7第二型線積分和面積分

1、第二型線積分和面積分場(chǎng)的概念對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分1一、基本概念觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)2曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面3n4默比BCBDM0ADAC(b)圖( Mbius,A.F. 17901868, 德國(guó) )典型單側(cè)曲面:帶5曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:在有向曲面上取一小塊曲面 S,S在xoy面上的投影 (S ) xy 為( )xy當(dāng)cos 0 時(shí) ( )當(dāng)cos 0 時(shí).當(dāng)cos 0 時(shí)(S)xyxy0其中( )表示投影區(qū)域的面積.xy6二、概念的引入實(shí)例:流向曲面

2、一側(cè)的流量.流速場(chǎng)為常向量 v ,有向平面區(qū)域A,求(1)時(shí)間流過 A 的流體的質(zhì)量(假定密度為 1).v流量K vcosAG0KKKK0nAAvA n vA7(2)設(shè)穩(wěn)定的不可壓縮流體(假定密度為 1)的速度場(chǎng)由GGGGx ( y ,Q,y ) z,P)z ,i )(x,j(R,給出,是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,函數(shù),y, z),Q(,zx ,y)z都在上連續(xù),求在時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量 .yox8把曲面分成n小塊si (si 同時(shí)也代表1. 分割第i 小塊曲面的面積),v在s 上任取一點(diǎn)iSinz( , ,)ii( , , ),iiiiii則該點(diǎn)流速為 vi.法向量為ni.yox9v

3、(v , ,)GiiiiGGk ,( ,P,) i ( Q,j ) R,(,iiiiiiiii該點(diǎn)處曲G面的G法向量G,kGcosi cosn jcos0iiii通過si 流向指定側(cè)的流量的近似值為v).n v通過流向指定側(cè)的流量niiS2. 求和ii 110n P(i ,i , i ) cosi Q(i ,i , i ) cos i i1R(i ,i , i ) cos i Si P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si ) xz i1 R(i ,i , i )(Si ) xyn 0 取極限得到流量的精確值.3.取極限11三、概念及性質(zhì)定義設(shè)為光滑的有向曲面,

4、函數(shù)在上有界,把分成n塊小曲面Si (Si 同時(shí)又表示第i 塊小曲面的面積),Si 在xoy 面上的投影為(Si ) xy ,(i ,i , i )是Si 上任意取定的一點(diǎn),如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 0時(shí),n , ,)(S )limR(存在,iiiixy 0i1則稱此極限為函數(shù)R( x, y, z)在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)x, y的曲面積分(也稱第二類曲面積分)12R記作x(y,z,)d,x即dyndlximdy Ri, x, (i, Si(Ry)z,i)x(y) 0i 1被積函數(shù)積分曲面類似可定義ndlyimdzPi, x, (i, Si(Py)z,i)y(z) 0i 1n (i, Si,i

5、)z(x)0i 113存在條件:x(,y當(dāng) , z),Q(向, 光x ,滑曲y) 在有z,面上連續(xù)時(shí)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分存在.組合形式:(dyd,zx (dzdx,)Qy,z,)(,R ,)x物理意義:(dyd,zx (dzdxz,)Qy,z,)(,R ,)14性質(zhì):Rdxdy1.2112RdxdyRdxdyxx(x()Pdydzx(Qdzdxx(Rdxdyx(2P.( y, z,y,z,)dydzQy,z,)y,z,)dzdxRy,z,)y,z,)dxdy15四、計(jì)算法設(shè)積分曲面是由方程z z( x, y)所給出的曲面上側(cè),在 xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy ,函數(shù)zz f ( x, y)oy(s

6、)xyz z( x, y)在D上具xyDxy有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)R( x, y, z)在上連續(xù).x16n , ,R( x, y, z)dxdy lim)(S )R(iiiixy 0i1取上側(cè), cos 0,又 i z(i ,i )n ( ) xy ,(Si ) xy , ,)(S )limR(iiiixy 0i1n , , z( ,)( limR()iiiiixy 0i1 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdy即Dxy17若取下側(cè), cos 0,(Si ) xy ( ) xy , R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyD

7、xy如果由x x( y, z)給出,則有 P( x, y, z)dydz P x( y, z), y, zdydzDyz如果由y y(z, x)給出,則有 Q( x, y, z)dzdx Q x, y(z, x), zdzdxDzx注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).18z計(jì)算 xyzdxdy例 1其中是球面2y y2 z 2 1外側(cè)x 2x1在x 0, y 0的部分.把分成1和2兩部分解1 :2 :z1 1 x y ;22z2 1 x2 y2 ,19 xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyDxy 2 xyDxy211 x2 y2 dxdy xy(Dxy1 x2 y2

8、dxdy1 x2 y2 )dxdy2 . 2 r 2 sin cos1 r 2 rdrd 15Dxy20五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系設(shè)有向曲面是由方程z z( x, y)給出,在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy , 函數(shù)z z( x, y)在DxyR( x, y, z)在上連續(xù).上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),nz zf ( x, y)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分為 R( x, y, z)dxdy R x, y, z( x, y)dxdyDxyxdsyoDxy21曲面的法向量的方向余弦為 zxcos ,1 z2 z2xy zycos ,1 z2 z2xy 1cos .1z2xz2y22對(duì)面積的曲面積分為 R( x, y,

9、 z) cosdS R x, y, z( x, y)dxdyDxy所以 R( x, y, z)dxdy R( x, y, z) cosdS(注意取曲面的兩側(cè)均成立)兩類曲面積分之間的聯(lián)系 Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS23向量形式Gs G SdAdAn或AdSAdSnGGn,cos, A其,中 P,cRosQ為,法向cos有向曲面 上點(diǎn)( x,y ,z)量處的GGdydzdS, dzdx稱為有 向dxd曲y面GG元, An 為向量A在n.上的投影24計(jì)算 (z 2 x)dydz zdxdy ,其中是例 2旋轉(zhuǎn)拋物面z 1 ( x 2 y2 )

10、介于平面z 0及2z 2之間的部分的下側(cè). (z2 x)dydz (z2 x) cosds解 (z2 x) cos dxdy在曲面上,有cos25 1xcos cos,.1 x 2) y21 x 2 y2(zx2dydzzdxdy( x z2x)(z)dxdy12)x(y2y2dx4Dxyx 1x22(2y)dxdy2Dxycos2r122 rdr 8 ( 2r2 ).d20026六、小結(jié)1、物理意義2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號(hào)”27思考題設(shè) 為球面 x 2 y 2 z 2 1，若以其球面的外側(cè)為正側(cè)，試問 y 1 x 2 z 2之左側(cè)（即oy 軸與其法線成鈍角的一側(cè)）

11、是正側(cè)嗎？那么 y 是正側(cè)嗎？1 x 2z 2的左側(cè)28思考題解答此時(shí) y 1 x21 x2z2z2的左側(cè)為負(fù)側(cè)，y 的左側(cè)為正側(cè).而29練習(xí)題一、填空題:1、 Q( x, y, z)dzdx Q( x, y, z)dzdx=.2、第二類曲面積分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化成第一類曲面積分是，其中 , , 為有向曲面 上點(diǎn)( x , y , z)處的的方向角 .二、計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:1、 zdxdy xdydz ydzdx ,其中 是柱面x 2 y 2 1被平面z 0及z 3所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)；30 xzdxdy0,yyzdzdx 中,其 是平面2、xydydzx0 z ,0 x ,y 1所z 圍成的空間區(qū)側(cè)；域的整個(gè)邊界曲面的外e zdxdy中,其 為錐面zx22y和3、z2y2xz 1 2.