小學(xué)數(shù)學(xué)基本概念

1、不得用于商業(yè)用途僅供個人參考小學(xué)階段數(shù)學(xué)基本知識和基本概念自然數(shù)用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6、7、8、9、10叫做自然數(shù)。整數(shù)零和自然數(shù)叫做整數(shù)。（這里僅對小學(xué)范圍內(nèi)而言）小數(shù)先弄清什么是“十進分?jǐn)?shù)”。分母是10n的（n為自然數(shù)）分?jǐn)?shù)叫做“十進分?jǐn)?shù)”。由于任何一個“十進分?jǐn)?shù)”都能寫成小數(shù)的形式，例如：1=0.7,1廠=0.07等等，所以一般而言，小數(shù)是特殊形式的分?jǐn)?shù)。但是不能說小數(shù)就是分?jǐn)?shù)！混小數(shù)（帶小數(shù)）小數(shù)的整數(shù)部分不為零的小數(shù)叫混小數(shù)，也叫帶小數(shù)。純小數(shù)小數(shù)的整數(shù)部分為零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)一個或幾個數(shù)字，例如：0.333,1.70都是循環(huán)小數(shù)

2、。純循環(huán)小數(shù)與純小數(shù)有實質(zhì)性的區(qū)別，指循環(huán)節(jié)從十分位就開始的循環(huán)小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：，一廠。1.2470混循環(huán)小數(shù)與純循環(huán)小數(shù)有唯一區(qū)別：不是從十分位開始循環(huán)的循環(huán)小數(shù)，叫混循環(huán)小數(shù)。例如,11.00608O有限小數(shù)小數(shù)的小數(shù)部分只有有限個數(shù)字的小數(shù)（不全為零）叫做有限小數(shù)。無限小數(shù)僅供個人參考小數(shù)的小數(shù)部分有無數(shù)個數(shù)字（不包含全為零）的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。循環(huán)小數(shù)都屬于無限小數(shù)的范圍，但不是僅指循環(huán)小數(shù)而言。例如，圓周率n也是無限小數(shù)（就現(xiàn)階段而言，還沒有發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性）。分?jǐn)?shù)表示把一個“單位1”平均分成若干份，取其中的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。（分成零份在此不討論）真分?jǐn)?shù)分子比分母小

3、的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)分子比分母大，或者分子等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。（分母、分子為零在此不討論）帶分?jǐn)?shù)一個整數(shù)（零除外）和一個真分?jǐn)?shù)組合在一起的數(shù)，叫做帶分?jǐn)?shù)。帶分?jǐn)?shù)也是假分?jǐn)?shù)的另一種表示形式，相互之間可以互化。0關(guān)于（n表示自然數(shù)）是否是分?jǐn)?shù)01是分?jǐn)?shù)，但不能用分?jǐn)?shù)的意義去解釋它，它既不屬于真分?jǐn)?shù)，也不屬于假分?jǐn)?shù)，而是一個特殊分?jǐn)?shù)。數(shù)與數(shù)字的區(qū)別數(shù)字（也就是數(shù)碼）：是用來記數(shù)的符號，通常用國際通用的阿拉伯?dāng)?shù)字09這十個數(shù)字。其他還有中國小寫數(shù)字,大寫數(shù)字，羅馬數(shù)字等等。數(shù)是由數(shù)字和數(shù)位組成。零的意義零既可以表示“沒有”，也可以作為某些數(shù)量的界限。如溫度等。零是一個完全有確定意義的數(shù)。零是一

4、個數(shù)。零是一個偶數(shù)。零是任何自然數(shù)的倍數(shù)。零有占位的作用。零不能作除數(shù)。僅供個人參考零是中性數(shù)。羅馬數(shù)字的記數(shù)方法羅馬數(shù)字共有7個：I、V、X、L、CD、M。分別表示（一），（五），（十），（五十），（一百），（五百），（一千）。記數(shù)方法有以下幾種：相加，當(dāng)某數(shù)字的右邊相等或較小時，則表示相加。例如，XXXV則表示X+X+X+V=10+10+10+5=35CV表示100+5=105。相減，當(dāng)某數(shù)字的右邊比其它大時，則表示相減，例如，LD表示D-L=500-50=450。ICM表示MCI=1000100-1=899。某數(shù)字的上面加上一橫線，表示原數(shù)的一千倍。例如：表示50萬。丄表示（L-I）X1

5、000=49000。原則上是盡量少寫數(shù)字。例如4，不能寫成HII，應(yīng)該寫作IV。十進制十進制計數(shù)法是世界各國常用的一種記數(shù)方法。特點是相鄰兩個單位之間的進率都是十。10個較低的單位等于1個相鄰的較高單位。常說“滿十進一”，這種以“十”為基數(shù)的進位制，叫做十進制。二進制進率是“二”（滿二進一），用“二進制”來表示數(shù)。特點是只需要兩個數(shù)字：0和1,不足的是記數(shù)冗長，特別是較大的數(shù)。一般在電子計算機上使用。加法把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，叫做加法，其中兩個數(shù)都叫“加數(shù)”，結(jié)果叫“和”。減法已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。其中“和叫“被減數(shù)，已知的加數(shù)

6、叫“減數(shù)，求出的另一個加數(shù)叫“差。乘法求n個相同加數(shù)的和的簡便運算，叫做乘法。其中相同的這個數(shù)及n個這樣的數(shù)都叫“因數(shù)（相同的這個數(shù)也叫“被乘數(shù)，另一個數(shù)也叫“乘數(shù)），結(jié)果叫“積。除法已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做除法。除法是乘法的逆運算。其中“積叫做“被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做“除數(shù)，求出來的另一個因數(shù)叫做“商。不得用于商業(yè)用途不得用于商業(yè)用途僅供個人參考加、減法的相互關(guān)系加數(shù)=和一另一個加數(shù)減數(shù)=被減數(shù)-差被減數(shù)=差+減數(shù)利用這樣的關(guān)系，求未知數(shù)x。例1:X+37=54解：x=54-37x=17例2:87-x=63解：x=87-63x=24例3:x-87=63解：

7、x=6387x=150例1、例2、例3分別運用上面三個關(guān)系式，求出未知數(shù)x。乘、除法的相互關(guān)系因數(shù)=積-另一個因數(shù)除數(shù)=被除數(shù)商被除數(shù)=商乂除數(shù)利用這樣的關(guān)系，求未知數(shù)x。例1：3x=63解：x=63-3x=21例2:63-x=21僅供個人參考解：X=63-21x=3例3:x-21=3解：x=3X21x=63例1、例2、例3分別運用上面的三個關(guān)系式，求出未知數(shù)x。加、減法的運算定律加法交換律：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變，叫做加法交換律。通常運用這種定律，進行簡算。例如：931877=187793=1970等。加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前二個數(shù)相加，再加第三個數(shù)，或者，先把后二個數(shù)

8、相加，再加上第一個數(shù)，其和不變。這叫做加法結(jié)合律。例如：736931=73（6931）=73100=173在減法中，被減數(shù)、減數(shù)同時加上或者減去一個數(shù)，差不變。在減法中，被減數(shù)增加多少或者減少多少，減數(shù)不變，差隨著增加或者減少多少。反之，減數(shù)增加多少或者減少多少，被減數(shù)不變，差隨著減少或者增加多少。在減法中，被減數(shù)減去若干個減數(shù)，可以把這些減數(shù)先加，差不變。乘、除法運算定律乘法的交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。這叫做乘法的交換律。通常運用這種定律進行簡算。僅供個人參考例如：3X137=137X3=411等。乘法的結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)，或者，先把后

9、兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，積不變。這叫做乘法結(jié)合律。應(yīng)用上述二個定律，可以使一些計算簡便。例如：43X25X4=43X(25X4)=43X100=43004X7X9X25=(4X25)X(7X9)=100X63=6300乘法分配律：兩個數(shù)的和(或差)與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加(或相減)這叫做乘法分配律。應(yīng)用這個定律，可以使一些計算簡便。例如：102X54=（1002）X54=100X542X54=5400108=550898X54=（1002）X54=100X542X54僅供個人參考=5400108=529273X64+64X27=64X(73+27)=6

10、4X100=6400103X8888X3=88X(1033)=88X100=8800乘法的其他運算定律一個因數(shù)擴大若干倍，必須把另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，其積不變例如：64X125=(64-8)X(125X8)=8X1000=8000除法的運算定律-商不變性質(zhì)兩個數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者縮小相同的一個數(shù)(零除外)，商的大小不變。例如：11725-25=(11725X4)-(25X4)=46900-100僅供個人參考469乘法的意義一道乘法算式一般有下面幾個意義:一、求幾個相同加數(shù)的和是多少？二、求一個數(shù)的若干倍是多少？例如：27X13,其一求13個27的和是多少？其二求27的13倍是多

11、少？（乘數(shù)比1大的小數(shù)也是如此）“327x_又如：27X0.3或者I的意義：求27的十分之三是多少？除法的意義一道除法算式，一般有下面幾個意義：一、一個數(shù)里有幾個除數(shù)。簡稱“包含除法”。例如，24*3表示24里面包含有幾個3。二、一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍。例如：24*3,表示24是3的多少倍？三、把一個數(shù)平均分成若干份，每份是多少？簡稱“等分除法”。例如：24*3,表示把24平均分成3份，每份是多少？24-四、已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。例如：，表示：已知一個數(shù)的三分之一是24，求這個數(shù)整除與除盡整除：甲數(shù)除以乙數(shù)（甲、乙為自然數(shù)），商是整數(shù)，余數(shù)為零。就說甲數(shù)能被乙數(shù)整除。除盡：甲

12、數(shù)除以乙數(shù)（乙數(shù)不為零），商是有限數(shù)。就說甲數(shù)能被乙數(shù)除盡。整除可以說是除盡，但除盡就不能說一定叫整除。例如：1*5=0.2，叫除盡，但不叫整除。因為商是小數(shù)。又如：10*3=31,既不叫整除，（因為余數(shù)不為零）也不叫除盡。約數(shù)和倍數(shù)僅供個人參考當(dāng)甲數(shù)能被乙數(shù)整除時，就說甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，乙數(shù)是甲數(shù)的約數(shù)。這兩個概念都是相對而存在。一個自然數(shù)，不存在是否倍數(shù)與約數(shù)。例如：“3是約數(shù)”，就是一個錯誤說法。只能是對3、6、9、等數(shù)而言，是其中某個數(shù)的約數(shù)。奇數(shù)與偶數(shù)凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，反之，不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。質(zhì)數(shù)（素數(shù)）與合數(shù)一個數(shù)的約數(shù)只有1和它本身的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫素數(shù)。反之，一個

13、數(shù)的約數(shù)除了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這個數(shù)就叫合數(shù)。1是否質(zhì)數(shù)由于1的約數(shù)只有1個，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做公約數(shù)。它的個數(shù)是有限的，既有最大的，也有最小的。互質(zhì)數(shù)兩個數(shù)的公約數(shù)只有1，而沒有其他公約數(shù)的，這兩個數(shù)就叫互質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)這兩個概念沒有什么聯(lián)系。兩個質(zhì)數(shù)，不能肯定就是互質(zhì)數(shù)。只有兩個不相同的質(zhì)數(shù)，才能肯定是互質(zhì)數(shù)。另外，兩個合數(shù)既可能是互質(zhì)數(shù)，也可能不是互質(zhì)數(shù)，但不能說兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)。質(zhì)因數(shù)把一個合數(shù)分解成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這樣的質(zhì)數(shù)叫做質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)把一個合數(shù)分解成幾個質(zhì)數(shù)相同的形式，就叫做分解質(zhì)因數(shù)。公倍數(shù)幾個數(shù)公有的

14、倍數(shù)，叫做公倍數(shù)。它的個數(shù)是無限的，只有最小的，沒有最大的。最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)中，最大的一個就叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。僅供個人參考最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的無限個倍數(shù)中，最小的一個，就叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。能被2整除的判斷方法一個數(shù)能否被2整除，只要看這個數(shù)的末尾是否有0、2、4、6、8這五個數(shù)的其中一個即可。能被4整除的判斷方法一個數(shù)能否被4整除，只要看這個數(shù)的末尾兩位數(shù)能否被4整除即可。能被8整除的判斷方法一個數(shù)能否被8整除，只要看這個數(shù)的末尾三位數(shù)能否被8整除即可。能被5整除的判斷方法一個數(shù)能否被5整除，只要看這個數(shù)的末尾是否有0、5這兩個數(shù)的其中一個即可。能被3整除的判斷方法

15、一個數(shù)能否被3整除，只要看這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和能否被3整除即可。（或是把每個數(shù)位上被3除的余數(shù)加起來，滿了就棄，只看最后結(jié)果能否被3整除）例如：判斷這個數(shù)能否被3整除？方法如下進行：從最高位開始。第一個數(shù)被3除的余數(shù)為1，第二個數(shù)被3除的余數(shù)為2，合起來剛好是3，就不參與計算。第三、四兩個數(shù)被3除的余數(shù)為零。第五、六兩個數(shù)能被3整除，最后一個數(shù)能被3整除，但第7個數(shù)不能被3整除。所以，這個數(shù)肯定不能被3整除。能被9整除的判斷方法它與判斷3的方法相似，差別僅在于和一定能被9整除。能被7整除的判斷方法一個數(shù)能否被7整除，只要把這個數(shù)的末尾（已去掉最后一個數(shù)）逐次減去末尾數(shù)字的2倍，最后的結(jié)果

16、如果是零或者是7，這個數(shù)一定能被7整除。例如：判斷37569能否被7整除。判斷方法：第一步：37569X2=3738;第二步：3738X2=357;第三步：35-7X2=21;第四步：2-1X2=0,這個數(shù)一定能被7整除。能被11整除的判斷方法僅供個人參考與判斷7的方法相近。把一個數(shù)的末尾（已去掉最后一個數(shù)）逐次減去末尾數(shù)字，最后的結(jié)果如果是零，或者能被11整除，這個數(shù)一定能被11整除。例如：判斷38467能否被11整除。判斷方法：第一步：38467=3839;第二步：3839=374;第三步：374=33;第四步：33=0，這個數(shù)一定能被11整除。能被13整除的判斷方法與判斷7的方法相近。把

17、一個數(shù)的末尾（已去掉最后一個數(shù)）逐次減去末尾數(shù)字的9倍，最后的結(jié)果是零或者能被13整除，這個數(shù)一定能被13整除。例如：判斷258245能否被13整除。判斷方法，第一步：258245X9=25779;第二步：25779X9=2496;第三步：2496X9=195;第四步：195X9,注意：由于不夠減，改寫成：5X919=26，26能被13整除，所以這個數(shù)一定能被13整除。能被25整除的判斷方法它與4的判斷方法相同。一個數(shù)能否被25整除，只要看這個數(shù)的末尾兩位數(shù)能否被25整除即可。（或者是把這個數(shù)擴大4倍，未尾是兩個零也可以判斷）能被125整除的判斷方法它與8的判斷方法相同。一個數(shù)能否被125整除

18、，只要看這個數(shù)的末尾三位數(shù)能否被125整除即可。（或者是把這個數(shù)擴大8倍，末尾是三個零也可以判斷）分?jǐn)?shù)單位71取分子為1，分母不為零的真分?jǐn)?shù)，就叫這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。例如：；的分?jǐn)?shù)單位是，它有7個這樣的分?jǐn)?shù)單2-位。又如_的分?jǐn)?shù)單位是亠，它有13個這樣的分?jǐn)?shù)單位（將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)）。分?jǐn)?shù)化有限小數(shù)的判斷方法一個分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)，主要看分母（這里的分?jǐn)?shù)一定是最簡分?jǐn)?shù)）是不是只有質(zhì)因數(shù)“2或5”。摻雜任何其他TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 7_1717175質(zhì)因數(shù)，都不能化成有限小數(shù)，反之，就一定能化成有限小數(shù)。例如：2、等都能化成有限小數(shù)。、|、都

19、不能化成有限小數(shù)。分?jǐn)?shù)沒有基本單位對于不同的分?jǐn)?shù)來說，由于各自的等分量不同，所以表示的大小就不相等。例如 HYPERLINK l bookmark44 371亠和這兩個分?jǐn)?shù)的單位分別是亠和，每一份的大小不一樣。不同的分?jǐn)?shù)，有不同的分?jǐn)?shù)單位。沒有一個共同僅供個人參考的標(biāo)準(zhǔn)量，就沒有基本單位。另外，分?jǐn)?shù)是用于連續(xù)的量，而連續(xù)量在變化過程中是不可能分剩的。在計量時，這些單位是獨立的，不可能有輔助單位。因此，也就沒有基本單位。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)一個分?jǐn)?shù)的分子、分母同時擴大或縮小相同的一個數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。分?jǐn)?shù)的通分、約分通分：把幾個單位不同的分?jǐn)?shù)，化成相同單位，且大小不變的

20、分?jǐn)?shù)，叫做通分。例如：4=203=213=?512后，-3門：_-_約分：把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等的，分子、分母較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。例如：31.731;*。約分后，.；171二循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法把一個循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，分為以下幾種:一、純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)是幾位數(shù)，其分母就由幾個9決定，分子就是循環(huán)節(jié)。例如：0.3=-=1;0.75=;12541-12939933999二、混循環(huán)小數(shù)：小數(shù)部分的第一個數(shù)字到循環(huán)節(jié)，所組成的數(shù)，減去不循環(huán)的數(shù)字所組成的數(shù)的差是分子。由循環(huán)節(jié)的位數(shù)確定幾個9,不循環(huán)的數(shù)字確定0，“9”放在左邊，“0”放在右邊。例如:013=13-=90902_151825507=

21、1825507-25-999002548299900-18_424716650連分?jǐn)?shù)連分?jǐn)?shù)是繁分?jǐn)?shù)的特殊表現(xiàn)形式，其特征是階梯型的例如：1不得用于商業(yè)用途僅供個人參考5就叫連分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之向的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)是特殊分?jǐn)?shù)。特征是分母為100,采用符號“”（叫做百分號）來表示。分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)。百分率兩個相同量的比的比值，用百分?jǐn)?shù)和的形式表示時，這個比值叫做這兩個量的百分率，也叫百分比。通常的“XX率”就是百分?jǐn)?shù)。如“岀勤率”等。成數(shù)、折扣成數(shù)、折扣是指那些分母為10的分?jǐn)?shù)。如三成是十分之三，八折是十分之八。千分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的千分之幾的數(shù)，叫做

22、千分?jǐn)?shù)。用符號“。”來表示。準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)（近似值）與實際情況完全符合的數(shù)，叫做準(zhǔn)確數(shù)。與實際情況接近而有一定誤差的數(shù)，叫做近似數(shù)（或叫近似值）。量客觀事物所具有的能區(qū)別程度異同的屬性叫做量，也就是說，事物的多少、大小、長短、輕重、高低、快慢等屬性都叫做量。連續(xù)量與不連續(xù)量連續(xù)量：不能用數(shù)數(shù)的方法來計量的量，叫做連續(xù)量。例如，長度、體積等。不連續(xù)量：只能用數(shù)數(shù)的方法來計量的叫做不連續(xù)量。例如，人數(shù)、樹木的棵數(shù)等。計量要測定某種量，必須有一種同類量作標(biāo)準(zhǔn)，把一種量和另一種作標(biāo)準(zhǔn)的同類量進行比較，叫做計量。名數(shù)與不名數(shù)量數(shù)與計量單位名稱合起來叫做名數(shù)。例如：7米、18千克、9時25分等都叫名數(shù)。不

23、得用于商業(yè)用途僅供個人參考沒有帶單位名稱的數(shù)，叫做不名數(shù)。如2、4、6、8等，都叫不名數(shù)。單名數(shù)與復(fù)名數(shù)只含有一個計量單位名稱的名數(shù)叫做單名數(shù)。例如7米、18千克等都叫做單名數(shù)。含有兩個或者兩個以上的同類計量單位名稱的名數(shù)，叫做復(fù)名數(shù)。例如：2米3分米5厘米，8小時33分，8噸8千克等都叫復(fù)名數(shù)。高級單位與低級單位一般各種度量都由幾個計量單位組成一個系統(tǒng)。計量單位較大的叫做高級單位，計量單位較小的叫做低級單位。高、低級單位是兩個同類計量單位名數(shù)的數(shù)相比較才有，沒有單個的高、低級單位的名數(shù)。度、量、衡度：測定物體的長度時，叫做度。量：測定物體的體積（或容量）叫做量。衡：測定物體的重量，叫做衡。公

24、歷年的平年、閏年平年：把公歷年份除以4（這里不是整百的公歷年份）有余數(shù)時，就把這一年叫做平年，計365天。其中二月份有28天。閏年：把公歷年份除以4（這里不是整百的公歷年份）余數(shù)為零時，就把這一年叫做閏年，計366天。其中二月份有29天。如果年份是整百的，則除以400，再看余數(shù)。時刻與時間時刻表示一天內(nèi)某一個特指的時候，例如上午8時30分開會，這里的“8時30分”這是時刻。時間表示兩個是期或兩個時刻的間隔。例如，做作業(yè)用去30分鐘，這里的“30分鐘”就是時間。比和比值a與b的比，記作a:b。也可以用分?jǐn)?shù)形式表比：兩個數(shù)相除，叫做兩個數(shù)的比。一般地當(dāng)數(shù)a除以b（b工0）就叫做7示為。比值：比的前

25、項除以后項所得的商，叫做比值。_，則只能表示為比值。比和比值有本質(zhì)的不同。如既可看作是比，又可看作是比值。如果化成僅供個人參考比的化簡把一個比化為最好簡整數(shù)比，叫做比的化簡。一般情況下，化簡以后的比，前后兩項為互質(zhì)數(shù)。比例表示兩個比相等的式子叫做比例。正比例兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，且這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定。這兩種量就叫做成反比例的量。它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。幾何學(xué)幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)部門之一。專門研究物體的形狀、大小和相互的位置關(guān)系。也就是研究客觀世界的形式及其數(shù)量關(guān)系。一般分為：解析幾何學(xué)、微分幾何學(xué)、非歐幾何學(xué)、射影幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何學(xué)等等。體用

26、來度量一個物體的形狀與大小，叫做幾何體，簡稱“體”。面面是幾何學(xué)中的原始概念。通常指一個物體的表面或者是平面。面沒有厚度。線線是幾何學(xué)中的原始概念。通?？梢岳斫鉃椋憾€面相交的地方就是線。它既沒有寬度，也沒有厚度。占八、點是幾何學(xué)中的原始概念。通常理解為：兩條線相交的地方就是點。點只有位置。沒有長度、寬度和厚度。直線一點在平面上或者空間中向一定的方向或相反方向運動所形成的軌跡，叫做直線。通過二點能夠引伸一條直線，也只能引一條直線。直線是向兩個方向無限延伸的。它沒有端點，無法度量。射線從線段的一個端點朝一個方向無限延長，就得到一條射線。這個端點叫做射線的端點，也叫做原點。射線只有一個端點，它無法

27、度量。線段僅供個人參考把三個不在直線上的點用線段逐點連接起來，所組成的圖形叫做折線。其中每條邊的線段叫做折線的邊，其起點和終點叫做端點。曲線既不是直線又不是折線的線，叫做曲線。如圓就是一條封閉曲線。垂線、垂足兩條直線相交，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，其交點叫垂足。斜線和斜足兩條直線相交不成直角時，其中的一條直線叫做另一條直線的斜線，交點就業(yè)是斜足。平行線在同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線，叫做平行線。面積和地積面積是用來表示一個物體的表面或者平面的大小。地積就是土地的面積。體積和容積（容量）體積：用來表示物體所占空間的大小，叫做體積。容積：一個容器所

28、能容納物體的體積，叫做容積或容量。球的體積計算球的體積等于球的半徑的立方與n的積的。球的表面積計算球的表面積等于球的直徑的平方與n的積。方程、解議程和方程的解方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。小學(xué)里一般稱為簡易方程。解方程：求方程的解的過程叫做解方程。方程的解：能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。僅供個人參考應(yīng)用題根據(jù)生產(chǎn)和生活中的實際問題，用文字或語言敘述出一些已知數(shù)量，已知數(shù)量與未知數(shù)量之間的相互關(guān)系，并需要出未知數(shù)量的題目，叫做應(yīng)用題。應(yīng)用題與式題式題可以直接計算，應(yīng)用題只有已知量的問題，沒有運算順序。應(yīng)用題一般分為兩大類，簡單應(yīng)用題。在復(fù)合應(yīng)用題中，典型應(yīng)用題是它的一種特殊

29、類型。數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系是指應(yīng)用題中條件與條件之間，條件與問題之間的關(guān)系。常用的數(shù)量關(guān)系有：單價、數(shù)量和總價；速度、路程和時間；工作效率、工作量和工作時間等等。分析法分析法通常是指答應(yīng)用題的一種思考方法。它是從“問題”入手，步步順推，同因?qū)Ч乃伎挤椒?。分析綜合法把“分析法”與“綜合法”綜合在一起進行思考，就叫做分析綜合法。平均數(shù)問題有幾個不相同的數(shù)，要移多補少，使它們完全相等。求這樣所得到的數(shù)，叫做平均數(shù)問題。一般計算公式是：總數(shù)*總份數(shù)=平均數(shù)290厘例：張明和李華的身高加起來是280厘米，張明和王強的身高加起來是276厘米，李華和王強的身高加起來是米。這三人的平均身高是多少厘米？算式是：（

30、280+276+290）-2-3=846-2-3=423-3=141（厘米）答：這三人的平均身高是141厘米。歸一問題在解答過程中，必須先求出“單一量”（單位時間的工作量、物品的單價、單位時間所走的路程等），再根據(jù)其他條件求出結(jié)果。通常把這類應(yīng)用題叫做歸一問題。例：高年級同學(xué)在校內(nèi)搞綠化植樹活動。5個同學(xué)栽樹20棵，照這樣計算，12個同學(xué)可以栽樹多少棵？僅供個人參考20-5X12=4X12=48（棵）答：12個同學(xué)可以栽樹48棵。較復(fù)雜的歸一問題：通過兩次或兩次以上的運算才能求出單一量的歸一問題，叫做較復(fù)雜的歸一問題。例：用4臺粉碎機7小時可以粉碎飼料8400千克。照這樣的工作效率，再工作5小

31、時，這4臺粉碎機還可以粉碎多少千克飼料？8400-4-7X（5X4）=2100-7X20=300X20=6000（千克）答：這4臺粉碎機還可以粉碎6000千克飼料。行程問題在行車、走路等類似運動時，已知其中的兩種量，按照速度、路程和時間三者之間的相互關(guān)系，求第三種量的問題，叫做“行程問題”。此類問題一般分為四類：一、相遇問題；二、追及問題；三、相離問題；四、過橋問題等。相遇問題兩個運動物體作相向運動，或在環(huán)形道口作背向運動，隨著時間的延續(xù)、發(fā)展，必然面對面地相遇。這類問題即為相遇問題。例1:AB兩地相距2800千米，甲乙兩車同時從AB兩地相向開出。甲車每小時行45千米，乙車每小時行25千米。兩

32、車需要幾小時相遇？2800-（45+25）=2800-70=40（小時）答：兩車需要40小時相遇。相離問題僅供個人參考兩個運動著的動體，從同一地點相背而行。若干時間后，間隔一定的距離，求這段距離的問題，叫做相離問題。它與相遇問題類似，只是運動的方向有所改變。追及問題兩個運動著的物體從不同的地點出發(fā)，同向運動。慢的在前，快的在后，經(jīng)過若干時間，快的追上慢的。解答這類問題要找岀兩個運動物體之間的距離和速度之差，從而求岀追及時間。一般有：追及的路程*速度差=追及時間速度差X追及時間=追及的路程追及的路程追及時間=速度差例1:甲、乙兩人分別從東西兩地同時向東面行。甲步行每小時行5千米，乙騎車每小時行1

33、4千米。4小時后，甲被乙追上。求東西兩地的距離。當(dāng)乙追上甲時，乙比甲多走的路程正好是東、西兩地的距離。（14-5）X4=36（千米）答：東西兩地的距離為36千米。例2:分、時針重疊問題。當(dāng)時針在3點，分針在12點時，分針第一次與時針重疊時，是幾點幾分？4_4_當(dāng)把針的速度看作“1”時，時針的速度是分針?biāo)俣鹊?，兩者的速度差是1-門，兩針相距15格。A_15*（1-門）A_=15*：-4二16:答：分針和時針第一次重疊時，是三點十六又十一分之四分鐘。流水問題（行船問題）僅供個人參考已知船的順?biāo)俣群湍嫠俣?，求船的靜水速度及水流速度。解答這類問題，一般要掌握下面幾個數(shù)量關(guān)系：船的靜水速度+水速=

34、順?biāo)俅撵o水速度水速=逆水船速（順?biāo)?逆水船速）*2=船的靜水速度（順?biāo)倌嫠伲?2=水速例：從甲地到乙地的水路有120千米，水的速度為每小時2.5千米。某船在靜水中每小時行7.5千米。它在甲、乙兩地之間往返一次需要多少小時？解：求船在甲、乙兩地之間往返一次共需多少小時，實際上就是求它順?biāo)屡c逆水而上共需多少小時。7.5+2.5=10（千米）-順?biāo)?.52.5=5（千米）-順?biāo)?20-10+120-5=36（小時）答：它在甲、乙兩地之間往返一次需要36小時。過橋問題一列火車通過一座橋或者是鉆過一個隧道，研究其車長、車速、橋長或隧道道長，過橋或鉆隧道的時間等關(guān)系的一類應(yīng)用

35、題。解答這類應(yīng)用題，除了根據(jù)速度、時間、路程三量之間的關(guān)系進行計算外，還必須注意到車長，即通過的路程等于橋長或隧道長加車長。例1：一列火車全長180米，每秒行駛20米，要經(jīng)過840米的隧道，全車通過需要多少秒？列式：（840+180）*20=1020*20=51（秒）答：全車通過需要51秒。例2：一列火車通過605米長的橋要45秒，以同樣的速度穿過380米的山洞需要30秒。求這列火車的速度及車長。僅供個人參考分析：行駛605米與行駛380米的時間差，是所行的路程的差，用去的時間，就是行駛兩個不同路程的時間差。由此可以求出火車的速度。列式：（605380）*（45-30）=225-15=15（米

36、）用火車的速度乘以45秒（或30秒）得到火車45秒所行的路程，比橋長要多。這個多的實際上就是車長（或是30秒所行的路程，比山洞要長，這個多出的就是車長）。列式：15X45605=675605=70（米）或：15X30380=450380=70（米）答：這列火車的速度是每秒行15米，車長是70米。和倍問題已知兩個數(shù)量和及兩者之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做和倍問題。一般關(guān)系式有：總數(shù)*（倍數(shù)+1）=較小的數(shù)較小的數(shù)X倍數(shù)=較大的數(shù)例：甲、乙兩個學(xué)校，甲校和乙校的學(xué)生人數(shù)的和是240人，甲校人數(shù)是乙校人數(shù)的3倍。甲、乙兩校各有學(xué)生多少人？240-（3+1）=240-4=60（人）乙校人數(shù)6

37、0X3=180人甲校人數(shù)答：甲校有學(xué)生180人，乙校有學(xué)生60人。和差問題僅供個人參考已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做和差問題。一般關(guān)系式有：(和差)*2=較小數(shù)(和+差)*2=較大數(shù)例：甲乙兩數(shù)的和是24，甲數(shù)比乙數(shù)少4，求甲乙兩數(shù)各是多少？(24+4)-2=28-2=14t乙數(shù)(244)-2=20-2=10t甲數(shù)答：甲數(shù)是10，乙數(shù)是14。差倍問題已知兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)的應(yīng)用題，叫做差倍問題?；娟P(guān)系式是：兩數(shù)差-倍數(shù)差=較小數(shù)例：有兩堆煤，第二堆比第一堆多40噸，如果從第二堆中拿出5噸煤給第一堆，這時第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原來兩堆煤各有多少噸

38、？分析：原來第二堆煤比第一堆多40噸，給了第一堆5噸后，第二堆煤比第一堆就只多405X2噸，由基本關(guān)系式列式是：(405X2)-(31)5=(4010)-25=30-25=155=10(噸)t第一堆煤的重量10+40=50(噸)t第二堆煤的重量答：第一堆煤有10噸，第二堆煤有50噸。僅供個人參考還原問題已知一個數(shù)經(jīng)過某些變化后的結(jié)果，要求原來的未知數(shù)的問題，一般叫做還原問題。還原問題是逆解應(yīng)用題。一般根據(jù)加、減法，乘、除法的互逆運算的關(guān)系。由題目所敘述的的順序，倒過來逆順序的思考，從最后一個已知條件出發(fā)，逆推而上，求得結(jié)果。例：倉庫里有一些大米，第一天售出的重量比總數(shù)的一半少12噸。第二天售出

39、的重量，比剩下的一半少12噸，結(jié)果還剩下19噸，這個倉庫原來有大米多少噸？分析：如果第二天剛好售出剩下的一半，就應(yīng)是19+12噸。第一天售出以后，剩下的噸數(shù)是（19+12）X2噸。以下類推。列式：（19+12）X2-12X2=31X2-12X2=62-12X2=50X2=100（噸）答：這個倉庫原來有大米100噸。置換問題題中有二個未知數(shù)，常常把其中一個未知數(shù)暫時當(dāng)作另一個未知數(shù)，然后根據(jù)已知條件進行假設(shè)性的運算。其結(jié)果往往與條件不符合，再加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，從而求出結(jié)果。例：一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？分析：先假定買來的1

40、00張郵票全部是20分一張的，那么總值應(yīng)是20X100=2000（分），比原來的總值多2000-1880=120（分）。而這個多的120分，是把10分一張的看作是20分一張的，每張多算20-10=10（分），如此可以求出10分一張的有多少張。列式：（2000-1880）-（20-10）=120-10=12（張）-10分一張的張數(shù)100-12=88（張）20分一張的張數(shù)或是先求出20分一張的張數(shù)，再求出10分一張的張數(shù)，方法同上，注意總值比原來的總值少。盈虧問題（盈不足問題）僅供個人參考題目中往往有兩種分配方案，每種分配方案的結(jié)果會出現(xiàn)多（盈）或少（虧）的情況，通常把這類問題，叫做盈虧問題（也叫

41、做盈不足問題）。解答這類問題時，應(yīng)該先將兩種分配方案進行比較，求出由于每份數(shù)的變化所引起的余數(shù)的變化，從中求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意，求出被分配物品的數(shù)量。其計算方法是：當(dāng)一次有余數(shù)，另一次不足時：每份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都有余數(shù)時：總份數(shù)=（較大余數(shù)-較小數(shù)）*兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足時：總份數(shù)=（較大不足數(shù)較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差例1：解放軍某部的一個班，參加植樹造林活動。如果每人栽5棵樹苗，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就差4棵樹苗。求這個班有多少人？一共有多少棵樹苗？分析：由條件可知，這道題屬第一種情況。列式：（14+4）*（75）=18*2=9（人

42、）5X9+14=45+14=59（棵）或：7X94=634=59（棵）答：這個班有9人，一共有樹苗59棵。年齡問題年齡問題的主要特點是兩人的年齡差不變，而倍數(shù)差卻發(fā)生變化。常用的計算公式是：僅供個人參考成倍時小的年齡=大小年齡之差*（倍數(shù)-1）幾年前的年齡=小的現(xiàn)年一成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡=成倍時小的年齡一小的現(xiàn)在年齡例1：父親今年54歲，兒子今年12歲。幾年后父親的年齡是兒子年齡的4倍？（54-12）-（4-1）=42-3=14（歲）-兒子幾年后的年齡14-12=2（年）2年后答：2年后父親的年齡是兒子的4倍。例2：父親今年的年齡是54歲，兒子今年有12歲。幾年前父親的年齡是兒子年齡的

43、7倍？（54-12）-（7-1）=42-6=7（歲）兒子幾年前的年齡12-7=5（年）5年前答：5年前父親的年齡是兒子的7倍。例3：王剛父母今年的年齡和是148歲，父親年齡的3倍與母親年齡的差比年齡和多4歲。王剛父母親今年的年齡各是多少歲？148X2+4）-（3+1）=300-4=75（歲）父親的年齡148-75=73（歲）母親的年齡答：王剛的父親今年75歲，母親今年73歲。或：（1482）-2=150-275（歲）僅供個人參考不得用于商業(yè)用途75-2=73（歲）雞兔問題已知雞兔的總只數(shù)和總足數(shù)，求雞兔各有多少只的一類應(yīng)用題，叫做雞兔問題，也叫“龜鶴問題”、“置換問題”。一般先假設(shè)都是雞（或兔

44、），然后以兔（或雞）置換雞（或兔）。常用的基本公式有：（總足數(shù)-雞足數(shù)X總只數(shù)）一每只雞兔足數(shù)的差=兔數(shù)（兔足數(shù)X總只數(shù)-總足數(shù)）一每只雞兔足數(shù)的差=雞數(shù)例：雞兔同籠共有24只。有64條腿。求籠中的雞和兔各有多少只？（64-2X24）*（4-2）=（64-48）*（4-2）=16*2=8（只）-兔的只數(shù)24-8=16（只）-雞的只數(shù)答：籠中的兔有8只，雞有16只牛吃草問題（船漏水問題）若干頭牛在一片有限范圍內(nèi)的草地上吃草。牛一邊吃草，草地上一邊長草。當(dāng)增加（或減少）牛的數(shù)量時，這片草地上的草經(jīng)過多少時間就剛好吃完呢？例1：一片草地，可供15頭牛吃10天，而供25頭牛吃，可吃5天。如果青草每天生

45、長速度一樣，那么這片草地若供10頭牛吃，可以吃幾天？分析：一般把1頭牛每天的吃草量看作每份數(shù)，那么15頭牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上這片草地10天長出草，以下類推其中可以發(fā)現(xiàn)25頭牛5天的吃草量比15頭牛10天的吃草量要少。原因是因為其一，用的時間少；其二，對應(yīng)的長出來的草也少。這個差就是這片草地5天長出來的草。每天長出來的草可供5頭牛吃一天。如此當(dāng)供10牛吃時，拿出5頭牛專門吃每天長出來的草，余下的牛吃草地上原有的草。（15X10-25X5）*（10-5）=（150-125）*（10-5）=5(頭)-可供5頭牛吃一天。150-10X5=150-50=100(頭)T草地上原有的草可

46、供100頭牛吃一天100-(10-5)=100-5=20(天)答：若供10頭牛吃，可以吃20天。例2：一口井勻速往上涌水，用4部抽水機100分鐘可以抽干；若用6部同樣的抽水機則50分鐘可以抽干?，F(xiàn)在用7部同樣的抽水機，多少分鐘可以抽干這口井里的水？(100X4-50X6)-(100-50)=(400-300)-(100-50)=100-50=2400-100X2=400-200=200200-(7-2)=200-5=40(分)答：用7部同樣的抽水機，40分鐘可以抽干這口井里的水。公約數(shù)、公倍數(shù)問題運用最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)解答應(yīng)用題，叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題。例1：一塊長方體木料，長25米，寬1

47、75米，厚075米。如果把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，不準(zhǔn)不得用于商業(yè)用途僅供個人參考有剩余，而且每塊的體積盡可能的大，那么，正方體木塊的棱長是多少？共鋸了多少塊？分析：2.5=250厘米1.75=175厘米0.75=75厘米其中250、175、75的最大公約數(shù)是25,所以正方體的棱長是25厘米。(250-25)X(175-25)X(75-25)=10X7X3=210(塊)答：正方體的棱長是25厘米，共鋸了210塊。例2:兩嚙合齒輪，一個有24個齒，另一個有40個齒，求某一對齒從第一次接觸到第二次接觸，每個齒輪至少要轉(zhuǎn)多少周？分析：因為24和40的最小公倍數(shù)是120,也就是兩個齒輪都轉(zhuǎn)1

48、20個齒時，第一次接觸的一對齒，剛好第二次接觸120-24=5(周)120-40=3(周)答：每個齒輪分別要轉(zhuǎn)5周、3周。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題指用分?jǐn)?shù)計算來解答的應(yīng)用題，叫做分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，也叫分?jǐn)?shù)問題。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一般分為三類：求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾。求一個數(shù)的幾分之幾是多少。已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。其中每一類別又分為二種，其一：一般分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；其二：較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。例1:育才小學(xué)有學(xué)生1000人，其中三好學(xué)生250人。三好學(xué)生占全校學(xué)生的幾分之幾？29僅供個人參考不得用于商業(yè)用途2答：三好學(xué)生占全校學(xué)生的。2例2:一堆煤有180噸，運走了。走了多少噸？2180X=80(噸)答：運走了80噸。2例3:某農(nóng)機廠去年生產(chǎn)農(nóng)機1800臺，今年計劃比去年增加。今年計劃生產(chǎn)多少臺？21800X(1+)2=1800X=2400(臺)答：今年計劃生產(chǎn)2400臺。22例4:修一條長2400米的公路，第一天修完全長的，第二天修完余下的。還剩下多少米?222400X(1)X(1-)22=2400XX=120