策略。最后，將這一階段始末狀態(tài)及控制策略進(jìn)行匯總，結(jié)果如下表 2 所示：15表 2.第二階段著陸過程控制策略及狀態(tài)分析5.2.5 階段三：快速調(diào)整階段軌道優(yōu)化模型第三階段為快速調(diào)整階段，主要是調(diào)整探測器姿態(tài)，需要從距離月面 3km到 2.4km 處將水平速度減為 0m/s，即使主發(fā)的推力豎直向下，之后進(jìn)入粗避障階段。從這一階段開始，

30、著陸的水平位移變化不大，故可將往后的軌跡運動過程看作是二維平面運動。設(shè)第三階段初始速度為v2 ，末速度為v3 ，推力為 F，所用時間為t3 。運動軌跡示意圖如下：圖 11. 第三階段著陸軌跡示意圖假設(shè)著陸軌跡運動在豎直方向為加速度恒定的勻可求得運動，則由運動學(xué)公式h v t 1 gt23y 2 332由題目可知，h3 600m ，即到這一階段所用時間t3 ，再由t3 可求解第三階段末豎直方向的速度為vy 3 gt3水平末速度減為 0 的狀態(tài)，則應(yīng)有vx2 ax3t3 0為滿足（31）其中， vx 2 和vy 2 已由 5.2.4 求出，故由（31）式可求得水平方向加速度ax3 。16初狀態(tài)末狀

31、態(tài)常值推力（N）夾角耗燃量（kg）速度（m/s）高度（m）速度（m/s）高度（m）主階段1692.271980.4311094.4根據(jù)附件中所給的材料可知，關(guān)于比沖求推力的表達(dá)式為F m ive而由分析可知，這一階段推力 F 作用于水平方向，故由第二定律可列得F mi1ax3的比沖， m i 是其中， ve 是以米/秒為時間消耗的公斤數(shù)。將時間t3 均分為若干個t 小段，則每隔t 時間段，遞推公式為mi mi1 m i都會減少，故質(zhì)量再根據(jù)消耗最小化原則，建立消耗Mi m i的目標(biāo)函數(shù)為（32）5.2.6 快速調(diào)整階段控制策略的求解快速調(diào)整階段三號著陸軌道是以滿足其關(guān)鍵點狀態(tài)的終端條件為依據(jù)，

32、從而建立著陸運動軌跡模型，軌道方程如下所示：h v t 1 gt 23y 2 3 32v（33） gty33va t 0 x 2x3 3 從剩余的角度考慮結(jié)合上述模型的求解結(jié)果即到推力與變化的衛(wèi)星質(zhì)量之間的動態(tài)關(guān)系表達(dá)式F m iveF m a（34）i1 x3m m mii1i而對于推力 F 的分析：F 提供的加速度的大小不變，由于m 隨時間的增加而減小，所以根據(jù) F ma ，得 F 隨著時間的增加而不斷減小，但由于當(dāng)t 0.01s 時，在相鄰t 時間段內(nèi)，56質(zhì)量 m 的變化量之差m i m i1 的數(shù)量級很小為10 10 ，所以可以近似認(rèn)為每相鄰兩段時間 m 的變化量是不變的，所以 F

33、的變化率是一個常數(shù)。因此，由圖像及已知數(shù)據(jù)即可求出推力 F 的表達(dá)式為：F3 3975.4 4.079t而此階段始末狀態(tài)及控制策略進(jìn)行匯總，結(jié)果如下表 3 所示：17表 3.第三階段著陸過程控制策略及狀態(tài)分析5.2.7 階段四：粗避障階段軌道設(shè)計模型的建立粗避障段的范圍是距離月面 2.4km 到 100m 區(qū)間，其主要是要求避開大的隕石坑，實現(xiàn)在設(shè)計著陸點上方 100m 處懸停，并初步確定落月地點。首先要求避開大的隕石坑，找到相對平坦的區(qū)域，且該平坦區(qū)域盡可能大，將附件 3 中所給以便于月球探測車探索更廣闊的區(qū)域，的先利用的圖像進(jìn)行處理，計算機處理算法如下：導(dǎo)入計算機中 5 ，轉(zhuǎn)換成灰Step

34、1：首先度值矩陣，因為為100100m，所以先將所給的圖像，用三號在粗避障階段后需要精避障，下一階段拍攝到區(qū)域大小可以將粗避障階段拍攝到的區(qū)域劃分為一系列100100m小的區(qū)域供飛行器作為備選著陸區(qū)域；Step2：計算劃分每個100100m小區(qū)域的方差值 Pi ，具體求法如下：首先，求出每一塊區(qū)域高度的平均值1nnj 1hi hij其中， hij 表示第i 個區(qū)域的第 j 個高度。則每一塊區(qū)域高度的方差為1nnj 1Pi (h h )2iijPi 用于評估該區(qū)域的平坦程度，為了區(qū)別平坦程度，取定一個方差的閾值 P0 ，本題中選取劃分的每個小區(qū)域方差值的平均值，即n 1 PP0ini1若 Pi

35、P0 時，可認(rèn)為該區(qū)域相對平坦保留；若 Pi P0 ，則認(rèn)為該區(qū)域不平坦，排除。Step3：將 Step2 得到的區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)大，邊長遞增 100，使其成為200 200m的區(qū)域，再計算擴(kuò)大后區(qū)域的方差，再與閾值 P0 比較，篩選規(guī)則與步驟二完全相同；Step4：重復(fù) Step3，直到篩選到只剩下一個區(qū)域，若最后一次篩選沒有保留18初狀態(tài)末狀態(tài)耗燃量（kg）速度（m/s）高度（m）速度（m/s）高度（m）快速調(diào)整階段57300049.1974240076.7任何區(qū)域，則從上一步保留的區(qū)域中選取方差最小的區(qū)域作為著陸區(qū)域。而該最小著陸區(qū)域的中心點即為選定的預(yù)著陸點。設(shè)中心點的坐標(biāo)為O x0, y0

36、 預(yù)著陸點的坐標(biāo)為Q x1, y1 ，則這一階段的水平位移為：軌跡)2 ( y y)2010選定一個預(yù)著陸點后，可畫出在這一階段著陸軌跡的示意圖：圖 13. 粗避障階段著陸軌跡示意圖由圖 12 可知，水平方向位移為 x4 ，下降的高度h4 ，這一階段豎直方向上加速度為恒定值，做勻運動，水平方向做前半段位移勻加速后半段位移勻的運動，加速度大小不變，方向在位移中間改變。故由運動學(xué)公式列得一系列方程組：1 at 2 xx 4444va t 0（35）yy 4 4 412a t 2 hy 444由此方程組即可求得ay 4 ，ax 4 ，以及t4 的值。而推力提供的加速度大小可表示為aF ax a224

37、4y4故接下來的模型同 5.2.5 的（33）式求出這一階段所耗M m i5.2.8 粗避障階段控制策略求解（36）的目標(biāo)函數(shù)為由 5.2.7 建立的模型所確定粗避障階段預(yù)著陸點的范圍如下圖所示：19Q圖 14. 粗避障階段預(yù)著陸點位置示意圖通過的編程計算即可確定該位置，以圖像左下角 X 與 Y 的交點為原點建立坐標(biāo)軸。則得到預(yù)著陸點的位置坐標(biāo)為 Q (231,376) 。粗避障階段著陸軌跡的表達(dá)式為（35），再同 5.2.6 快速調(diào)整階段控制策略的求解過程。利用編程求解出推力 F 隨時間變化的表達(dá)式為：F4 2847.7 2.0757t而此階段始末狀態(tài)及控制策略進(jìn)行匯總，結(jié)果如下表 4 所示

38、：表 4.第四階段著陸過程控制策略及狀態(tài)分析5.2.9 精避障階段軌道模型的建立精避障段的區(qū)間是距離月面 100m 到 30m。要求分析三號懸停在距離月面 100m 處，對著陸點附近區(qū)域 100m 范圍內(nèi)拍攝圖像獲得的三維數(shù)字高程圖。并避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點，實現(xiàn)在著陸點上方 30m 處水平方向速度為 0m/s。由題目要求可知，該階段著陸軌道的水平方向做先勻加后勻減的運動，豎直方向做加速度恒定的勻加速運動，且精避障階段運動軌跡與粗避障階段軌跡類似。20初狀態(tài)末狀態(tài)耗燃量（kg）速度（m/s）高度（m）速度（m/s）高度（m）粗避障階段49.19742400010033.4則由運動學(xué)

39、公式可列得豎直方向上有h 1 gt 2（37）552 gt5vy5（38）求得時間t5 ，再代入水平方向運動學(xué)公式x 1 at 2（39）5x545由此解得水平方向加速度ax5 的值，進(jìn)而還可求得提供加速度的推力 F 以及此階段的消耗量。5.2.10 精避障階段控制策略求解由 5.2.9 建立的模型所確定粗避障階段預(yù)著陸點的范圍如下圖所示：Q圖 15. 精避障階段預(yù)著陸點位置示意圖通過的編程計算即可確定該位置，以圖像左下角 X 與 Y 的交點為原點建立坐標(biāo)軸。則得到預(yù)著陸點的位置坐標(biāo)為 Q (774, 434) 。由 5.2.9 可求得精細(xì)避障階段出推力 F 隨時間變化的表達(dá)式為：著陸軌跡，同

40、樣再利用編程求解F5 2083.5 1.2303t始末狀態(tài)及控制策略進(jìn)行匯總，結(jié)果如下表 5 所示：而此階段21表 5.第五階段著陸過程控制策略及狀態(tài)分析5.2.11 緩速下降階段軌道模型的建立緩速下降階段的主要任務(wù)控制著陸器在距離月面 4m 處的速度為 0m/s，即實現(xiàn)在距離月面 4m 處相對月面由運動學(xué)公式對豎直方向。且該階段推力方向向下，水平方向運動進(jìn)行求解，有。故v2 2a h（40）y5 5y5因h5 和vy 5 已知，故可求得ay5 的值。進(jìn)而套用上面的模型也可求得提供加速度的推力 F 以及此階段的消耗量。5.2.12 緩速下降階段控制策略求解由 5.2.11 可求得緩速下降階段解

41、出推力 F 隨時間變化的表達(dá)式為：F6 5200.4 7.695t而此階段始末狀態(tài)及控制策略進(jìn)行匯總，結(jié)果如下表 6 所示：著陸軌跡，同樣再利用編程求表 6.第六階段著陸過程控制策略及狀態(tài)分析5.3 問題三模型的誤差分析與敏感性分析因為在階段中，主階段消耗的質(zhì)量占整個過程的是最多的，經(jīng)過第二問的計算為：可以知道，該階段消耗的 1094.4 86.1%1271.2所以該階段的誤差對于整個優(yōu)化過程是速階段。的，因此主要分析主減該階段通過建立極坐標(biāo)系，運用微分方程，采用貪婪算法進(jìn)行優(yōu)化，該階段主要的誤差在于實際操作中不容易控制主推力和三號與月心連線的夾角為定值，由分析可知角度對于優(yōu)化結(jié)果的影響是非常

42、大的，在確定最優(yōu)解時，22初狀態(tài)末狀態(tài)耗燃量（kg）速度（m/s）高度（m）速度（m/s）高度（m）緩速下降階段15.079930046.1初狀態(tài)末狀態(tài)耗燃量（kg）速度（m/s）高度（m）速度（m/s）高度（m）精避障階段010015.0799306.5得到力和夾角分別為：F 7189N, 0.4310rad在按此條件下，分析這優(yōu)化結(jié)果對于哪一個影響是更為敏感的。為此在 F,下面對兩進(jìn)行敏感性分析：都是最優(yōu)控制條件下，計算得到該階段時間為t 447s ；分別計算當(dāng) F 一定和 一定時，另一個對結(jié)果的影響，為此我們選定兩個的在最優(yōu)解時10% 偏差區(qū)間內(nèi)，所求時間的變化：先讓 F 7189N ，

43、選取與 相距 10%的鄰域 0.38, 0.47rad ，步長為0.01rad；用每個 求得該階段的時間T ，最大時間與最小時間差值為：T 330.9417smin再讓 =0.4310rad ，選取與 F 相距 10%的鄰域 F 6470, 7500 N ，步長為1N；用每個 F 求得該階段的時間TF ，最大時間與最小差值為：T 330.9417smin顯然：TF T即在相同變化范圍情況下， 比 F 影響最終結(jié)果的效果更顯著，即該階段的優(yōu)化結(jié)果對于 更為敏感。即在控制該過程時，為避免誤差的產(chǎn)生，必須保證 維持常值。六、模型的評價6.1 模型的優(yōu)點問題一根據(jù)能量守恒定律以及三定律，準(zhǔn)確的計算出三

44、號在橢圓軌道近月點與遠(yuǎn)月點的速度以及方向，又通過預(yù)定著陸點，通過合理的假設(shè)，反推出橢圓軌道近月點與遠(yuǎn)月點的坐標(biāo)范圍；問題二通過微分方程合理的給出在主個階段所要求的狀態(tài)。階段的優(yōu)化模型，并達(dá)到了六6.2 模型的缺點問題一采用拋物線模型，計算所消耗的時間過長，與實際狀況有誤差。問題二中主要對主階段進(jìn)行了優(yōu)化，而對其他階段主要使其滿足狀態(tài)，而把進(jìn)行次優(yōu)化處理，沒有達(dá)到最優(yōu)的狀態(tài)。23七、參考文獻(xiàn)1，近日點和遠(yuǎn)日點速度的兩種典型解法，物理教師，第 34卷第 6 期：58 頁，2013.2。2，月球軌道優(yōu)化方法比較研究，工程數(shù)學(xué)學(xué)報，第29 卷第 3 期：356357 頁，2012.6。345，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用，：國防工業(yè)科學(xué)計算一本通，2011.8。，謝東來等R2012a 完全：機械工業(yè)：電子工業(yè)，2010.5。，2013.1。24八、附錄附表一：（1）貪婪算法程序代碼clc clear