等差數(shù)列教案

1、等差數(shù)列教案教學(xué)設(shè)計(jì).2.1等差數(shù)列整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)課將探究一類特殊的數(shù)列等差數(shù)列.本節(jié)課安排2課時(shí)，第1課時(shí)是在生活中具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念，接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)這個(gè)公式去進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.第2課時(shí)主要是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推導(dǎo)的公式，并能通過通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì).讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題.在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究.在問題探索過程中，先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思

2、路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，最后采用證明方法來檢驗(yàn)所提出的猜想.其中例1是鞏固定義，例2到例5是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.在教學(xué)過程中，應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過程中的主體地位.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活離不開數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開生活的.學(xué)會(huì)在生活中挖掘數(shù)學(xué)問題，解決數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化.數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列

3、與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊.教材采取將代數(shù)、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識(shí)溝通方面發(fā)揮了重要作用.因此本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、啟發(fā)學(xué)生思考問題的好素材.三維目標(biāo).通過實(shí)例理解等差數(shù)列的概念，通過生活中的實(shí)例抽象出等差數(shù)列模型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一類數(shù)列是現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的數(shù)列模型.同時(shí)經(jīng)歷由發(fā)現(xiàn)幾個(gè)具體數(shù)列的等差關(guān)系，歸納出等差數(shù)列的定義的過程.探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等差數(shù)列的概念，通過歸納或迭加或迭代的方式探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.通過與一次函數(shù)的圖象類比，探索等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的圖象特征與一次函數(shù)之間的聯(lián)系.通過對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生

4、明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)及性質(zhì)，會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問題.教學(xué)難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式，并會(huì)解決一些相關(guān)的問題.課時(shí)安排課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新思路1.教師引導(dǎo)學(xué)生先復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)過的數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式，可有意識(shí)地在黑板上出示幾個(gè)數(shù)列，如：數(shù)列1,2,3，數(shù)列0,0,0，數(shù)列0,2,4,6，等，然后直接引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例，不知不覺中就已經(jīng)進(jìn)入了新課.思路2.教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)上節(jié)課所

5、學(xué)的數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，使學(xué)生明了我們現(xiàn)在要研究的就是一列數(shù).由此我們聯(lián)想：在初中我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，研究了它的一些運(yùn)算與性質(zhì)，那么我們能不能也像研究實(shí)數(shù)一樣，來研究它的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)呢？由此導(dǎo)入新課.推進(jìn)新新知探究提出問題1冋憶數(shù)列的概念，數(shù)列都有哪兒種表小方法?2閱伙教科巧本節(jié)內(nèi)容中的3個(gè)背景實(shí)例，熟悉生活中常見現(xiàn)象，寫出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列.3觀察數(shù)列，它們右什么共同特點(diǎn)？4根據(jù)數(shù)列的特征，每人能再舉川2個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎？5什么是等淬數(shù)列？怎樣理解等廷數(shù)列？其中的關(guān)鍵字詞是什么？6數(shù)列存在通項(xiàng)公式嗎？如果存在，分別足什么？7等渥數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？怎樣推導(dǎo)？活動(dòng)：教

6、師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的數(shù)列及其簡(jiǎn)單表示法列表法、通項(xiàng)公式、遞推公式、圖象法，這些方法從不同角度反映了數(shù)列的特點(diǎn).然后引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的實(shí)例模型，指導(dǎo)學(xué)生寫出這3個(gè)模型的數(shù)列：22,22.5,23,23.5,24,24.5，；2,9,16,23,30;89,83,77,71,65,59,53,47.-6.這是由日常生活中經(jīng)常遇到的實(shí)際問題中得到的數(shù)列.觀察這3個(gè)數(shù)列發(fā)現(xiàn)，每個(gè)數(shù)列中相鄰的后項(xiàng)減前項(xiàng)都等于同一個(gè)常數(shù).當(dāng)然這里我們是拿后項(xiàng)減前項(xiàng)，其實(shí)前項(xiàng)減后項(xiàng)也是一個(gè)常數(shù)，為了后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)方便，這個(gè)順序不能顛倒.至此學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到，具備這個(gè)特征的數(shù)列模型在生活中有很多，如上節(jié)提到的堆放鋼管的數(shù)

7、列為100,99,98,97，某體育場(chǎng)一角的看臺(tái)的座位排列：排15個(gè)座位，向后依次為17,19,21,23，等等.以上這些數(shù)列的共同特征是：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù).這就是我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容.教師先讓學(xué)生試著用自己的語言描述其特征，然后給出等差數(shù)列的定義.等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.教師引導(dǎo)學(xué)生理解這個(gè)定義：這里公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，若前項(xiàng)減后項(xiàng)則為-d,這就是為什么前面3個(gè)模型的分析中總是說后項(xiàng)減前項(xiàng)而不說前項(xiàng)減后項(xiàng)的原因.

8、顯然3個(gè)模型數(shù)列都是等差數(shù)列，公差依次為0.5,7,教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析等差數(shù)列定義中的關(guān)鍵字是什么？這里“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”是等差數(shù)列定義中的核心部分.用遞推公式可以這樣描述等差數(shù)列的定義：對(duì)于數(shù)列an，若anan1=d,n2,nN*，則此數(shù)列是等差數(shù)列.這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法.點(diǎn)撥學(xué)生注意這里的“n2”，若n包括1,則數(shù)列是從第1項(xiàng)向前減，顯然無從減起.若n從3開始，則會(huì)漏掉a2al的差，這也不符合定義，如數(shù)列1,3,4,5,6，顯然不是等差數(shù)列，因此要從意義上深刻理解等差數(shù)列的定義.教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)列的通項(xiàng)公式，學(xué)生根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)列通項(xiàng)公式的定義，觀察

9、每一數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系會(huì)很快寫出：an=21.5+0.5n，an=7n5，an=6n+95.以上這幾個(gè)通項(xiàng)公式有共同的特點(diǎn)，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性.教師點(diǎn)撥學(xué)生探求，對(duì)任意等差數(shù)列a1,a2,a3,，an,，根據(jù)等差數(shù)列的定義都有：a2a1=d,a3a2=d,a4a3=d,所以a2=al+d,a3=a2+d=+d=al+2d,a4=a3+d=+d=al+3d.學(xué)生很容易猜想出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=al+d后,教師適時(shí)點(diǎn)明：我們歸納出的公式只是一個(gè)猜想，嚴(yán)格的證明需要用到后面的其他知識(shí).教師可就此進(jìn)一步點(diǎn)撥學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是很重要的思考方法，后面

10、還要專門探究它.數(shù)學(xué)中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被稱為數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，對(duì)于它的證明中國已處于世界領(lǐng)先地位.很多著名的數(shù)學(xué)結(jié)論都是從猜想開始的.但要注意，數(shù)學(xué)猜想僅是一種數(shù)學(xué)想象，在未得到嚴(yán)格的證明前不能當(dāng)作正確的結(jié)論來用.這里我們歸納猜想的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+d是經(jīng)過嚴(yán)格證明了的，只是現(xiàn)在我們知識(shí)受限，無法證明，所以說我們先承認(rèn)它.鼓勵(lì)學(xué)生只要?jiǎng)?chuàng)新探究，獨(dú)立思考，也會(huì)有自己的新奇發(fā)現(xiàn).教師根據(jù)教學(xué)實(shí)際情況，也可引導(dǎo)學(xué)生得出等差數(shù)列通項(xiàng)公式的其他推導(dǎo)方法.例如：方法一：an是等差數(shù)列，anan1=d,an1an2=d,an2an3=d,a2al=d.兩邊分別相加得anal=d

11、,所以an=al+d,方法二：an是等差數(shù)列，則有an=an1+d,=an2+d+d=an2+2d=an3+d+2d=an3+3d=al+d.所以an=al+d.討論結(jié)果：略.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.其中關(guān)鍵詞為“從第2項(xiàng)起”、“等于同一個(gè)常數(shù)”.三個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式，它們分別是：an=21.5+0.5n,an=7n5,an=6n+95.an=al可用疊加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：+d.應(yīng)用示例例1活動(dòng)：本例的目的是讓學(xué)生熟悉公式，使學(xué)生從中體會(huì)公式與方程之間的聯(lián)系.教學(xué)時(shí)要使學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)

12、于an、al、d、n的方程，以便于學(xué)生能把方程思想和通項(xiàng)公式相結(jié)合，解決等差數(shù)列問題.本例中的是判斷一個(gè)數(shù)是否是某等差數(shù)列的項(xiàng).這個(gè)問題可以看作的逆問題.需要向?qū)W生說明的是，求出的項(xiàng)數(shù)為正整數(shù)，所給數(shù)就是已知數(shù)列中的項(xiàng)，否則，就不是已知數(shù)列中的項(xiàng).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立解決，也可做板演之用，教師只是對(duì)有困難的學(xué)生給予恰當(dāng)點(diǎn)撥.點(diǎn)評(píng)：在數(shù)列中，要讓學(xué)生明確解方程的思路.變式訓(xùn)練00是不是等差數(shù)列2,9,16，的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由；-20是不是等差數(shù)列0,312,-7,的項(xiàng)，如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說明理由.解：由題意，知al=2,d=92=7.因而通項(xiàng)公式為an=2+

13、x7=7n5.令7n5=100，解得n=15,所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).由題意可知a1=0,d=312,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=72n+72.令72n+72=20,解得n=477.因?yàn)?2n+72=20沒有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).例2一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)為125，公差d0,從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大，求公差d的范圍.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題意，思考條件“從第10項(xiàng)起每一項(xiàng)都比1大”的含義，應(yīng)轉(zhuǎn)化為什么數(shù)學(xué)條件？是否僅是a101呢？d0的條件又說明什么？教師可讓學(xué)生合作探究，放手讓學(xué)生討論，不要怕學(xué)生出錯(cuò).解：d0,設(shè)等差數(shù)列為an,則有a1va2va3vva9va10va1

14、1v，由題意，得1va10va11v，a1va2vva91a91,125+91d1,解得875vd2時(shí)，取數(shù)列an中的任意相鄰兩項(xiàng)an1與ananan1=p+q=pn+q=p為常數(shù)，所以an是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=p+q,公差為p.點(diǎn)評(píng)：若p=0,則an是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q,q,q,.若pz0,則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為q.數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)an=pn+q,稱其為第3通項(xiàng)公式.變式訓(xùn)練已知數(shù)列的通項(xiàng)公式an=6n-1.問這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與公

15、差分別是多少？解：Tan+1an=61=6,an是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為al=6X11=5,公差為6.點(diǎn)評(píng)：該訓(xùn)練題的目的是進(jìn)一步熟悉例3的內(nèi)容.需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，若用anan1=d,則必須強(qiáng)調(diào)n2這一前提條件，若用an+1an=d,則可不對(duì)n進(jìn)行限制.知能訓(xùn)練.求等差數(shù)列8,5,2，的第20項(xiàng)；401是不是等差數(shù)列一5,9,13,的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？.求等差數(shù)列3,7,11，的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).答案：.解：由al=8,d=58=3,n=20,得a20=8+X=49.由a1=5,d=9=4,得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=54=4n1.由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得401=4n1成立.

16、解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100,即401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).解：根據(jù)題意可知a1=3,d=73=4.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=3+x4,即an=4n1.a4=4X41=15,a10=4X101=39.課堂小結(jié).先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？要注意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？.教師進(jìn)一步集中強(qiáng)調(diào)，本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容是等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”.這是我們研究有關(guān)等差數(shù)列的主要出發(fā)點(diǎn)，是判斷、證明一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法，要注意這里的“等差”是對(duì)任意相鄰兩項(xiàng)來說的.作業(yè)習(xí)題22A組1、2.設(shè)

17、計(jì)感想本教案設(shè)計(jì)突出了重點(diǎn)概念的教學(xué)，突出了等差數(shù)列的定義和對(duì)通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用.等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性也是本質(zhì)屬性的準(zhǔn)確反映和高度概括，準(zhǔn)確地把握定義是正確認(rèn)識(shí)等差數(shù)列，解決相關(guān)問題的前提條件.通項(xiàng)公式是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系，是研究一個(gè)數(shù)列的重要工具.因?yàn)榈炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)與一次函數(shù)的解析式密切相關(guān)，因此通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質(zhì)成為可能.本教案設(shè)計(jì)突出了教法學(xué)法與新課程理念的接軌，引導(dǎo)綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，這是一種非常重要的學(xué)習(xí)方法；在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路，然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想，

18、最后采用證明方法來檢驗(yàn)所提出的猜想.本教案設(shè)計(jì)突出了發(fā)散思維的訓(xùn)練.通過一題多解，多題一解的訓(xùn)練，比較優(yōu)劣，換個(gè)角度觀察問題，這是數(shù)學(xué)發(fā)散思維的基本素質(zhì).只有在學(xué)習(xí)過程中有意識(shí)地將知識(shí)遷移、組合、融合，激發(fā)好奇心，體驗(yàn)多樣性，學(xué)懂學(xué)透，融會(huì)貫通，創(chuàng)新思維才能與日俱增.第2課時(shí)導(dǎo)入新思路1.上一節(jié)課我們研究了數(shù)列中的一個(gè)重要概念一等差數(shù)列的定義，讓學(xué)生回憶這個(gè)定義，并舉出幾個(gè)等差數(shù)列的例子.接著教師引導(dǎo)學(xué)生探究自己所舉等差數(shù)列例子中項(xiàng)與項(xiàng)之間有什么新的發(fā)現(xiàn)？比如，在同一個(gè)等差數(shù)列中，與某一項(xiàng)“距離”相等的兩項(xiàng)的和會(huì)是什么呢？由此展開新課.思路2.教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容：等差數(shù)列的定義

19、以及等差數(shù)列的通項(xiàng)，之后直接提出等差中項(xiàng)的概念讓學(xué)生探究，由此而展開新課.推進(jìn)新新知探究提出問題1請(qǐng)學(xué)生冋憶上肚課學(xué)習(xí)的等丼數(shù)列的疋艾，如何證明個(gè)數(shù)列是等芳數(shù)列？2等芳數(shù)列的通壩公式足怎樣得出來的？它耳一次憫數(shù)有什么關(guān)系？3什么是等并中項(xiàng)？怎樣求等淖中項(xiàng)？4根據(jù)等羞屮唄的概念，你能探究出哪些重要結(jié)論呢？活動(dòng)：借助，教師引導(dǎo)學(xué)生先回憶等差數(shù)列的定義，一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即anan1=d,這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差.再一起回顧通項(xiàng)公式，等差數(shù)列an有兩種通項(xiàng)公式：an=a+d或an=pn+q.由上面的兩個(gè)公式我們還可以得到下

20、面幾種計(jì)算公差d的方法：d=anan1;d=analn1;d=anan對(duì)于通項(xiàng)公式的探究，我們用歸納、猜想得出了通項(xiàng)公式，后又用疊加法及迭代法推導(dǎo)了通項(xiàng)公式.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本等差中項(xiàng)的概念，引導(dǎo)學(xué)生探究：如果我們?cè)跀?shù)a與數(shù)b中間插入一個(gè)數(shù)A,使三個(gè)數(shù)a,A,b成等差數(shù)列，那么數(shù)A應(yīng)滿足什么樣的條件呢？由定義可得Aa=bA,即卩A=a+b2.反之，若A=a+b2,貝Aa=bA,由此可以得A=a+b2a,A,b成等差數(shù)列.由此我們得出等差中項(xiàng)的概念：如果三個(gè)數(shù)x,A,y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng).如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A=x+y2.根據(jù)我們前面的探究不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列

21、中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).女口數(shù)列：1,3,5,7,9,11,13中5是3與7的等差中項(xiàng)，也是1和9的等差中項(xiàng).是7和11的等差中項(xiàng)，也是5和13的等差中項(xiàng).等差中項(xiàng)及其應(yīng)用問題的解法關(guān)鍵在于抓住a,A,b成等并數(shù)列2A=a+b,以促成將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為目標(biāo)量間的等量關(guān)系或直接由a,A,b間的關(guān)系證得a,A,b成等差數(shù)列.根據(jù)等差中項(xiàng)的概念我們來探究這樣一個(gè)問題：如上面的數(shù)列1,3,5,7,9,11,13，中，我們知道2a5=a3+a7=a1+a9=a2+a8,那么你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？再驗(yàn)證一下，結(jié)果有a2+a10=a3+a9=a4+a8=a5+a7=2a6.由此我

22、們猜想這個(gè)規(guī)律可推廣到一般，即在等差數(shù)列an中，若、n、p、qN*且+n=p+q,那么a+an=ap+aq,這個(gè)猜想與上節(jié)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想方法是一樣的，是我們歸納出來的，沒有嚴(yán)格證明，不能說它就一定是正確的.讓學(xué)生進(jìn)一步探究怎樣證明它的正確性呢？只要運(yùn)用通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化即可.設(shè)首項(xiàng)為a1,貝Va+an=a1+d+a1+d=2a1+d,ap+aq=a1+d+a1+d=2a1+d.因?yàn)槲覀冇?n=p+q，所以上面兩式的右邊相等，所以a+an=ap+aq.由此我們的一個(gè)重要結(jié)論得到了證明：在等差數(shù)列an的各項(xiàng)中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和.另外，在等差數(shù)列中，若+n=p+q

23、,則上面兩式的右邊相等，所以a+an=ap+aq.同樣地，我們還有：若+n=2p,則a+an=2ap.這也是等差中項(xiàng)的內(nèi)容.我們自然會(huì)想到由a+an=ap+aq能不能推出+n=p+q呢？舉個(gè)反例，這里舉個(gè)常數(shù)列就可以說明結(jié)論不成立.這說明在等差數(shù)列中，a+an=ap+aq是+n=p+q成立的必要不充分條件.由此我們還進(jìn)一步推出an+1-an=d=an+2an+1，即卩2an+1=an+an+2，這也是證明等差數(shù)列的常用方法.同時(shí)我們通過這個(gè)探究過程明白：若要說明一個(gè)猜想正確，必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明，若要說明一個(gè)猜想不正確，僅舉一個(gè)反例即可.討論結(jié)果：略.如果三個(gè)數(shù)x,A,y成等差數(shù)列，那么A叫做x

24、和y的等差中項(xiàng)，且A=x+y2.得到兩個(gè)重要結(jié)論：在數(shù)列an中，若2an+1=an+an+2,則an是等差數(shù)列.在等差數(shù)列中，若+n=p+q,貝Ua+an=ap+aq.應(yīng)用示例例1在等差數(shù)列an中，若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.活動(dòng)：本例是一道基本量運(yùn)算題，運(yùn)用方程思想可由已知條件求出a1,d,進(jìn)而求出通項(xiàng)公式an,則a3,a9不難求出.應(yīng)要求學(xué)生掌握這種解題方法，理解數(shù)列與方程的關(guān)系.解：由已知，得a1+a1+5d=9,a1+3d=7,解得a1=8,d=5.通項(xiàng)公式為an=al+d=8+5=5n13.a3=2,a9=32.點(diǎn)評(píng)：本例解法是數(shù)列問題的基本運(yùn)算，應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握，當(dāng)

25、然對(duì)學(xué)有余力的同學(xué)來說，教師可引導(dǎo)探究一些其他解法，如al+a6=a4+a3=9.a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4a3=72=5-a9=a4+5d=32.點(diǎn)評(píng)：這種解法巧妙，技巧性大，需對(duì)等差數(shù)列的定義及重要結(jié)論有深刻的理解.變式訓(xùn)練已知數(shù)列an對(duì)任意的p,qN*滿足ap+q=ap+aq,且a2=6,那么a10等于A.165B.33c30D.21答案：c解析：依題意知，a2=a1+a1=2a1,a1=12a2=3,an+1=an+a1=an3,可知數(shù)列an是等差數(shù)列，a10=a1+9d=39x3=30.例2活動(dòng)：本例是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用.正如邊注所說，相當(dāng)于已知直線過點(diǎn)，斜

26、率為0.6，求直線在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.可放手讓學(xué)生完成本例.變式訓(xùn)練等差數(shù)列an的公差dv0,且a2?a4=12,a2+a4=8,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是A.an=2n2B.an=2n+4c.an=2n+12D.an=2n+10答案：D解析：由題意知a2?a4=12a2+a4=8dv0a2=6a4=2al=8,d=2,所以由an=al+d,得an=8+=2n+10.例3已知a、b、c成等差數(shù)列，那么a2,b2,c2是否成等差數(shù)列？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考a、b、c成等差數(shù)列可轉(zhuǎn)化為什么形式的等式？本題的關(guān)鍵是考察在a+c=2b的條件下，是否有以下結(jié)果：a2+c2=2b2.教師可讓學(xué)生

27、自己探究完成，必要時(shí)給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.解：a、b、c成等差數(shù)列，a+c=2b.又a2+c22b2=a2b+a2c+ac2+bc22b2c2ab2=+=ab+bc+ac=abcabc+2abc=0,a2+c2=2b2.a2,b2,c2成等差數(shù)列.點(diǎn)評(píng)：如果a、b、c成等差數(shù)列，常轉(zhuǎn)化為a+c=2b的形式，反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證a+c=2b.有時(shí)還需運(yùn)用一些等價(jià)變形技巧，才能獲得成功.例4在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a、b、c,使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度加以考慮：一是利用等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)；一是利用等差中項(xiàng)加以處理.讓學(xué)生自己去探究，教師一般不要

28、給予提示，對(duì)個(gè)別探究有困難的學(xué)生可適時(shí)地給以點(diǎn)撥、提示.解：設(shè)這些數(shù)組成的等差數(shù)列為an,由已知，al=1,a5=7,7=1+d，即d=2.所求的數(shù)列為一1,1,3,5,7.1,a,b,c,7成等差數(shù)列，b是一1,7的等差中項(xiàng)，a是一1,b的等差中項(xiàng)，c是b,7的等差中項(xiàng)，即b=1+72=3,a=1+b2=1,c=b+72=5.所求數(shù)列為1,135,7.點(diǎn)評(píng)：通過此題可以看出，應(yīng)多角度思考，多角度觀察，正像前面所提出的那樣，盡量換個(gè)角度看問題，以開闊視野，培養(yǎng)自己求異發(fā)散的思維能力.變式訓(xùn)練數(shù)列an中，a3=2,a7=1,且數(shù)列1an+1是等差數(shù)列，則all等于A.25B.12c.23D.5答

29、案：B解析：設(shè)bn=1an+1,則b3=13,b7=12,因?yàn)?an+1是等差數(shù)列，可求得公差d=124,所以b11=b7+d=23,即a11=1b111=12.例5某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/，起步價(jià)為10元,即最初的4千米計(jì)費(fèi)10元.如果某人乘坐該市的出租車前往14處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0,需要支付多少元的車費(fèi)？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型.在這里也就是建立等差數(shù)列的數(shù)學(xué)模型.引導(dǎo)學(xué)生找出首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的知識(shí)解決實(shí)際問題.解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4時(shí)，每增加1,乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列an來計(jì)算車

30、費(fèi).令a1=11.2表示4處的車費(fèi)，公差d=1.2，那么，當(dāng)出租車行至14處時(shí)，n=11,此時(shí)需要支付車費(fèi)all=11.2+X1.2=23.2.答：需要支付車費(fèi)23.2元.點(diǎn)評(píng)：本例中令a1=11.2，這點(diǎn)要引起學(xué)生注意，這樣一來，前往14處的目的地就相當(dāng)于n=11,這點(diǎn)極容易弄錯(cuò).知能訓(xùn)練1.已知等差數(shù)列an中，a1+a3+a5+a7=4,則a2+a4+a6等于A.3B.4c.5D.6.在等差數(shù)列an中，已知a1=2,a2+a3=13,則a4+a5+a6等于A.40B.42c.43D.45答案：.解析：由a1+a3+a5+a7=4,知4a4=4,即a4=1.a2+a4+a6=3a4=3.答案

31、：A.解析：a2+a3=13,2a1+3d=13.Ta1=2，d=3.而a4+a5+a6=3a5=3=42.答案：B課堂小結(jié).先由學(xué)生自己總結(jié)回顧這節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？要注意的是什么？都用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你是如何通過舊知識(shí)來獲取新知識(shí)的？你在這節(jié)課里最大的收獲是什么？.教師進(jìn)一步畫龍點(diǎn)睛，本節(jié)課我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上又推出了兩個(gè)很重要的結(jié)論，一個(gè)是等差數(shù)列的證明方法，一個(gè)是等差數(shù)列的性質(zhì)，要注意這些重要結(jié)論的靈活運(yùn)用.作業(yè)課本習(xí)題22A組5、6、7.設(shè)計(jì)感想本教案是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，設(shè)計(jì)的活動(dòng)主要都是學(xué)生自己完成的.特別是上節(jié)課通項(xiàng)公式的歸納、猜想給學(xué)生留下了很深的記

32、憶；本節(jié)課只是繼續(xù)對(duì)等差數(shù)列進(jìn)行這方面的探究.本教案除了安排教材上的兩個(gè)例題外，還針對(duì)性地選擇了既具有典型性又具有啟發(fā)性的幾道例題及變式訓(xùn)練.為了學(xué)生的課外進(jìn)一步探究，在備課資料中摘選了部分備用例題及備用習(xí)題，目的是讓學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)作進(jìn)一步拓展探究，以開闊學(xué)生的視野.本教案的設(shè)計(jì)意圖還在于，加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系.這不僅有利于知識(shí)的融會(huì)貫通，加深對(duì)數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)深化一步，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是有趣的，探究是愉悅的，歸納猜想是令人振奮的，借此激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.備課資料一、備用例題【例1】梯子最高一級(jí)寬33c，最低一級(jí)寬

33、為110c，中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度.解：設(shè)an表示梯子自上而下各級(jí)寬度所成的等差數(shù)列，由已知條件，可知a1=33,a12=110,n=12,所以a12=a1+d,即得110=33+11d,解之，得d=7.因止匕a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.答:梯子中間各級(jí)的寬度從上到下依次是40c,47c,54c,61c,68c,75c,82c,89c,96c,103c.【例2】已知1a,1b,1c成等差數(shù)列，求證：b+ca,c+ab,a+bc也成等差數(shù)列.證明

34、：因?yàn)?a,1b,1c成等差數(shù)列，所以2b=1a+1c,化簡(jiǎn)得2ac=b，所以有a+c+a2b+ca+a+bc=bc+c2+a2+abac=b+c2ac=2ac+a2+c2ac一a+c2ac一a+c2ba+c2=2?a+cb.因而b+ca,c+ab,a+bc也成等差數(shù)列.【例3】設(shè)數(shù)列anbn都是等差數(shù)列，且al=35,bl=75,a2+b2=100,求數(shù)列an+bn的第37項(xiàng)的值.分析：由數(shù)列anbn都是等差數(shù)列，可得an+bn是等差數(shù)列，故可求出數(shù)列an+bn的公差和通項(xiàng).解：設(shè)數(shù)列anbn的公差分別為di,d2,則一=+=di+d2為常數(shù)，所以可得an+bn是等差數(shù)列.設(shè)其公差為d,則公

35、差d=100-=-10.因而a37+b37=110-10X=一250.所以數(shù)列an+bn的第37項(xiàng)的值為250.點(diǎn)評(píng)：若一個(gè)數(shù)列未告訴我們是等差數(shù)列時(shí)，應(yīng)先由定義法判定它是等差數(shù)列后，方可使用通項(xiàng)公式an=a1+d.但對(duì)客觀試題則可以直接運(yùn)用某些重要結(jié)論，直接判定數(shù)列是否為等差數(shù)列.二、備用習(xí)題.已知等差數(shù)列an中，a7+a9=16,a4=1，貝Ua12的值是A.15B.30c.31D.64.在數(shù)列an中3an+1=3an+2,且a2+a4+a7+a9=20，則a10為A.5B.7c.8D.10.在等差數(shù)列an中，a1+3a8+a15=120,貝U3a9-a11的值為A.6B.12c.24D.48.已知方程=0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為14的等差數(shù)列，則|n|等于A.1B.34c.12D.38.在等差數(shù)列an中，a5=3,a6=2,則a4+a5+a10=.已知a、b、