高三理科數(shù)學一輪講義案第九章871《利用空間向量求空間角》解析

1、年高三理科數(shù)學一輪講義案第八章利用空間向量求空間角第節(jié)立體幾何中的向量方法第課時利用空間向量求空間角最新考綱1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；2.認識向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.知識梳理1.異面直線所成的角設(shè)，分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則與的夾角l1與l2所成的角范圍(0，)0，2求法|cos|cos|cos|2.求直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線l與平面所成的角為，則sin|cos，|.|3.求二面角的大小(1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小_AB，CD.(2)如圖，1

2、，2分別是二面角的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足l|cos|cos1，2|，二面角的平面角大小是向量1與2的夾角(或其補角).微點提示1.線面角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對值，即sin|cos，|，不要誤記為cos|cos，|.2.二面角與法向量的夾角：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面，的法向量1，12時，要依據(jù)向量坐標在圖形中察見解向量的方向，來確立二面角與向量1，2的夾角是相等，還是互補.基礎(chǔ)自測1.判斷以下結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成

3、的角就是直線與平面所成的角.()(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.()(4)兩異面直線夾角的范圍是0，直線與平面所成角的范圍是0，二面角的范圍是0，.()22分析(1)兩直線的方向向量所成的角是兩條直線所成的角或其補角；(2)直線的方向向量，平面的法向量，直線與平面所成的角為，則sin，；(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角或其補角.答案(1)(2)(3)(4)2.(選修21P104練習2改編)已知兩平面的法向量分別為(0，1，0)，(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為()A.45B.135C.45或135D.90分析cos，12，即，|12245.兩平面所成

4、二面角為45或18045135.答案C3.(選修21P112A4改編)已知向量，分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cos，12，則l與所成的角為()A.30B.60C.120D.150分析由于cos，1，所以，120，所以直線l與所成的角為230.答案A4.(2018鄭州調(diào)研)在正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()3332A.2B.3C.5D.5分析設(shè)正方體的棱長為1，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，以以下圖.則B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0

5、，1)，2所以BB1(0，0，1)，AC(1，1，0)，AD1(1，0，1).令平面ACD1的法向量為(x，y，z)，則ACxy0，AD1xz0，令x1，可得(1，1，1)，13所以sin|cos，BB1|313.答案B5.(2019南寧二中、柳州高中聯(lián)考)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC2，AA11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_.分析建立以以下圖的坐標系.易得A(2，0，0)，B(2，3，0)，B1(2，3，1)，C1(0，3，1)，則AB1(0，3，1)，BC1(2，0，1).設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為，12則cos|cosAB1，BC1|10510.

6、2答案106.(2019大連展望)過正方形ABCD的極點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_.分析如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)ABPA1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由題意，AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，11CDAE，從而AE平面PCD.所以AD(0，1，0)，AE0，2，2分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且AD，AE45.故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45.3答案45考點一用空間向量求異面直線所成的角【例1】(1)(一題多解)(2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1

7、B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()315103A.2B.5C.5D.3(2)(一題多解)(2019北、山西、河南三省聯(lián)考河)在三棱錐PABC中，ABC和PBC均為等邊三角形，且二面角PBCA的大小為120，則異面直線PB和AC所成角的余弦值為()5371A.8B.4C.8D.4分析(1)法一以B為原點，建立如圖(1)所示的空間直角坐標系.圖(1)圖(2)則B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在ABC中，ABC120，AB2，則A(1，3，0).所以AB1(1，3，1)，BC1(1，0，1)，AB1BC1則cosA

8、B1，BC1|AB1|BC1|（1，3，1）（1，0，1）21052525，10所以，異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為5.法二將直三棱柱ABCA1B1C1補形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖(2)，連接AD1，B1D1，則4AD1BC1.則B1AD1為異面直線AB1與BC1所成的角(或其補角)，易求得AB15，BC1AD12，B1D13.10由余弦定理得cosB1AD15.(2)法一取BC的中點O，連接OP，OA，由于ABC和PBC均為等邊三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角PBCA的平面角，即POA120，過點B作AC的平行線交AO的延長線于點D，連接PD，則P

9、BD或其補角就是異面直線PB和AC所成的角.設(shè)ABa，則PBBDa，22323aa2a5POPD2a，所以cosPBD2aa8.法二如圖，取BC的中點O，連接OP，OA，由于ABC和PBC均為等邊三角形，所以AOBC，POBC，所以BC平面PAO，即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角PBCA的平面角，即POA120，建立空間直角坐標系以以下圖.3設(shè)AB2，則A(3，0，0)，C(0，1，0)，B(0，1，0)，P2，0，2，33所以AC(3，1，0)，PB2，1，2，55cosAC，PB8，所以異面直線PB與AC所成角的余弦值為8.法三以以下圖，取BC的中點O，連接OP，OA，由于AB

10、C和PBC是全等的等邊三角形，所以AOBC，POBC，所以POA就是二面角的平面角，設(shè)AB2，則ACOCOA，PBOBOP，55故ACPB(OCOA)(OBOP)2，所以cosAC，PBACPB5.85即異面直線PB與AC所成角的余弦值為8.答案(1)C(2)A規(guī)律方法1.利用向量法求異面直線所成角的一般步驟是：(1)選好基底或建立空間直角坐標系；(2)求|v1v2|出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|v1|v2|求解.2.兩異面直線所成角的范圍是0，2，兩向量的夾角的范圍是0，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；當異面直線的方向向量的夾

11、角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角.【訓練1】(一題多解)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AB，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，M，N分別為AA1，A1C1的中點，則直線MN與EF所成角的余弦值為()3314A.5B.2C.2D.5分析法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完整相同的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B，易得MNAC1，EFCB1C1B，那么AC1B或AC1B的補角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA12AB2a，則AC1C1B3a，連接AB，則ABa2（22a）23a，6由余弦定理得（3a）2（3a）2（3a）21cosAC1B2（3a）（3a）2.1故直線MN與EF

12、所成角的余弦值為2.法二如圖，連接AC1，C1B，CB1，設(shè)C1B，CB1交于點O，取AB的中點D，連接CD，OD，則MNAC1OD，EFCB1，那么DOC或其補角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA12AB2a，則AC1CB13a，3a3a于是ODOC2，又CD2，于是OCD為正三角形，11故DOC60，cosDOC2，即直線MN與EF所成角的余弦值為2.法三取AB的中點O，連接CO，則COAB，以O(shè)為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，過點O且平行于CC1的直線為z軸建立以以下圖的空間直角坐標系.設(shè)AB2，則AA122，131313求得M(1，0，2)，N2，2，22，E2，2，

13、0，F(xiàn)(1，0，2)，所以MN2，2，2，EF31321MNEF.2，2，2，cosMN，EF332|MN|EF|答案C考點二用空間向量求線面角【例2】(2018全國卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O為7AC的中點.(1)證明：PO平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角MPAC為30，求PC與平面PAM所成角的正弦值.(1)證明由于APCPAC4，O為AC的中點，所以O(shè)PAC，且OP23.2連接OB，由于ABBC2AC，所以ABC為等腰直角三角形，1且OBAC，OB2AC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC

14、.(2)解的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz.如圖，以O(shè)為坐標原點，OB由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，23)，AP(0，2，23).取平面PAC的一個法向量OB(2，0，0).設(shè)M(a，2a，0)(0a2)，則AM(0，4a，0).設(shè)平面PAM的法向量為(x，y，z).由AP得0，AM02y23z0，可取(3(a4)，3a，a)，ax（4a）y0，23（a4）所以cosOB，23（a4）23a2a2.3由已知可得|cosOB，|2，8所以23|a4|3，23（a4）23a2a224解得a4(舍去)，a3，所以834343

15、，3，3.3又PC(0，2，23)，所以cosPC，4.所以PC與平面PAM所成角的正弦值為34.規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)變成求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)經(jīng)過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.【訓練2】(2019鄭州測試)在以以下圖的多面體中，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD6，AB2AD.(1)求證：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直線AF與平面AEC所成角的正弦值.(1)證明在ABD中，A

16、BD6，AB2AD，由余弦定理，得BD3AD，從而BD2AD2AB2，故BDAD，所以ABD為直角三角形且ADB2.由于DE平面ABCD，BD?平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.由于BD?平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.(2)解由(1)可得，在RtABD中，BAD3，BD3AD，又由EDBD，設(shè)AD1，則BDED3.由于DE平面ABCD，BDAD，所以可以點D為坐標原點，DA，DB，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，以以下圖.9則A(1，0，0)，C(1，3，0)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，3，3)，2，3，0).所以AE(1，0，3)

17、，AC(設(shè)平面AEC的法向量為(x，y，z)，x3z0，AE0則即2x3y0，AC0令z1，得(3，2，1)，為平面AEC的一個法向量.，3，3)，由于AF(142AF所以cos，AF14，|AF|42所以直線AF與平面AEC所成角的正弦值為14.考點三用空間向量求二面角【例3】(2018武漢模擬)如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，ABCD，且CD6，AB12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O平面BCO1O，如圖2，點P為BC的中點，點E在線段AB上(不一樣于A，B兩點)，連接OE并延長至點Q，使AQOB.(1)(一題多解)證明：OD平面PAQ；(2)若BE2AE，求二面角CBQA

18、的余弦值.(1)證明法一取OO1的中點F，連接AF，PF，以以下圖.10P為BC的中點，PFOB，AQOB，PFAQ，P，F(xiàn)，A，Q四點共面.由題圖1可知OBOO1，平面ADO1O平面BCO1O，且平面ADO1O平面BCO1OOO1，OB?平面BCO1O，OB平面ADO1O，PF平面ADO1O，又OD?平面ADO1O，PFOD.由題意知，AOOO1，OFO1D，AOFOO1D，AOFOO1D，F(xiàn)AODOO1，F(xiàn)AOAODDOO1AOD90，AFOD.AFPFF，且AF?平面PAQ，PF?平面PAQ，OD平面PAQ.法二由題設(shè)知OA，OB，OO1兩兩垂直，以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OO1所在直

19、線分別為x軸，y軸，z軸建立以以下圖的空間直角坐標系，設(shè)AQ的長為m，則O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).9點P為BC的中點，P0，2，3，9，3.OD(3，0，6)，AQ(0，m，0)，PQ6，m20，OD0，ODPQAQODAQ，ODPQ，又AQ與PQ不共線，OD平面PAQ.111(2)解BE2AE，AQOB，AQ2OB3，則Q(6，6).3，0)，QB(6，3，0)，BC(0，3設(shè)平面CBQ的法向量為1(x，y，z)，10，6x3y0，QB由0，得3y6z0，1BC令z1，則y2，x1，1(1，2，1).易得平面A

20、BQ的一個法向量為2(0，0，1).設(shè)二面角CBQA的大小為，由圖可知，為銳角，126則cos|1|2|6，即二面角CBQA的余弦值為66.規(guī)律方法利用空間向量計算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，而后經(jīng)過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實質(zhì)圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.【訓練3】(2018安徽六校聯(lián)考)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E為線段AB的中點，F(xiàn)是線

21、段DD1上的動點.(1)求證：EF平面BCC1B1；(2)(一題多解)若BCDC1CD60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1與平面DC1B1所成角(銳角)的余弦值.(1)證明如圖(1)，連接DE，D1E.圖(1)ABCD，AB2CD，E是AB的中點，BECD，BECD，12四邊形BCDE是平行四邊形，DEBC.又DE?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，DE平面BCC1B1.DD1CC1，DD1?平面BCC1B1，CC1?平面BCC1B1，D1D平面BCC1B1.又D1DDED，平面DED1平面BCC1B1.EF?平面DED1，EF平面BCC1B1.(2)解如圖(1)，

22、連接BD.設(shè)CD1，則ABBCCC12.BCD60，BDBC2CD22BCCDcos603.CD2BD2BC2，BDCD.同理可得，C1DCD.法一平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCDCD，C1D?平面D1C1CD，C1D平面ABCD，BC?平面ABCD，C1DBC，C1DB1C1.在平面ABCD中，過點D作DHBC，垂足為H，連接C1H，如圖(1).C1DDHD，BC平面C1DH.C1H?平面C1DH，BCC1H，B1C1C1H，DC1H為平面BCC1B1與平面DC1B1所成的角.在RtC1CD中，C1D3，3在RtBCD中，DHCDsin602，在RtC1112DH2

23、15，DH中，CHCD2C1D25cosDC1HC1H5.平面BCC1B1與平面DC1B1所成的角(銳角)的余弦值為25.5法二以D為原點，分別以DB，DC，DC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖(2)，圖(2)13則D(0，0，0)，C(0，1，0)，C1(0，0，3)，B(3，0，0)，3).B1C1BC(3，1，0)，DC1(0，0，3)，CC1(0，1設(shè)平面BCC1B1的法向量為1(x1，y1，z1)，0，3xy0，1BC11則即3z10.y11CC10，取z11，則y13，x11，平面BCC1B1中的一個法向量為1(1，3，1).設(shè)平面DC1B1的法向量為2(x2，

24、y2，z2).10，2y20，21BC3x則即20.2DC10，3z令x21，則y23，z20，平面DC1B1的一個法向量為2(1，3，0).設(shè)平面BCC1B1與平面DC1B1所成的銳二面角的大小為，則cos|12|1325|1|2|131135.平面BCC1B1與平面DC11所成的角(銳角)的余弦值為25B5.思想升華1.利用空間向量求空間角，防范了找尋平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點、線、面的地址關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化.主若是建系、設(shè)點、計算向量的坐標、利用數(shù)目積的夾角公式計算.2.合理建立空間直角坐標系(1)使用空間向量解決立體幾何問題的要點環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標系，建系

25、方法的不一樣可能導致解題的簡繁程度不一樣.(2)一般來說，假如已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點的三條直線時，就以這三條直線為坐標軸建立空間直角坐標系；假如不存在這樣的三條直線，則應(yīng)盡可能找兩條垂直訂交的直線，以其為兩條坐標軸建立空間直角坐標系，即坐標系成立刻以此中的垂直訂交直線為基本出發(fā)點.(3)建系的基本思想是找尋此中的線線垂直關(guān)系，在沒有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時要經(jīng)過其余已知條件獲取垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個合理的地址建立空間直角坐標系.易錯防范1.異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；不然向量夾角的補角是異面直線所成的角.1

26、42.利用向量法求二面角大小的注意點(1)建立空間直角坐標系時，若垂直關(guān)系不明確，應(yīng)先給出證明；(2)對于某些平面的法向量，要結(jié)合題目條件和圖形多觀察，判斷該法向量能否已經(jīng)隱含著，不用再求.(3)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論失誤.基礎(chǔ)堅固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.60或30分析設(shè)直線l與平面所成的角為，直線l與平面的法向量的夾角為.1則sin|cos|cos120|2.又090，30.答案C2.在正方體A1B1C1D1ABCD中，AC與B

27、1D所成角大小為()A.6B.4C.3D.2分析建立以以下圖的空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).AC(1，1，0)，B1D(1，1，1)，ACB1D1(1)110(1)0，ACB1D，AC與B1D所成的角為2.答案D3.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2.以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M.則CD與平面ACM所成角的正弦值為()153356A.2B.3C.3D.3分析以以下圖，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，P(0，0，4)，B(2，0，0)，C

28、(2，4，0)，D(0，4，0)，M(0，2，2).，0，0).所以AC(2，4，0)，AM(0，2，2)，CD(2設(shè)平面ACM的一個法向量(x，y，z)，由AC，AM，2x4y0，令z1，得(2，1，1).可得2y2z0，設(shè)所求角為，6CD則sin3.|CD|答案D111D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為()4.在正方體ABCDABC1232A.2B.3C.3D.2分析以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立以以下圖的空間直角坐標系，1設(shè)棱長為1，則A1(0，0，1)，E1，0，2，D(0，1，0)，1，0，1.A1D(0，1，1

29、)，A1E216設(shè)平面A1ED的一個法向量為1(1，y，z)，yz0，y2，A1D10，則有即112z0，z2，A1E10，1(1，2，2).平面ABCD的一個法向量為2(0，0，1)，2|cos1，2|313，2即平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為3.答案B5.(2018大同模擬)設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是()322223A.2B.2C.3D.3分析如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1(2，0，0

30、)，DB(2，2，0)，DA1(2，0，2)，設(shè)平面A1BD的一個法向量(x，y，z)，2x2z0，DA10則2x2y0，DB0，令z1，得(1，1，1).223D1到平面A1BD的距離d|D1A1|3.3答案D17二、填空題6.(2019昆明月考)以以下圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_.分析以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，則EF(0，1，1)，BC1(2，0，2)，EFBC1

31、2，21cosEF12222，BCEF和BC1所成的角為60.答案607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值等于_.分析以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖.設(shè)AA12AB2，則D(0，0，0)，C(0，1，0)，2).B(1，1，0)，C1(0，1，2)，則DC(0，1，0)，DB(1，1，0)，DC1(0，1xy0，設(shè)平面BDC1的一個法向量為(x，y，z)，則DB，DC1，所以有令y2，得平y(tǒng)2z0，面BDC1的一個法向量為(2，2，1).設(shè)直線CD與平面BDC1所成的角為，182DC則sin|cos，DC|3.|DC|2答案3

32、8.(一題多解)已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_.分析法一延長FE，CB訂交于點G，連接AG，以以下圖.設(shè)正方體的棱長為3，則GBBC3，作BHAG于點H，連接EH，則EHB為所求銳二面角的平面角.2BH2，EB1，EB2tanEHBBH3.法二如圖，以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè)DA1，由已知條件得A(1，0，0)，E1，1，1，3212F0，1，3，AE0，1，3，AF1，1，3，設(shè)平面AEF的法向量為(x

33、，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為，19，AE0由得，AF01y3z0，2xy3z0.令y1，z3，x1，則(1，1，3)，取平面ABC的法向量為(0，0，1)，3112則cos|cos，|11，tan3.答案23三、解答題9.(2018江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點P，Q分別為A1B1，BC的中點.(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)1與平面AQC1所成角的正弦值.求直線CC解如圖，在正三棱柱ABCA111中，設(shè)AC，A1C1的中點分別為O，O1，連接OB，OO1，則OBOC，BCOxyz.由于ABOO1OC，OO1OB，以O(shè)B，

34、OC，OO1為基底，建立以以下圖的空間直角坐標系A(chǔ)A12，所以A(0，1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，1，2)，B1(3，0，2)，C1(0，1，2).(1)由于P為A1B1的中點，所以P3，1，2，2231從而BP2，2，2，AC1(0，2，2)，|14|310|BPAC1|.故|cosBP，AC1|52202|BP|AC1|BP與AC1所成角的余弦值為310所以，異面直線20.2031，(2)由于Q為BC的中點，所以Q2，2，033，0所以AQ2，AC1(0，2，2)，CC1(0，0，2).2設(shè)(x，y，z)為平面AQC1的一個法向量，33AQ02x2y0，則即2y

35、2z0.AC10，不如取(3，1，1).設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，25|CC1|則sin|cosCC1，|525，|CC1|所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為55.10.(2019河北五校聯(lián)考)如圖，在斜三棱柱(側(cè)棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，底面ABC是邊長為2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求證：A1C1B1C；(2)(一題多解)求二面角B1A1CC1的正弦值.(1)證明如圖，取11的中點D，連接B1D，CD，ACC1CA1AA1C，CDA1C1，底面ABC是邊長為2的正三角形，ABBC2，A1B1B1C12，B1DA1

36、C1，又B1DCDD，B1D?平面B1CD，CD?平面B1CD，A1C1平面B1CD，A1C1B1C.(2)解法一如圖，過點D作DEA1C于點E，連接B1E.側(cè)面AA1C1C底面ABC，21側(cè)面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，側(cè)面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，B1D平面A1CC1，B1DA1C，A1C平面B1DE，B1EA1C，B1ED為所求二面角的平面角.A1B1B1C1A1C12，B1D3，又ED1CC12，tanB1EDB1D36，22ED22sinB1ED42.7二面角B1A11的正弦值為42CC7.法二如圖，取AC的中點O，以O(shè)為坐標原點，射線OB，OC，OA

37、1分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則O(0，0，0)，B(3，0，0)，A111(0，2，1)，C(0，1，(0，0，1)，B(3，1，1)，C0)，(0，1，1).A11(3，1，0)，A1BC設(shè)(x，y，z)為平面A1B1C的法向量，A1B13xy0，A1Cyz0，令y3，得(1，3，3)，的一個法向量，又OB(3，0，0)為平面A1CC17OBcos，OB7，|OB|由圖易知所求二面角為銳角，二面角B1A1CC1的正弦值為42.7能力提高題組(建議用時：20分鐘)11.(2019長沙雅禮中學檢測)在三棱錐PABC中，點P在底面的正投影恰好是等邊ABC的邊AB的中點，且點P究竟面ABC的距離等于底面邊長.設(shè)PAC與底面所成的二面角的大小為，PBC與底面所成的二面角的大小為，則tan()的值是()2232A.43B.5385C.133D.83分析如圖，設(shè)點P在邊AB上的射影為H，作HFBC，HEAC，連接PF，PE.依題意，HEP，PFH.不如設(shè)等邊AB