《復(fù)變函數(shù)》課程教學(xué)大綱

1、復(fù)變函數(shù)一、課程概況所屬專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開課單位：數(shù)學(xué)計算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類型:專業(yè)方向課程課程代碼:07493050開課學(xué)期:5學(xué)分：2學(xué)時：34核心課程:否擬使用教材： 鐘玉泉, 復(fù)變函數(shù)論（第四版）, 高等教育出版社, 2013.國內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：1 余家榮, 復(fù)變函數(shù)（第五版）, 高等教育出版社, 2014.2 Elias M.Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2011.3 Theodore W. Gamelin, Complex Analysis, 世界圖書出版公司北京公

2、司, 2008.4 . ., . .著, HYPERLINK /view/1794055.htm t _blank 施祥林, 夏定中, 呂乃剛譯, 復(fù)變函數(shù)論方法, 高等教育出版社, 2006.5方企勤, 復(fù)變函數(shù)教程, 北京大學(xué)出版社, 1996.6 L. V. Ahlfors著,張立譯, 復(fù)分析, 上海科技出版社, 1979.學(xué)習(xí)參考資料：1 孫清華, 孫昊, 復(fù)變函數(shù)內(nèi)容, 方法與技巧, 華中科技大學(xué)出版社, 2003.2 鐘玉泉, 復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書, 高等教育出版社, 1996.二、課程描述復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)方向課，它的理論和方法被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)其它分支以及物理學(xué)、工程技術(shù)

3、等學(xué)科。本門課程主要培養(yǎng)學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和方法，引領(lǐng)學(xué)生能夠使用其理論和方法分析和解決有關(guān)的理論及實際問題。課程的主要內(nèi)容包括復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法、解析函數(shù)的羅朗展式與孤立奇點、留數(shù)、共性映射等。三、課程目標(biāo) 掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和數(shù)學(xué)物理及工程技術(shù)中常用的數(shù)學(xué)方法；進(jìn)一步鞏固和復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為學(xué)習(xí)有關(guān)的后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和科學(xué)計算能力；具有分析并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，使學(xué)生初步掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和基本運(yùn)算技能。四、教學(xué)要求授

4、課教師將按照學(xué)校本科教學(xué)工作有關(guān)要求做好課程教學(xué)各項工作，嚴(yán)格按照課表規(guī)定的時間、地點上課，不遲到、不早退，將根據(jù)本大綱要求，認(rèn)真?zhèn)湔n完成教案與講稿編寫等各項課前準(zhǔn)備工作；授課過程力求內(nèi)容充實、概念準(zhǔn)確、思路清晰、詳略得當(dāng)、邏輯性強(qiáng)、重難點突出，力戒平鋪直敘、照本宣科，同時重視對學(xué)生的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)和課堂教學(xué)效果信息的反饋，實現(xiàn)教與學(xué)的雙向互動；同時將結(jié)合課程目標(biāo)要求，做好考核內(nèi)容設(shè)計，并嚴(yán)格按照本大綱要求做好出勤率統(tǒng)計、作業(yè)評價等各項工作。學(xué)習(xí)是大學(xué)生自己的責(zé)任和義務(wù)，學(xué)生應(yīng)根據(jù)課程大綱要求制定本門課程學(xué)習(xí)計劃，加強(qiáng)學(xué)業(yè)管理，嚴(yán)格自我要求，提升自主學(xué)習(xí)能力，主動適應(yīng)課程學(xué)習(xí)要求。參與課堂教學(xué)活

5、動不遲到、不早退，無正當(dāng)理由不請假，上課認(rèn)真聽講，不做任何與課堂教學(xué)無關(guān)事宜，不使用手機(jī)，積極與授課教師進(jìn)行教學(xué)互動，同時利用課余時間做好預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、課外書籍閱讀等工作，主動與同學(xué)開展合作學(xué)習(xí)，認(rèn)真完成任課教師布置的課程作業(yè)。五、考核方式及要求為實現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)，本門課程考核方式及要求為：課堂考勤（10%）擬隨機(jī)考勤4次，全到者10分，兩次到的5分，一次到的2.5分，一次沒有到的0分。平時作業(yè)（10%）基本每次課后都布置作業(yè)，選取其中10次，進(jìn)行考核：次數(shù)（次）9次以上8次7次6次5次4次3次3次以下分?jǐn)?shù)（分）108765432 期中測試（20%）以閉卷形式進(jìn)行隨堂測試。期末考核（60%）閉卷

6、形式進(jìn)行期末考試。六、課程內(nèi)容第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（授課時間：第五學(xué)期第一周）教學(xué)目標(biāo)：熟悉復(fù)數(shù)概念及各種幾何表示；掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、乘冪方根共軛等運(yùn)算并能簡單應(yīng)用；了解復(fù)平面上區(qū)域、曲線的概念，掌握用復(fù)數(shù)表示它們的方法；了解復(fù)變函數(shù)與實二元函數(shù)的關(guān)系及復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，熟悉復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的運(yùn)算法則及性質(zhì)，熟悉復(fù)變函數(shù)與實變函數(shù)的極限與連續(xù)性之間的聯(lián)系與區(qū)別；了解復(fù)球面及無窮遠(yuǎn)點的概念。教學(xué)重點：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及各種幾何表示法，復(fù)變函數(shù)及映射概念。教學(xué)難點：用復(fù)數(shù)方法表示平面區(qū)域、曲線。學(xué) 時：課堂教學(xué)3學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于1學(xué)時。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等。主要內(nèi)容

7、：1. 復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何表示。2. 復(fù)平面上區(qū)域、曲線的概念及它們的復(fù)數(shù)表示。3. 復(fù)變函數(shù)、映射的概念及其復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性。 4 . 復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第二章：解析函數(shù)（授課時間：第五學(xué)期第二、三周）教學(xué)目標(biāo)：理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析函數(shù)的概念，掌握復(fù)變函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系及求導(dǎo)法則；熟練掌握復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的判別法；掌握并靈活運(yùn)用柯西-黎曼條件，能利用柯西-黎曼條件判定復(fù)變函數(shù)的解析性及證明解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)；熟悉基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的定義，了

8、解它們的性質(zhì)及與其它基本初等函數(shù)的關(guān)系；熟悉根式函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一般冪函數(shù)的定義，并了解它們的映射性質(zhì)及反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)的定義。教學(xué)重點：解析函數(shù)的概念及函數(shù)解析性的判別。教學(xué)難點：解析函數(shù)的概念及初等多值函數(shù)及其單值解析分支的概念。學(xué) 時：課堂教學(xué)8學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等主要內(nèi)容：1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析函數(shù)的概念。2. 復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件，柯西-黎曼條件及解析函數(shù)性質(zhì)。3. 初等函數(shù)。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第三章：復(fù)變函數(shù)的積分（授課時間：

9、第五學(xué)期第四、五、六周）教學(xué)目標(biāo)：熟悉復(fù)積分的概念及基本性質(zhì)，理解復(fù)積分的曲線積分法，掌握并熟練運(yùn)用復(fù)積分計算的參數(shù)方程法和積分估值公式；理解柯西積分定理及推廣復(fù)合閉路定理，了解復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)存在定理及牛頓-萊布尼茲公式；熟練掌握柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式，了解解析函數(shù)的平均值定理、無窮可微性等性質(zhì)，掌握并能靈活運(yùn)用柯西積分理論計算沿閉曲線的復(fù)積分；理解調(diào)和函數(shù)概念，掌握解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系及由已知調(diào)和函數(shù)求以其為實部或虛部的解析函數(shù)的方法。教學(xué)重點：柯西積分定理及推廣，柯西積分公式及高階導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)難點：復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計算。學(xué) 時：課堂教學(xué)9學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于7學(xué)時

10、。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等。主要內(nèi)容：1. 復(fù)積分的概念、性質(zhì)與計算方法。2. 柯西積分定理及推廣。3. 柯西積分公式及推論。4. 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第四章：解析函數(shù)的冪級數(shù)表示法（授課時間：第五學(xué)期第六、七、八周）教學(xué)目標(biāo)：了解復(fù)數(shù)列極限、復(fù)級數(shù)收斂、發(fā)散概念，與復(fù)函數(shù)項級數(shù)和解析函數(shù)項級數(shù)的概念；熟悉冪級數(shù)概念，理解Abel定理，掌握冪級數(shù)收斂半徑求法、冪級數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)。理解泰勒定理，熟練掌握,等函數(shù)的泰勒展式，掌握函數(shù)展開成冪級數(shù)（泰勒級數(shù)）的直接展開法和間接展

11、開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在指定點展開成冪級數(shù)（泰勒級數(shù)），并會確定收斂半徑；熟悉解析函數(shù)零點的求法，掌握解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理，了解最大模原理。教學(xué)重點：將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)及冪級數(shù)的收斂半徑求法。教學(xué)難點：零點的唯一性定理。學(xué) 時：課堂教學(xué)8學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等。主要內(nèi)容：1. 復(fù)函數(shù)項級數(shù)。2. 冪級數(shù)及其收斂半徑求法。3. 解析函數(shù)的泰勒展式。4. 解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第五章：解析函數(shù)的羅朗（Laure

12、nt）展式與孤立奇點（授課時間：第五學(xué)期第八、九、十、十一周）教學(xué)目標(biāo)：熟悉雙邊冪級數(shù)概念和性質(zhì)，理解羅朗定理，掌握函數(shù)展開成洛朗級數(shù)的間接展開法，能比較熟練地將一些解析函數(shù)在不同圓環(huán)內(nèi)展開成羅朗級數(shù)；了解孤立奇點的定義、分類及特征，熟悉零點與極點的關(guān)系；了解解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)；了解整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。教學(xué)重點：將函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)，解析函數(shù)孤立奇點的判斷。教學(xué)難點：解析函數(shù)孤立奇點的性質(zhì)。學(xué) 時：課堂教學(xué)8學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等主要內(nèi)容： 1. 解析函數(shù)的羅朗展式。2. 解析函數(shù)的孤立奇點的類型及判斷。3. 解析函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點的性質(zhì)4

13、. 整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第六章：留數(shù)理論及應(yīng)用（授課時間：第五學(xué)期第十二、十三、十四、十五周）教學(xué)目標(biāo)：理解留數(shù)概念，掌握計算留數(shù)的一般方法，熟練掌握極點處留數(shù)的求法；掌握利用留數(shù)定理計算閉路復(fù)積分的方法，能熟練利用留數(shù)計算下面三種類型實積分：型，型，型。教學(xué)重點：留數(shù)的計算、留數(shù)定理及應(yīng)用。教學(xué)難點：留數(shù)在計算實積分的應(yīng)用。學(xué) 時：課堂教學(xué)8學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于6學(xué)時。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等主要內(nèi)容： 1. 留數(shù)的概念及留數(shù)的求法。2. 用留數(shù)定理計算幾種類型的

14、實積分。學(xué)習(xí)方法：歸納總結(jié)、預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)、小組討論等。課后作業(yè)：要求有基本概念題，加強(qiáng)訓(xùn)練題，具體由任課老師自行靈活布置。第七章：共性映射（授課時間：第五學(xué)期第十五、十六、十七周）教學(xué)目標(biāo)：理解解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解共性映射的概念及其重要性質(zhì)；理解分式線性變換的概念，掌握分式線性變換的保形性、保圓性、保對稱點性與保交比性等重要性質(zhì)，了解唯一確定分式線性變換的條件；熟悉并掌握幾個基本初等函數(shù)構(gòu)成的保形變換特點，了解冪函數(shù)能實現(xiàn)角形域到角形域之間、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)能實現(xiàn)帶形域到角形域之間的保形變換，熟練掌握上半平面到上半平面、上半平面到單位圓、單位圓到單位圓的分式線性變換，掌握并能運(yùn)用初等函數(shù)以及分式線性變換構(gòu)成的映射特點處理一些邊界由圓弧、直線、直線所圍成區(qū)域的共性映射問題。教學(xué)重點：分式線性變換及其性質(zhì)。教學(xué)難點：分式線性變換與初等函數(shù)相結(jié)合，求一些簡單區(qū)域之間的共性映射。學(xué) 時：課堂教學(xué)7學(xué)時，課外自主學(xué)習(xí)時間不少于5學(xué)時。教學(xué)方法：講授法、ppt演示法等。主要內(nèi)容： 1. 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輻角和模的幾何意義。2. 共性映射的概念。3. 分式線性變換及其性質(zhì)。