近世代數(shù)課件(全)-2-5變換群

1、近世代數(shù)第二章 群論 5 變換群 9/3/2021研究一種代數(shù)體系就是要解決這種代數(shù)體系的下面三個(gè)問(wèn)題：存在問(wèn)題；數(shù)量問(wèn)題以及結(jié)構(gòu)問(wèn)題。關(guān)于數(shù)量問(wèn)題，指的是彼此不同構(gòu)的代數(shù)體系的數(shù)量，因?yàn)橥瑯?gòu)的代數(shù)體系抽象地看可以認(rèn)為是相同的代數(shù)體系。 本講的凱萊定理將告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，無(wú)論是否如此簡(jiǎn)單，但至少?gòu)睦碚撋现绖P萊定理的重要性。 9/3/2021一、集合的變換和變換乘法 1 變換：設(shè)是一個(gè)非空集合，若是就稱是的一個(gè)變換.到上的映射2 變換集合：由的全體變換做成的集合，由的全體一一變換做成.記為的集合記為 9/3/20214 變換乘法是的代數(shù)運(yùn)算，

2、也是的代數(shù)運(yùn)算.5 恒等變換：，3 變換乘法：，規(guī)定，稱為的乘法. 9/3/2021二、變換群的概念 例1 設(shè)的全部變換如下問(wèn)：（1）關(guān)于變換乘法是否做成群？關(guān)于變換乘法是否做成群？（2） 9/3/2021解：（1）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，事實(shí)上，就沒(méi)有逆元.因?yàn)槿绻心嬖?那么必有且.但是而 導(dǎo)致矛盾，故沒(méi)有逆元.不能成為群.有單位元. 那么“逆元”問(wèn)題能解決嗎？因此 9/3/2021（2）非空、代數(shù)運(yùn)算、結(jié)合律都滿足，的逆元是的逆元是自身. 因此例2 設(shè)，并取定，則易知是的一個(gè)非一一變換，從而關(guān)于變換乘法做成群.有單位元成為群. 9/3/2021定義1設(shè)的若干一一變換關(guān)于變換的乘法做

3、成的一個(gè)一一變換群；的若干非一一變換關(guān)于變換的乘法做的一個(gè)非一一變換群.是一個(gè)非空集合，則的若干變換關(guān)于變換的乘法做成的群，的一個(gè)變換群；由稱為由的群，稱為由成的群，稱為 9/3/2021定理1設(shè)為非空集合，構(gòu)成的一個(gè)變換群.關(guān)于變換的乘法證明：乘法封閉性、結(jié)合律都滿足，單位元為恒等變換，每個(gè)一一映射都有個(gè)與之對(duì)應(yīng)的互逆的一一映射. 9/3/2021定義2稱集合上的一一變換群為上的對(duì)稱群；時(shí)，其上的對(duì)稱群用表示，稱為n 次對(duì)稱群.當(dāng)顯然：（1）上任何一一變換群都是上的對(duì)稱群的一個(gè)子群，即上的對(duì)稱群的最大的一一變換群；是（2）n次對(duì)稱群是一個(gè)階為的有限群. 9/3/2021定理2設(shè)是非空集合的一

4、個(gè)變換群.則證：必要性顯然；下證充分性：設(shè)有的單射變換，于是，由是單射變換，因此是的恒等變換；，若，則，所以是單射變換；，所以是滿射變換.是的一個(gè)一一變換群中含有的單（滿）射變換.，因?yàn)槭侨?，故有單位元?9/3/2021推論1：是非空集合的一個(gè)變換群，則或者是一一變換群（單位元是恒等變換），則不能成為群.或者是非一一變換群，即任何一個(gè)變換群都不可能既含有一一變換又含有非一一變換.注意：如果 9/3/2021例例3. 令，則做成的一個(gè)，規(guī)定，則做成的一個(gè)上的對(duì)稱群.非一一變換群.例4. 令一一變換群，但不是（單位元）（單位元） 9/3/2021定理3(凱萊定理)任何群都能同一個(gè)一一變換群同構(gòu).證：設(shè) 是任意一個(gè)群,，規(guī)定的一個(gè)變換,易知是一個(gè)一個(gè)一一變換.令 ，則，所以是同構(gòu)映射.所以. 9/3/2021推論2