幾何證明-中點(diǎn)模型中級(jí)

1、- 幾何證明中點(diǎn)模型中級(jí) . 【學(xué)問要點(diǎn)】1、中位線定理： 如圖,在ABC 中,假設(shè) ADBD , AECE ,那么DE/ /BC 且DE1BC ；2ABDEC2、中線倍長(zhǎng) 倍長(zhǎng)中線 ：如圖左圖,在ABC 中,D 為 BC 中點(diǎn),延長(zhǎng) AD 到 E 使 ADDE ,連接 BE ,那么有：ADC EDB ；作用： 轉(zhuǎn)移線段和角 ；BEDACACMBD留意：在實(shí)際運(yùn)用中, 與某個(gè)中點(diǎn)相連的線段,都可以將其看作 “ 中線, 從而都可以考慮將它倍長(zhǎng)需要的話 ；如上右圖, 假如顯現(xiàn)“兩條平行線夾中點(diǎn)的情形, 肯定會(huì)顯現(xiàn) “X 全等 或“ 叉叉全等 或“ 8 字型全等 ,有時(shí)這個(gè)“ 叉叉需要我們自己畫出來

2、幫助線. 3、直角三角形斜邊中線定理：如圖,在 RtABC 中,ACB90, D 為 AB 中點(diǎn),那么有：CDADBD1AB ；2CBDA4、三線合一：在 ABC 中 :1 AC BC ； 2 CD 平分 ACB ； 3 AD BD , 4 CD AB . “ 知二得二：比方由2 3可得出 1 4.也就是說,以上四條語句,任意挑選兩個(gè)作為條件,就可以推出剩下兩條；CADB請(qǐng)牢記： 當(dāng)你發(fā)覺有某一條線同時(shí)具備了“ 垂線、“ 角平分線、“ 中線三種功能當(dāng)中的 任意兩種 功能時(shí),那么這條線就肯定是某個(gè)等腰三角形的對(duì)稱軸,換句話說,以這條線為對(duì)稱軸 必定有等腰三角形顯現(xiàn) . 【經(jīng)典例題】- -.可修編

3、 - . - ABCE,求證：BADCED. 例 1、如下圖, D 為 BC 中點(diǎn),點(diǎn) A 在 DE 上,且. EABDC例 2、如圖,在ABC 中, AD 是 BC 邊上的中線,E 是 AD 上一點(diǎn),且BEAC,延長(zhǎng) BE 交 AC 于 F ,求證：AFEF；AFE例 3、如圖,在ABC 中, AD 為A 的平分線, M 為 BC 的中點(diǎn),AD /BDCME,求證：BECF1ABAC；2EAFMCBD例 4、如圖 ,ABC 中,BD,CE為高線,點(diǎn) M 是 DE 的中點(diǎn),點(diǎn) N 是 BC 的中點(diǎn) .求證：MNDE；- -.可修編 - . - . ABEMNDC例 5、如下圖,在ABC 中,A

4、CAB, M 為 BC 的中點(diǎn), AD 是BAC 的平分線,假設(shè)CFAD且交AD 的延長(zhǎng)線于 F ,求證：MF1ACAB；2AB例 6、如下圖, 在ABC 中, AD 是BAC 的平分線, M 是 BC 的中點(diǎn),MEADDMFC且交 AC 的延長(zhǎng)線于 E ,CD2CE,求證：ACB2B；AMDCEB【提升訓(xùn)練】1、如圖,ABC 中, AD 是 BC邊上的中線,求證：ADAB2AC. -.可修編 - . - - . ABDC2、：如圖,在矩形ABCD 中, E 為 AD 的中點(diǎn),EFEC交 AB 于 F 連結(jié)FCABAE；求證：AEFECF. AEDFB C3、如圖,ABC 中, D 是 BC

5、邊的中點(diǎn),E 是 AD 邊的中點(diǎn),連結(jié)BE 并延長(zhǎng)交AC 于點(diǎn) F . 求證：FC2AF；AFE4、在梯形 ABCD 中,AD /BC,ABADBC, E 為 CD 的中點(diǎn),求證：BBE；DCAE- -.可修編 - . - . ADEB C5、：在正方形ABCD 中,對(duì)角線AC 、 BD 交于 O , AF 為BAC 的平分線,交BD 于 E , BC 于 F 求證：OE1FCF,且BEAFOD2ECB6、如圖,ABC 中,B 的平分線 BE 與 BC 邊的中線 AD 垂直,垂足為AD,求ABC4的三邊長(zhǎng)；BDF7、如圖,在ABC 中,ABAC5,BC6,點(diǎn) M 為 BC 中點(diǎn),AECMNAC

6、于點(diǎn) N ,求 MN 的長(zhǎng)；- -.可修編 - . - . AN8、如圖,ABC 中, AD 是BAC 的平分線,AD 又是 BC 邊上的中線,求證BABACMC；ABDC9、如圖,ABC 中,AB5,AC3,BC上的中線AD2,求 BC 的長(zhǎng) . ABDC10、如圖,在ABC 中, D 是 AB 的中點(diǎn),ACCD,tanBCD1,求A 的正切值 . 3- -.可修編 - . - . CADB11、：如圖,ABC 中,ABBC,在 AB 上取點(diǎn) D ,在 AC 延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E ,連結(jié) DE 交 BC 于點(diǎn) F ,假設(shè) F 是 DE 中點(diǎn),求證：BDCEADBFCE12、如圖, M 是ABC 的

7、邊 BC 的中點(diǎn), AN 平分BAC ,BNAN于點(diǎn) N ,且AB10,BC15,MN3,求ABC 的周長(zhǎng)；AN13、如圖,：ABC 中,A90,D是 BC 的中點(diǎn),DEDF；求證：B2CF2M2；CBEEF- -.可修編 - . - . AFE14、如圖 ,ABC 中, D 是 BC 的中點(diǎn),DEDF；求證：BECFB；DCEFAFE15、如圖, D 是ABC 中 BC 邊上的一點(diǎn),且CDAB,BDABADBDC, AE 是ABD 的中線,求證：AC2AE；ABEDC16、如圖,等腰三角形ABC 中,A90,ABAC,BD平分ABC ,CEBD,垂足為點(diǎn) E ,- 求證：BD2 CE；-.可

8、修編 - . - . AED17、：如圖,BADCAD,ABAC,CDAD于點(diǎn)D,HBC是 BC 中點(diǎn),求證：DH1ABAC；2AD CHB18、如圖,在正方形ABCD 中, F 是 AB 中點(diǎn),連接 CF ,作DECF交 BC 于點(diǎn) E ,交 CF 于點(diǎn) M ,求證：AMAD；ADFM19、：ABD 和ACE 都是直角三角形, 點(diǎn) C 在 AB 上,且ABDACE90BEC,如圖,連接 DE ,設(shè) M- 為 DE 的中點(diǎn),連接MB,MC；求證：MBMC；-.可修編 - . - . AC EM20、如圖,平行四邊形ABCD 中,對(duì)角線AC 、 BD 相交于點(diǎn) O ,BD2DBAD, E 、 F

9、 、 G 分別是 OC 、OD 、 AB的中點(diǎn)；求證：1BEAC2EGEF. ADFG OE21、請(qǐng)閱讀以下材料： 問題： 如圖,在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中,點(diǎn)A,B,E在同一條直線上,CBP 線段 DF的中點(diǎn),連結(jié)PG,PC假設(shè)ABCBEF60,探究 PG 與 PC 的位置關(guān)系CDPFG22、如圖,ABC 中, D 是邊 BC 的中點(diǎn),BEAC于點(diǎn) E ,假設(shè)A30,求證：BBE；EDACAD- -.可修編 - . - . AEBDC23、如圖,梯形ABCD 中, AD BC , E 是 AB 中點(diǎn),EFCD于 F ,CD6 EF4,求S梯形ABCD；A D24、如圖,三角形AB

10、C , D 為 BC 上的點(diǎn),過 B 作BEAEEADFBC,交 AD 延長(zhǎng)線于 E ,作CF交 AD 于F , G 為 BC 中點(diǎn),連接 FG 與 GE ,求證：FGGEAFCGDBE25 如圖,在正方形 ABCD 中,F 是 CD 的中點(diǎn), E 是 BC 邊上的一點(diǎn), 且 AF 平分DAE ,求證：AEECCD- -.可修編 - . - A. DFBEC26、如圖,正方形CGEF 的對(duì)角線CE 在正方形ABCD 的邊 BC 的延長(zhǎng)線上CGBC, M 是線段 AE 的中點(diǎn),DM 的延長(zhǎng)線交CE 于 NDM=MF； DM MFACD60,點(diǎn) S , P , Q 分別1求證： AD=NE 2求證

11、：27、如圖,等腰梯形ABCD 中,CD /AB,對(duì)角線 ABCD 相交于 O ,是 OD , OA , BC 的中點(diǎn),求證：PQS 是等邊三角形 . 28、如圖,ABC 的中線 BD 、 CE 相交于點(diǎn) O ,F、 G 分別是 OB 、 OC 的中點(diǎn),1判定 EF 和 DG 有何關(guān)系并證明；2求證：SOGD1SABC；12A29、如圖,在梯形ABCD 中,AD /BC,ABADDC,C60,BEODFGCAEBD于點(diǎn) E , F 是 CD 的中點(diǎn), DG是梯形的高；-.可修編 - . - - A. D 1求證：四邊形AEFD 是平行四邊形； 2設(shè) AEx ,四邊形 DEFG 的面積為 y ,求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；30、如圖,在四邊形ABCD 中, EF 分別為 AB 、 CD 的中點(diǎn)；BEGFC1求證：EF1ACBD；ACBD,求證：OPQ 為等腰三角形；22 EF 交 BD 、 AC 分別于 P 、 Q ,假設(shè)DAOFEP QB C31、點(diǎn) O 是 ABC 所在平面一動(dòng)點(diǎn),連結(jié) OB 、 OC ,并把 AB 、 OB